Канонические характеристические множества характеризуемых дифференциальных идеалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство повторяет ход доказательства теоремы 2 с формулой Фn(cf ,Х) из теоремы 3. □ Замечание 3. Во втором базисе нельзя обойтись без модуля, что видно из теоремы 11 из [1]. В третьем базисе нельзя обойтись без функции 2х, так как тогда в нем сложность формул была бы по порядку не меньше 2п/п согласно теореме 9 из [1]. В этом базисе достигается по порядку оценка теоремы 12 из [1].

Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ № 05-01-0099, 08-01-00863, НШ 1807.2003.1, ОМН РАН (проект "Оптимальный синтез управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гашков С.Б. Сложность реализации булевых функций схемами из функциональных элементов и формулами в базисах, элементы которых реализуют непрерывные функции // Проблемы кибернетики. 1980. Вып. 37. 57-118.

Поступила в редакцию 02.04.2007

УДК 512.628

КАНОНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА ХАРАКТЕРИЗУЕМЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИДЕАЛОВ

О. Д. Голубицкий, М. В. Кондратьева, А. И. Овчинников

1. Введение. Мы будем рассматривать дифференциальные идеалы в кольце к{у1,...,уп} дифференциальных многочленов в частных производных над полем нулевой характеристики. Все необходимые понятия и обозначения можно найти в [1-3].

Определение 1 [1, с. 82]. Авторедуцированное подмножество наименьшего ранга в идеале I называется характеристическим множеством идеала I.

Согласно [4, лемма 5.3], авторедуцированное множество А является характеристическим для неединичного дифференциального идеала I тогда и только тогда, когда каждый элемент идеала I редуцируется к нулю относительно А.

Характеристическое множество играет в компьютерной дифференциальной алгебре ту же роль, что базис Гребнера в теории алгебраических идеалов. Поэтому естественно стремление выделить среди характеристических множеств объект, обладающий свойством единственности (как редуцированный базис Гребнера). Идея канонического характеристического множества возникла в работах [5, 6]. Наше определение отличается тем, что оно годится для произвольного дифференциального идеала.

Определение 2 [7, определение 2.6]. Радикальный дифференциальный идеал I в к{у1,... ,уп} называется характеризуемым, если найдется характеристическое множество А идеала I, такое, что I = [А] :

ТТОО

НА.

Пусть С — авторедуцированное множество в к{у1,... ,уп} = к{У} и пусть к [Ж ][Ь] — кольцо многочленов, ассоциированное с С, где Ь — множество лидеров элементов из С и N — множество нелидеров, т.е. N = ВУ \ ВЬ. Заметим, что N может быть бесконечным, если А = 0.

Определение 3. Характеристическое множество С = С1,...,СР дифференциального идеала I называется каноническим, если для всех 1 < г < р выполнены следующие условия:

(1) инициал \о1 зависит только от множества нелидеров N;

(2) многочлен С1 не имеет делителей в I, кроме самого С;

(3) старший коэффициент С1 относительно индуцированного лексикографического упорядочения <1ех на мономах из N и Ь равен 1.

Предложение 1. Пусть С — такое характеристическое множество характеризуемого дифференциального идеала I, что его инициалы не зависят от лидеров С. Тогда С характеризует I, т.е. I = [С] : Н

Как показывает следующий пример, не во всяком дифференциальном идеале существует каноническое характеристическое множество. Но если такое множество существует, то оно зависит только от ранжира и идеала.

Пример. Пусть I = {х(х —1),ху} — идеал в кольце дифференциальных многочленов к{х, у}, ранжир исключающий и х < у. Тогда в идеале I никакое характеристическое множество не является каноническим.

Предложение 2. Если каноническое характеристическое множество C существует для дифференциального идеала I, то оно единственное и любое другое характеристическое множество I, инициалы которого не зависят от L, может быть получено путем умножения элементов из C на некоторые многочлены из к[Ж].

2. Проверка равенства характеризуемых идеалов. С помощью канонических характеристических множеств можно очень просто проверить равенство двух характеризуемых дифференциальных идеалов: эти идеалы равны тогда и только тогда, когда совпадают их канонические характеристические множества. С этой же целью можно использовать любые характеристические множества, характеризующие свой идеал.

Теорема 1. Пусть А и B — характеристические множества характеризуемых идеалов I = [A] : Hj и J = [B] : Hj соответственно. Тогда I = J тогда и только тогда, когда A С J и B С I.

Доказательство. Предположим, что A С J, B С I. Так как A — характеристическое множество I, т.е. авторедуцированное подмножество I наименьшего ранга, и B — авторедуцированное подмножество I, то мы имеем rank A < rank B. Симметрично rank B < rank A. Таким образом, ранги A и B совпадают.

Покажем теперь, что I = J. Достаточно установить, что I С J, так как доказательство обратного включения симметрично. Более того, поскольку J характеризуется множеством B, то достаточно показать, что для всех f £ I многочлен f можно отредуцировать к 0 относительно B. Пусть f £ I и пусть f' — дифференциальный остаток f относительно B. Тогда, так как B С I, то f' £ I. Но f' не редуцируется относительно B и, поскольку rank A = rank B, f' не редуцируется относительно A. Следовательно, f' = 0.

Утверждение в другую сторону о том, что равенство I = J влечет включения A С J и B С I, очевидно.

Предложение 3. Если A — характеристическое множество неединичного характеризуемого дифференциального идеала [A] : Hj = I, то Ha £ I ■

Доказательство. Предположим, что Hj £ I. Тогда найдется элемент h £ Hj, такой, что h ■ Hj £ [А]. Следовательно, для hi = h ■ Hj С Hj мы имеем 1 ■ hi £ [A], откуда заключаем, что I содержит 1.

Следствие. Критерий Колчина [1, упражнение 1, с. 171]: два простых дифференциальных идеала I = [А] : Hj и J = [B] : Hj, заданные своими характеристическими множествами А и B, совпадают тогда и только тогда, когда 1) А С J, 2) B С 1, 3) Hj £ J, 4) Hb £ I, выполняется и для характеризуемых дифференциальных идеалов.

Доказательство. Необходимость выводится из предложения 3, достаточность — из теоремы 1.

Замечание. В случае нулевой характеристики условия 3, 4 критерия Колчина являются излишними [4, упражнение 11.1]. Как показывает теорема 1, то же имеет место и для характеризуемых идеалов. Отметим также, что условия 1, 2 легко проверяются алгоритмически.

3. Основной результат. Далее мы рассматриваем обыкновенный случай, т.е. множество дифференцирований состоит из одного элемента. Пусть А = Ai,...,Ap — авторедуцированное множество. Определим порядок множества A следующим равенством:

ord А = ord A1 + ... + ord Ap.

Если C — характеристическое множество простого дифференциального идеала P относительно степенного ранжира, то по определению порядок идеала P равен неотрицательному целому числу ord C.

к

Определение 4. Для характеризуемого дифференциального идеала I = П Pi, где Pi — минималь-

i=1

ные простые дифференциальные компоненты I, определим ord I = max ord Pi.

i^i^k

Оценка порядков канонического характеристического множества устанавливается сначала для простых идеалов.

Теорема 2. Пусть P — простой дифференциальный идеал порядка h в k{yi,... ,yn} и > — любой ранжир. Тогда существует такое характеристическое множество C = Ci,...,Cp идеала P относительно ранжира >, что порядок по yt каждого Ci не превосходит h для всех 1 < t < n.

Затем оценка обобщается на характеризуемый случай.

Теорема 3. Пусть C = Ci, ...,Cp — каноническое характеристическое множество характеризуемого дифференциального идеала I. Тогда ord Ci < ord I для всех 1 < i < p.

Авторы выражают благодарность Е. В. Панкратьеву за ценные комментарии и поддержку, А. И. Зоб-нину — за полезные замечания и предложения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-01-00671).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kolchin E.R. Differential Algebra and Algebraic Groups. N.Y.: Academic Press, 1973.

2. Kondratieva M, Levin A., Mikhalev A., Pankratiev E. Differential and difference dimension polynomials. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publisher, 1999.

3. Ritt J.F. Differential algebra // Amer. Math. Soc., Colloq. Publ. 1950. 33.

4. Sit W. The Ritt-Kolchin theory for differential polynomials // Differential algebra and related topics: Proc. Int. Workshop (N.Y., 2-3 November 2000). 2002. 1-70.

5. Boulder F., Lazard D., Ollivier F., Petitot M. Computing representations for radicals of finitely generated differential ideals // Technical report, IT-306, LIFL. 1997.

6. Boulier F, Lemaire F. Computing canonical representatives of regular differential ideals // Proc. ISSAC 2000, ACM Press. 2000. 38-47.

7. Hubert E. Factorization-free decomposition algorithms in differential algebra //J. Symbol. Comput. 2000. 29. 641-662.

Поступила в редакцию 27.04.2004

УДК 511

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

В. И. АРНОЛЬДА

А. Т. Муканова

28 октября 2004 г. в докладе на семинаре "Математика и ее приложения" МИРАН им. А. В. Стек-лова академик В. И. Арнольд предложил исследовать поведение функции натурального аргумента A(n), равной "среднему величины" делителя произвольного натурального числа n. Более точно функция A(n)

определяется равенством А(п) = где а(п) = есть сумма всех делителей числа п, т(п) = ^ 1 —

d\n d\n

их количество. Функцию A(n) далее будем называть функцией В. И. Арнольда.

В частности, им была поставлена задача определения порядка среднего значения этой функции, т.е. величины S(x) = x-1 ^ A(n), при x ^ 0.

n^x

Цель данной статьи — решение этой задачи и нахождение асимптотической формулы для определенной выше функции S (x). Данная асимптотика является прямым следствием асимптотической формулы для функции D(x) = xS(x) = ^ A(n), вывод которой составляет содержание доказываемой здесь

n^x

теоремы.

Следует отметить, что в [1, с. 26] В. И. Арнольд несколько уточнил постановку задачи нахождения асимптотики для функции S(x), предложив вместо S(x) рассматривать "естественное среднее" для функции A(n). Разница состоит в том, что для степенных функций вида a(n) = nk при натуральном к среднее значение x-1 ^ nk асимптотически эквивалентно величине xk(k + 1)-1, в то время как "естествен-

n^x

ное среднее" эквивалентно величине xk. Другими словами, "естественное среднее" можно рассматривать как "средний" порядок арифметической функции. Но с аналитической точки зрения разница отыскания асимптотики этих средних не является существенной.

Теорема. При любом натуральном к > 2 имеет место асимптотическая формула

2 / k x ( \ ^

2 / k \

n^x v v n=0

где

R{X) « ^g-edn^o^lnln^-o^^^o.efc + Ж 4 r(fc+2)

(lna;)fc+9

и постоянные cn при n = 0,1,... удовлетворяют неравенству \cn\ ^ 4n.

2 n