Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.373

Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов

© Е.Б. Павельева МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

В работе рассмотрены методические аспекты вычисления поверхностных интегралов первого и второго рода. В учебной литературе по математическому анализу приведены формулы для вычисления поверхностных интегралов по поверхности, заданной параметрическими уравнениями, в громоздком и неудобном для использования виде. Большинство студентов используют только частные случаи этих формул, которые не всегда позволяют оперативно решать задачи. В работе приведены те же формулы для вычисления поверхностных интегралов, что и в учебной литературе, но записанные в простом легко запоминающемся виде. Показано, что частные варианты этих формул непосредственно получаются в процессе решения конкретных задач. Такой подход дает возможность эффективно вычислять поверхностные интегралы. Разобраны примеры вычисления поверхностных интегралов первого и второго рода с использованием различных способов параметризации поверхностей, которые подтверждают полезность предложенной методики.

Ключевые слова: параметрические уравнения поверхности, главная нормаль, поверхностный интеграл первого рода, поверхностный интеграл второго рода.

Введение. В учебной литературе [1-6] по математическому анализу приведена следующая информация о способах вычисления поверхностных интегралов первого и второго рода.

1. Пусть £ — кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность, заданная параметрическими уравнениями:

х = х (и, у), у = у (и, у), г = г (и, у), (и, у)е В с Я2, (1)

в которых функции х (и, у), у (и, у), г (и, у) имеют непрерывные частные производные первого порядка в ограниченной замкнутой

(х'и у: гП

/— 7~ч и У и и ГТ1

области В и ранг матрицы г г г равен двум. Тогда поверх-

V ху уу гу у

ностный интеграл первого рода от непрерывной во всех точках поверхности £ функции / (х, у, г) вычисляется по формуле

ЦI (х, у, г )£ = Л / ( х (и, у ), у (и, у ), г (и, у ))>/ЕО —2 с1:с1у, (2)

£ В

где Е = х':2 + у'2 + г^, О = х'2 + уУ2 + гУ2, ^ = х'х + у[уУ + г'Х.

Формула (2) упрощается, если поверхность S можно однозначно спроектировать на одну из координатных плоскостей. Пусть поверхность задана уравнением z = z (x, y), (x, y)e Dy, где D^ — проекция S на плоскость XOY. Пусть частные производные z'x (x, y) и z'y (x, y) непрерывны в области Dxy. Тогда формула (2) принимает вид

jj f (x,y,z)dS = jj f (x,y,z(x,y)У 1 + zx2 + zy2 dxdy. (3)

S Dxy

В работе [4] приведена следующая формула для вычисления поверхностного интеграла первого рода. Пусть поверхность определяется уравнением r = x (u, v) i + y (u, v) j + z (u, v) k, (u, v)e D e R2. Тогда

jj f (xУ,z)dS = jj f (x(u, v) y (u, v), z(u,v))|[r«, rv] |dudv. (4)

S D

2. Пусть S — кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность, заданная параметрическими уравнениями (1), и в каждой точке ориентированной поверхности S направление нормали задано единичным вектором n = cos a i + cos Р j + cos у k. Поверхностный интеграл второго рода от непрерывного во всех точках поверхности векторного поля F (x, y, z) = P (x, y, z)i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k по ориентированной

по-верхности S (поток векторного поля F через поверхность S) вычисляется по формуле

jj F dS = jj(Fn )dS =jj(P cos a + Q cos p + R cos y)dS, (5)

S S S

где

jj P cos a dS = ±jj P ( x (u, v ), y (u, v), z (u, v)) A (u, v )dudv, (6)

S D

jjQcosРdS = ±jjQ(x(u,v), y (u,v), z(u,v))B(u,v)dudv, (7)

S D

jjRcosydS = ±jjR((x(u,v), y(u,v), z(u,v))C(u,v))dudv,, (8)

S D

A (u, v) = y'uzl~ y'z', B (u, v) = z'xv- zvxl, C (^ v) = x'uy'v- x'vy'u; знаки перед интегралами определяются заданной стороной поверхности.

Формулы (5)-(8) упрощаются, если поверхность S можно однозначно спроектировать на одну из координатных плоскостей. Пусть поверхность задана уравнением г = г (x, у), (x, у )е Dxy, где Dxy — проекция S на плоскость ХОУ. Тогда формула (5) принимает вид

И S

= ±jj(-^(x, у, z(x, y))z'x - Q(x, y, z(x,y)) z'y + R(x,y,z(x,y)))dxdy.

Dxy

(9)

Формулы (5)-(8) также упрощаются, если поверхностный интеграл второго рода вычислять методом проектирования поверхности на все три координатных плоскости. Предположим, что ориентированную поверхность S можно однозначно спроектировать на все три координатных плоскости. Тогда поверхность задается любым из следующих уравнений: x = x (y, z), (y, z) e Dyz; y = y (x, z), (x, z) e Dxz;

z = z (x, y), (x, y) e Dxy, где DyZ, Dxz, D^ — проекции S на плоскости YOZ, XOZ и XOY соответственно. В этом случае вычисление поверхностного интеграла второго рода может быть сведено к вычислению трех двойных интегралов:

jj Fd S = sgn ( cos a)jj P ( x (y, z), y, z)dydz +

S Dyz

+ sgn (cos P) jjQ (x, y (x, z), z) dxdz +

Dxz

+ sgn (cos у ) jj R (x, y, z (x, y )) dxdy, (10)

Dxy

где a, P, у — углы между нормалью к поверхности S и осью OX, OY, OZ соответственно.

Вид формул (2), (5)-(8) приводит студентов в ужас. Студенты, как правило, даже не пытаются понять и тем более запомнить громоздкие формулы (2), (5)-(8), и поэтому они практически никогда не используют эти формулы и не параметризуют поверхности. Удобная для вычисления поверхностных интегралов первого рода формула (4) не приведена ни в учебниках [1-3, 5, 6], ни в задачниках [7-9], и студенты, как правило, не знают эту формулу. В задачниках [7-9] и даже в учебных пособиях [10-12] не приведена и удобная для вычисления поверхностных интегралов второго рода формула (9). Студенты

S

обычно используют формулу (3) для вычисления поверхностных интегралов первого рода и формулу (10) для вычисления поверхностных интегралов второго рода. При этом большинство слабых студентов путают форму записи поверхностного интеграла второго рода

Ц Ш 8 = || Р (х, у, г) ёуёг + Q (х, у, г) ёгёх + Я (х, у, г) ёхёу (11)

с формулой (10) для вычисления поверхностного интеграла второго рода. Они воспринимают поверхностный интеграл, записанный в форме (11), как сумму трех двойных интегралов и поэтому не учитывают знаки двойных интегралов.

В учебных пособиях и руководствах к решению задач [7, 10-13] при вычислении поверхностных интегралов второго рода акцент делается на формулу (10). В руководствах к решению задач [7, 10, 12] авторы учат студентов искать поверхностные интегралы второго рода только методом проектирования поверхности на все три координатных плоскости, т. е. учат брать три двойных интеграла вместо одного во всех случаях, даже в простейшем случае, когда поверхность является частью плоскости [10, 13]. В итоге вычисление даже простейшего поверхностного интеграла второго рода превращается в громоздкую задачу, и студенты, как правило, считают тему «Поверхностные интегралы» одной из самых сложных в курсе «Кратные интегралы и ряды».

Если в задаче требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода ||Р(х,у,г)ёуёг, ||Q(х,у,г^ёгёх или ||Я(х,у,г)ёхёу, то

5 5 5

студенты всегда проектируют поверхность на плоскость У02, Х02 или ХОУ соответственно, которую «диктует» форма записи интеграла, а затем используют формулу (10) для вычисления интеграла. Однако возможны такие задачи, в которых удобнее проектировать поверхность на другую плоскость и затем использовать формулу вида (9) или параметризовать поверхность (см. пример 6). Метод решения конкретной задачи определяется заданной поверхностью и подынтегральной функцией, а не формой записи интеграла.

В настоящей работе для вычисления поверхностных интегралов предлагается использовать формулу (4) и формулы (5)-(8), записанные в простом и легко запоминающемся виде. При этом частные случаи этих формул непосредственно получаются в процессе решения конкретных задач. Такой подход дает возможность быстро, легко и красиво вычислять поверхностные интегралы.

Основной результат. Пусть 5 — кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность, заданная параметрическими уравнениями (1).

Главной нормалью к поверхности £ называется вектор [ги, г:] взятый со знаком «плюс» или «минус»:

1 ] к

п(и,:) = +[, гу] = +

Уи

у:

(12)

1. Поверхностный интеграл первого рода от непрерывной во всех точках поверхности £ функции / (х, у, z) будем вычислять по формуле [4]

ЦI (х, У, г) = Л / ( х (и,:), у (и,:), г (и, :))-|п (и, :)|й?ий?:, (13)

где п (и,:) — главная нормаль к поверхности £.

Замечание 1. Если поверхность задана явно, например уравнением г = г (х, у), (х, у) е Вху, то будем считать, что поверхность задана следующими параметрическими уравнениями (с параметрами х, у): х = х, у = у, г = г(х,у), (х,у) е Бху. При этом главная нормаль имеет вид

= +(_2' _2' 1 — У ^хэ ^ у •> А )

1 ] к 1 ] к

п (х, у) = ± хх у'х К = + 1 0 г

х'у у'у 4 0 1 г гу

и |п (х, у)| = 1 + г'х + г'у2. Для вычисления поверхностного интеграла

первого рода воспользуемся формулой (13), которая принимает вид (3).

Замечание 2. Если поверхность задана уравнением г = г (х, у), то главная нормаль к поверхности совпадает с градиентом функции г _ г(х,у): п(х,у) = +((, _ ¿у, 1) = ±§гаё(г _ г(х,у)), если уравнением х = х (у, г), то п (у, г) = ± §гаё ( х _ х (у, г)), а если уравнением у = у (х,г), то п(х, г) = ±§гаё(у _ у (х,г)).

2. Поверхностный интеграл второго рода от непрерывного во всех точках поверхности векторного поля Г ( х, у, г) = Р (х, у, г) ¡ +

+ Q (х, у, г) ] + Я (х, у, г) к по ориентированной поверхности £ (поток векторного поля Г через поверхность £) будем вычислять по формуле

jjFdS = (x(u,v), y (u,v), z(u,v)) n(u,v))dudv, (14)

S D

где n (u, v) — главная нормаль к поверхности S, соответствующая

заданной стороне поверхности.

Замечание 1. Если поверхность задана явно, например, уравнением z = z (х, y), (x, y) e Dxy, то будем считать, что поверхность задана параметрическими уравнениями (с параметрами х, y): х = х, y = y, z = z (х, y), (х, y) e Dy. При этом главная нормаль равна n (х, y) = ±(-z'x, - z'y ,1), скалярное произведение

(Fn) = +(-Р(х,y,z(х,y))zX -Q(х,y,z(х,y))zy + R(х,y,z(х,y))) .

Для вычисления поверхностного интеграла второго рода воспользуемся формулой (14), которая принимает вид (9).

Замечание 2. Интегралы вида jj Р cos adS, jj Q cos pdS,

SS

jj R cos ydS будем трактовать как поток jj FdS векторного поля F

SS

через ориентированную поверхность S, где F (х, y, z) = Р (х, y, z) i , F (х, y, z) = Q (x, y, z) j , F (x, y, z) = R(х, y, z) k соответственно. В частности, если векторное поле имеет вид F ( х, y, z) = R (х, y, z) k = = (0,0, R (x, y, z) ) и если поверхность S задана уравнением z = z(х,y), (х,y)eDxy, то главная нормаль n(х,y) = +(-zX,-zy,1), скалярное произведение (Fn) = ±R (х, y, z (х, y)) и интеграл

jj FdS = jj R cos ydS = ±jj R ( х, y, z (х, y))dxdy.

При таком подходе достаточно понять и запомнить только три формулы (12)—(14), а все частные варианты этих формул непосредственно получаются в процессе решения конкретных задач.

Рассмотрим примеры вычисления поверхностных интегралов первого и второго рода с использованием формул (12)—(14).

Пример 1. Вычислить интеграл Ц^/ х2 + у2dS, где Я — боковая поверхность конуса 2 = ^х2 + у2, г с [0, 1].

Первый способ. Поверхность задана явно уравнением г = ^x2 + у 2. Учитывая, что проекцией поверхности на плоскость ХОУ является круг с центром в точке О и радиусом Я = 1, зададим поверхность следующими параметрическими уравнениями (с параметрами х, у): х = х,

у = у, г = ^1 х2 + у2, (х, у)е В^, где В^ — круг с центром

в точке О и радиусом Я = 1. При этом п (х, у) =

Г Л

§гаё (2 -у/ х2 + у2 ) = ±

= +

sjx2 + y2

У

x2 + y2 J

и

|n (x y ))

= >/2. Тогда интеграл Ц-у/х2 + у2 = Цл/х2 + У2 л/2 dxdy. Для вы-

5 Вху

числения двойного интеграла перейдем к полярным координатам р, ф.

2Л 1

Искомый интеграл jj^J x2 + y2 dS = j d ф jV2p 2d p

S 0 0

Второй способ. С учетом того, что сечением поверхности плоскостью z = C, C е [0, 1], является окружность радиусом z, зададим поверхность следующими параметрическими уравнениями (с параметрами z, ф ): x(z, ф) = zcosф, y (z, ф) = z sin ф, z = z; z е [0, 1],

ф е [0,2л]. При этом

i j k i j k

n (z, ф) = ± xz yz z: = + cos ф sin ф 1

x<p уф ZФ - z sin ф z cos ф 0

= +(-z cos ф, - z sin ф, z )

и |n (z, ф)| = V2z. Тогда, учитывая, что x2 (z, ф) + y2 (z, ф) = z, получим искомый интеграл:

2 л 1

jJVx2 + y2 dS = jj zy¡2z dzdф = y¡2 j dф j z 2dz

0 < z <1 0<ф<2л

Пример 2. Вычислить Ц (у + г + >/а2 - х2)dS, где 5 — боковая

поверхность цилиндра х2 + у2 = а2, заключенная между плоскостями г = 0 и г = Н.

S

Решение. Можно решить эту задачу, разбив поверхность S на две поверхности S1 и S2, симметричные относительно плоскости XOZ.

При этом поверхность Sj задается уравнением у = -4a2 - х2, а поверхность S2 — уравнением y = 4a2 - х2. Тогда интеграл по поверхности S вычисляется как сумма интегралов по составляющим ее частям Sj и S 2 [12]. Однако можно решить эту задачу другим способом.

С учетом того, что сечением поверхности плоскостью z = C, C е[0, H], является окружность радиусом R = a, зададим поверхность следующими параметрическими уравнениями (с параметрами z, ф): х(z, ф) = a cosф, y (z, ф) = a sin ф, z = z; z e[0, H], фе[0, 2л]. При этом

i j k i j k

n (z, ф) = ± х; yz z'z = + 0 0 1

хф уф ZФ -a sin ф a cos ф 0

= ±(-a cos ф, -a sin ф, 0)

и |n (z, ф)| = a. Тогда, учитывая, что y (z, ф) + z + yja2 - х2 (z,cp) = = a sin ф + z + a I sin ф|, получим искомый интеграл:

jj(y + z + Va2 - х2)dS = jj (asinф + z + a|sinф|) adzdф =

S 0 < z < H

0<ф<2л

2 л H

= a j d фj (a sin ф + a |sin ф| + z) dz = aH (4a + xH ).

0 0

Пример 3. Вычислить jj( х2 + y2 )dS, где S — сфера

S

2 2 2 2 х2 + y2 + z2 = a2.

Решение. Зададим поверхность сферы следующими параметрическими уравнениями (с параметрами 9, ф): х (9, ф) = a sin 9 cos ф,

y (9, ф) = a sin 9 sin ф, z (9, ф) = a cos 9; 9e[0, л], фе[0, 2л]. При этом

i j k i j k

n (9, ф) = ± х9 y9 z9 = + a cos 9 cos ф a cos 9 sinф -a sin 9

хф уф Zф -a sin 9 sin ф a sin 9 cos ф 0

= ±(a2 sin2 9 cos ф, a2 sin2 9 sin ф, a2 sin 9 cos9)

и |n (9, ф) ) = a2 sin 9. Тогда, учитывая, что х2 (9, ф) + у2 (9, ф) = = a2 sin2 9, получим

л 2л л 8

jj(2 + у2)dS = jd9 ja2 sin2 9a2 sin9 dф = 2лa4 jsin39d9 = -лa4.

S 0 0 0 3

Пример 4. Вычислить поток векторного поля F (х, у, z) = у2 j + zk через внешнюю сторону боковой поверхности параболоида z = х2 + у2, z е[0, 2].

Первый способ. Поверхность задана явно уравнением z = х2 + у2. Учитывая, что проекцией поверхности на плоскость XOY является круг с центром в точке O и радиусом R = л/2, зададим поверхность следующими параметрическими уравнениями (с параметрами х, у):

х = х, у = у, z = х2 + у2, (х, у) е D^, где D^ — круг с

центром в точке O и радиусом R = V2. При этом n (х, у) = ±grad (z -(х2 + у2)) = ±(-2х, - 2у, 1) . Поскольку поверхность ориентирована внешней нормалью, то n (х, у) = (2х, 2у, -1) и скалярное произведение имеет вид

(F(х,у,z(х,у))n(х,у)) = 2у3 - z(х,у) = 2у3 -(х2 + у2). Тогда jjFdS = jj(y3-(х2 + у2)) dxdy. Для вычисления двойного

S Dxy

интеграла перейдем к полярным координатам р, ф. Учитывая, что

2л

j sin3 ф dф = 0, получим искомый поток:

0

2л 42 V2

jj FdS = j dф j (р3 sin3 ф - р2) р dp = -2 л j р3dp = -2 л.

S 0 0 0

Второй способ. С учетом того, что сечением параболоида z = х2 + у2 плоскостью z = C, C е[0,2], является окружность радиусом R = Vz, зададим поверхность следующими параметрическими уравнениями (с параметрами z, ф): х (z, ф) = Vz cos ф, у (z, ф) = = \[z sinф, z = z; z е[0,2], ф е[0, 2л]. При этом

n (z, ф) = ±

1 J

yz

k

zZ

хф Уф Zф

= +

J

k

1

,-cos ф —^ЯПф 1 2s z 2s z

-VZ sin ф vz cos ф 0

1 Л

= ±|-Vz cos ф, -4z sin ф, 2J • Поскольку поверхность ориентирована внешней нормалью, то n (z, ф) = ^ cos ф, Vz sin ф, - 2J и скалярное произведение имеет вид

(F(X(z,ф), y (ф), z)n(z,ф)) =

Г~ 1 3 1

= y2 (z, ф)z sin ф- 2 z = z 2 sin3 ф- 2 z.

2 л 2 f 3 1 Л Тогда ЦFdS = J dфП z2 sin3 ф--z 1 dz. Учитывая, что

2л

| sin3 ф dф = 0, получим ЦFdS = -л| zdz = -2л:.

0 S 0

Пример 5. Вычислить поток векторного поля F (х, y, z) = = - х2 zi + yj + 2k через внешнюю сторону части поверхности эллипсоида 4 х2 + y2 + 4 z2 = 4, расположенной в первом октанте.

2 У2 2

Решение. Зададим поверхность эллипсоида х н—- + z = 1 сле-

22

дующими параметрическими уравнениями (с параметрами 9, ф):

л

X (9, ф) = sin 9 cos ф, y (9, ф) = 2sin 9 sin ф, z (9, ф) = cos 9; 9i л

0,

ф

0,

. При этом

i J k i J k

n (9, ф) = ± X9 y 9 z9 = + cos 9 cos ф 2cos 9 sin ф - sin 9

Хф уф z<p - sin 9 sin ф 2sin 9 cos ф 0

= +

(2sin2 9 cosф, sin2 9 slпф, 2sin 9 cos9).

Поскольку поверхность ориентирована внешней нормалью, то

л

при 9 е1 0, — I угол между главной нормалью и вектором к острый.

i'

Поэтому n(9, ф) = (т2 9cosф, sin29sinф, 2sin9cos9) и скалярное произведение имеет вид

(Fn) = - х2 (9, ф) z (9, ф) 2 sin2 9 cos ф + y (9, ф) sin2 9 sin ф + 4 sin 9 cos 9 = = -2sin4 9 cos 9 cos3 ф + 2sin3 9 sin2 ф + 2 sin 29.

Тогда

If FdS =

S

} n \ 4 4 = f d9f (-2sin4 9cos9cos3 ф + 2sin3 9sin2 ф + 2sin29) dф = —л--.

0 0 3 15

Пример 6. Вычислить JJ(x - 2y) dydz, где S — внешняя сторо-

S

на боковой поверхности параболоида z = (х2 + y2) , z e[0, H].

R

Первый способ. Большинство студентов и преподавателей будут решать эту задачу методом проектирования поверхности на плоскость YOZ. Проекцией поверхности на плоскость YOZ является об-

H 2

ласть D , ограниченная параболой z = —- y и прямой z = H. Разо-

R2

бьем поверхность S на две поверхности S1 и S2, симметричные относительно плоскости YOZ. При этом поверхность S1 задается уравнением х = Jr2 z - у2, (у, z) e Dyz, а поверхность S2 — уравнением

R2

x = - Jhz - У2, (y,z) G Dyz. Учитывая, что cos a > 0 на поверхности S1 и cos a <0 на поверхности S2, используя формулу (10), получим jj(x - 2 y) dydz = jj(x - 2y) dydz + JJ(x - 2 y) dydz =

' R- ^

JJ ¡Hz-y2 -2у dydz-ff

R

z - y2 - 2y

H

dydz =

y V У Dyz V У

IR2 , , , Л , H R2 2 , 4H R

2 J^ Hz - y2 dydz = 2f> J ^ Hz - y2 dz = 3R J - y2)2 dy.

Dyz R H y2 R

R

Вычислим последний интеграл, применив тригонометрическую подстановку y = R sin t. Итак,

4H R , „2 2\f . 4HR \ 4 ^ 1 „„2

J (R2 - y2)2 dy =-J cos4 tdt = -лHR2.

3R 2 v ' 3 т

3

Замечание. Вычисление интеграла | (Я2 -У2)2 может вы- я

звать затруднение у слабых студентов.

Второй способ. Данный интеграл равен потоку Ц Ш8 векторного поля Г (х, у, г ) = (х - 2 у )1 через ориентированную поверхность 5, которая задана явно уравнением г = Я2 (х2 + У2). Учитывая, что при

г < Н проекцией поверхности на плоскость ХОУ является круг с центром в точке О и радиусом Я, зададим поверхность следующими параметрическими уравнениями (с параметрами х, у ): х = х, у = у,

Н

г (х, у) = -^Г (х2 + у2), (х, у)е , где — круг с центром в точке Я

О и радиусом Я. При этом

n (X, y ) = ± grad f z - H (x2 + y2 )W-ЦХ, - R 1.

Поскольку поверхность ориентирована внешней нормалью, то

( ) (2Нх 2Ну ^ п (х, у) = I я2 , я2 , - I и скалярное произведение имеет вид

(Г ( у-> г (x, у)) п (x, у)) = (х - 2у= Щ- (х2 - 2ху).

Тогда JJFdS = JJ —— (x2 - 2xy)dxdy. Для вычисления двойного ин-

i Dxy R

теграла перейдем к полярным координатам р, ф. Искомый интеграл

2 — 2л R

JJ Fd S = —— J d ф|(р2 cos2 ф- 2р2 cos ф sin ф)р dp =

R 0 0

HR2 2л

2 0

J (cos2 ф - sin 2ф)ф = — лHR2.

i

Третий способ. Учитывая, что сечением параболоида z (x, y) = = R2 (x2 + У2 ) плоскостью z = C, C е[0, H], является окружность

R г

радиусом —¡= vz, зададим поверхность следующими параметриче-\H

скими уравнениями (с параметрами z, ф): x(z,ф) = —соф,

VH

y (z,ф) = -^>/г sinф, z = z; z е [0,H], ф е [0, 2л]. При этом \H

n (z, ф) = ±

i j k

xz yz z:

хф уф zф

=+

j

k

R

R

,— ,-cosф -r- Sinф 1

lyiHyh i4H4z

—^yfz sin ф —^yfz cos ф 0

4h 4h

( R г R г ■ R2 Л

= ± —¡= Vz cos ф, —1= Vz sin ф, -

V 4h 4и и

Поскольку поверхность ориентирована внешней нормалью, то

Í

n (z, ф)=

4и

cos ф,

R

4H

■Tz

sin ф,

R

2

2H

ние имеет вид

и скалярное произведе-

(F(х(z,ф), y(z,ф), z)n(z,ф)) = (х(z,ф)-2y(z, ф))-)^cosф =

= И z (cos2 ф - sin 2ф). Тогда искомый интеграл

2 л H r 2

JJ FdS = J dфJ — z (cos2 ф- sin2ф)dz =

0 0 H 2л 1

■ J (cos2 ф - sin2ф)dф = — лHR2.

R2H 2л

Заключение. В работе рассмотрены методы вычисления поверхностных интегралов первого и второго рода. Приведены формулы (12)—(14), удобные для вычисления поверхностных интегралов первого и второго рода, и разобраны примеры вычисления поверхност-

ных интегралов с использованием различных способов параметризации поверхностей.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В. Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Математика в техническом университете, 2008, вып. 7.

[2] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2003, 728 с.

[3] Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 2. Москва, Интеграл-Пресс, 2009, 544 с.

[4] Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Москва, Дрофа, 2004, 512 с.

[5] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 2. Москва, Наука, 1998, 448 с.

[6] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2. Москва, Высшая школа, 1981, 584 с.

[7] Сборник задач по математике для втузов. Ефимов А.В., Демидович Б.П., ред. Т. 2. Москва, Наука, 1986, 368 с.

[8] Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Демидович Б.П., ред. Москва, Астрель, 2005, 417 с.

[9] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва, Астрель, 2007, 558 с.

[10] Осипова М.З. Теория поля. Учебное пособие по выполнению контрольного задания. Москва, Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1978, 65 с.

[11] Белов В.Н., Неклюдов А.В., Титов К.В. Поверхностные интегралы. Метод. указания к выполнению типового расчета. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009, 32 с.

[12] Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. Санкт-Петербург, Лань, 2010, 464 с.

[13] Краснов М.Л., Киселев А.И., ред. Вся высшая математика. Т. 4. Москва, УРСС, 2005, 352 с.

Статья поступила в редакцию 28.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Павельева Е.Б. Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 5. URL: http://engjournal.ru/catalog/pedagogika/hidden/744.html

Павельева Елена Борисовна родилась в 1962 г., окончила факультет Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова в 1984 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор ряда научных статей по теории переноса излучения. e-mail: E.Pavelyeva@yandex.ru