CC BY
56
Прикладные методы математического
I V V
моделирования финансово-хозяиственнои деятельности предприятия (оптимизация остаточной прибыли, остаточного дохода предприятия, денежных доходов работников)
С.В. Лушин
аспирант дневного отделения Центрального экономико-математического института Российской академии наук (ЦЭМИ РАН)
Часть II1
Оптимизация остаточного дохода предприятия Экономическое содержание и виды доходов предприятия
Доходами предприятий признается увеличение экономических выгод в результате поступления активов (денежных средств, иного имущества) и погашения обязательств, приводящее к увеличению капитала, за исключением вкладов участников (собственников имущества).
Не относятся к доходам предприятия такие поступления от других юридических лиц и граждан, как:
1) сумма налога на добавленную стоимость, акцизы, экспортные пошлины и иные аналогичные обязательные платежи;
2) оплата по договорам комиссии, агентским и другим аналогичным договорам в пользу комитента, принципала и др.;
3) предварительная оплата продукции, товаров, работ и услуг;
4) авансы в счет оплаты продукции, товаров, работ и услуг;
5) залог, если договором предусмотрена передача заложенного имущества залогодержателю;
6) погашение кредита, займа, предоставленного заемщику.
Доходы предприятия исходя из характера, условия получения и направлений деятельности классифицируются следующим образом:
1) доходы от обычных видов деятельности;
2) операционные доходы;
3) внереализационные доходы;
4) чрезвычайные доходы.
Доходы, отличные от доходов, получаемых от обычных видов деятельности, считаются прочими поступлениями. Прочие поступления (операционные, внереализационные и чрезвычайные доходы) подлежат зачислению на счет прибылей и убытков (счет № 80).
Доходом от обычных видов деятельности является выручка от реализации продукции и товаров, а также поступления от выполнения работ и оказания услуг.
В организациях, предметом деятельности которых является предоставление за плату во временное пользование своих активов по договору аренды, выручкой считаются поступления, получение которых связано с этой деятельностью (арендная плата).
В организациях, предметом деятельности которых служит предоставление за плату прав, возникающих из патентов на изобретения, промышленные образцы и других видов
1 Продолжение. Начало см. // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2003. № 12.
интеллектуальной собственности, выручкой считаются поступления (доходы) от данной деятельности. В организациях, предметом деятельности которых является участие в уставных капиталах других предприятий, выручкой считаются поступления, получение которых связано с этой деятельностью.
В бухгалтерском учете выручка отражается в сумме, определенной в денежном выражении, равной величине поступления денежных средств и иного имущества, а также величине дебиторской задолженности. Если величина поступления покрывает лишь часть выручки, то выручка, принимаемая к бухгалтерскому учету, исчисляется как сумма поступления и дебиторской задолженности (в части, не покрытой поступлением).
Величина поступления и дебиторской задолженности устанавливается исходя из цены, зафиксированной в договоре между поставщиком и покупателем (заказчиком) или пользователем активов предприятия. Если цена не определена в договоре и не может быть установлена исходя из его условий, то для установления величины поступления и дебиторской задолженности принимается цена, по которой в сравнимых условиях предприятие определяет выручку в отношении аналогичной продукции, либо предоставления во временное пользование аналогичных активов.
При продаже продукции и товаров на условиях коммерческого кредита, предоставляемого в форме отсрочки и рассрочки оплаты, выручка принимается к учету в полном объеме дебиторской задолженности.
Суммы поступления и дебиторской задолженности по договорам, предусматривающим исполнение обязательств (оплату) неденежными средствами, принимаются к бухгалтерскому учету по стоимости товаров, полученных предприятием. Стоимость товаров, полученных или подлежащих получению предприятием, определяется исходя из цены, по которой в сравнимых условиях оно устанавливает стоимость аналогичных товаров. При изменении обязательства по договору первоначальная величина поступления и дебиторской задолженности корректируется исходя из стоимости активов, подлежащих получению предприятием. Стоимость активов, подлежащих получению предприятием, устанавливается исходя из цены, по которой в аналогичных обстоятельствах предприятие исчисляет стоимость таких же активов.
Величина поступления и дебиторской задолженности устанавливается с учетом всех предоставленных предприятию договорных скидок (накидок). При формировании в соответствии с правилами бухгалтерского учета резервов сомнительных долгов величина выручки от реализации не изменяется.
В состав операционных доходов включаются:
1) поступления, связанные с предоставлением за плату во временное пользование активов предприятия;
2) поступления, связанные с предоставлением за плату прав, возникающих из патентов на изобретения, промышленные образцы и другие виды интеллектуальной собственности;
3) поступления от участия в уставных капиталах других организаций (включая проценты и дивиденды по ценным бумагам);
4) прибыль, полученная предприятием в результате совместной деятельности (по договору простого товарищества);
5) поступления от реализации основных средств и иных активов, отличных от денежных средств (кроме иностранной валюты), продукции и товаров;
6) проценты, полученные за предоставление в пользование денежных средств организации, а также проценты за использование банком денежных средств, находящихся на ее счете в этом банке.
Внереализационными доходами являются:
1) штрафы, пени, неустойки за нарушение условий договоров;
2) активы, полученные безвозмездно, в том числе по договору дарения;
3) поступления в возмещение причиненных предприятию убытков;
4) суммы кредиторской и депонентской задолженности, по которым истек срок исковой давности;
5) курсовые разницы по валютным операциям;
6) сумма дооценки оборотных активов;
7) прочие внереализационные доходы.
Чрезвычайными доходами считаются поступления, возникающие как последствия чрезвычайных обстоятельств хозяйственной деятельности (стихийного бедствия, пожара, аварии, национализации и т. д.)
Выручка от реализации признается в бухгалтерском учете при наличии следующих условий:
1) предприятие имеет право на получение выручки, обусловленное конкретным договором;
2) сумма выручки от реализации может быть достоверно подсчитана;
3) существует уверенность в том, что в результате конкретной операции произойдет увеличение экономических выгод предприятия;
4) право собственности (владения, пользования и распоряжения) на продукцию (товар) перешло от предприятия-поставщика к покупателю или работа принята заказчиком;
5) расходы, которые произведены в связи с коммерческой операцией, могут быть определены.
Если в отношении денежных средств и иных активов, полученных предприятием в оплату, не соблюдается хотя бы одно из названных условий, то в бухгалтерском учете предприятия отражается кредиторская задолженность, а не выручка от реализации. Предприятие вправе признать в бухгалтерском учете выручку от реализации продукции с длительным циклом изготовления по мере готовности данной продукции (работы, услуги) или по завершению изготовления продукции в целом. Выручка от реализации конкретного изделия (работы, услуги) признается в бухгалтерском учете по мере готовности, если возможно установить готовность изделия, работы, услуги.
В отношении различных по характеру и условиям выполнения работ, оказания услуг, изготовления изделий предприятие может использовать в одном отчетном периоде одновременно разные способы признания выручки от реализации.
Если выручка от продажи продукции (работ, услуг) не может быть достоверно установлена, то она принимается к бухгалтерскому учету в размере признанных расходов по изготовлению данной продукции, которая будет оплачена предприятию в будущем.
Метод определения выручки от реализации устанавливается предприятием при принятии учетной политики на предстоящий год исходя из условий хозяйствования и заключенных договоров.
Выручка от реализации продукции (товаров) учитывается в кредите счета № 46; выручка от реализации основных средств и иного имущества - в кредите счета № 47; выручка от реализации прочих активов - в кредите счета № 48.
Выручка от продажи продукции (товаров) классифицируется на два типа:
1) выручка (брутто) от реализации продукции (товаров, работ, услуг), включая косвенные налоги;
2) выручка (нетто) от реализации продукции (товаров, работ, услуг) без косвенных налогов (НДС, акцизов, таможенных пошлин).
ЧВР = ВВР - Косвенные налоги, (18)
где ЧВР - чистая выручка от реализации;
ВВР - валовая выручка от реализации.
Наряду с абсолютными значениями в процессе управления выручкой от реализации используются относительные показатели.
1. Коэффициент доли чистой выручки от реализации (Кчвр):
Кчвр= ЧВР / ВВР. (19)
Этот показатель дает представление об объеме налогообложения валовой выручки от реализации.
2. Уровень отдачи активов предприятия:
Уоа = ВВР(ЧВР) / А,
где А - средняя стоимость используемых активов за расчетный период (квартал, год).
Этот показатель характеризует способность активов генерировать валовую (чистую) выручку от реализации. Объем выручки от реализации продукции зависит от таких факторов, как:
1) уровень реализационных цен;
2) объем реализации произведенной продукции;
3) уровень налогообложения ВВР.
Приведенные факторы носят агрегированный характер, т. е. сами складываются под влиянием факторов второго порядка - емкости товарного рынка, уровня конкуренции, номенклатуры производимой продукции, форм расчетов за продукцию (денежные расчеты, бартерный обмен, взаимозачеты) и др.
Рассмотренные факторы позволяют обеспечивать механизм управления формированием ВВР и ЧВР. Основу этого механизма составляют:
1) формирование рациональной ценовой политики;
2) планирование (прогнозирование) выручки от реализации.
Оптимизация Po, Do, Z в усложненном варианте (для случая Fm (V/, К) = Po = Do = = Z ^ max, при / = 4, у = 2) Адаптация базы данных к новым условиям
Ранее2 мы рассматривали задачи, в условии которых присутствовал единственный неизменный параметр - выручка V. Теперь, в режиме последовательного усложнения, будем решать задачу с несколькими неизменными параметрами. Цель: помочь предпринимателям самостоятельно строить математические модели, описывающие далеко не простые ситуации, и использовать их в своей практической работе.
Будем считать, что предприятие имеет основные фонды, в стоимостном выражении равные Ф, причем норма амортизации п для них директивно определена (например, для компьютеров, п = 0,125, т. е. нормативный срок их службы составляет 8 лет (1 /0,125 = 8).
Существующее законодательство в ряде случаев разрешает применять «ускоренную» норму амортизации, вводя к действующей норме повышающий коэффициент (обозначим его K2), не превышающий 2. Причем значение этого коэффициента в пределах от 1 до 2 предприятие может устанавливать самостоятельно.
Целью нашего исследования будет определение оптимального значения коэффициента ускорения амортизации ^5.
В предшествующих главах было показано, что целесообразно всемерно снижать размер затрат 5т + So, сводя их к минимально возможной величине. Опираясь на этот вывод, будем считать, что эта минимальная величина и зафиксирована как определенная доля So в выручке V.
2 См. // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2003. № 12.
Таким образом, мы должны внести в постановку задачи и формулы (5-12) следующие изменения:
1) заданы 4 неизменных параметра:
V = V - планируемая выручка;
V2 = Ф - стоимость основных фондов;
V3 = п - стандартная норма амортизации;
V4 = So - доля материальных и прочих затрат в выручке V ^0 < 1);
2) в качестве управляющих снова выберем 2 параметра К1 и К2:
К1 - удельный вес заработной платы Z в выручке V;
К2 - коэффициент ускорения амортизации;
3) составим новые выражения (20-29) для функций Fm (V, К), которые для удобства сведем в таблицу 2;
4) целевые функции по-прежнему будем выбирать из набора Р0, D0, ^
5) ограничения задачи:
0 < К1 < 1 1 < К2 < 2.
Эта задача отличается от рассмотренных ранее тем, что теперь неизменный параметр V не является общим множителем для всех целевых функций и его величину надо задавать явно.
Кроме того, значения неизменных параметров не могут задаваться произвольно. Например, выручка V должна быть заведомо больше, чем стоимость амортизации основных фондов п Ф при директивно заданной норме амортизации. Иначе требование безубыточности (30) будет нарушено при любых S0, К1 и К2, т. е. область допустимых значений управляющих параметров будет пуста.
Для учета таких взаимосвязей между параметрами экономической ситуации, в которой находится предприятие, и требуется создание математических моделей, подобных рассматриваемой.
С учетом сделанной оговорки примем следующие значения неизменных параметров нашей модели в некоторых условных единицах измерения:
V = 1000, S0 = 0,1, Ф = 100, п = 0,125.
Подставляя выбранные значения неизменных параметров в формулы (20-29) (табл. 2), получаем:
Z = 1 000 К1;
Р0 = 654 - 1 060 К1 - 9,5 К2; (31)
D0 = 654 - 60 К1 + 3,0 К2,
аналогично с ограничениями:
безубыточность: 1 395 К1 + 12,5 К2 860 рентабельность: 2 077,5 К1 + 18,75 К2 812,5.
Как видим, несмотря на существенное (в четыре раза) возрастание числа неизменных параметров и кажущейся сложности задачи, конечные модели (31 и 32) получились простыми как для целевых функций, так и ограничений и могут быть проанализированы рас-
смотренным выше графическим методом, т. к. после упрощений линейные выражения содержат только два параметра К1 и К2.
Для лучшего визуального восприятия, выполним графическую интерпретацию задач оптимизации Р0, D0, Z на совмещенных рисунках 4а и 4б. Из системы ограничений (32) определим множество допустимых значений М и его границы: А (0,6; 2), В (0,61; 1), С (0,382; 1), Е (0,373;2).
(30)
0 < К1 < 1
1 < К2 < 2.
(32)
Таблица 2
Математические записи целевых функций Fm (V, ^ и других параметров в форме сопоставления
7
Старые выражения (модели) Новые выражения (модели)
Формула Код Формула Код
Заработная плата в составе себестоимости
7. = К, х V 2 = К, х V (20)
Налоги
N1^ = 0,385 хК, XV 1ЧУЗ = 0,025 х V N,3 = 0,385 хК,хУ = 0,025 х V (21) (22)
Себестоимость про, цукции Б и прибыль Р
Э = 7. + 1Ч„ + N„3 + Эт + Э, + в. = £» Уо т а 0 = (0,025 + 1,385 х К, + К,) х V, где К2- уд. вес. (Эт + Б0) в выручке V, а Эа= 0 Р = V- Б = (0,975 - 1,385 х К, - К,) х V (4) (5) 8=(8о+0,025+1,385 х К,) х V + п х К2 х Ф где 30 - доля материальных и прочих затрат в выручке V, причем Б0<1; К,- коэффициент ускорения амортизации. Р = V - Б = (0,975 - Б 1,385 х ххУ-п х^хФ (23) (24)
Прочие налоги, относимые на хозяй ственные результаты (без изменений)
Мм= 0,015 х V + 0,01 х2 = (0,015 + + 0,01 х К,) х V 14,= (0,015 + 0,01 хК^хУ (25)
Налогооблагаемая (Р„) и остаточная (Р„) прибыль
Рп= р - |\|„ = (0,960 - 1,395 х К,- К,) х х V > 0 Р0 = 0,7 х Рп= (0,672 - 0,9765 х К,- 0,7 х ід х V Р = Р - М= (0,96 - 1,395 х хК^хУ-пхК.хФ Р0= 0,76 х Рп= (0,73 - 0,76 х х Є.- 1,060 х К,) х V -0,76 х п х К2 х Ф - для рис. 4а Р0= 0,7 х Рп= (0,672 - 0,7 х 30 -- 0,9765 х К,) х V - 0,7 х п х К, х х Ф - для рис. 46 (26) (27)
Остаточный доход
00=г + Р0= (0,672 + 0,0235 х К,-0,7 х х К2) х V (8) Оо= 2 + Ро+ 5а Р0= (0,73 - 0,76 х Б0- 0,060 х х К,) х V + 0,24 х п х Кг х Ф -для рис. 4а; Р0 = 0,76 х Рп 00= (0,672 - 0,7 х 30+ 0,0235 х х К^ х V + 0,3 х п х К2 х Ф; для рис. 46; Р0 = 0,7 х Рп (28)
Рентабельность (< 0,5)
Р = Р/Б = [(0,975 - 1,385 х К, -^/(О.Огб + 1,385 х К, + К2)] < 0,5, т. е. 2,0775 х К, + 1,5 х К, > 0,9625 И = Р/Б = [(0,975 - в0- 1,385 х х К^ х У-п х К, х Ф)/(0,025 + + Б0+ 1,385хК^хУ + пхК.хФ)] <0,5 т. к. У = 1 000, Б0= 0,1, Ф = 100, п = 0,125 [(0,975-0,1 - 1,385 х К,) х 1000 - 0,125 х 100x^/(0,025 + + 0,1 + 1,385 х К,) х 1000 + + 0,125 х 100 х К,)] < 0,5 (875 - 1385 х К,-12,5 х х К,)/(125 + 1385 х К, + 12,5 х К,) < 0,5 2077,5 х К, + 18,75 х К, > 812,5 (29)
Примечание. В расчетах учтено изменение налога на прибыль, если раньше Р0 = 0,7 х Рп, то теперь Р0 = 0,76 х Рп, причем в новых моделях для сравнения рассматриваются оба варианта.
Очевидно, что множество всех точек х е М содержится в четырехугольнике пАВСЕ. С помощью градиентов УР0, VD0, VZ теперь без труда можно найти оптимальные точки. Рисунки 4а и 4б требуют небольшого пояснения, т. к. их оформление не совсем согласуется с изложенным способом решения задач: точка х выбрана за внешними границами М с привязкой к ней градиентов VP0, VD0, VZ и линий уровня целевых функций Р0, D0, Z только для того, чтобы освободить множество М от большого количества линий и векторов.
безубыточность: 1 395 К1 + 12,5 К2 860 рентабельность: 2 077,5 К1 + 18,75 К2 812,5.
На рисунке 4а видно, что точка Е(0,373; 2) является оптимальной, следовательно:
Математическая модель задачи отличается от (33) лишь записью целевой функции Do:
По аналогии с предыдущими моделями:
Fm(V„ K) = z = 1 000 K1 ^ max.
Из самой аналитической формы функции Z видно, что ее максимум достигается при максимально возможном K1. Однако совокупность ограничений (32) вносит свои коррективы, и на рисунках 4а и 4б мы видим, что оптимальной является точка Б(0,61; 1).
Z = 1 000 X 0,61 = 610.
Максимум остаточной прибыли
Математическая модель задачи:
Fm(V, K) = Po = 654 - 1 060K1 - 9,5K2 ^ max
0 < K1 < 1
1 < K2< 2
(33)
Po(E) = 654 - 1 060 x 0,373 - 9,5 x 2 = 239,62.
Максимум остаточного дохода
Fm(V, K) = Do = 654 - 60 K1 + 3 K2 ^ max.
Точка E(0,373; 2) вновь является оптимальной (рис. 4а):
Do(E = 654 - 60 x 0,373 + 3 x 2 « 637,62.
Максимум заработной платы
Обобщенные выводы по критериям Р0, Do, Z
Полученные новые результаты можно представить в виде таблицы 3 (вариант Р0 = 0,76Рп) и таблицы 4 (вариант Р0 = 0,7Рп), которые ЛПР и должен использовать, принимая решение о целесообразности введения ускоренной нормы амортизации основных фондов.
Критерий оптимизации Соответствующие значения экономических показателей
Ро 0. г э,
Ро 239,65 637,62 373 25
0о 239,65 637,62 373 25
г -2,1 620,4 610 12,5
Таблица 3
Из таблицы видно, что при оптимизации заработной платы Z (и заданных значениях неизменных параметров: V = 1 000, S0 = 0,1, Ф = 100, п = 0,125) нецелесообразно вводить ускоренную амортизацию.
Справочно: Р0 = (0,73 - 0,76 х S0 - 1,060 х К1) х V - 0,76 х п х К2 х Ф;
D0 = (0,73 - 0,76 х S0 - 0,060 х К1) х V + 0,24 х п х К2 х Ф;
Z = К1 х V; Sa = п х К2 х Ф.
Критерий оптимизации Соответствующие значения экономических показателей
Ро 00 г Эа
Ро 220,266 618,266 373 25
□о -1,4 623,6 600 25
г -2,476 620,085 610 12,5
Таблица 4
Из таблицы видно, что при заданных значениях 4-х неизменных параметров: V = 1 000; S0 = 0,1; Ф = 100; п = 0,125 нецелесообразно вводить ускоренную амортизацию при оптимизации не только заработной платы ^), но и остаточного дохода предприятия (D0).
Справочно:
Р0 = 0,7Рп = (0,672 - 0^0 - 0,9765К,) х V - 0,7 х п х К2 х Ф = 602 - 976К, - 8,75К2;
D0 = Z + Р0 + Sa = (0,672 - 0^0 + 0,0235К?) х V + 0,3 х п х К2 х Ф = 602 + 23,5К + 3,75К2; Z = 1 000К,;
Sa = 12,5К2.
На рисунке 4б видно, что оптимальная точка для Р0 - Е (0,373; 2); оптимальная точка для D0 - А (0,6; 2); оптимальная точка для Z - В (0,61; 1).
Вычислим значения экономических показателей в оптимальных точках:
Е (0,373; 2) А (0,6; 2)
В (0,61; 1)
Р0 = 602 - 976,5 х 0,373 - 8,75 х 2 « 220,266; Z = 1 000 х 0,373 = 373; D0 = 602 + 23,5 х 0,373 + 3,75 х 2 « 618,266; Sa = 12,5 х 2 = 25;
D0 = 602 + 23,5 х 0,6 + 3,75 х 2 « 623,6;
Р0 = 602 - 976,5 х 0,6 - 8,75 х 2 « -1,4;
Z = 1 000 х 0,61 = 610;
Р0 = 602 - 976,5 х 0,61 - 8,75 х 1 « -2,476; D0 = 602 + 23,5 х 0,61 + 3,75 х 1 « 620,085;
Z = 1 000 х 0,6 = 600;
Sa = 12,5 х 2 = 25;
Sa = 12,5 х 1 = 12,5.
Рис. 4а. Графическая интерпретация задач оптимизации Р0, D0, Z на совмещенном рисунке (для случая i = 4,} = 2, Р0 = 0,76 х Рп)
Р0 = 0,76Рп = (0,73 - 0^0 - 1,06К,) х V - 0,76 х п х К2 х Ф = 654 - 1 060К - 9,5К2;
D0 = Z + Р0 + Sa = (0,73 - 0,76 х S0 - 0,06 х К1) х V + 0,24 х п х К2 х Ф = 654 - 60К, + 3К2; Z = 1000К,.
Рис. 4б. Графическая интерпретация задач оптимизации Р0, D0, Z на совмещенном рисунке (для случая i = 4,} = 2, Р0 = 0,70 х Рп)
Р0 = 0,7Рп = (0,672 - 0^0 - 0,9765К?) х V - 0,7 х п х К2 х Ф = 602 - 976,5К - 8,75К2;
D0 = Z + Р0 + Sa = (0,672 - 0,7So - 0,0235К?) х V + 0,3 х п х К2 х Ф = 602 - 23,5К + 3,75К2; Z = 1000К,.
Максиминная задача оптимизации денежных доходов работников
(алгоритм Гросса)
Основная идея.
Составить первичное назначение. Составить соответствующую матрицу, решить для нее задачу о наибольшем паросочетании и если по-прежнему удается найти полное паро-сочетание, снова попробовать видоизменить матрицу, запомнив значение функционала. Этот алгоритм указал Гросс.
Возможные сложности.
1. Как составить первое паросочетание?
2. Как видоизменять матрицу, чтобы следующий результат (значение функционала) был не хуже предыдущего?
3. Когда завершать процесс улучшения значения функционала?
Способы преодоления.
1. Для начального назначения выбрать диагональные элементы матрицы, т. е.
1-го работника назначить на 1-ю должность, 2-го - на вторую и т. д.
2. Порождение матрицы В производится по правилу: Ьр, j] = 1, если размер зарплаты при назначении ьго работника на j-ю должность меньше найденного на предыдущем шаге значения функционала и Ьр, j] = 0 в противном случае.
3. Признаком окончания итерационного процесса является невозможность на определенном этапе построить наибольшее паросочетание. Тогда лучший результат и соответствующее назначение найдены на предыдущем шаге.
Формальное описание алгоритма Гросса.
Ввод:
Ар, Л;
Инициализация:
р[М] - начальное назначение, присвоить р = (1, 2,...,М) (число на ьм месте показывает номер работы, на которую назначен ьй человек);
f - значение функционала, присвоить f = Мах(ар, 0) (максимальный элемент на главной диагонали);
Общий шаг:
1. Породить матрицу В в цикле по iот 1 до М в цикле по j от 1 до N
если ар, j]< f то Ьр, j]=1 иначе Ьр, j]=0
2. Использовать Алгоритм нахождения наибольшего паросочетания, ввод - матрица В, вывод - матрица Nas_u.
3. Проверить, является ли паросочетание наибольшим: f_new: = Б (большое число).
В цикле по iот 1 до М если nas_u р] ф -1, то: если ар, nas_u р] < f_new, то f_new: = ар, nas_u р]] иначе выход (паросочетание неполное и лучший результат был получен ранее).
^ = f_new (паросочетание наибольшее, обновляем значение функционала и лучшее назначение)
в цикле по i от 1 до М рр]= nas_u р]
Вывод:
Р; ^
Задача
Назначить пять имеющихся сотрудников на вакантные должности так, чтобы самый большой размер оплаты труда оказался минимально возможным. Размер оклада (тыс. р. в месяц) приведен в таблице «Ввод: А^, j) ».
Решение:
Категория постановки задачи - максиминная. Способ решения - алгоритм Гросса.
Ввод: А(у>
н 1' 2' 3' * 5*
1 8 7 5 3 4
2 5 4 4 2 3
3 8 2 7 4 4
4 5 6 5 4 4
5 8 3 7 9 4
Инициализация: ґ=Б (большое число)
В цикле по і от 1 до 5, по j от 1до 5 р(і) = і, т. е. №в_и = [1,2,3,4,5] £=8, т. к ґ = них (а[і, і])
(макс. элемент из главной диагонали)
Общий шаг
1-я итерация, Ь(і, j)
2-я итерация, Ь(і, j)
1' 2' 3' 4' 5*
1 0 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1
3 0 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1
5 0 1 1 0 1
г)©©©
£_пе\у = БахБ,
при 1=1 находится новый
функционал: а(1, 2) = 7 < 8
р® = N38.11® = {2,1,3,4,5}
í=l
Переходим к итерации 2 Для наглядности ребра и© = -1 на рисунке ж показаны.
1' 2' 3' 4' 5*
1 0 0 1 1 1
2 1 1 1 1 1
3 0 1 0 1 1
4 1 1 1 1 1
5 0 1 0 0 1
£_пе\у = Ба) < Бш,
при 1 = 3 £_пе\у: а[3,4] = 4.
Итак,
f =4
р(1)=Ка8_и(1)={5,1,4,3,2} Переходим к 3-й итерации Для наглядности ребра и® = -1 на рисунке ж показаны.
©© © © © А А Д А А
©©©©©
3-я итерация, Ь(і, j)
1' 2' 3' 4* У
1 0 0 0 1 0
2 0 0 0 1 1
3 0 1 0 0 0
4 0 0 0 0 0
5 0 1 0 0 0
Построить наибольшее паросочетание ж уд ается, т. к. вершина 4 заведомо ненасыщенная и[4] = О Р® = {4,5, -1,0,2}
Вывод: лучший результат и соответствующее назначениз найдены на предыдущем шаге (итерация 2).
Ответ. Р = {5, 1, 4, 3, 2}
F = 7.
Вывод. Решая и реализуя максиминную задачу на практике, работодатель предупреждает социальную напряженность в трудовом коллективе, т. к. не допускает аморального разрыва между доходами низко и высокооплачиваемых работников, который в рекомендуемом варианте составляет 66,6...% (5/3100 - 100), а в развратном - 300% (8/2100 - 100).
Замечание. Такие задачи рекомендуется решать, а результаты внедрять при создании новых предприятий, т. е. на старте. Далее, когда предприятие встало на ноги и уверено в удержании своего устойчивого финансового положения, можно и даже нужно переходить к решению задачи оптимального назначения сотрудников на вакантные должности так, чтобы суммарный фонд заработной платы был максимальным. А это уже максисуммная постановка задачи, которая решается по алгоритму Егервари (алгоритм, написанный венгром Егервари еще в 1931 году).
Заключение
Сегодня во всем мире признается приоритет экономики в обеспечении внутренней и внешней безопасности государств, в регулировании социальных отношений, складывающихся в отношении производства и распределения благ в обществе на базе основополагающих принципов: эффективности производства, выражающегося в снабжении граждан государства максимальным количеством продуктов при заданном объеме затрат или в выпуске заданного количества продуктов при минимальном объеме затрат; справедливости распределения благ, выражающегося в стремлении сгладить неравенство доходов граждан страны и в увеличении доходов каждого по его вкладу в рост эффективности производства; стабильности экономической жизни государства при низких темпах инфляции и безработицы.
Конечный продукт для граждан государства или конечный продукт производственного назначения складывается из следующих продуктов:
• для потребительского рынка;
• для развития инфраструктуры - науки, культуры, здравоохранения, жилищно-коммунального хозяйства, бытового обслуживания, пассажирского транспорта и связи;
• оборонного назначения;
• для резервов на случай чрезвычайных ситуаций;
• для внешнеэкономической деятельности.
Исходя из государственных приоритетов должно определяться оптимальное распределение национальных ресурсов по каждому непроизводственному направлению конечного продукта.
В соответствии с принципом эффективности производства желательно использовать национальные ресурсы таким образом, чтобы получить быстрый рост конечного продукта непроизводственного назначения в оптимальном ассортименте при обоснованном распределении доходов и стабильности государства. Координация роста доходов граждан в зависимости от их вклада в рост эффективности производства и сглаживание неравенства их доходов становятся основой внутренней экономической безопасности. Для гарантии стабильности государства нужен не только быстрый рост, но и устойчивое увеличение темпов экономического роста на базе развития отраслей как определяющих научно-технический прогресс, так и обеспечивающих сбалансированное развитие экономики и достижение полной занятости исходя из динамики структуры конечного спроса. Естественно, что при этом обеспечивается и стабильность национальной валюты.
Для решения этих и других конкретных задач и применяются экономико-математические методы и модели, рассмотренные в настоящей статье.
Литература
1. Налоговый кодекс Российской Федерации: Налоговые ставки. Часть II, глава 25, статья 284.
2. Лапуста М.Г. Справочник директора предприятия. М.: Инфра-М, 1996.
3. Бердникова Т.Б. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия. М.: Инфра-М, 2002.
4. Геммерлинг Г.А., Ломакин О.Е., Шленов Ю.В. Практический курс предпринимательства. «Ваше дело». М.: Бином, 1997.
5. Замков О.О, Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: Дис, 1998.
6. Киселев М.В. Анализ и прогнозирование финансово-хозяйственной деятельности предприятия. М.: АИН, 2001.
7. Савицкая Г.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. Минск: Новое знание, 1999.
