CC BY
33
Прикладные методы математического
■ V V
моделирования финансово-хозяиственнои деятельности предприятия (оптимизация остаточной прибыли, остаточного дохода предприятия, денежных доходов работников)
С.В. Лушин
аспирант дневного отделения Центрального экономико-математического института Российской академии наук (ЦЭМИ РАН)
Часть I1
О практическом решении задач линейного программирования
Рассмотрим задачи, относящиеся к классу задач линейного математического программирования, - одному из стандартных классов задач оптимизации, в котором целевая функция и все ограничения - линейные функции управляющих параметров.
В 1948-1950 годах за рубежом методы математического (в частности, линейного) программирования разрабатывались американскими математиками и экономистами (Куп-манс, Данциг, Таккер) применительно к конкретным экономическим и военным задачам. В 1947 году для решения одной из таких задач линейного программирования Данцигом был предложен так называемый Симплекс-метод, хорошо приспособленный для проведения вычислений на ЭВМ и потому ставший основным вычислительным методом линейного программирования. Уже в 1952 году за рубежом было проведено первое решение задачи линейного программирования на быстродействующей ЭВМ.
Решение задач с большим числом управляющих параметров и ограничений симплекс-методом производится на компьютерах с помощью специальных программ. Однако в части I будут рассматриваться задачи только с двумя управляющими параметрами. В этом случае симплекс-метод можно легко реализовать, производя простейшие вычисления и делая рисунки на бумаге. Как будет показано далее, и при таком упрощенном подходе могут быть получены полезные практические результаты.
Из аналитической геометрии известно, что в двухмерном пространстве одно линейное уравнение с двумя переменными задает прямую на координатной плоскости; в трехмерном пространстве одно линейное уравнение с тремя неизвестными задает плоскость, в n-мерном - одно уравнение с n-переменными задает гиперплоскость.
Для геометрического решения задачи линейного программирования введем следующие определения:
Определение 1. Линией уровня функции n-переменных F(xv...,xn) называется множество точек n-мерного пространства, в которых эта функция сохраняет постоянное значение, то есть F(xv...,xn) = const
t- t- «_
, то есть вектор, компонентами кото-
Определение 2. Вектор
dF dF dFл
Эх1 ’дх2 ’ ’ дх
рого являются частные производные функции F(x1,...,xn), вычисленные в некоторой фиксированной точке Х° = (х1°,.,хп°), называется градиентом этой функции в точке Х°.
1 Часть II см. // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2004. № 1.
Градиент функции F(x1,^,xn) (его обычно обозначают как grad F или VF(xv...,xn) - читается как «набла F») обладает следующими свойствами: он перпендикулярен к линиям уровня и указывает направление наискорейшего возрастания значений функции.
Чтобы не затруднять понимания основной идеи, рассмотрим в общем виде решение задачи: найти вектор-план X = (x1, x2), удовлетворяющий системе ограничений:
a11x1 + а12 x 2 < fy,
(1)
am1X1 + am2x2 < bm ■
x1 > 0, x2 > 0 (2)
и доставляющий максимум целевой функции:
F(X)= c1x1 + c2x2 . (3)
Алгоритм геометрического изучения задачи линейного программирования 1-3
сводится к последовательности таких шагов:
1) берется произвольная точка X е M (при этом могут представиться случаи, изображенные на рисунках 1а и 1б);
2) из нее в направлении вектора градиента целевой функции (в том случае, когда требуется найти ее максимум) передвигаемся, если это возможно, до границы множества М ^по-
лучающуюся таким образом точку, принадлежащую границе множества М, обозначим X);
3) определяется возможность передвижения из точки X вдоль границы множества М в направлении возрастания значений целевой функции (для этого, очевидно, достаточно передвигаться под острым углом к направлению вектора градиента VF (рис. 1а, 1б, 1в, 1г);
4) если окажется, что такое передвижение невозможно (рис. 1в), то X - оптимальная точка;
5) если передвижение в указанном направлении возможно (рис. 1а, 1б), то двигаемся вдоль границы до тех пор, пока не попадают в ситуацию, описанную в пункте (4). (При этом мы получаем либо одну оптимальную точку (рис. 1а, 1б, 1в), либо оптимальными являются все точки отрезка (рис. 1г). Может, однако, случиться так, что ситуация пункта (4) не наступит никогда (рис. 1д). Это означает, что среди точек допустимого множества не существует оптимальной - задача решения не имеет.)
Описанный способ решения задачи убеждает нас в том, что среди оптимальных точек задачи линейного программирования, содержащей две переменные, обязательно окажется хотя бы одна вершина допустимого множества М. Таким образом, при аналитическом решении таких задач2 появляется реальная возможность вместо перебора бесконечного множества всех допустимых точек перебирать только конечное их число - вершины допустимого множества.
Это обстоятельство, имеющее для двухмерной задачи линейного программирования чисто теоретический интерес, может оказаться решающим при разработке вычислительной процедуры решения задачи произвольной размерности. Действительно, при n > 3 надеяться на эффективное использование геометрического метода нельзя. Поэтому возможность выбора оптимальной точки из конечного множества вершин вместо необходимости выбора из бесконечного множества допустимых векторов принципиально упростила бы стоящую перед нами задачу.
2 Под аналитическим решением задачи понимается ее решение с помощью некоторых формул без привлечения геометрических образов. В данном случае это означает, что вершины допустимого множества могут быть найдены как решения соответствующих систем, состоящих из двух уравнений. Значения целевой функции, вычисленные в этих вершинах, можно будет сравнивать между собой и выбирать среди них наилучшие. Точка, в которой оно достигается, и будет оптимальной.
Взятая точка X оказалась оптимальной
Рис. 1г
Оптимальной окажется каждая точка
—(1) —(2) отрезка х х
Точка X принадлежит границе, поэтому для нее первый шаг отсутствует
Задача решения не имеет
Обсуждаемое свойство оптимальных точек задачи линейного программирования в двухмерном пространстве является следствием особенности ее допустимого множества. В самом деле, если бы допустимое множество задачи представляло собой, например, круг, то это свойство не имело бы места хотя бы по той причине, что у круга нет вершин.
Однако, чтобы предостеречь читателя (предпринимателя, ...) от упрощения качества представлений об исследуемой реальности, сделаем упреждающие замечания.
Замечание 1. Никаких универсальных рекомендаций по установлению связи между практической надежностью выводов, полученных из модели, и системой ее исходных предпосылок дать невозможно. Единственным критерием здесь является практика. Только на практике возможно оценить степень достоверности полученных выводов.
Замечание 2. Так как модель отражает только некоторые стороны объективной реальности, следует отметить, что исследователем в модель включаются только те факторы, которые, по его мнению, являются существенными для разрешения поставленной задачи, поэтому от нее нельзя ждать большего, чем заложено в системе исходных предпосылок. Утверждение, что модель плоха оттого, что она не может ответить на какой-то вопрос, лишено смысла. Видимо, эта модель предназначена для изучения других сторон действительности, в которых поставленный вопрос не рассматривается. Хороша или плоха модель определяется тем, насколько полно разрешаются с ее помощью вопросы, для рассмотрения которых она и была создана. Очевидно, не существует единой модели, которая могла бы ответить на все вопросы, возникающие при изучении объективной реальности.
Замечание 3. Возможность получения на основе экономико-математических моделей количественных характеристик изучаемого явления не является единственным достоинством этих моделей. Даже в тех случаях, когда не удается получить вычислительного алгоритма и определить количественные характеристики, сам процесс построения модели оказывается полезным тем, что он организует мышление. Это дает возможность формировать качественные представления об исследуемой реальности.
Замечание 4. Будем исходить из следующей, очевидной с экономической точки зрения, предпосылки: всякая задача линейного программирования, которая корректно описывает реальную ситуацию и имеет хотя бы один допустимый план, обязательно разрешима, т. е. имеет оптимальный план.
Действительно, невозможно себе представить такую экономическую ситуацию, когда при каком-либо производственном процессе можно было бы получить неограниченную прибыль или при решении транспортной проблемы не только не нести никаких расходов при перевозке грузов, но и получать за это сколь угодно большой доход.
Учитывая скромные цели нашей статьи, далее мы будем рассматривать только такие задачи линейного программирования, которые при наличии у них хотя бы одного допустимого плана обязательно имеют и оптимальный, другими словами, целевые функции которых ограничены «сверху» в задаче на максимум. Если использовать геометрические соображения, то это условие эквивалентно ограниченности допустимого множества в направлении градиента целевой функции в случае ее максимизации.
Вывод. Всякая задача линейного программирования (не только двухмерная), имеющая допустимый план и ограниченное допустимое множество, имеет и оптимальный план.
Замечание 5. Задачи линейного программирования, у которых допустимое множество пусто либо неограниченно, с практической точки зрения не представляют интереса, ибо они могут не иметь оптимального плана.
Замечание 6. Все исследования в п-мерном пространстве (п > 3) могут производиться только в аналитической форме, используемые при этом геометрические понятия (образы) служат единственной цели: облегчить формирование эмоциональных представлений об объектах этого пространства.
Прежде чем рассматривать конкретные математические модели, выполним необходимую для этих целей подготовительную работу:
а) на примере субъекта микро- и/или мезоэкономики составим универсальную таблицу с характеристиками основных налогов (приложение 1);
б) представим схематично основные закономерности, лежащие в основе хозяйственной деятельности предприятия (приложение 2);
в) приведем пример двух вариантов финансового плана условного предприятия, отличающихся значением единственного показателя - удельного веса заработной платы Z в выручке V предприятия (приложение 3).
Уже на этом простейшем примере становится ясно, что изменение значения одного показателя может сильно повлиять на изменение одних итоговых показателей деятельности (в нашем случае фонда накопления Fп), практически не сказаться на других (в рассмотренном случае на доходе предприятия Do) и неожиданно слабо сказаться на том итоговом показателе (фонде потребления Fo), ради увеличения которого и рассматривался вариант 2 вместо варианта 1.
Еще более сложная ситуация возникает, когда будут меняться сразу несколько параметров, значениями которых может управлять руководитель предприятия. В связи с этим желательно иметь достаточно простые и доступные любому предпринимателю средства анализа возможных итогов хозяйственной деятельности предприятия при тех или иных изменениях значений управляющих параметров. Таким универсальным средством является математическое моделирование хозяйственной деятельности предприятия. В общем случае соответствующие математические модели могут быть очень сложны, поэтому для выполнения практических расчетов требуются мощные компьютеры.
В то же время можно существенно упростить рассматриваемую задачу, выделив для анализа лишь минимальное число основных управляющих параметров. При этом получаются простые и наглядные модели, доступные для построения и анализа любому лицу, принимающему решение (ЛПР). С их помощью можно выявлять наиболее важные закономерности, которыми в дальнейшем следует руководствоваться просто как известными фактами.
Математическая модель исследуемого объекта содержит в аналитической форме соотношения между параметрами, которые могут изменяться руководителем предприятия в процессе управления, и показателями, характеризующими результат деятельности.
Любая математическая модель должна быть «конструктивна», т. е. она должна позволять ЛПР оптимизировать деятельность предприятия за счет целенаправленного выбора значений управляющих параметров. Перейдем к описанию модели.
Математическая модель содержит следующие основные элементы:
• набор параметров V, количественно характеризующих деятельность предприятия и считающихся неизменными;
• набор переменных (управляющих) параметров К;
• набор функций Fm(V„ К), характеризующих результат хозяйственной деятельности предприятия с той или иной точки зрения;
• набор ограничений Gп на допустимые значения функций Fm и параметров К;
• целевую функцию - одну из функций Fm, максимум или минимум которой должен быть достигнут в результате управления.
В этих обозначениях индексами I,}, т, п отмечены номера соответствующих функций или параметров.
Из составленной нами базы данных (приложения 1 и 2) выпишем соотношения:
№ = 0,395 х Z,
^ = 0,04 х V,
Б = Бт + во + Ба + Z + №,
Р = V-Б
и для начала перейдем к построению простейшей математической модели.
1. Будем считать, что задан единственный неизменный параметр - предполагаемый объем реализации продукции (выручка) V.
2. В качестве управляющих выберем параметры К1 и К2:
К1 - удельный вес зарплаты Z в выручке;
К2 - удельный вес затрат (Бт + Бо) в выручке V, т. е. на первом этапе будем считать, что предприятие не имеет основных фондов, поэтому затраты на амортизацию Ба = 0 (типичная ситуация при создании нового производства).
3. Составим выражения для функций Fm(VI, К), которые мы будем часто использовать в дальнейшем.
3.1. Заработная плата Z в составе себестоимости S:
Z = К1 х V.
3.2. Налоги Nzs, зависящие от Z и входящие в себестоимость продукции Б (налоги 5,
6, 7, 8 по таблице приложения 1):
Nzs = 0,385 х К1 х V.
3.3. Налог Nvs, зависящий от V и входящий в себестоимость продукции Б (налог 4 по таблице приложения 1):
Nvs = 0,025 х V.
3.4. Таким образом, себестоимость Б продукции можно вычислить по формуле:
Б = Z + Nzs + Nvs + Бт + Бо = (0,025 + 1,385К1 + К2) х V, (4)
а прибыль Р по формуле:
Р = V- Б = (0,975 - 1,385К1 - К2) х V. (5)
3.5. Вычислим прочие налоги N^1, относимые на итоги хозяйственной деятельности предприятия (налоги 9, 10 по таблице приложения 1):
т = 0,015V + 0,0^ = (0,015 + 0,01К1) х V.
3.6. Налогооблагаемую прибыль Рп, налог Np на прибыль и остаточную прибыль Ро теперь можно вычислить по формулам:
Рп = Р- т = (0,975 - 1,385К1 - К2^ - (0,015 + 0,01К^ = (0,96 - 1,395К1 - К2) х V,
Np = 0,30Рп = 0,30 (0,960 - 1,395К1 - К2) х V, (6)
Ро = 0,70Рп = 0,70 (0,960 - 1,395К1 - К2) х V = (0,672-0,9765К-0,7К2) х V.
3.7. Рентабельность Я можно вычислить по формуле:
И = Р/Б = (0,975 - 1,385К1 - К2) / (0,025 + 1,385К1 + К2). (7)
3.8. Наконец, остаточный доход предприятия Do можно вычислить по формуле:
Do = Z + Ро = (0,672 - 0,9765К1 - 0,7К2) V + К, V = (0,672 + 0,0235К1 - 0,7К2) х V. (8)
Таким образом, все показатели, характеризующие итоги хозяйственной деятельности, которые были введены нами в приложении 2, и которые будут выступать в качестве функций Fm(V,, К) нашей математической модели, выражены как функции единственного неизменного параметра V и двух управляющих параметров К1 и К2 (оправданный прием при экспресс-анализе).
4. Далее в качестве возможных целевых функций, максимум которых мы будем искать, будут рассмотрены:
• чистая (остаточная) прибыль предприятия - Ро,
• остаточный доход предприятия - Do,
• заработная плата работников - Z.
5. при определении функций-ограничений мы пока будем учитывать только требование безубыточности хозяйственной деятельности предприятия и возможность введения ограничения по предельной рентабельности. Аналитические формулировки этих ограничений будут рассмотрены далее.
Целью математического моделирования деятельности предприятия является нахождение оптимальных значений коэффициентов К1 и К2, при которых достигается максимум выбранной целевой функции.
Оптимизация остаточной прибыли
Получение прибыли - цель каждого коммерческого предприятия. Размер прибыли характеризует абсолютную доходность предприятия. Прибыль Р можно определить как разность между чистой выручкой предприятия V и себестоимостью производства и реализации продукции Б:
Р = V-Б.
Так, определенная величина Р является основой для определения чистой (остаточной) прибыли предприятия Ро. Из величины Р сначала должна быть исключена сумма начисленных налогов N^1, относимых на итоги хозяйственной деятельности предприятия. Полученная величина Р^Ь становится базой для начисления налога на прибыль Np. В итоге чистая прибыль предприятия Ро определяется по формуле:
Ро = V-Б- т- ^. (9)
Учитывая, что сегодня каждое предприятие вправе распоряжаться всей своей остаточной прибылью Ро по собственному усмотрению в нужных для него пропорциях между Fп и Fp (приложение 2), достижение максимума остаточной прибыли может рассматриваться в качестве главной цели руководителем, планирующим расширение или изменение характера деятельности предприятия. Итак, выберем в качестве функции цели остаточную прибыль:
Ро = (0,672 - 0,9765К1 - 0,7К2) х V. (10)
При решении рассматриваемых нами задач необходимо учесть следующие ограничения:
0 < К1 < 1, 0 < К2 < 1. (11)
Смысл ограничений (11) достаточно ясен: каждый из параметров К, - удельный вес соответствующей части затрат в выручке. Он может изменяться от 0 (полное отсутствие соответствующего вида затрат) до 1 (вся выручка идет на покрытие этого вида расходов).
Кроме того, следует учесть естественное требование, чтобы итоги хозяйственной деятельности (т. е. налогооблагаемая прибыль) не были отрицательными (условие безубыточности):
Р- т = (0,960 - 1,395К1 - К2) V > 0. (12)
Математическая модель этой задачи имеет конкретную постановку:
(13)
Fm(V„ K) = Po = (0,672 - 0,9765K1 - 0,7K2) V max
(0,96- 1,395K1- K2) V > 0
0 K1 < 1
0 < K2 < 1.
Таким образом, коротко задачу можно сформулировать так: требуется найти такие значения параметров K1 и K2, лежащие в пределах (11), чтобы целевая функция Po, определяемая по формуле (10), достигала максимального значения, а итог хозяйственной деятельности был не меньше 0, т. е. удовлетворялось ограничение (12).
Аналитическое решение поставленной задачи тривиально: выражение целевой функции Po содержит постоянный положительный множитель V и множитель в скобках, который представляет собой константу 0,672, из которой вычитаются два числа, пропорциональные K1 и К2. Максимум множителя в скобках, равный 0,672, достигается, когда K1 = K2 = 0. Очевидно, что при этом выполняется и ограничение (12).
Тем не менее проиллюстрируем на этом примере общую методику решения задач линейного программирования, а именно симплекс-метод.
Общая последовательность операций сводится при этом к следующему (рис. 2а - 2г):
1) на листе бумаги вычерчиваются оси координат K1 и К2 (рис. 2а);
2) строится допустимое множество М, в котором справедливы ограничения (11) и (12). Неравенство (12) и другие можно упростить: выручка V входит во все интересующие нас зависимости в виде множителя, причем V > 0 по смыслу этой величины. Поэтому в дальнейшем целесообразно принимать V =1 в каких-то условных единицах измерения. Тогда неравенство (12) можно записать как:
0,96- 1,395 K - К2 > 0, (12')
а границу множества М описать уравнением:
0,96- 1,395 K1- K2 = 0. (12'')
Последовательность построения множества М (треугольник АОВ) показана на рисунках 2б, 2в.
Точки (K1, K2), лежащие на плоскости левее (ниже) прямой АВ, удовлетворяют условию (12'). Например, если K1 = K2 = 0 (начало координат), то в левой части неравенства получается число 0,96 > 0. И наоборот, точка (0, 1) лежит правее (выше) прямой АВ. Этот же результат показывает и градиент VF = {-1,395; -1} к прямой АВ;
3) строим произвольную линию уровня целевой функции и градиент к ней
VPo (-0,9765; -0,7).
Из построенных графиков ясно, что для рассматриваемой задачи оптимальной будет точка 0, для которой K1 = K2 = 0, а Po = 0,672. В реальной жизни такая ситуация склады-
вается при создании частного бизнеса, например ПБОЮЛ.
Мы получили для частного случая результаты, которые справедливы для любой задачи линейного программирования:
• допустимая область изменения параметров выпукла (если только среди ограничений нет противоречащих друг другу, и эта область «не пуста»), а ее граница образована отрезками прямых линий - участков отдельных границ - и имеет вид многоугольника;
• оптимальная точка, как правило, соответствует одной из угловых точек границы. В исключительных случаях оптимальное решение соответствует целой линии - участку границы, соединяющему две угловые точки, в которых значения целевой функции одинаковы.
Теперь усложним задачу, введя дополнительное ограничение на максимально допустимую рентабельность (R):
Я = P/S. (14)
Такое ограничение фактически присутствует в Российской практике налогообложения как средство борьбы с монопольно высокими ценами (недавно Правительство Российской Федерации не удовлетворило аппетиты РАО «Газпром», «ЕЭС», министерства железнодорожного транспорта на рост цен их услуг как физическим, так и юридическим лицам).
Потребуем, чтобы рентабельность R не превышала 0,5. Воспользуемся формулами 14, 4, 5:
R = P/S = (0,975 - 1,385 K1 - KJ / (0,025 + 1,385 K1 + KJ < 0,5, (14')
то есть:
0,975 - 1,385 K1 - K2 < 0,0125 + 0,6925 K1 + 0,5 K2.
После приведения подобных членов, условие R = P/S 0,5 приобретает вид:
1,5 K2 + 2,0775 K1 > 0,9625. (15)
Построим соответствующую прямую - новый участок границы (рис. 2г). Видно, что область допустимых значений K1 и К2 сузилась: допустимое множество М трансформировалось из A AOB (рис. 2в) в четырехугольник ABCD (рис. 2г). Причем линии уровня целевой функции и этого нового участка границы почти параллельны и из рисунка не ясно, где расположена оптимальная точка. Чтобы найти ее положение, воспользуемся ранее сделанным выводом: оптимум лежит в одной из угловых точек границы, т. е. в точке C или D. В точке C К2 = 0, и из (15) получаем K1 = 0,9625 / 2,0775 « 0,46329..., т. е. координаты точки C = [0,463; 0]. Аналогично получаем координаты точки D = [0; 0,6417]. По формуле 10 можно найти Po в точках C и D:
Po(C) = 0,672 - 0,9765 х 0,4633 - 0,7 0 « 0,21959...
Po(D) = 0,672 - 0,9765 х 0 - 0,7 0,6417 « 0,22281...
Таким образом, в точке D остаточная прибыль больше, чем в точке C, хотя и всего на 1,47 %, и точка D четырехугольника ABCD (рис. 2г) является оптимальной.
Этот результат уже не тривиален. В связи с тем, что у рассмотренной задачи линия уровня целевой функции почти параллельна границе, все точки этой границы практически равноценны. Получить такой результат, просто рассчитав 2-3 варианта, как это было сделано в приложении 3, не удастся.
Вывод. Для функции цели Po (остаточная прибыль) распределение затрат по статьям практически не имеет значения (при наличии ограничения по рентабельности!), а рассмотренная методика моделирования полезна для использования на практике.
Оптимизация остаточного дохода предприятия Максимум остаточного дохода предприятия
Математическая модель этой задачи имеет следующую постановку:
Fm(V„ К) = Do = (0,672 + 0,0235 К1 - 0,7 К2) V тах (0,96- 1,395 К1- К2) V > 0 1,5К2 + 2,0775 К1 > 0,9625
0 < К1 < 1
0 < К1 < 1.
(16)
Иными словами, требуется найти такие значения параметров К1 и К2, лежащие на отрезке [0, 1], чтобы целевая функция Do (остаточный доход предприятия), определяемая по формуле (8), достигала максимального значения, а итог хозяйственной деятельности (налогооблагаемая прибыль) был не меньше 0, что равносильно удовлетворению ограничения (12) при условии, чтобы рентабельность Я (14') при этом не превышает 0,5.
Как и прежде без ущерба для результата примем, что V=1. Уже из структуры формулы
Do = 0,672 + 0,0235 К1 - 0,7 К2
ясно, что увеличение К1 увеличивает остаточный доход, а увеличение К2 уменьшает его. Вопрос только в том, до каких пределов можно увеличивать К1. На рисунке 2д показана допустимая область изменения параметров М (наблюдательный читатель заметит совпадение с областью М на рисунке 2г, т. е. □ABCD = шАВС^. На рисунке видно, что увеличению остаточного дохода соответствует смещение линий уровня (пунктирных) вниз, что объясняется направлением градиента VDo (0,235; -0,7). Как результат оптимальное решение, очевидно, соответствует точке В, в которой К2= 0, а К1 удовлетворяет условию неотрицательности хозяйственного результата (12), т. е. К1 = 0,6882. Значение остаточного дохода Do в точке В (0,6882; 0) находим простой подстановкой:
Do = 0,672 + 0,0235 х 0,6882 - 0,7 х 0 * 0,6882.
Вывод. Для функции цели Do (остаточный доход) ограничение по рентабельности не существенно.
Изменение распределения затрат между заработной платой и другими статьями значительно влияет на доход предприятия (прямая противоположность выводу, сформулированному ранее).
Оптимизация денежных доходов работников
Наибольший удельный вес в составе средств, использованных на потребление, занимает фонд оплаты труда (включаемый в себестоимость продукции), оптимизация которого и является предметом нашего рассмотрения.
Математическая модель задачи:
Fm(V„ К) = Z = К ^ тах (0,96- 1,395 К1- К2) V > 0 1,5К2 + 2,0775 К1 > 0,9625
0 < К1 < 1
0 < К11 < 1.
(17)
Структура доходов работников на примере условного предприятия
Сумма, млн р.
Вид оплаты план факт Откло- нение
1. Фонд оплаты труда 20 500 21 465 +965
1.1. По сдельным расценкам 10 630 11 180 +550
1.2. По тарифным ставкам и окладам 6580 6349 -231
1.3. Премии за производственные результаты 1400 1 545 +145
1.4. Доплаты за профессиональное мастерство 500 520 +20
1.5. Доплаты за работу в ночное время, сверхурочные часы, праздничные дни _ 80 +80
1.6. Оплата ежегодных и дополнительных отпусков 1390 1491 +101
1.7. Оплата льготных часов подростков, перерывов в работе кормящих матерей _ _ _
1.8. Доплаты до среднего уровня - - -
1.9. Оплата простоев - 300 +300
1.10. Оплата труда совместителей - - -
2. Выплаты за счет чистой прибыли 5860 6145 +285
2.1. Вознаграждение за результаты работы по итогам года 1 800 1 850 +50
2.2. Материальная помощь 700 720 +20
2.3. Единовременные выплаты пенсионерам 30 45 +15
2.4. Оплата отпусков сверх установленных сроков - - -
2.5. Стипендии студентам и плата за обучение 150 150 -
2.6. Погашение ссуд работникам на строительство жилья 600 600
2.7. Оплата путевок на отдых и лечение 220 250 +30
2.8. Выплата дивидендов по ценным бумагам 2360 2530 +170
3. Выплаты социального характера 940 1 100 +160
3.1. Пособия семьям, воспитывающим детей 150 160 +10
3.2. Пособия по временной нетрудоспособности 540 740 +200
3.3. Стоимость профсоюзных путевок 250 200 -50
Итого средств, направленных на потребление 27 300 28 710 +1 410
Доля в общей сумме, %: фонда оплаты труда; 75,0 74,8 -0,2
выплат из чистой прибыли; 21,5 21,4 -0,1
выплат за счет фонда социальной защиты 3,5 3,8 +0,3
И здесь очевидно, что максимум целевой функции достигается при максимально возможном значении К1, при котором не нарушается условие неотрицательности хозяйственного результата. На рисунке 2е показаны допустимая область М изменения параметров, линии уровня целевой функции (пунктирные) в последовательности увеличения значений целевой функции Z по направлению VZ и оптимальная точка В(0,6882; 0). В этой точке целевая функция принимает значение:
Z = 0,6882.
Вывод. Вновь, как и ранее, наличие или отсутствие ограничения по рентабельности не влияет на результат решения задачи.
Примечание. Наглядность всех выводов хорошо видна на рисунке 3.
Графическая иллюстрация решения задачи (13)
Рис. 2а
Рис. 2б
Рис. 2в Рис. 2г
Графическая интерпретация решения задачи (16)
Графическая интерпретация решения задачи (17)
Рис. 3. Графическая интерпретация задач оптимизации Ро, Do, Z для случая i = 1,} = 2 (в принятых в статье обозначениях)
Ро - линии уровня целевой функции Fm(V„ К) = Ро = (0,672 - 0,9765К1 - 0,7К2) х х\/^тах, VPo (-0,9765; -0,7) - градиент; Do - линии уровня целевой функции Fm(V„ К) = = Do = (0,672 + 0,0235К1 - 0,7К2) х V^max; VDo (0,0235; -0,7) - градиент; Z - линии уровня целевой функции Fm(V„ К) = К^тах; VZ(1,0) - градиент
Приложение 1
Характеристика основных налогов
п/п Наименование налога База Исто- чник Пла- тель- щик Вно- сит Став- ка Полу- чатель Пери- одич- ность
1 Налог на добавленную стоимость (Nd) V Vp Пк Пр 20 Б Кв
2 Налог на прибыль (Л/р) Рп Р Пр Пр 24 Б Кв
3 Подоходный налог (Ndr) ОпРб DP6 Рб Пр 12 Б Зп
4 Налог на пользователей автодорог (Ndf) V S Пр Пр 2,5 Дф Кв
5 Отчисления в Пенсионный фонд (Npf) Z Z S Z Пр Рб Пр Пр 28 1 ПФ ПФ Зп Зп
6 Отчисления в Фонд занятости {Nfz) Z S Пр Пр 1,5 ФЗ Зп
7 Отчисления на государственное социальное страхование (Ms) Z S Пр Пр 5,4 ФС Зп
8 Отчисления на обязательное медицинское страхование (Nms) Z S Пр Пр 3,6 ФМ Зп
9 Налог на содержание жилого фонда {Ngf) V р Пр Пр 1,5 БГ Мс
10 Налог на нужды образовательной деятельности [Nob) Z р Пр Пр 1 БГ Зп
11 Налог на имущество (Л/о Si р Пр Пр 1,5 БГ Кв
12 Налог на доходы от ценных бумаг (Neb) D D Пр Эм 15 Б Вп
13 Налог на рекламу (Л/гс) Sr S(Po) Пр Пр 5 Б Кв
Определим основные понятия, используемые в Приложении 1:
1. «База» (налогооблагаемая база) - один из экономических показателей (прибыль, заработная плата, выручка и т. д.), выраженный в количественной форме, в процентах от значения которого исчисляется налог.
В таблице использованы следующие обозначения для таких показателей:
V - чистая выручка, т. е. выручка без учета НДС, акцизов и т. д.;
Ур - полная выручка, т. е. выручка, включающая НДС, акцизы и т. д.;
Р - балансовая прибыль;
Ро - чистая прибыль, т. е. прибыль после уплаты налогов;
Рп - налогооблагаемая прибыль;
D - полный доход;
Do - чистый доход, т. е. доход после уплаты налогов; (1.1)
Dn - налогооблагаемый доход;
5 - себестоимость производства и реализации продукции;
Z - «зарплата», т. е. фонд оплаты труда, учитываемый в составе 5;
Si - стоимость имущества предприятия;
Sr - стоимость рекламы;
Fp - фонд потребления;
Fn - фонд накопления.
2. «Ставка» - процент от налогооблагаемой базы, определяющий величину налога.
3. «Источник» - показатель, из которого изымается сумма налога.
4. «Плательщик» (плательщик налога) - юридическое или физическое лицо, из средств которого фактически уплачивается налог (различные налоги платят различные плательщики). В таблице использованы обозначения плательщиков: Пк - покупатель, Пр - предприятие, Рб - работник, Эм - эмитент ценной бумаги.
5. «Вносит» - юридическое или физическое лицо, которое перечисляет деньги в бюджет или фонд. Использованы те же обозначения, что и в п. 4.
6. «Получатель» - бюджет или фонд, получающий налог (Б - любой бюджет, БГ - бюджет города Москвы, ДФ - дорожный фонд, ПФ - Пенсионный фонд, ФЗ - Фонд занятости, ФС - Фонд государственного социального страхования, ФМ - Фонд обязательного медицинского страхования).
7. «Периодичность» - периодичность уплаты налогов. Этот показатель зависит от вида предприятия, в дальнейшем мы примем его соответствующим показателю для малых предприятий. Здесь использованы обозначения:
Кв / Мс / Зп / Ав / Вп - соответственно, один раз в квартал или месяц, при каждой выплате зарплаты или аванса по зарплате, по мере выплаты дохода.
Из Приложения 2 видно, что некоторые налоги имеют одну и ту же базу или источник выплаты, поэтому для упрощения построения математической модели процесса налогообложения укрупним схему уплачиваемых предприятием налогов, объединив их в группы.
1. Налоги (их величину обозначим №), входящие в себестоимость продукции или относимые на результаты хозяйственной деятельности предприятия и имеющие в качестве налогооблагаемой базы зарплату Z.
Это - налоги 5, 6, 7, 8, 10. Их общая ставка - 39,5 процентов (без учета выплат в ПФ из зарплаты работников).
2. Налоги (их величину обозначим ^), входящие в себестоимость продукции или относимые на результаты хозяйственной деятельности предприятия и имеющие в качестве налогооблагаемой базы чистую выручку V.
Это - налоги 4, 9. Их общая ставка - 4 процента.
3. Налоги 2, 3, 11 существенно отличаются от налогов, вошедших в группы 1 и 2, по налогооблагаемой базе и их влиянию на итоги хозяйственной деятельности предприятия, поэтому в дальнейшем они будут рассматриваться особо.
4. Налог на добавленную стоимость фактически уплачивает покупатель продукции предприятия. Размер НДС влияет на цену продукции для покупателя и тем самым косвенно влияет на объем сбыта продукции. Этот фактор мы будем рассматривать в качестве неконтролируемого предприятием.
5. Оставшиеся налоги 12, 13 сильно отличаются в различных предприятиях, зачастую носят эпизодический характер и на первом этапе анализа учитываться не будут.
Теперь можно выписать аналитические соотношения, которые мы будем постоянно использовать в дальнейшем. Они определяют суммарные размеры двух значительных налоговых выплат:
№ = 0,395 Z, Ш = 0,04 V.
(1.2)
Приложение 2
Структурная модель основной деятельности предприятия
V - чистая выручка
5 - себестоимость производства и реализации продукции
Зт - материальные затраты
Ба - амортизация
2 - заработная плата
Л/5 - налоги в составе себестоимости
50 - прочие затраты
Л/,-11 А/,-9 Л/0- 10
Л/л - налоги
Р - прибыль от производства и реализации продукции
Р0 - чистая прибыль
Рр - фонд потребления
Р„ - фонд накопления
Л/р - налог на прибыль
Помимо обозначений (1.1, 1.2), перечисленных в приложении 1, введем дополнительные обозначения, которые будут использоваться в дальнейшем:
Nh - налоги, относимые на итоги хозяйственной деятельности;
Sm - материальные затраты в составе себестоимости продукции;
Sa - затраты на амортизацию;
№ - налоги, учитываемые в себестоимости продукции;
So - прочие затраты.
Кроме этих обозначений, на рисунке приложения 2 указаны номера некоторых налогов по классификации таблицы приложения 1.
Приложение 3
Варианты финансового плана предприятия (в условных единицах)
№ п/п Экономические показатели 1 вариант 2 вариант
1 Выручка (V) 1000 1000
2 Себестоимость (Б) 658 937
2.1 Зарплата № 400 600
2.2 Начисления на зарплату (Л/г) 158 237
2.3 Прочие затраты (Ба + Бт + Бо) 100 100
3 Налоги, определяемые выручкой (Л/у) 40 40
4 Прибыль (Р) от реализации продукции 302 23
5 Рентабельность (И) = Р/Б (%) 46 3
6 Налог на прибыль (Л/р) 73 6
7 Чистая прибыль (Ро) 229 17
7.1 Фонд накопления (Рл), 50% 114 8
7.2 Фонд потребления (Рр), 50% 115 9
8 Доход предприятия О (#7 + #2.1) 629 617
9 Полный фонд потребления Ро (#2.1 + #7.2) 515 609
10 Удельный вес Ро в О (%) 82 99
Рассматривая эти два варианта финансового плана и принимая за основной вариант 1, можно сделать несколько важных выводов.
1. Значительное (в полтора раза) увеличение в варианте 2 фонда заработной платы 2, практически, не повлияло на доход предприятия D, который изменился менее, чем на 1 %.
2. Различие между вариантами относительно слабо проявляется в полном фонде потребления Го (изменение на 20 %). Это изменение будет еще меньше, если учесть подоходный налог, особенно возможное увеличение ставки этого налога в варианте 2.
3. Увеличение фонда заработной платы 2 в варианте 2 кардинально повлияло на фонд накопления, который уменьшился в 13 раз и стал пренебрежимо малым.
Итак, вариант 1 предусматривает накопление некоторых средств (около 10% выручки), которые могут быть направлены на развитие предприятия, а вариант 2 - чисто потребительский, который к тому же обеспечивает непропорционально малый рост личных доходов работников.
Продолжение в следующем номере журнала
* * *
* О праве собственности на акции ОАО «Иркутскэнерго»1
Российская Федерация в лице Министерства имущественных отношений Российской Федерации обратилась в Высший Арбитражный Суд Российской Федерации с иском к Иркутской области в лице ее администрации о признании за Российской Федерацией права собственности на акции ОАО «Иркутскэнерго» (далее -ОАО), составляющие 40 процентов уставного капитала акционерного общества.
Иркутская область в лице ее администрации предъявила встречный иск к Российской Федерации о признании права общей долевой собственности Российской Федерации и Иркутской области на те же акции.
Решением Высшего Арбитражного Суда Российской Федерации основной иск был удовлетворен - за Российской Федерацией признано право собственности на акции, составляющие 40 процентов уставного капитала ОАО.
Во встречном иске о признании права общей долевой собственности Российской Федерации и Иркутской области на указанные акции отказано.
Вместе с тем решением суда за Иркутской областью признано право на пользование, владение и распоряжение, включая осуществление прав акционера, акциями ОАО, составляющими 15,5 процента уставного капитала, находящимися в федеральной собственности, без права отчуждения, залога, а также передачи функций по управлению ими.
В протесте Генерального прокурора Российской Федерации предлагается решение Высшего Арбитражного Суда Российской Федерации в части признания за Иркутской областью права на пользование, владение и распоряжение, включая осуществление прав акционера, акциями, составляющими 15,5 процентов уставного капитала ОАО, находящимися в федеральной собственности, отменить.
В соответствии с Гражданским кодексом Российской Федерации (статья 142), Федеральным законом от 26.12.1995 № 208-ФЗ «Об акционерных обществах» (статьи 2, 31), Федеральным законом от 22.04.1996 № 39-Ф3 «О рынке ценных бумаг» (статья 29) права, закрепляемые акциями (права акционера), принадлежат собственнику акций и не могут быть переданы иному лицу без его воли.
Ссылка в решении на Договор от 27.05.1996 «О разграничении предметов ведения и полномочий между органами государственной власти Российской Федерации и органами государственной власти Иркутской области и входящего в ее состав Усть-Ордынского Бурятского национального округа», предусматривающий, как сказано в решении, возможность передачи во владение Иркутской области части спорного пакета акций для осуществления прав акционера (без права отчуждения указанных акций путем продажи, передачи в залог и управление без согласия Российской Федерации как собственника), не может служить основанием для признания решения в этой части законным.
Согласно статье 8 названного Договора разграничение государственной собственности на территории области и автономного округа, включая объекты электроэнергетики, на федеральную, областную и окружную производится на основании отдельных соглашений между исполнительными органами государственной власти Российской Федерации, области, автономного округа. В этой же статье говорится, что предметом разграничения государственной собственности в электроэнергетическом комплексе является государственный пакет акций приватизированных предприятий электроэнергетики и что в пользование, владение и распоряжение Иркутской области может передаваться часть пакета акций приватизированных федеральных предприятий, но и здесь отмечено, что такая возможность допускается по соглашению между органами исполнительной власти Российской Федерации и Иркутской области.
* Использованы материалы сайта «КонсультантПлюс».
1 Окончание на с. 90.
