Приемы решения математических задач на занятиях элективного курса «Комплексные числа» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51

doi 10.24411/2221-0458-2020-10042

ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ЗАНЯТИЯХ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»

Кара-Сал Н.М., Власова Л.Н., Танова О.М.

Тувинский государственный университет, г. Кызыл

METHODS OF SOLVING MATHEMATICAL TASKS IN THE ELECTIVE COURSE

OF COMPLEX NUMBERS

N.M. Kara-Sal, L.N. Vlasova, O.M. Tanova Tuvan State University, Kyzyl

Статья посвящена различным приемам решения математических задач по теме «Комплексные числа». Рассматривается система заданий, связанных с нахождением множества точек на комплексной плоскости, заданных уравнениями и неравенствами, и их изображениями. Особое внимание обращается на связь аналитического и геометрического приемов решения задач. Приведены примеры различных типов задач из материалов элективного курса, который является одним из путей реализации профильного обучения школьников 11 класса. Целью данного элективного курса является углубление и расширение понятия комплексного числа, а также знакомство учащихся с элементами теории комплексных чисел. Предлагаются задачи для самостоятельного решения обучающимися для освоения знаний и способов действий на метапредметной основе.

Ключевые слова: элективный курс; профильная подготовка; комплексные числа; множество точек плоскости; аналитический прием; геометрический прием

The article is devoted to various methods of solving mathematical problems on the Complex numbers. A system of tasks related to finding of set of points on the complex plane given by equations and inequalities, and their figures are considered. A great attention is paid to the relationship of analytical and geometric techniques for solving problems. Examples of various types of tasks from the materials of the elective course, which is one of the ways to implement specialized training for 11th grade students, are given. Tasks for students to independently solving to master knowledge and methods of action on a meta-subject basis are proposed.

Keywords: elective course; specialized training; complex numbers; many points on the plane; analytical technique; geometric technique

Согласно ФГОС второго поколения особое внимание обращается на необходимость профессиональной

ориентации школьников, в связи с чем в требованиях ФГОС подчеркивается значимость старшей ступени общего образования для дальнейшего

продолжения обучения. На старшей ступени ФГОС предусматривает изучение школьниками обязательных учебных предметов, которые входят в учебный план. Это предметы по выбору, дополнительные учебные предметы, в том числе для углубленного изучения. Как известно, основу ФГОС составляет системно-деятельностный подход, который предполагает обеспечение готовности школьников к непрерывному образованию, что является условием дальнейшей успешной профессиональной деятельности [1]. Для реализации этой задачи используются различные формы организации учебного процесса, среди которых элективные курсы играют важную роль в профильном самоопределении обучающихся.

Элективные курсы направлены на создание условий для выбора каждым обучающимся профиля обучения и будущего направления деятельности. Кроме того, они призваны для удовлетворения индивидуальных

образовательных интересов и потребностей школьника и развития содержания

некоторых изучаемых в школе учебных предметов, к числу которых относится и математика.

Среди существующих типов элективных курсов по классификации В.А. Орлова можно выделить предметные, межпредметные, а также курсы, не входящие в базисный учебный план [6]. Как правило, предметные элективные курсы по математике делятся на две группы. Элективные курсы первой группы направлены на углубленное изучение математики и имеют с базовым курсом тематическое и временное согласование. В этом случае математику можно изучать не на профильном, а на углубленном уровне. Такие курсы рассчитаны на учащихся физико-математического или естественнонаучного профилей. А ко второй группе относятся элективные курсы, где углубленно изучаются отдельные разделы математики, которые входят в обязательную программу.

В статье остановимся на разработанном нами и проведенном в течение последних лет в 11 классе элективном курсе «Комплексные числа», целью которого являются углубление и расширение развития понятия числа, знакомство учащихся с элементами теории комплексных чисел. Курс рассчитан на 20 часов, основное содержание которого связано с определением комплексного числа и действий над комплексными

числами в различных формах, с геометрической интерпретацией

комплексных чисел, знакомством с полярной системой координат и применением комплексных чисел. Основное внимание уделяется решению различных задач, основу которых составляют изображения множества точек, задаваемых на комплексной плоскости уравнениями и неравенствами. Не останавливаясь подробно на описании всех занятий элективного курса, остановимся лишь на системе задач по теме «Множества точек комплексной плоскости, заданных уравнениями и неравенствами». Задания сгруппированы по трем типам: задания на определение множества точек плоскости, заданные уравнениями; задания на определение множества точек плоскости, заданные неравенствами; задания повышенной сложности.

В процессе усвоения системы математических знаний в учебной деятельности важнейшим видом является решение задач различными приемами. При этом обучающемуся необходимо усвоить содержание соответствующего приема. Как известно, любой прием состоит из действий, в которых анализируются отношения и связи в условии задачи [3].После этого составляются общие предписания, которые приводят к решению задачи. При решении задач на нахождение множества точек плоскости и их

изображений рассматриваются различные приемы, среди которых основными являются аналитический и геометрический приемы решения задач.

В следующих примерах показано применение этих приемов. Рассмотрим первую группу заданий.

Пример 1. Какое множество на

г-з „0

плоскости задано уравнением — = 2 ? Решение. Для

г+1

решения задачи необходимо проанализировать условия, для того, чтобы определить соответствующие действия:

1) Преобразуем уравнение к виду | аг + Ъ | = | сг + й |.

Исходное уравнение преобразуем к виду: |г — 3| = 2 ■ |г + 2|. Так как

|г — 3| = |х + /у — 3| = * |(х —3 ) + /у| =7(х —3)2+ у2 и 2 ■ + 1| = |х + /у + 1| =

|(х + 1) + iy| = 2 ■ ^(х + 1)2 + у2, то

приходим к уравнению: ^(х — 3 )2 + у2 =

2 ■ ^(х + 1 )2 + у2 . Возведем в квадрат обе части равенства и преобразуем к виду

(х+;)2+У2 = (;)2.

2) Определим, к какому типу линий относится полученное множество точек. Так как ( ) ( ) представляет уравнение окружности с центром в точке (а; Ъ ) радиуса R, то приходим к выводу, что это уравнение

7

окружности с центром в точке О( — -; 0 ),

радиуса R=

В данном случае мы обратились к аналитическому приему решения задачи. Если же рассмотрим геометрический прием, то он окажется рациональнее.

Так как |z — 3| геометрически означает расстояние от точки z до точки 3, то есть |z — 3|=p(z;3 ), а |z + 1| = p(z; — 1). Тогда уравнение |z — 3| = 2 ■ | | означает множество точек плоскости, для которых расстояние от точки 3 в два раза больше расстояния от точки -1. Это означает, что искомое множество представляет собой множество точек плоскости, отношение расстояний которых от двух данных точек 3 и -1, является постоянным и равно 2. А это множество образует на плоскости окружность.

Пример 2. Выяснить, какая линия

. 2

задается уравнением z=t+it, — оо < t < +оо.

Решение. Пусть z=x+iy, тогда

22 z=x+iy=t+it, следовательно x=t, y=t

( )данное параметрическое

уравнение задает параболу : { _ ^ 2

В данном примере был рассмотрен аналитический прием решения, основанный на использовании параметрического задания кривой.

Пример 3. Не обращаясь к аналитическому методу, выяснить, какое

множество точек задано уравнением |z-2| + |z + 2| = 4.

Решение. Выражение |z — 2| означает расстояние от точки z до точки 2, а выражение | z + 21 - расстояние от точки z до точки -2. Это можно записать так: p(z; 2 ) и p(z; —2 ). Тогда р (z ; 2 ) + p(z; — 2 ) - сумма этих расстояний. Равенство p(z; 2 ) + p(z; —2 )=4 означает множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до точек 2 и -2 равна 4.

/Чу

Рис. 1

Обозначим А(-2;0), В(2;0). Тогда искомое множество представляет собой отрезок АВ оси Ох, то есть множество точек отрезка АВ.

Можно убедиться, что аналитический прием в данном случае является нерациональным по сравнению с геометрическим.

Пример 4. Какое множество точек задается уравнением г2 + т.2 = 1, где Т=х-¡у, сопряженное к z=x+iy?

Решение. Так как z=x+iy, то преобразовав уравнение, имеем ( х + 1у)2 2 = (х — 1у)2, следовательно

2 — 1 или---— = 1 Это

0,5 0,5

имеем

уравнение гиперболы.

В этом примере мы воспользовались аналитическим приемом, состоящим из двух действий, как в примере 1.

Пример 5. Пользуясь результатами решения примера 3, выяснить, какое множество точек задано уравнением |г — 2| + |г + 2| = 1 .

Решение. Равенство означает, что нужно найти такие точки на плоскости, для которых сумма расстояний до точек 2 и -2, равна 1. Обращаясь к рисунку 1, убеждаемся, что таких точек нет. Поэтому ответом задачи будет пустое множество. Заметим, что геометрический прием, использованный здесь, намного сокращает действия по решению задачи.

После рассмотрения примеров можно дать учащимся задачи для самостоятельного решения.

Выяснить, какие линии заданы уравнениями, и изобразить эти линии на плоскости.

1) z=it+2, где (—оо < t < + оо )

2)

г—1 г+1

|т — 2| — |т + 2| = 1

3)

4)

5)

6)

z=t2-p где (0 < t < + оо)

= 1

Re- = R>0

z R

z = e ,

ос — в e щ e ств e нн ая к о н станта;

7) |z — а| + |z — b| = С, а, b е Z, C>0.

Часто при решении задач, в которых требуется изобразить различные фигуры, используются неравенства вида •Ф ^)>0 или Ф ^)<0, где Ф (z) функция комплексной переменной z. Функцию же комплексной переменной можно представить как функцию от двух действительных переменных х и у, то задача сводится к неравенствам вида: Ях;у) < 0 или £"(х;у) > 0 . Как правило ( ) является непрерывной функцией, за исключением может быть, некоторых точек. Для решения поставленной задачи сначала необходимо найти множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству F(х;у)=0, а затем уже перейти к изображению множества точек, соответствующих неравенству ( ) ( )

Рассмотрим примеры, в которых искомое множество задается неравенством.

Отличие решения второй группы заданий, к которой относится данная, заключается в том, что аналитический прием состоит уже из трех действий. Первые два действия аналогичны приему решения задач первой группы, а третье действие сводится к разбиению плоскости на различные области и определения искомой области.

При м ер 6. Найти множество точек комплексной плоскости, задаваемое

г-З

неравенством

Z+1

> 2.

Решение. Как было указано раньше, сначала найдем множество точек,

3 = 2 . Это

удовлетворяющих равенству

г+1

равенство равносильно следующему | | | | . Воспользуемся

результатами решения задачи 2 и получим

окружность (х + 0 + У2 = (■) . Тогда

плоскость разбивается на две области -

внутренность и внешность круга. Для того,

чтобы выяснить внутренность или

внешность круга, возьмем так называемую

«контрольную точку» в одной из областей.

о-з

Например, 2=0, тогда

0+1

= 3 . Так как 3 >2

и получили верное неравенство, значит, заданное неравенство представляет собой

та 8

внешность круга радиуса К=- с центром в

7

точке О( — -; 0 ).

Пример 7. Какое множество точек комплексной плоскости представляет собой неравенство | | ?

Решение. 1) Так как 7=х+1у, то г2 + 1 = (х + /у)2 + 1 = (х2 — у2 + 1) + 2 ху1. Тогда равенство |г2 + 1| = равносильно

равенству ^(х 2 — у2 + 1 )2 + ( 2 ху) 2=1, откуда имеем ( ) ( )

После осуществления соответствующих преобразований получим ( )

2 (х2 — у2)=0. По заданному уравнению сложно сразу определить, какая это фигура. Поэтому перейдем к полярным координатам, так как переменные х и у

связывают их квадраты, представим их в

(X = г ■ созср виде 1у = г-5Ыр , Н = — 2С 0 5

2) Данное уравнение

представляет собой лемнискату,

изображение которой показано на рис. 2.

3) Вернемся к условию |г2 + 1| < 1. Границей заданного множества точек, задаваемого этим неравенством, является лемниската. Плоскость

разбивается данной кривой на 3 области Б2, О3. Чтобы выяснить, какая часть плоскости изображается данным, неравенством, возьмем «контрольные точки» в каждой из них. Например, 7=/'; 7=-/; 7=1. Проверка показывает: |/2 + 1| = 0; 0<1, а |(—/)2 + 1| = 0; 0 < 1; |12 + | Поэтому неравенство

| | задает внутренность

лемнискаты (см. рис. 2).

Пример 8. Выяснить, принадлежит ли точка 7=0 множеству точек плоскости, задаваемым неравенством | | ( ) .

Решение. Сначала выясним, какое множество задается равенством | | ( ) . Используя понятие модуля

комплексного числа |z| = — х^+у2, имеем

-— х 2 + у2 + у = 1, откуда имеем уравнение

параболы

У =

1-х

Тогда данное

неравенство | | ( ) примет вид

1-х2

у —-—. Это внутренность параболы.

Проверим, принадлежит ли точка z=0 этому множеству, подставив х=0 и у=щ в

неравенство: 0 < —- то есть 0 < 1. Значит,

^ 2 2

точка z=0 принадлежит множеству точек плоскости, заданной неравенством | | /ш(т) < 1.

Третью группу составляют задания повышенной сложности, в которых используются дополнительные условия, требующие действия на метапредметной основе.

Пример 9. Найти наименьший модуль комплексного числа z, для которого выполняется условие | т — 11 = + VII

Решение. Используя понятие модуля комплексного числа, получим равенство

^х2 + (у — 1 )2 = ^(х + VI)2 + у2 . Тогда

х2 + (У — 1 )2 = (х + VI)2 + у2 , откуда

у = — VI* — 1 . Это уравнение прямой, для которой найдем требование в условии задачи. Наименьшим модулем комплексного числа при заданных условиях будет наименьшее расстояние от начала координат 0(0;0) до прямой у = — VI* — 1 . Изобразим эту прямую на плоскости.

Прямая пересекает ось Ох в точке К(-

л/З

—; 0), ось Оу в точке М(0;-1). Искомое

число представляет собой длину перпендикуляра ОА к данной прямой. Длину перпендикуляра можно найти разными способами. По формуле

и *у° +С| __ А х + 5у + с = 0 -

где

V .д 2 + в2 '

каноническое уравнение прямой и ( )- заданная точка. Можно рассмотреть треугольник ОМК и найти высоту АО, когда известны длины сторон ОК и ОМ по формуле площади треугольника.

1 1 VI VI

5 =-ОЫ-ОМ = -■ 1 — = —

2 2 3 6

1

С другой стороны, 5 = -М N ■ А О ,

23 1

откуда А О = — = - . Таким образом,

условию | т — 11 = + VII удовлетворяет 1.

Пример 10. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, симметричных точкам кольца | | 2 , отраженного симметрично оси Ох [4].

Решение. Так как неравенства | | и | | представляют

собой внутренность круга с центром в точке (0;1) радиуса 2 и внешность круга с центром в точке (0;1) радиуса 1

соответственно, то в пересечении двух множеств получаем кольцо | | 2 (см. рис. 4).

Тогда отражением этого кольца симметрично оси Ох будут точки кольца 1 < |г — / | < 2 (см. рис. 5).

В результате изучения этой темы учащимся были предложены задачи для самостоятельного решения.

I. Выяснить, какая линия задана уравнением [2].

1) 2)

3)

4)

5)

Z-1

=1

z-2

|z-4| + |z + 4| = 2 . |z-2| - |z + 2| = 1 . R>0

l l Re- = -

z R

/ 771-^—^=0

где zo и Z1

комплексные числа 70 Ф 71.

6) |г — а| + |г — Ь| = с . II. Изобразить множество точек комплексной плоскости [1, 5].

< ar#(z + 1 - i) < I |z-i<1| '

< 1

1.

2.

3.

4.

5.

>2;

Z+1

1+1

Z

Re(z2)>1; z+2 >2

z-l

|z| -Äez < 0 ;

7.

8.

9.

10.

11. III.

|z| + Rez > 1 ;

Re Q + 0</m©

|z - i| + |z + i| > 4 ;

2

z—2i

z+1

z-2

> 1

z+t

1) Найти наибольший модуль комплексного числа z, для которого справедливо неравенство |iz — 3i + 4| < |i|.

2) Множество точек комплексной плоскости удовлетворяет условию | | . Найти область

Rez

изменения выражения —.

Imz

3) При каких значениях параметра b среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию |

| .b, существует только одно такое, что z3e R ?

4) Известно, что 2 < |z + 1 — i| < 3. Изобразить множество точек комплексной плоскости, соответствующих числу, сопряженному к z.

5) Определить, для какого комплексного числа вида выражение ||z — 1 — 2i| — |z — 2 — i|| будет наибольшим.

6) Найти наибольший модуль комплексного числа z, удовлетворяющего условию | | | | .

Практика проведения занятий по данному элективному курсу показала, что при изучении комплексных чисел у

учащихся возникают различные трудности. Это объясняется спецификой сложности математического содержания материала; недостаточной сформированностью

различных приемов решения задач у учащихся; мотивацией школьников, связанных с отсутствием таких заданий на ЕГЭ по математике. С другой стороны, изучение этой темы способствовало расширению кругозора учащихся, развитию математических способностей и Библиографический список

1. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович [и др.]. - Москва : Мнемозина, 2015. -264 с. - Текст : непосредственный.

2. Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса. Профильный уровень : учебник. -Москва : Просвещение, 2014. - 344 с. -Текст : непосредственный.

3. Кара-Сал, Н. М. Приемы решения некоторых комбинированных уравнений / Н. М. Кара-Сал. - Текст : непосредственный // Вестник Тувинского государственного университета. №4. Педагогические науки. - 2014. - №4(23). - С. 159-167.

4. Кара-Сал, Н. М. Использование системы заданий как средства формирования предметных компетенций учащихся при обучении математике / Н. М. Кара-Сал,

логического мышления, овладению аналитическим и геометрическим приемами, необходимыми для освоения знаний и способов действий на метапредметной основе, формированию интереса к математике. Кроме того, это способствует осмыслению использования теории комплексных чисел, как аппарата для применения математических методов в различных областях науки.

О. М.Танова, О. О. Шактар. - Текст : непосредственный // Вестник Тувинского государственного

университета. №4. Педагогические науки. - 2019. - №2(47). - С.47-56.

5. Мышлявцева, М. Д. Дифференцирование и интегрирование функций комплексной переменной. Практические и индивидуальные задания по теории функций комплексной переменной : учебно-методическое пособие для студентов ТывГУ / М. Д. Мышлявцева, Л. Н. Власова. - Кызыл : Издательство ТывГУ, 2000. - 70 с. - Текст : непосредственный.

6. Орлов, В. А. Типология элективных курсов и их роль в организации профильного обучения. - URL: http://www.college.ru (дата обращения: 14.09.2020). - Текст : электронный.

7. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / Министерство

образования и науки Российской Федерации. - Москва : Просвещение, 2011. - 48 с. - Текст : непосредственный.

References

1. Mordkovich A.G. et al.Algebra i nachalaanaliza. 11 klass. V dvukh chastyakh. Ch.2: Zadachnik dlya obshcheobrazovatel'nykh uchrezhdeniy (profil'nyy uroven') [Algebra and Introductory Calculus for 11th form. In 2 parts. Part 2.Task book (Advanced level)]. Moscow, Mnemozina Publ., 2015, 264 p. (In Russian)

2. Vilenkin N.Ya. et. al. Algebra i matematicheskiy analiz dlya 10 klassa. Profil'nyy uroven': uchebnik [Algebra and Mathematical Analysis for the 10th form. Adavanced level]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 2014, 344 p. (In Russian)

3. Kara-Sal N.M. Priemy resheniya nekotorykh kombinirovannykh uravneniy [Techniques for solving some combined equations]. Vestnik of Tuvan State University, Pedagogical Sciences, 2014, no. 4(23), p.159-167. (In Russian)

4. Kara-Sal N.M., Tanova O.M., Shaktar O.O. Ispol'zovaniesistemyzadaniykaksredstvafor mirovaniyapredmetnykhkompetentsiyuchas hchikhsyapriobucheniimatematike [The Use of the system of tasks as a means of

forming subject competences of students in teaching mathematics]. Vestnik of Tuvan State University. Pedagogical Sciences, 2019, no. 2(47), p.47-56. (In Russian)

5. Myshlyavtseva M.D., Vlasova L.N. Differentsirovanie i integrirovanie funktsiy kompleksnoy peremennoy. Prakticheskie i individual'nye zadaniya po teorii funktsiy kompleksnoy peremennoy: uchebno-metodicheskoe posobie dlya studentov TuvGU [Differentiation and integration of complex variable functions. Practical and individual assignments on the theory of functions of a complex variable: teaching aid for students of TuvSU]. Kyzyl, TuvSU Publ., 2000, 70 p. (In Russian)

6. Orlov V.A. Tipologiya elektivnykh kursov i ikh rol' v organizatsii profil'nogo obucheniya [Typology of elective courses and their role in the organization of specialized training]. [online] Available at: http://www.college.ru (In Russian)

7. Federal'nyy gosudarstvennyy obrazovatel'nyy standart obshchego osnovnogo obrazovaniya [Federal State Educational Standard of General Basic Education]. Ministry of Education and Science of the Russian Federation. Moscow, Prosveshchenie Publ., 2011,48 p. (In Russian)

Кара-Сал Надежда Маасовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и МПМ Тувинского государственного университета, г. Кызыл, e-mail: [email protected]

Власова Любовь Николаевна - старший преподаватель кафедры математики и МПМ Тувинского государственного университета, г. Кызыл, e-mail: [email protected]

Танова Оксана Монгушовна - старший преподаватель кафедры математики и МПМ Тувинского государственного университета, г. Кызыл, e-mail: [email protected]

Nadezhda M. Kara-Sal - Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor atthe Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Tuvan State University, Kyzyl, e-mail: [email protected]

Lubov N. Vlasova - Senior Lecturer at the Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Tuvan State University, Kyzyl, e-mail: [email protected]

Oksana M. Tanova - Senior Lecturer at the Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Tuvan State University, Kyzyl, e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 15.08.2020