CC BY
32
ПРИЛОЖЕНИЕ БАЗИСОВ ГРЕБНЕРА В БИОЛОГИИ
© А.Ю. Егоров
Ключевые слова: базис Гребнера, идеал, биология клетки.
Аннотация
Статья посвящена обзору современных работ, в которых рассматриваются математические методы моделирования применимые к биологии клетки, например, методы дифференциальной алгебры, в которых используются, как линейные так не линейные дифференциальные уравнения.
Интерес к характеристическим множествам идеалов в теории колец возрос десять лет назад, когда Булье, Лазар, Оливье и Птито [1] разработали эффективную технику вычислений для теории радикальных дифференциальных идеалов [2]. Чуть позже Убер [3] предложила раскладывать радикальный дифференциальный идеал [4] в пересечении так называемых характерезуемых, то есть определяемых своими характеристическими множествами, идеалов.
В последнее время активно развиваются методы конструктивных вычислений в идеалах колец дифференциальных многочленов, а также обобщения анологичных методов с обычных полиномиальных колец на дифференциальную алгебру [4]. Такие методы, например, дают во многих важных случаях решение задачи о принадлежности многочлена идеалу. В обычных кольцах многочленов для решения подобных задач используются базисы Гребнера. Прямое их обобщение на дифференциальные кольца в нелинейном случае, как правило, неудовлетворительно, так как приводит к бесконечному базису. Однако для некоторых классов дифференциальных идеалов задача вхождения все-таки решается с их помощью алгоритмически.
В статье [5], показано, что дифференциальная алгебра является аппаратом одного из редукционных методов модели квази-устойчивой аппроксимации, в конкретном наборе универсальных реакций химических систем [6]. Волее подробно эти процессы описаны в [7]. Эти новые методы определяют некоторую эволюцию методов моделирования, основанных на нелинейных дифференциальных уравнениях, включая редукционные гипотезы в моделях. В работе рассматривается пример (который был взят из [8]), в него входит алгебраическая система уравнений, в которой участвуют дифференциальные и алгебраические уравнения. Их решения получаются с помощью разложения Розенфельда-Гребнера, которое представляет радикальный идеал в виде пересечения характеризуемых идеалов.
Подробно разложение Розенфельда-Гребнера расмотренно в [5].
Отметим, что в случае пустого множества дифференцирований, т.е. когда рассматривается обычное кольцо многочленов и идеалы в нем, понятие характеристического множества не является тривиальным. Однако для его вычисления можно использовать базис Гребнера. Как раз такой случай рассматривается в работе [5].
Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ (проект 08-07-97507) и программы "Развитие потенциала высшей школы"(проект 2.1.1/1853).
Список лжтературы
1. Boulier F., Lazard D., Ollivier F., Petitot M. Representation for the Radical of a Finitely Generated Differential Ideal, ISSAC 1995. C. 158-166.
2. Sadik B, Computing of Characteristic sets of Radical Differential Ideals. Georgian Math., 2005. J. 12. N. 3. C. 443-453.
3. Hubert E. Factorization free Decomposition Algorithms in Differential Algebra, J. Symb. Comp., 2000. N. 29, C. 641-662.
4.Pitt J.F. Differential Algebra, volume XXXIII of Colloquium Publications. New York, American Mathematical Society, 1950.
5. Дифференциальная алгебра и системное моделирование в биологии клетки. Francois Boulier И Francois Lemaire University Lille , LIFL. 59655 Villeneuve d Ascq, Франция,1Франсуа.ВоиНег,Франсуа.Lemaire@lifl.fr, http://www.lifl.fr/ boulier,lemaire
6. Conrad E.D., Tyson J. J. Modeling Molecular interaction Networks with Non- linear Differential Equations. In Szallasi, Z., Stelling, J., Periwal, V., eds.: System Modeling in Cellular Biology: From Concepts to Nuts and Bolts, Cambridge, Mas- sachussets: The MIT Press, 2006. C. 97-124.
7. Okino M.S., Mavrovouniotis M.L. Simplication of Mathematical Models of Chemical Reaction Systems. Chemical Reviews, 1998. 98(2). C. 391-408.
8. Hairer E., Wanner G. Solving ordinary dierential equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems. 2 edn. Volume 14 of Springer Series in Computa- tional Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1996.
9. de Jong H., Geiselmann J., Hernandez C., Page M. Genetic Network Analyzer: qualitative simulation of genetic regulatory networks. Bioinformatics 19(3). 2003. C. 336-344.
10. de Jong H., Ropers D. Qualitative Approaches to the Analysis of Genetic Reg- ulatory Networks. In Szallasi, Z., Stelling. J., Periwal, V., eds.: System Modeling in Cellular Biology: From Concepts to Nuts and Boits, Cambridge, Massachussets: The MIT Press, 2006. C. 125-147.
11. von Dassoiu G., Meir E., Munro E.M., Odell G.M. The segment polarity network is a robust developmental module. Nature 406, 2000. C. 188-192.
12. Horn F., Jackson R. General mass action kinetics. Archive for Rational Meehan- ics and Analysis 47, 1972. C. 81-116.
13. Boulier F., Lefranc М., Lemaire F., Morant P.E. Model Reduction of Chemical Reaction Systems using Elimination (2007) Presented at the international confer- ence MACIS, 2007.
Поступила в редакцию 20 ноября 2008 г.
