Два метода оценивания весового вектора адаптивной антенной решетки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Радиофизика

Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 79-84

УДК 621.396.677

ДВА МЕТОДА ОЦЕНИВАНИЯ ВЕСОВОГО ВЕКТОРА АДАПТИВНОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ

© 2014 г. В.Т. Ермолаев, И.С. Сорокин, А.Г. Флаксман

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

igor_04.04_40in@inbox.ru

Поступила в редакцию 03.03.2014

Предложены два метода оценивания весового вектора адаптивной антенной решетки (ААР) при приеме сигнала на фоне внешних источников шума. Получены строгие аналитические решения для регулярного весового вектора в базисе степенных векторов. На основе этих решений строятся регуля-ризованные оценки весового вектора. Методы применимы при короткой выборке шума, когда его корреляционная матрица вырождена. Вычислительная сложность методов пропорциональна числу выборок шума, числу внешних источников шума и числу элементов ААР.

Ключевые слова: адаптивная антенная решетка, весовой вектор, регуляризованная оценка, эффективность обработки.

Введение

Весовой вектор, обеспечивающий максимальное отношение мощности сигнала Рс= =^я8|2 к средней мощности шума PШ=WЯMW (ОСШ) на выходе ^-элементной ААР произвольной конфигурации, определяется из уравнения [1, 2]:

MW =8, (1)

где М=<ХХЯ> - корреляционная матрица (КМ) собственного шума и шума внешних источников в элементах ААР, X - вектор случайных комплексных амплитуд шума, 8 - известный вектор комплексных амплитуд полезного сигнала в элементах ААР, квадрат нормы которого принимается равным 8 8=#, (•) - эрмитово сопряжение, <•> - статистическое среднее.

Формальное решение уравнения (1) сводится к обращению КМ и имеет вид

W = М8 . (2)

Максимальная величина ОСШ на выходе ААР равна [1-4]

^max

W H S W H MW

= SHM-'S .

наименьшей размерностью, поскольку число линейно независимых векторов К равно числу неравных между собой собственных чисел КМ [8]. Степенные векторы М8, М28, ..., МК-18 имеют физический смысл корреляционных векторов, что позволяет использовать корреляционные устройства для их формирования [7].

Для вычисления оптимального весового вектора по формуле (2) необходимо провести операцию непосредственного обращения КМ. Однако на практике КМ неизвестна. Поэтому вычисляют максимально правдоподобную оценку КМ по Ь временным выборкам случайных комплексных амплитуд X входного процесса в виде [1, 2]:

1 L

M=- 2 X(j )XH (J):

L J=1

(4)

где Х(/') (/=1,2,...,Ь) -/-я выборка вектора входного процесса.

Таким образом, адаптивная обработка сигнала сводится к нахождению оценки W вектора W:

W =M-1S.

(5)

(3)

В этом случае величина ОСШ на выходе ААР становится случайной и равна

Данное выражение есть отношение двух квадратичных форм, поэтому величина ОСШ не зависит от нормировки весового вектора W.

Свойства оптимального весового вектора W подробно исследованы в работах [1-7]. В частности, в [4-7] предложено и исследовано представление вектора W в виде конечного разложения по степенным векторам 8, М8, М 8, ..., МК-18, где К<1+1, J - число внешних дискретных источников шума. Данный базис обладает

ц =

W H S

W H mw

(6)

Когда весовой вектор оценивается по формуле (5), возникают две проблемы. Во-первых, при Ь<Ы (короткая выборка) КМ (4) является вырожденной и, следовательно, не имеет обратной матрицы, а при Ь>Ы является плохо обусловленной. Задачи, связанные с обращением плохо обусловленных матриц, относятся к классу некорректно поставленных задач [9]. Для их

решения следует использовать методы регуляризации [9—11]. Во-вторых, для ААР с большим числом элементов (N>>1) вычислительная сложность при обращении КМ значительно возрастает, поскольку требуется примерно N 3 операций комплексного умножения, кроме того, оценка элементов этой матрицы дополнительно требует 0.5(N+1)NZ комплексных умножений.

Методы регуляризации, рассмотренные в [11], позволяют стабилизировать весовой вектор, однако вычислительная сложность не уменьшается, а в некоторых случаях увеличивается. Можно избежать процедуры обращения матрицы (4), если использовать градиентные адаптивные алгоритмы [1, 2]. В этом случае вычислительная сложность для одной итерации уменьшается, но при плохой обусловленности матрицы (4) резко возрастает число итераций, что ведет к затягиванию переходного процесса настройки весового вектора.

Как отмечается в [12], существует два подхода для построения адаптивных систем: аналитический и алгоритмический. Аналитический подход является предпочтительным и возможен тогда, когда имеется строгое аналитическое решение оптимизационной задачи. В противном случае применяется алгоритмический подход, который сводится обычно к итерационной процедуре поиска решения.

В данной работе используется аналитический подход к решению задачи и на его основе предлагаются два адаптивных алгоритма оценивания весового вектора ААР. Оба алгоритма обладают следующими свойствами:

• аналитические решения строятся в базисе регулярных степенных векторов посредством применения двух способов ортогонализации базиса; оба решения справедливы для ААР произвольной конфигурации и произвольной КМ M и вектора сигнала S;

• два адаптивных алгоритма получаются путем применения аналитических решений к базису стохастических степенных векторов, который формируется с помощью выборочной КМ (4); одновременно выполняется регуляризация весового вектора за счет статистически корректного ограничения размера базиса стохастических степенных векторов;

• вычислительная сложность обоих алгоритмов зависит линейно от числа выборок L, числа внешних источников шума J и числа антенных элементов V.

Аналитическое решение для оптимального весового вектора

Ортогонализация и нормировка регулярных степенных базисных векторов S, MS,

M2S,...,M^-1S выполняется по следующей схеме [8, 13]:

Fo = (Fo, Fo)Fо, Fо = S

Fi = (Fi, Fi)-a5 Fi , F. = MFo -а о Fo,

F2 = (F2,F2)-05F2, F2 = MFi -aiFi -ßoFo,

(7)

F = ^ F )-05F F = MF -а F -

- Ри-2 ®и-2, а и-1 = ((я-1, ^), Ри-2 = (, Fя—1), где операция скалярного произведения произвольных векторов а и Ь обозначается (а, Ь).

Особенность такой процедуры ортогонали-зации и нормировки базисных векторов заключается в том, что каждый вектор с индексом п>2 формируется с использованием только двух предыдущих векторов, а коэффициенты ап-1 и Р„-2 являются действительными числами.

Введем в рассмотрение два типа скалярных произведений [8]:

(a, b) = aH b = 2 ар,

j=i N

(a, b) = aHMb = ^ atMpj •

(8)

(9)

i, j = 1

Это позволяет получить с помощью (7) две системы векторов F0,F1,...,Fк-1, в одной ортогональность векторов понимается в смысле скалярного произведения (8), а в другой - в смысле скалярного произведения (9). В обоих случаях оптимальный весовой вектор (2) можно записать в виде

' = сЛ + сД +... + Ск^-1, (10)

где с0,с1,.,ск-1 - коэффициенты разложения,

которые необходимо определить.

Первый способ решения. Поскольку величина ОСШ не зависит от нормировки весового вектора один из коэффициентов разложения (10) можно выбрать произвольно. Положим, что с0=1. Оставшиеся коэффициенты разложения с1, с2 ,. , ск-1 представим в виде вектора-столбца С, а ортонормированные базисные векторы F1, F2,..., Fк-1 - в виде столбцов матрицы F. Тогда (10) преобразуется к виду

W = F0 + FC •

(11)

Подставим (11) в (1), умножим полученное равенство слева на матрицу Fя и учтем, что в силу принятого скалярного произведения (8)

FHS=0. В результате получим уравнение размерности K-1 для определения вектора С:

FHMFC = -F HMF0. (12)

Это уравнение было подробно исследовано в [12, 13], и его решение получено в аналитической форме. Формулы для определения коэффициентов разложения с1,с2,...,сК_1 имеют следующий вид:

Рс

Р2

Р2

3К _2

(13)

а К

а1с1 + рр " Р1 '

В г.с 2 + а х ^

ги_2 п_2_п_1 п_1

" Рп_1

п = 3, К _ 1.

Второй способ решения. Подставим разложение (10) в (1) и получим, что

с0МР0 + с1Ш1 +... + сК _1МЕК _1 = 8. (14) Домножая (14) слева последовательно на базисные векторы Р0Н, ,..., и учитывая, что в силу принятого скалярного произведения (9) МР7 =8/ , получим аналитические выражения для коэффициентов разложения с0, с1,..., сК _1:

с/ = Р/8, / = 0 * (К _ 1). (15)

Поскольку величина ОСШ не зависит от нормировки весового вектора W, поделим все коэффициенты (15) на с0. Это позволяет привести весовой вектор (10) к виду (11), т.е. к виду, принятому при первом способе решения. Соответственно, вектор С в (11) будет иметь следующие компоненты

8

с = —--

7 О

тера КМ (4) в процессе ортогонализации (7) будут формироваться ненулевыми вектор Р] и последующие векторы. Если кроме собственного шума имеется один внешний источник шума, то весовой вектор (11) должен содержать два базисных вектора Р0 и Ясно, что процесс орто-гонализации необходимо ограничивать, чтобы исключать образование лишних базисных векторов. Ограничение базиса должно быть статистически корректным, и тогда оно может рассматриваться как процедура регуляризации весового вектора.

Ограничение базисных векторов выполняется в процессе ортогонализации (7) с помощью пороговой техники. В первом алгоритме принимаются во внимание статистические свойства вектора Р1 , когда в системе имеется только собственный шум. Среднее значение вектора Р равно нулю, средняя величина квадрата нормы этого вектора определена в [13] и вычисляется следующим образом:

< Г Р >=а4

N _ 1 Ь

(17)

, / = 0 * (К _ 1). (16)

Адаптивные алгоритмы оценки весового вектора ААР

Применим полученные аналитические решения уравнения (1) к адаптивной обработке. Для этого заменим КМ М в схеме ортогонализации (7) на ее максимально правдоподобную оценку (4). Собственные числа КМ (4) являются случайными, они не равны друг другу, а их общее число равно N. Соответственно, базис стохастических степенных векторов становится равным N. Например, при отсутствии внешних источников шума в системе имеется только собственный шум и весовой вектор (11) должен содержать только один базисный вектор Р0. Следующий вектор Р] должен быть равен нулевому вектору. Однако в силу случайного харак-

где ст2 - мощность собственного шума в одном

элементе ААР.

Случайные отклонения квадрата нормы вектора Р от средней величины (17) будем характеризовать среднеквадратическим значением

СКО^НР ]=д/<(РНР )2 >_(<РНР >)2 . (18)

Вычисление средней величины второй степени от квадрата нормы вектора Р выполняется аналогично вычислению средней величины (17) (см. [13]). В результате получим

<(РНР) >=ст0( _N)) + . (19)

Используя (17) и (19), из (18) найдем среднеквадратичное отклонение квадрата нормы вектора Р1 в виде

СКО&*Р]=ст^(_ 1))N + Ь) . (20)

На рис. 1 изображена интегральная функция распределения вероятностей квадрата нормы вектора Р1 при наличии только собственного шума. Рассматривается линейная эквидистантная ААР с числом элементов N=16, число выборок шума Ь=16, средняя мощность собственного шума в элементе ААР ст2 = 1. Пунктирными линиями 1 и 2 отмечены среднее значение (17) и величина, превышающая среднее (17) на три значения СКО (20). В качестве пороговой вели-

а. _

а 2 _

а К _2

чины квадрата нормы вектора ^ выберем второе значение, т.е.

ТН1 =< Б"Ц >+3 СКО[Бя Ц].

(21)

Превышение данного порога при воздействии собственного шума возможно лишь в 1% случаев.

Для второго решения также необходимо ввести статистически обоснованный порог. Вектор Б0 равен вектору полезного сигнала 8 и не является случайным. Однако квадрат его нормы Б0ЯМБ0, введенный в соответствии со скалярным произведением (9), является случайным и имеет физический смысл оценки мощности шума на выходе антенного луча, формируемого первым базисным вектором как весовым вектором. Среднее значение квадрата нормы вектора Б0 при воздействии только собственного шума равно

< Б"МБ0 >= 8 " < М > 8 = о28"8 = с2N . (22)

Вычисление средней величины второй степени от квадрата нормы вектора Б0 дает сле-

дующий результат:

<(БЯ мб; )2

>= о0 N2

1+-

ь

(23)

Используя (22) и (23), среднеквадратичное отклонение квадрата нормы вектора Б0 находим в виде:

СКО[Б0Н МБ0] =

= а/<(б0ЯМБ )2 >-(< Б"МЦ >)

>)2 =

о2 N

(24)

На рис. 2 изображена интегральная функция распределения вероятностей квадрата нормы вектора Ц0 в отсутствие внешних источников шума. Пунктирными линиями 1 и 2 отмечены среднее значение (22) и величина, превышаю-

щая среднее (22) на три значения СКО (24). В качестве пороговой величины квадрата нормы

вектора Б0 выберем второе значение, т.е.

тн2 = (Б0НМБ0^ + зско [б0нМб0]. (25)

Превышение данного порога при воздействии собственного шума возможно лишь в 1% случаев.

Оценим вычислительную сложность адаптивных алгоритмов. Основной объем вычислений при ортогонализации (7) связан с вычислением векторов типа МБ,. Используя формулу (4), найдем, что вычисление одного вектора требует 2NL комплексных умножений. С учетом дополнительных затрат на вычисление коэффициентов аг, Рг общее число комплексных умножений будет составлять (К—1)(2МЪ+4^--0^ для первого и (К-1)(3Ж+3^Ь)+Щ+1) -—1.5N для второго метода.

Физическая интерпретация адаптивных алгоритмов

Физическую интерпретацию адаптивных алгоритмов дадим с помощью рис. 3. На рисунке изображены N антенных элементов, которые соединены с формирователем лучей антенной решетки и цифровым вычислительным устройством. Выборки шума X подаются на формирователь, где выполняется процедура ортогонализации, вычисляются базисные векторы Б0, Б^...,БК-1 и весовые коэффициенты с1,с2,..., сК-1. Формирователь лучей имеет К выходов. В

случае первого адаптивного алгоритма из-за ортогональности вектора сигнала 8 с векторами Бр..., БК-1 по типу (8) полезный сигнал проходит только на выход «0» и не проходит на другие выходы. Шумы внешних источников про-

1

ю!

сти от 1птив-вной [ КМ

ходят на все выходы формирователя, далее шумы суммируются с весовыми коэффициентами с1,с2,...,сК_1, в результате чего средняя мощность шума на выходе минимизируется. Так обеспечивается максимальное ОСШ на выходе системы. В случае второго адаптивного алгоритма из-за ортогональности базисных векторов по типу (9) шумы на выходах формирователя становятся некоррелированными и имеют единичные мощности. Это значит, что формирователь играет роль «обеляющего» фильтра. Полезный сигнал проходит на все выходы формирователя, после чего выполняется весовое суммирование выходных сигналов формирователя с коэффициентами с1, с2,..., сК_1. Это приводит к увеличению амплитуды полезного сигнала, благодаря чему достигается максимальное выходное ОСШ.

Результаты математического моделирования

Эффективность двух предложенных методов обработки сигналов в ААР проверялась с помощью математического моделирования и сравнивалась с эффективностью метода непосредственного обращения КМ. Предполагалось, что число элементов N=16. Средняя мощность собственного шума в одном элементе ААР ст^ = 1. Число Ь выборок входного шума менялось от 1 до 100. Число внешних источников шума J=5. Источники располагались случайным образом независимо друг от друга с равномерной плотностью вероятности угловой координаты вне главного луча ААР. Потери эффективности адаптивной обработки вычислялись как р=п/ПтаХ, где ОСШ П определялось по формуле (6), а максимально возможное ОСШ птах вычислялось с помощью (3). Потери ОСШ представлены на рис. 4 в зависимости от длины выборки в виде кривых 1 и 2 соответственно для первого и второго метода. Кривая 3 показывает потери эффективности для

метода непосредственного обращения КМ (5). Видно, что при уменьшении числа выборок эффективность метода непосредственного обращения КМ быстро уменьшается и при Ь<N метод не работает. Эффективность предложенных методов при уменьшении числа выборок также уменьшается, но остается выше, чем эффективность метода непосредственного обращения КМ. Методы работают также в случае короткой выборки (в области Ь<№).

Заключение

С использованием строгого аналитического подхода получены два решения для регулярного весового вектора ААР в базисе степенных векторов. На основе этих решений получены два метода для регуляризованных оценок весового вектора. Методы применимы при произвольной конфигурации ААР и могут1 использоваться при короткой выборке входного процесса, когда его КМ является вырожденной. Вычислительная сложность методов невысокая. Она пропорциональна числу выборок Ь, числу внешних источников шума J и числу антенных элементов N.

Список литературы

1. Монзинго Р.А., Миллер Т.У. Адаптивные антенные решетки: Введение в теорию: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1986. 448 с.

2. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

3. Пистолькорс А.А., Литвинов О.С. Введение в теорию адаптивных антенн. М.: Наука, 1991. 200 с.

4. Ермолаев В.Т., Флаксман А.Г. // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. № 4. С. 472.

5. Ермолаев В.Т., Краснов Б.А., Флаксман А.Г. // Изв. вузов. Радиофизика. 1983. Т. 26. № 7. С. 874.

6. Ермолаев В.Т., Краснов Б.А., Соломатин В.Я., Флаксман А.Г. // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. 29. № 5. С. 551.

7. Ermolayev V.T., Flaksman A.G. // Int. J. Electron. 1993. V. 75. № 4. P. 753.

8. Цыпкин Я.З. Основы теории обучающихся систем. М.: Наука, 1970. 400 с.

9. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. 400 с.

10. Тихонов А.И., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

11. Абрамович Ю.И. // Радиотехника и электроника. 1981. Т. 26. № 3. С. 543.12.

12. Сорокин И.С., Ермолаев В.Т. // Труды XVII научной конференции по радиофизике. ННГУ, 2013.

13. Ермолаев В.Т., Флаксман А.Г., Сорокин И.С.// Изв. вузов. Радиофизика. 2012. Т 55. № 9.

14. Ermolayev V.T., Flaksman A G., Rodygin Yu.L. // Int. J. Electron. 1994. V. 76. № 3. P. 497.

TWO METHODS FOR ESTIMATING THE WEIGHT VECTOR OF AN ADAPTIVE ANTENNA ARRAY

V.T. Ermolayev, I.S. Sorokin, A.G. Flaksman

Two methods for estimating the weight vector of an adaptive antenna array (AAA) when receiving a signal against the background of external noise sources are proposed. Rigorous analytical solutions are derived for the regular weight vector in the basis of power vectors. On the basis of these solutions, regularized weighting vector estimates are found. The methods are applicable for a short sample of noise, when the noise correlation matrix is singular. The computational complexity of these methods is proportional to the number of noise samples, the number of external noise sources and the number of AAA elements.

Keywords: adaptive antenna array, weight vector, regularized estimate, processing efficiency.

References

1. Monzingo R.A., Miller T.U. Adaptivnye antennye reshetki: Vvedenie v teoriyu: Per. s angl. M.: Radio i svyaz', 1986. 448 s.

2. Uidrou B., Stirnz S. Adaptivnaya obrabotka signalov: Per. s angl. M.: Radio i svyaz', 1989. 440 s.

3. Pistol'kors A.A., Litvinov O.S. Vvedenie v teoriyu adaptivnyh antenn. M.: Nauka, 1991. 200 s.

4. Ermolaev V.T., Flaksman A.G. // Izv. vuzov. Ra-diofizika. 1982. T. 25. № 4. S. 472.

5. Ermolaev V.T., Krasnov B.A., Flaksman A.G. // Izv. vuzov. Radiofizika. 1983. T. 26. № 7. S. 874.

6. Ermolaev V.T., Krasnov B.A., Solomatin V.Ya., Flaksman A.G. // Izv. vuzov. Radiofizika. 1986. T. 29. № 5. S. 551.

7. Ermolayev V.T., Flaksman A.G. // Int. J. Electron. 1993. V. 75. № 4. P. 753.

8. Cypkin Ya.Z. Osnovy teorii obuchayushchihsya sistem. M.: Nauka, 1970. 400 s.

9. Voevodin V.V. Linejnaya algebra. M.: Nauka, 1980. 400 s.

10. Tihonov A.I., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnyh zadach. M.: Nauka, 1979. 288 s.

11. Abramovich Yu.I. // Radiotekhnika i ehlektroni-ka. 1981. T. 26. № 3. S. 543.12.

12. Sorokin I.S., Ermolaev V.T. // Trudy XVII nauchnoj konferencii po radiofizike. NNGU, 2013.

13. Ermolaev V.T., Flaksman A.G., Sorokin I.S.// Izv. vuzov. Radiofizika. 2012. T 55. № 9.

14. Ermolayev V.T., Flaksman A G., Rodygin Yu.L. // Int. J. Electron. 1994. V. 76. № 3. P. 497.