Использование приема выделения полного квадрата при решении некоторых математических задач в школе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Balakhchina Tayra - Ph.D., Senior Research Associate in the Laboratory "Continuing ethnic and cultural education" of the Federal State Scientific Institution "Institute of Education minorities of the North, Siberia and the Far East" of the Russian Academy of Education, Moscow, E-mail: iokmns@bk.ru

УДК 51(077) 22.1+74.262.21

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИЕМА ВЫДЕЛЕНИЯ ПОЛНОГО КВАДРАТА ПРИ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ШКОЛЕ

Кара-Сал Н.М.

Тувинский государственный университет, Кызыл

THE USING OF THE FULL SQUARE WHILE SOVLING MATHEMATICAL EQUATIONS IN SECONDARY SCHOOL

Kara-Sal N.M.

Tuvan State University, Kyzyl

В статье рассматриваются возможности использования приема выделения полного квадрата двучлена при решении математических задач в школе.

Ключевые слова: специфический прием, прием выделения полного квадрата, классификация задач.

We have studied the possibilities of using the full square while sovling equations in secondary school.

Key words: specific device, device of calculating the full square, classification of sums.

Согласно ФГОС установлены требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы: личностные; метапредметные; предметные. Метапредметные требования включают в себя, в том числе межпредметные понятия и универсальные учебные действия, а предметные - специфические умения для данной предметной области [1].

Как известно, качество знаний обучающихся зависит, прежде всего, от особенностей той познавательной деятельности, в которую эти знания включены. Поэтому учитель в своей работе должен учитывать как общие, так и специфические виды деятельности.

Полноценное усвоение знаний предполагает формирование как общих, так и познавательных действий, которые составляют специфические приемы, характерные для той или иной области знаний. Это означает, что формирование этих приемов возможно только на конкретном предметном материале.

Как отмечает Н.Ф. Талызина, эти действия вначале входят в состав познавательной деятельности как предмет усвоения, а затем уже могут использоваться в качестве средств усвоения новых действий [2].

В психолого-педагогической литературе указывается, что каждое действие представляет собой взаимосвязь нескольких компонентов - ориентировочного, исполнительного и контрольного (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Н.Ф. Талызина и др.) [2, 3, 4]. Ориентировочный компонент кроме цели, объекта действия включает так называемые обосновывающие знания, которые определяют выбор системы операций, и операционные знания, которые показывают, какие и в каком порядке нужно выполнить операции. С действием соотносится прием его выполнения. Он предполагает взаимосвязь обосновывающих, операционных знаний и исполнительного компонента действия.

Как известно, формирование и использование специфических приемов происходит в процессе работы с материалом определенного предметного содержания.

Так, если обратиться к школьному курсу математики, то для него характерны некоторые специфические приемы. Например, прием введения вспомогательного аргумента, прием выделения полного квадрата двучлена, прием понижения степени и т.д.

Обеспечение применения того или иного приема при решении задач соответствующего класса и является основной задачей учителя в процессе обучения математике.

В данной статье остановимся на использовании приема выделения полного квадрата при решении некоторых математических задач в школьном курсе алгебры, «Алгебры и начал анализа».

Прием выделения полного квадрата используется в процессе решения широкого класса математических задач. Прием применяется, прежде всего, при выполнении различных тождественных преобразований как алгебраических, так и трансцендентных выражений.

Впервые учащиеся встречаются с приемом выделения полного квадрата в курсе алгебры 7 класса при изучении темы «Разложение многочленов на множители».

Анализ учебников алгебры для 7 класса общеобразовательной школы показывает, что наиболее удачно этот прием излагается в учебнике А.Г. Мордковича на конкретном примере «Разложить на множители х4 + 4у4». Анализируя структуру данного двучлена, автор заостряет внимание учащихся на следующем: «... увидев сумму квадратов двух выражений, математик ищет удвоенное произведение этих выражений для того, чтобы получить полный квадрат» [5]. Подчеркивается, что примененный метод называется методом выделения полного квадрата.

К основным типам задач в теме «Тождественные преобразования выражений с переменной», в которых используется прием выделения полного квадрата, можно отнести следующие: «Найти значение выражения»; «Упростить выражение»; «Разложить выражение на множители»; «Доказать тождество».

Использование приема также часто облегчает решение других математических задач: решение уравнений и неравенств, исследование и построение графиков функций и т.д.

Для формирования приема выделения полного квадрата можно использовать группы задач, классифицированных следующим образом:

к первой группе задач, в которых используется прием выделения полного квадрата, относятся задачи по теме «Арифметический квадратный корень. Модуль числа». Как правило, они формулируются в виде требования: «Найти значение выражения», «Вычислить», «Упростить выражение» и т.д. Обратимся к примерам.

Пример 1. Упростить выражение л/7 + 4л/з .

Решение. Чтобы упростить данное выражение, попробуем представить подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы двух чисел. С этой

4л/3 4л/э = 2 • 2 • л/3

целью число 4 представим так: у * , то есть в виде удвоенного

/3

произведения чисел 2 и * 3 . Тогда напрашивается вопрос: будут ли квадраты

22 +(л/3)2 = 4 + 3 = 7

этих чисел в сумме давать 7? Имеем V ' . Значит,

7 + ^Т3 = 22 + 2• 2•ч/з + Уз)2 =(2 + Т3)2 . Тогда получим

77+4/3 ^(2 + л/3) = |2 + Щ = 2 + ^ 2+л/3 ^ 0

Пример 2. Упростить выражение ^^ .

Решение этого примера аналогично предыдущему.

Пример 3. Вычислить V9--л/9 + .

Решение. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата

9 - 4л/5 = 4 - 2 • 2 •л/? + 5 = (2-л/б) 9 + 4Л/5 = (2 + л/5Г некоторых чисел: \Л'/и

' ^ Г' ~ - ^ - ^ ~-у15\-12 +

79-4/5 ^79+4/5 = ^(2 -75) —Л2 ^ л/5) = 2-л/5| -12 +751

тогда

Используя определение модуля числа, имеем 2 - ^ 0.

тогда

2-л/5 =-2+ л/5, 2-л/5 - 2+ л/5 =-2 + 75-2-л/5 = -4

Пример 4. Упростить выражение +1 4^/а 3 . Решение. Представим выражение а - 3 = 2 •2 •>/а - 3 при условии

а > 3

Тогда

(л/ а - 3 )2 - 2 • 2 • V а - 3 + 4 = 4 - 4л/ а - 3 + а - 3 = а +1 - 4л1 а - 3 = (2 - л/а-3 )2 т.е. подкоренное выражение представляет собой квадрат разности. Тогда т]а +1 - 44а-3 =^(у/а - 3 = у[а-3 - 2

тг , V ^3 + 5-V13 + л/48

Пример 5. Упростить выражение * .

Решение. Упрощение сложного радикала начнем с упрощения выражения

13 + ^ . Представим 13 + ^ =13 + =13 + = (1 + . Тогда

л/13+ л/48 = ^(1 + 2л/3) = 1 + 2л/3 = 1 + 2л/3

= 1 + ■ .

Далее имеем

75^1+2/3) = ,14 - 2^/3

Еще раз применяя прием выделения полного квадрата, имеем

74-2/3 =д/(л/э -1)2 = л/3 -1 = л/3 -1

Дальнейшая цепочка выглядит следующим образом.

Так как 3 +^ -1 = 2 +^, то

^л/2+73 = ^ 1 + ^л/3 + (л/3)2 = ^1 + 73)2 = 1 + л/3

Пример 6. Не вычисляя корней уравнения х - 7х +10 = 0, найдите сумму кубов его корней.

Х Х

Решение. Переформулируем задачу так: если 1 и 2 - корни исходного

3 3

уравнения, то найдите 1 2 .

Применяя формулу суммы кубов, имеем

Х1 + Х2 = (х1 + Х2 )(х1 - Х1 • Х2 + Х2 ) .

Заметим, что выражение во второй скобке можно преобразовать к более простому виду, удобному для применения теоремы Виета.

Для этого используем прием выделения полного квадрата:

Х1 Х1Х2 х2 — Х1 ^ъ 2ххх2 ^ъ х2 3х х2 — (Х1 ^ъ х2) 3х^х2 — 39

В основе решения следующих типов задач также используется аналогичный прием.

«Не вычисляя корней квадратного уравнения найдите 3 3 Х х2 11

п п Х1 Х2 + Х1Х2 , 2 + 2 ~ + 2

I — Х2 . Х2 Х1 , Х1 Х2 и Т.д.».

4 4 Х1 — Х2

5

Х1 — Х2

В процессе решения этого типа задач необходимо повторить разложение

п I 1П

выражения а — Ъ на множители при степенях выше 2.

Целесообразно напомнить учащимся закономерность:

а3 -Ъ3 = (а - Ъ)(а2 + аЪ + Ъ2)

а4 -Ъ4 = (а -Ъ)(а3 + а2Ъ + аЪ2 + Ъ3)

а5 - Ъ5 = (а - Ъ)(а4Ъ + а3Ъ + а2Ъ2 + аЪ3 + Ъ4)

ап -Ъп = (а-Ъ)(ап-1 + ап-2Ъ +... + Ъп-1) В случае, когда и - нечетное натуральное число, имеем ап + Ъп = ап -(-Ъ)п = (а + Ъ)(ап-1 -ап-2 • Ъ +...-аЪп-2 + Ъп-1) Рассмотрим пример.

5 5

Пример 7. Найдите Х1 + Х2 , не вычисляя корней квадратного уравнения 2х2-5х-4 = 0.

Решение. Используя формулу а5 -Ъ5 = (а -Ъ)(а4Ъ + а3Ъ + а2Ъ2 + аЪ3 + Ъ4)

имеем

5 V 4 3 22 3 4-,

Х1 + Х2 = (Х1 + Х2)(Х1 - Х1 Х2 + Х1 Х2 - Х1 - Х2 + Х2 ) .

Применяя к выражению во второй скобке прием выделения полного квадрата неоднократно, имеем

4 4^2 2 _ 2 2 _ ( 2 2ч 2 2 _

Х| + Х2 + 2Х| • Х2 2Х| • Х2 Х| • Х2 (Х| + Х2 ) Х| • Х2 —

( 2, 2ч2 _ / 2 2ч_ 2 2 _ ✓ 2 2ч, 2 2_ Ч_ 2 2 _

(Х| + Х2 ) Х| Х2 (Х| + Х2 ) Х| • Х2 — (Х| + Х2 )(Х| + Х2 Х| Х2) Х| Х2 — — ((х х2 ) 2Х| Х2 )((Х| х2) 3Х| Х2 ) Х| Х2 .

Применяя теорему Виета: Х! +Х2 =2'5, Х1 Х2 = 2, получим

окончательно в ответе 120.

В третью группу задач можно отнести использование приема выделения полного квадрата при разложении многочленов на множители.

Не останавливаясь на решении следующих примеров, отметим, что основным приемом преобразования является прием выделения полного квадрата. Пример 8. Разложите на множители:

а) 1- х2 + 2ху-.у2

б) х2 + 4х -5

в) х4 + х2 +1

г) 81х4 + 4

8 4 т

д) а + а +1

е) а6— Ь6

Особо следует выделить задачи на тему «Квадратный трехчлен», в которых требуется найти значение параметра, при котором корни удовлетворяют определенному условию.

Рассмотрим примеры.

Пример 9. При каком значении параметрам сумма квадратов корней

уравнения х + (2 а)х а 3 = 0 является наименьшей?

Решение. Пусть х1 и х2 - корни уравнения, тогда требуется найти значение

2 2

параметра а, при которых Х1 + будет наименьшей?

Используя прием выделения полного квадрата и теорему Виета, имеем

Х2 + х2 2 = (х + х2 )2 —2х1х2 = (а — 2)2 + 2а + 6 = а2 + 2а +10 = (а — 1)2 + 9

Полученное выражение имеет наименьшее значение при а = 1.

Пример 10. При каком значении параметра Ь сумма квадратов корней

х2 + (Ь — 1)х + Ь 2—1,5 = 0 уравнения будет наибольшей?

Решение. Рассуждая аналогично, получим

Х2 + х2 2 = (х + " )2 — 2"Х = (1 — Ь)2 — 2(Ь2 —1,5) = —Ь2 — 2Ь + 4 = —(Ь +1)2 + 5

. Выражение (Ь + 1) + 5 принимает наибольшее значение при Ь = -1.

Пример 11. При каком значении параметра а корни х1и х2 уравнения х2 + 5х

— + — + а ^ 0 + а = 0 удовлетворяет неравенству "2 Х1 ?

Решение: Преобразуем левую часть

2 4- 2 ,

Хт х^ х1 х^ ах1 х^ — + — + а = —-2-—

х ^ х^ х^ х ^

неравенства 2 1 1 2 .

Используя прием выделения полного квадрата, теорему Виета получим (х1 + х2)2 — 2х1 х2 + ах1 х2 _ 25 — 2а + а2 _ а2 — 2а +1 + 24 _ (а — 1)2 + 24 ххх2 а а а

(а — 1)2 + 24 Л

----^ 0

ТГ а Т (а — 1)2 + 24 ^ 0 ~

По условию а . Так как 4 7 при любом а, то

25 Л 25

а <— 0 ^ а <—

получима>0. С другой стороны, ^ — 0, т.е. 4 , тогда имеем 4 .

Четвертую группу могут составить задачи на исследование и построение графиков функций, в которых используется прием выделения полного квадрата для преобразования аналитического выражения, задающего функцию.

Следует обратить внимание на выполнение заданий «Найти область значений функции», так как этому свойству функции уделяется недостаточное внимание в школьном курсе математики. Рассмотрим примеры.

Пример 12. Найдите область значений функций у = 3х2 — 6х +1

б) у = V 3х2 —6х + 4

у = -\/8х — 2х2 —7

У = 2 —

г) 2х2— 8х = 9

1 —^9 —л/2х2 + б42х + 9

х3 + 27

х4 + 6 х3 —27 х — 162

^ у = 1 — ^9 — л/2х + Ы2х +

е) У х + 3

У =-5-

ж) х + 3х — 8

Решение каждого из этих примеров опирается на прием выделения полного квадрата.

Остановимся на некоторых из них. у = 3х2 — 6х +1

и ~ 3х2— 6х +1 = 3(х2— 2х) +1 = 3(х — 1)2—2

Выделим полный квадрат .

х 3(х — 1)2 — 0 3(х — 1)2—2 — —2~ у — —2 Т ак как 47 , то 4 7 . Значит, ^ или

Е( у) = [—2; + ю).

у = л18х — 2х2 —7

Преобразуем подкоренное выражение, применив прием выделения полного

8х — 2х2 —7 = —2х2 + 8х — 7 = —2(х2 —4х) —7 = —2(х — 2)2 +1 квадрата .

Так как 2(х — 2)2 — 0, то —2(х — 1)2 < 0 . Тогда 1 — 2^ — 1)2 < 1 и

л/1 —2(х — 2)2 <л/1 < 1 V , у = 4х

* 4 7 . Учитывая, что функция принимает

0 < у < 1 Е(у) = [0;11 неотрицательные значения, имеем , т.е. .

у = 2—^—3—

г) 2х2— 8х = 9

Преобразуем знаменатель дроби 2х2 - 8* + 9 = 2(х2 - 4х) + 9 = 2(х - 2)2 +1. Выражение 2(* - 2)2 +1 * 1.

-1 < 2--—2-^ 2 _

Тогда 2(* 2) +1 . Значит, Е(у) = [ 1; 2).

д) Преобразуем выражение, выделяя полный квадрат,

2*2 + 6л/2* + 9 = (у[2х + 3)2 ^ + 3)2 =[¡2* + 3

> 0

и

о<Л/9- 42*+з <з -з<-^-Ш*+

* , откуда * ' .

Окончательно получим -2 < 1 -49-42* + 3 < 1. Значит, Е(у) = [-2; 1].

I*

ж) Разделив многочлен на многочлен, получим * + 3* + 9 . Выделив

3 27

*2 + 3* + 9 = (* + 3)2 + 27

У 4 х Е( у) = [6,75; +да) полный квадрат, имеем 2 4 . Тогда .

Пример 13. Изобразите множество точек на плоскости, координаты которых (х, у) удовлетворяют уравнению (неравенству): У2 + 4у = *2 -4*

а)

б)

*2 + у2 -4* + 6у = 12

*2 + у2 = 2*

*2-2* = у4 + 2у2

*2 + у2 -2*| + 4у +1 <0

е) *2+у2 < 4 у

ж)*2 + у2 +1 < 2(| * + | у|) Рассмотрим решение некоторых из них.

а) Перепишем уравнение в виде ьзуя при |у + 2 = |*-2|

у2 + 4у + 4-4 = *2-4* + 4-4

(у + 2)2 = (* -2)2

используя прием выделения полного квадрата. Тогда , откуда

. Полученное уравнение равносильно следующей совокупности

у + 2 = *-2 у + 2 = -* + 2

у = *-4 у = -*

или

Следовательно, имеем объединение двух прямых, изображение которых не вызывает затруднений.

*2 + у2 -4* + 6у = 12

Поступив

аналогичным

образом,

имеем

х2— 4х + 4 —4 + у2 + 6х + 9 —9 =12, откуда (х — 2)2 + (у + 3)2 =1. Имеем окружность радиуса 1 с центром в точке (2; -3).

д)

х2 + у2 — 2|х| + 4у +1 < 0

Выделяя полный квадрат получим

I 12 II 9

х —2х+1+у +4у+4<4

или

(|х — 1)2 + (у + 2)2 < 4

хз х > 0 (х — 1)2 + (у + 2)2 < 4 - -

Если х > 0, то имеем 4 7 ^ 7 . Это круг радиуса 2 с центром

в точке

(1; -2).

Если х ^ 0, то имеем (х +1) + (у + 2) < 4, что представляет собой круг радиуса 2 с центром в точке (-1; -2).

Изобразим на плоскости полученное множество точек (рис. 1).

Рис. 1

х2 + у2 +1 < 2(|х + | у)

ж)

Выделив полный квадрат, представим неравенство в виде

х2 — 2х+1+1у2 — 2у+1—1 < (х—1)2+(у—1)2 < 1

(1; 1),

Раскрывая 11 и 1 1, получим четыре круга радиуса 1 и с центрами в точках

(-1; 1), (1; -1), (-1; -1). Изобразим на плоскости (рис.2).

К пятой группе отнесем некоторые уравнения и неравенства и их системы, в решении которых используем прием выделения полного квадрата. Остановимся на некоторых из них.

Пример 14. Решить уравнение * + * - 4* + 5 = 0 .

Решение. Перепишем уравнение в виде * = -* + 4* - 5 .

*4 = -(*2 -4* + 4)-1

Выделив полный квадрат в правой части, имеем

или

*4 = -(*-2)2 -1

т *4 >0 -(*-2)2 -1 ^ 0

Т ак как * > 0, а 4 7 , то уравнение не имеет решений.

Пример 15. Решить уравнение ^97 -* + 4* -15 = 4 .

Г97- * > 0

в ^ I*-15 > 0 *е [15;97]

Решение. Учитывая условие 1 или 1 ' J.

в ^97- * = г, V *-15 = г г > 0, г > 0 т

Введем постановку ' , где ' . Т огда

г + г = 4 г4 = 97-*

имеем

г4 = *-15

Л 4 _ о--)

Складывая почленно последние два уравнения, получим 1 + г = 82. Применяя прием выделения полного квадрата к левой части уравнения,

(г2 + г 2)2-2г2 г 2 = 82

получим .

Применив этот прием еще раз, имеем (( ) ) = . Тогда

(гг)2 - 32гг + 87 = 0

Решив квадратное уравнение относительно tz, получим tz =3, tz = 29. Так как t +z = 4, имеем решения (3; 1), (1; 3). Переходя к переменной х, получим

хг = 16, х2 = 96.

Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Пример 16. Имеет ли корни уравнение 12 *>/* + 3 = 9* + 4* +12 ?

г, о 4* +12 = 4(* + 3) ^

Решение. Заметим, что 4 Л Тогда уравнение

9*2 -12*л/* + 3 + 4(* + 3) = 0 перепишем в виде 1 ' .

Применяя прием выделения полного квадрата, имеем (3*)2 -12*л/* + 3 + (2л/* + 3)2 = 0

Или (3хх + 3 )2 = 0, откуда 3х = 2^х + 3 . Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что х>0. Это вытекает из условия

9х + 4х +12 у 0. Тогда левая часть исходного уравнения 12х^х + 3 У 0, значит, х>0.

Имеем 9х2 = 4х +12 = 0 или 9х2 - 4х -12 = 0. Так как О = 448>0, то уравнение имеет корни.

Так как задач, для решения которых используется прием выделения полного квадрата, достаточно много, приведем некоторые примеры систем уравнений.

Пример 17. Решить систему уравнений

Гх2 + у2 = 10 Гх + у = 7

1) 1 ху = 3 2) Iх2 + У2 = 25

\xjy + УуТХ = 6 Гхз + хз y з + y з = 17

3) Iх2y + y2x = 20 4) [x + ХУ + y = 5

Прием выделения полного квадрата имеет свои особенности в процессе решения задач из школьного курса тригонометрии. Это зависит от условий той конкретной задачи, которую требуется решить: упростить выражение; доказать тождество; решить тригонометрическое уравнение и т.д. Рассмотрим примеры.

Пример 18. Зная, что sm a + 008 a = a, найти а) sin 2а;

• 3 3 • 6 6

б) sin a + cos a• в) sin a + cos a Решение.

а) Если sina + cosa = a, то (sina + cosa)2 = a 2

или sin2a + 2sina-cosa + cos2a = a2 откуда sin2a = a2-1

б)

sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)(sin2 a - sin a • cos a + cos2 a) =

= (sin a + cos a)(sin2 a + 2 sin a • cos a + cos2 a - 3sin a • cos a) =

ч/ 2 „ • n a(3 - a2) = (sina + cosa)(a -3sina-cosa) =---

В основе решения этих примеров лежит прием выделения полного квадрата.

Пример 19. Доказать тождество:

l-2sina-cosa . cosía

= sin of — cos cc ctg{A5-2a) =

sin6 a + cos6 a = 1—sin2 2a

a) sin of — cos cc б) 1 + sin*a

3

6 ™ i /-»/-4,1 6 ™ _ i

B)8(cos644° + sin6 44°) = 5-3cos4° r)

. 4 ж . 4 3ж . 4 5ж . 4 7ж 3

sin--h sin--h sin--h sin — = —

д) 16 16 16 16 2

Остановимся на решении примера (д).

Выделим полный квадрат, сгруппировав первое слагаемое с четвертым и второе - с третьим. При этом предварительно используем формулы приведения. Тогда имеем

,4 ж . 43ж 43ж 4 ж ( . 4 ж 4 жЛ sin4 — + sin4 — + cos4 — + cos4 — = lsin — + cos — 1 +

16 16 16 16 I 16 16)

( ■ 4 3ж 4 3жЛ ( . 4 ж 2 ж 2 ж 4 ж Л 2 ж 2 ж

+ l sin--h cos - |=l sin--h 2 sin--cos--h cos - I- 2 sin--cos--h

^ 16 16) ^ 16 16 16 16) 16 16

( . 4 3ж . 2 3ж 2 3ж 4 3ж^ . 2 3ж 2 3ж ( . 2 ж 2 ж Л 1-2 ж

+ í sin--h2sin--cos--hcos — |-2sin--cos — = l sin--hcos — | —sin —h

^ 16 16 16 16) 16 16 ^ 16 16) 2 8

( . 2 3ж 2 3жЛ 1 . 2 3ж 1 . 2ж , 1 . 2 3ж 1( . 2 ж 2 жЛ 3

hi sin--h cos - I--sin -= 1--sin--h 1--sin -= 2--1 sin--h cos — |= —

^ 16 16) 2 8 2 8 2 8 2 ^ 8 8) 2

Аналогично решаются следующие примеры (20-22).

44 h 4 sin 2a

• 2 . • 2 Пример 20. Упростить выражение sin a 'cos a h sina'cos a .

Пример 21. Преобразовать в произведение 1 h sin a h cos a h sin 2a. Пример 22. Найти множество значений функции

а) f (x) = (sin* = cosx)2

r, N 1-sin2x f ( x) = --

б) sin x- cos x

_ N cosx f (x) =-:—

в) cos x- sin x

r) f (x) = sin8 x h cos8 x

Прием выделения полного квадрата применяется также и при решении некоторых тригонометрических уравнений и неравенств. Обратимся к примерам.

Пример 23. Найти корни уравнения cos 2x = sin x - cos x,

[0; ж

принадлежащие промежутку 4 .

Решение. Преобразуем правую часть уравнения, используя прием выделения полного квадрата

sin3 х - cos3 х = (sin х - cos x)(sin2 х + 2 sin х cos х + cos2 х - sin х cos х) = = (sin х - cos х)(1 - sin х cos х)

Тогда уравнение принимает вид

cos 2х = (sin х - cos х)(1 - sin х cos х)

v /v 7 или

cos2 х - sin2 х = (sin х - cos х)(1 - sin х cos х) или

(cos х - sin x)(cos х + sin х + sin х cos х -1) = 0. Откуда имеем

совокупность уравнений cos х - sin х = 0, cos х + sin х + sin х cos х =1.

х = — + —, к g Z

Первое уравнение имеет серию решений 4 .

Для решения второго уравнения введем подстановку cosx + sinx = t, тогда

cos х • sin х = t2 -1. Тогда имеем t + t2 -1 -1 = 0

или = ' 1 = ' 2 = .Уравнение cos х + sin х = -2 не имеет решений,

. х = (-1)" — + —п--

а решениями уравнения cos х + sin х =1 будут числа 4 4 ,

п g Z

[0;—]

Проверкой убеждаемся, что промежутку 4 принадлежат корни —

х = — х = 0; 4 .

Таким образом, использование учителем разработанной группы задач с применением приема выделения полного квадрата способствует обобщению и систематизации знаний школьников.

Библиографический список

1. Основная общеобразовательная программа образовательного учреждения. Основная школа / сост. Е.С. Савинов. М.:Просвещение, 2011. 342 с.

2. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ, 1984. 345 с.

3. Гальперин П.Я. Формирование умственных действий // Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления. М.: Изд-во МГУ, 1981. С. 78-86.

4. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогическое общество России, 2000.

480 с.

5. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2010. 192 с.

6. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре: Учеб. Пособие для 8-9 кл. с углубл. изучением математики. М.: Просвещение, 2009. 271с.

7. Егерев В.К. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под ред. М.И. Сканави. К.: Каннон, 1997. 528 с.

8. Кара-Сал Н.М. Использование свойств функций при решении математических задач. Учебно-методическое пособие по практикуму решения математических задач / Н.М.Кара-Сал. Кызыл, ТГИПК и ПКК Правительства РТ, 2007. 61 с.

9. Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 9 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2009. 144 с.

10. Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват.учреждений / Под ред. А.Г. Мордковича. М.: Мнемозина, 2010. 315 с.

Bibliograflcheskij spisok

1. Osnovnaya obscheobrazovatelnaya programma obrazovatelnogo uchrezhdeniya. osnovnaya shkola / Sost. E.S. Savinov. M.: Prosveschenie, 2011. 342 s.

2. Talyzina N.F. Upravlenie protsessom usvoeniya znanij. M.: Izd-vo MGU, 1984. 345 s.

3. Galperin P.Ya. Formirovanie umstvennykh dejstvij // Khrestomatiya po obschej psikhologii. psikhologiya myshleniya. M.: Izd-vo MGU, 1981. S. 78-86.

4. Davydov V.V. Vidy obobscheniya v obuchenii. M.: Pedagogicheskoe obschestvo Rossii, 2000.

480 s.

5. Mordkovich A.G. Algebra. 7 kl.: v dvukh chastyakh. Ch. 1: Uchebnik dlya obscheobrazovat. uchrezhdenij. M.: Mnemozina, 2010. 192 s.

6. Galitskij M.L. i dr. Sbornik zadach po algebre: Ucheb. posobie dlya 8-9 kl. S uglubl. izucheniem matematiki. M.: Prosveschenie, 2009. 271s.

7. Egerev V.K. i dr. Sbornik zadach po matematike dlya postupayuschikh v vuzy / Pod red. M.I. Skanavi. K.: Kannon, 1997. 528 s.

8. Kara-Sal N.M. Ispolzovanie svojstv funktsij pri reshenii matematicheskikh zadach. Uchebno-metodicheskoe posobie po praktikumu resheniya matematicheskikh zadach / N.M. Kara-Sal. Kyzyl, TGIPK i PKK Pravitelstva RT, 2007. 61 s.

9. Mordkovich A.G. i dr. Algebra. 9 kl.: V dvukh chastyakh. Ch. 2: zadachnik dlya obscheobrazovat. uchrezhdenij. M.: Mnemozina, 2009. 144 s.

10. Mordkovich A.G. i dr. Algebra i nachala analiza. 10-11 kl.: V dvukh chastyakh. Ch.2: zadachnik dlya obscheobrazovat.uchrezhdenij / Pod red. A.G. Mordkovicha. M.: Mnemozina, 2010. 315 s.

Кара-Сал Надежда Маасовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики, Тувинский государственный университет, г. Кызыл, E-mail: nadya.maas@mail.ru

Kara-Sal Nadegda - candidate of pedagogical sciences of the chair of mathematical analysis and methods of teaching mathematics, Tuva state university, Kyzyl, E-mail: nadya.maas@mail.ru