Прием пространственно-распределенного сигнала в системе сотовой связи с антенной решеткой Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Радиоф изика

Вестник Нижегородского университета им. Н .И. Лобач евского, 2009, № 3, с. 69-75

УДК 621.391.1

ПРИЕМ ПРОСТРАНСТВЕННО-РАСПРЕДЕЛЕННОГО СИГНАЛА В СИСТЕМЕ СОТОВОЙ СВЯЗИ С АНТЕННОЙ РЕШЕТКОЙ

© 2009 г. В. Т. Ермолаев, МА. Соколов, А.Г. Флаксман

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поетупили вродикцию 04.02.2009

Предложен адаптивный метод приема сигнала пространственно-распределенного источника с помощью антенной решетки, который основан на разложении весового вектора по степенному базису. Метод позволяет значительно снизить объем вычислений по сравнению с методом, когда весовой вектор выбирается как собственный вектор сигнальной корреляционной матрицы, при сохранении достаточно высокой эффективности.

Ключовыо елови: антенная решетка, корреляционная матрица сигнала, степенной базис, пространственная обработка сигналов, оптимальный и адаптивный прием сигналов.

Введение

Развитие современных систем мобильной радиосвязи требует постоянного увеличения пропускной способности и повышения качества связи. Эти цели должны быть достигнуты в условиях многолучевого пространственного канала, в котором возможны глубокие замирания (фединги) сигнала, а также при жестких ограничениях на частотную полосу и среднюю мощность передающего устройства. Наиболее перспективным путем решения данной проблемы является использование антенной решетки (АР) на базовой станции системы сотовой связи [1—3].

Весовая пространственная обработка в АР должна обеспечивать оптимальный прием сигналов пользователя. В многолучевом канале сигнал пользователя претерпевает множественные отражения от окружающих зданий, автомобилей и других различных предметов и представляет собой суперпозицию плоских волн, вследствие чего его пространственный (угловой) спектр может значительно расширяться [4, 5]. Говорят, что сигнал имеет угловую дисперсию, а источник сигнала можно рассматривать как пространственно-распределенный.

Обработку сигналов в АР на фоне собственных шумов приемных устройств в условиях частотно-неселективного пространственного канала представим следующим образом. Вектор сигналов, принимаемых элементами АР, равен X = = Ш+Z, где H - вектор коэффициентов передачи между передающей и приемными антеннами, 5 - сигнал пользователя, передаваемый на базовую станцию, Z - вектор некоррелированных

собственных шумов приемников приемных устройств. Принятые сигналы умножаются на комплексные весовые коэффициенты и суммируются. Таким образом, выходной сигнал АР равен у = WHX, где W - вектор весовых коэффициентов, (.)н - эрмитово сопряжение. Весовой вектор должен быть выбран в соответствии с заданным критерием оптимизации. В большинстве случаев требуется обеспечить максимальное отношение сигнал/шум (ОСШ) на выходе АР, равное

Р =

W н M 5 W с2 w н w

(1)

I 12 н

где M 5 = 5 (ИИ ) - корреляционная матрица полезного сигнала в приемных каналах АР, с2 - дисперсия собственного шума, которую далее без потери общности будем считать единичной, (•) - статистическое среднее.

Существуют два основных способа для выбора весового вектора W. Первый из них известен как разнесенный прием сигнала [1-3]. Здесь учитывается, что вектор коэффициентов передачи И меняется медленно по сравнению со скоростью передачи сигнала. Кроме того, предполагается, что ОСШ в каждом элементе АР достаточно большое, что позволяет сделать канальную оценку с помощью тестового (обучающего) сигнала. В результате можно оценить мгновенное значение вектора И для некоторой реализации пространственно-распределенного источника. В этом случае корреляционная матрица полезного сигнала будет иметь диадный

2н

вид М 5 = 5 ИИ , а величина ОСШ (1) будет

максимальной, если весовой вектор выбрать параллельным вектору И, то есть W = сИ, где е - произвольное комплексное число. Такой подход позволяет непрерывно следить за изменением состояния канала.

Если уровень ОСШ в одном элементе АР мал или тестовые сигналы не применяются, то первый способ обработки сигнала применить нельзя. В этом случае следует использовать второй способ, который предполагает оценку корреляционной матрицы полезного сигнала за время, много большее времени корреляции вектора канальных коэффициентов И. Эта оценка может быть сделана непосредственно с помощью сигналов, предназначенных для передачи данных, без использования тестовых сигналов. Теперь корреляционная матрица отражает не отдельную реализацию источника, а его среднестатистическое пространственное распределение. Она является эрмитовой. Известно (см., например, [1]), что ОСШ (1) будет максимальным, если в качестве весового вектора W выбрать собственный вектор и1, соответствующий максимальному собственному числу ^1 матрицы М 5 (W = и1). Однако данный оптимальный метод имеет значительную вычислительную сложность, особенно в случае большого числа элементов АР. Более того, в системах реального времени, когда матрица М 5 постоянно меняется, его реализация сопряжена с большими трудностями или невозможна. Поэтому представляют интерес квазиоптимальные методы пространственной обработки сигналов в АР, которые обладали бы высокой эффективностью и меньшими вычислительными затратами.

В [6, 7] рассмотрена задача максимизации ОСШ на выходе АР при воздействии произвольного числа точечных источников шумовой помехи и предложено использовать представление весового вектора АР в виде разложения по векторам степенной последовательности (по

степенному базису) Sо,МшSо,МПSо,..., где Мм - корреляционная матрица помехи в элементах АР, 80 - вектор полезного сигнала. Здесь предполагается, что источник полезного сигнала точечный и его угловое положение известно. Таким образом, вектор 80 считается точно известным. Каждый из степенных векторов может быть сформирован последовательно с помощью корреляционных устройств. Данный подход обеспечивает достаточно высокую эффективность подавления помехи при сокращении размерности степенного базиса, когда она стано-

вится меньше числа источников помехи [8], что, в свою очередь, приводит к уменьшению вычислительных затрат.

В настоящей работе рассматривается возможность использования степенного базиса для приема сигнала в условиях многолучевого пространственного канала с произвольной угловой дисперсией и неизвестным угловым положением источника сигнала, предполагающая применение второго из отмеченных способов оптимизации ОСШ.

Квазиоптимальный метод приема сигнала

Рассмотрим ^-элементную АР и представим N-мерный весовой вектор W в виде конечного ряда

по степенным векторам S,М5S,М^...М

с коэффициентами разложения рг-:

W = S + Р,М , S +

5 (2) +Р2М 2 s+.+р N-1М N-1s.

Чтобы воспользоваться этим выражением для формирования весового вектора, необходимо выбрать исходный вектор 8. Предположим вначале, что угловая дисперсия источника равна нулю, т.е. источник точечный и многолучевость в канале отсутствует (сигнал передается одним лучом). Угловое положение источника предполагаем неизвестным. Тогда корреляционная матрица полезного сигнала будет равна I 12 Н

М 5 = 5 ИИн . Столбцы этой матрицы можно записать в виде векторов следующим образом:

( 7) I I 2 *

му; = \5\ ци , где * - комплексное сопряжение. Каждый из этих векторов параллелен вектору И и имеет физический смысл совокупности корреляционных моментов сигналов в элементах АР с сигналом в 7-м элементе АР. Выберем в качестве весового вектора W любой из

векторов М57) и подставим в (1). Тогда получим максимальное ОСШ, равное р =

II2 / 2 Н

= (5 /с0)И И , которое соответствует разнесенному приему сигналов [1-3].

Рассмотрим вектор М 5 М5), образованный произведением сигнальной матрицы М 5 и вектора М 57). Этот вектор также параллелен вектору И, поскольку М5 М5) = 54 Щ (ИНИ)И. Отсюда следуют два важных вывода: а) вектор М(/) является собственным вектором матрицы М 5; б) система степенных векторов, построенная с использованием вектора М57) в качестве

исходного вектора S, содержит только один линейно независимый вектор.

Предположим теперь, что канал является двулучевым и образован двумя статистически независимыми рассеивателями. Сигнальная корреляционная матрица равна сумме корреляцион-

і 12 н

ных матриц двух сигналов: М5 Н1Н1 +

I 12 Н

+ 52 Н 2Н2 . Если выбрать в качестве исходного вектора S любой вектор-столбец М (/^ этой матрицы, то можно показать, что число линейно независимых степенных векторов равно двум, т.е. оптимальный весовой вектор (собственный вектор матрицы М 5) может быть получен как линейная комбинация векторов М(/) и М 5 М(/).

Наконец, рассмотрим случай, когда благодаря большому числу рассеивателей угловое распределение мощности источника может быть представлено непрерывной функцией угловой координаты. Допустим, что угловое распределение задается симметричной функцией экспоненциального вида

1

(

р(0)=;щделехр

V2|е-е0 (де, )

Л

(3)

где 0 - угловая координата, введенная относительно нормали к АР, 0О - направление на центр источника, Д0Х - угловая ширина источника по уровню половинной мощности.

Если сигнал принимается двумя антеннами, разнесенными на расстояние d, то коэффициент корреляции принятых сигналов вычисляется с помощью преобразования Фурье от углового распределения мощности (3) и равен

1 _exp( j 2nu 00 ), (4)

R(u ) =

1 + 2п 2 (АЄ s )

2 2 u

где и = d/X - расстояние между антеннами, выраженное в длинах волн X.

Благодаря первому сомножителю в (4) столбцы корреляционной матрицы М 5 имеют различную зависимость уровня корреляции. Например, первый столбец дает зависимость уровня корреляции сигналов АР по отношению к первому элементу, а столбец с номером і - по отношению к сигналу в і-м элементе. Соответствующие распределения корреляций представлены на рис. 1 для первого (пунктирная кривая) и восьмого (сплошная кривая) столбцов корреляционной матрицы, когда угловая ширина источника составляет 0.9 от ширины главного луча диаграммы направленности, а число элементов АР равно 16.

В качестве исходного вектора S целесообразно выбрать восьмой столбец корреляционной матрицы. Тогда ОСШ (1), вычисленное при W = S, будет выше, чем в том случае, когда в качестве вектора S выбран первый столбец корреляционной матрицы М 5.

Для практических приложений степенные векторы целесообразно преобразовать в ортонорми-

рованную систему векторов F0,Fl,F2,...Fw — с помощью процедуры ортогонализации Грама-Шмидта [9]. В результате вместо (2) будем иметь

W = а о Fo + аД +а 2 F2 +... + а ^-^-р (5)

В соответствии с (5) пространственная обработка сигналов в АР становится двухэтапной.

Вначале с помощью векторов используемых как весовые векторы, формируются параллельные каналы. Затем выходные сигналы этих каналов суммируются с коэффициентами аг, которые находятся из условия максимума ОСШ. Схема подобной обработки показана на рис. 2

/Л А —Кх>-* а

>*- -и<8>-^

• гРьГ

• • ♦ ф

м « — а N-1

Рис. 2

(слева), где В = 4) - матрица диа-

граммообразующей схемы (ДОС), формирующей вторичные каналы. Выражение (5) в матричной форме имеет вид: W = ВА, где

Т

А = (а о, аь..., а ^1) - вектор коэффициен-

тов разложения, (.)Т обозначает транспонирование.

В многолучевом пространственном канале источник сигнала является распределенным и занимает некоторый сектор углов, ширина которого зависит от статистических свойств канала и может быть различной. Если число членов разложения в (5) выбрать равным числу N приемных антенн, то обеспечивается оптимальный прием сигнала распределенного источника. При уменьшении размерности базиса пространственная обработка сигнала в АР становится ква-зиоптимальной. Ее эффективность будет зависеть от соотношения между шириной главного лепестка диаграммы направленности АР и угловым размером источника.

Рассмотрим итерационный процесс поиска весового вектора W, основанный на последовательном нахождении коэффициентов разложения весового вектора. Очевидно, что ОСШ как отношение двух квадратичных форм не зависит от нормировки весового вектора W. Поэтому будем считать, что ао = 1. Представим нулевое приближение вектора \ в виде \\ = Fо. Тогда первое приближение будет равно \\ = \Уо + а^, второе приближение -

+ а 2F2 и, наконец, для произвольного р-го приближения весовой вектор будет равен

\р = \р-1 +а р р. (6)

Схема соответствующей пространственной обработки показана на рис. 2 (справа).

ОСШ р1 после первого приближения будет зависеть от вектора \о и неизвестного коэффициента аь Подставляя (6) в (1) при р = 1 и находя максимум ОСШ р1 по а1, можно получить квадратное уравнение для а]. Аналогично, ОСШ рр после р-го приближения будет зависеть от уже найденного вектора \р-1 и только от одного неизвестного коэффициента ар. Этот коэффициент можно найти из условия максимума ОСШ рр(ар). Таким образом, для каждого последующего приближения необходимо найти коэффициент ар из следующего квадратного уравнения:

\р-1М ^ р а р +

+ ^М ,\р_1 - \р-1\р_1)ар - (7)

- ^м д р )\-\р-1) = о.

Рассмотрим результаты моделирования эффективности предложенного метода для 16-элементной линейной эквидистантной АР ^ = 16) с периодом ^ равным А/2 (А - длина волны). Предполагалось, что источник сигналов имеет пространственный спектр в виде функции Лапласа (3), а нулевое приближение весового вектора \о соответствовало восьмому столбцу

М^ матрицы М5. На рис. 3 показаны потери в ОСШ в зависимости от соотношения между шириной Д05 источника и шириной Д0ар главного лепестка диаграммы направленности АР по уровню половинной мощности. Уровень о дБ соответствует оптимальному весовому вектору, равному собственному вектору корреляционной матрицы М5 (\ = и1). Кривые 1 и 2 дают потери, выраженные в децибелах, из-за сокращения размерности степенного базиса до одного и двух векторов, соответственно.

Видно, что данный метод обладает достаточно высокой эффективностью. Например,

Рис. 3

потери составляют «0.63 и «0.03 дБ при использовании одного или двух степенных векторов, соответственно, для источника с угловой шириной Д0х«1.5Д0др, что для рассматриваемой АР составляет Д0^«1О°.

Адаптивный прием сигналов

Как оптимальные, так и квазиоптимальные методы приема сигнала требуют точного знания корреляционной матрицы М ^ сигнала. В то же время в реальных системах связи матрица М ^ априори неизвестна и должна быть оценена. Более того, можно оценить только корреляционную матрицу М смеси полезного сигнала с собственным шумом, а выделить из нее корреляционную матрицу полезного сигнала не представляется возможным.

Максимально правдоподобная оценка корреляционной матрицы М по L выборкам входного процесса имеет вид [10]:

1 L

М = -1 Х(/)ХЯ (/). (8)

L г=1

Для оценки эффективности адаптивного приема сигнала с помощью предложенного метода была использована 3GPP модель пространственного канала [11], в которой предполагается, что сигнал, передаваемый пользователем, отражается от кластеров (крупных объектов) и приходит на базовую станцию в виде суперпозиции плоских волн со случайными фазами. Число кластеров задается фиксированным и равным шести. Пространственный спектр сигнала, отраженного от каждого кластера, представляет собой распределение Лапласа (3) с шириной 2° по уровню половинной мощности и моделируется с помощью двадцати плоских волн одинаковой амплитуды с заданными угла-

ми прихода. Угловое положение кластеров является случайным для каждой реализации многолучевого канала и задается из условия, что средний пространственный спектр источника имеет распределение Лапласа с некоторой шириной Д0Х по уровню половинной мощности. Тогда канальный коэффициент для q-го элемента АР можно записать в виде:

6 Р~ 20

\ = Е Д ЕЄХР(ІМЧ 8Іп(0пт )) х (9)

п=1 » 20 т=1 (9)

X ЄХр(^пт ),

где к - волновое число, dq - расстояние от q-го элемента АР до начала выбранной системы координат, 0пт - угол прихода т-й плоской волны от п-го кластера, Фпт - фаза соответствующего сигнала, равномерно распределенная в интервале [0^2тс], Рп - мощность сигнала, отраженного от п-го кластера. При этом общая мощность Р сигнала остается постоянной (Р1 +

+ Р2 +••• + Рб = Р).

На рис. 4 показаны потери в ОСШ в зависимости от длины L входного процесса. Предполагается, что отношение средней ширины источника Д0 к ширине Д0ар диаграммы направленности АР равно 0.9. Уровень 0 дБ соответствует оптимальному приему сигнала = и1) с точно известной корреляционной матрицей М ^. Кривая и1 соответствует адаптивному приему сигнала (^ = и1), когда вместо матрицы М ^ применяется выборочная матрица (8). С увеличением числа выборок эта кривая асимптотически приближается к уровню 0 дБ. Кривая 1 соответствует адаптивному приему сигнала с весовым вектором, равным 8-му столбцу выборочной матрицы (8). Такой способ приема сигнала дает потери порядка или менее

0.4 дБ по отношению к адаптивному приему

(кривая и1). Кривая 2 соответствует адаптивному приему сигнала с весовым вектором (5), который имеет два первых слагаемых. Эта обработка сигнала дает потери менее 0.2 дБ по отношению к адаптивному приему (кривая и1). Следует также отметить, что для достижения потерь в 0.5 дБ по отношению к оптимальному приему (уровень 0 дБ) адаптивному методу ^ = ^) требуется 28 выборок входного процесса, а адаптивному методу с использованием двух векторов - 40 выборок.

Особый интерес представляет случай короткой выборки входного процесса, когда число выборочных векторов в (8) меньше числа элементов АР < Ы), а матрица (8) является вы-

рожденной. Предложенный адаптивный метод приема сигнала на основе степенных векторов применим и в этом случае, в то время как вычисление собственных чисел и собственных векторов имеет определенную специфику. В данной работе использовался следующий прием для вычислений собственного вектора и при L < N выбирались L центральных столбцов в матрице (8), выполнялось сингулярное разложение полученной прямоугольной матрицы размерности N х L и в качестве весового вектора использовался собственный вектор, соответствующий максимальному сингулярному числу. Из рис. 4 видно, что при короткой выборке эффективность предложенного адаптивного метода и адаптивного метода с W = и примерно одинакова.

Оценка вычислительной сложности

Одним из критериев эффективности метода пространственной обработки сигналов в АР кроме выходного ОСШ является объем вычислений, необходимый для реализации данного метода. Вычислительные затраты для квазиоптимального метода складываются из затрат, необходимых для построения ортонормированного степенного базиса Fг■ и нахождения приближений Wг■ весового вектора W. Формирование базиса производится согласно алгоритму Грама-Шмидта, который для степенных векторов имеет вид [9]:

х=^

Г = мFo - (Гоя мFo)Fo,

<Fk+1 = М- -(Гя мFk )Fk - (10)

-(Г£№)Fk-1, k > 2

г = Г /I г II

^ I ^11 1II *

я

Учитывая (8) и обозначая ук (I) = X (I^ (I), выражение (10) можно переписать в виде:

L

Fk+1(1) = 1 [У k (I )Х(1) -

I=1 (11)

I 12 *

-|у к (I )2 Fk (I) ^-1(1 )у k (I ^-1(1)].

Оценим вычислительную сложность предложенного метода в наиболее важном случае многоэлементной АР (Ы >> 1). Для нахождения нулевого

базисного вектора Го необходимо на каждую выборку сигнала выполнить N комплексных умножений (КУ) и осуществить нормировку Го (Ы КУ). Для оценки каждого последующего базисного вектора Fi■ необходимо на каждую выборку сигнала выполнить 4Ы КУ и осуществить нормировку результирующего вектора. После оценки базисных векторов необходимо найти р-е приближение вектора Wp, решив последовательно р

квадратных уравнений (что требует пренебрежимо малого числа КУ по сравнению с оценкой степенного базиса). В итоге сложность метода можно оценить как — (2 Ж + 5Жр ) КУ.

В случае оптимальной обработки сначала необходимо оценить корреляционную матрицу сигнала по формуле (8), что требует — 0.5Ы L операций КУ. Далее для нахождения собственного вектора, соответствующего максимальному собственному числу, следует выполнить — N3 операций КУ [12]. Следовательно, для оценки вектора

и требуется — (0.5Ы2L + N3) КУ.

Таким образом, для многоэлементных АР (Ы >> 1) и при длине входного процесса, соизмеримой с числом элементов АР (Ь — Ы), предложенный адаптивный метод имеет сложность

2

— N , в то время как оптимальный метод обладает сложностью — N . Например, если N = 16 и Ь = N, то адаптивный метод имеет выигрыш в объеме вычислений в 12 раз и 4 раза при использовании нулевого и первого приближений в (6), соответственно.

Заключение

В настоящей работе предложен адаптивный метод приема сигнала в АР в условиях многолучевого пространственного канала с произвольной угловой дисперсией источника и неизвестным расположением в пространстве. Метод основан на использовании степенного базиса, образованного путем последовательного умно-

жения исходного вектора на корреляционную матрицу сигнала в элементах АР. В общем случае в качестве исходного вектора рекомендуется выбирать один из центральных столбцов данной матрицы. В случае точечного источника (однолучевой канал) с нулевой угловой дисперсией любой вектор-столбец корреляционной матрицы может быть выбран в качестве исходного вектора. Показано, что метод обладает высокой эффективностью и имеет значительно меньшие вычислительные затраты по сравнению с оптимальным методом, когда весовой вектор вычисляется как собственный вектор сигнальной корреляционной матрицы.

Список литературы

1. Godara L.C. Smart Antennas. L.: CRC Press,

2004. 472 p.

2. Liberti J.C., Rappaport T.S. Smart Antennas for Wireless Communications: IS-95 and Third Generation CDMA Applications. Prentice Hall, Inc., 1999. 440 p.

3. Gershman A.B., Sidoropoulos N.D. Space-Time Processing for MIMO Communications. Wiley&Sons,

2005. 370 p.

4. Pedersen K.I., Mogensen P.E., Fleury B.H. // IEEE Trans. on Vehicular Technology. 2000. V. 49. № 2. P. 437-447.

5. Bevan D.D.N., Ermolayev V.T., Flaksman A.G., Averin I.M. // EURASIP Journal on Applied Signal Processing. 2004. № 9. P. 1321-1329.

6. Ермолаев В.Т., Краснов Б.А., Флаксман А.Г. // Изв. вузов. Радиофизика. 1983. Т. 26. № 7. С. 874-880.

7. Ermolayev V.T., Flaksman A.G. // Int. J. Electronics. 1993. V.75. № 4. P. 753-765.

8. Ермолаев В.Т., Краснов Б.А., Соломатин В.Я., Флаксман А.Г. // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. 29. № 5. С. 551-556.

9. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. 400 с.

10. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.

11. Greenstein L., Erceg V., Yen Y.S., Clark M.V. // TEEE Trans. on Vehicular Technology. V. 43. № 4. P. 837-847.

12. Burykh S., Karim A. // EURASIP Journal on Applied Signal Processing. 2002. V. 12. P. 1387-1400.

RECEPTION OF A SPATIALLY DISTRIBUTED SIGNAL IN A CELLULAR SYSTEM

WITH AN ANTENNA ARRAY

V.T. Ermolaev, M.A. Sokolov, A.G. Flaksman

An adaptive method based on a power series expansion of the weight vector has been proposed for the signal reception from a spatially distributed source using an antenna array. With a high enough efficiency, the method permits to substantially reduce the computational complexity as compared with the one in which the weight vector is chosen as an eigenvector of the signal correlation matrix.

Keywords: antenna array, signal covariance matrix, power basis, spatial signal processing, optimal and adaptive signal reception.