ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, МОДЕЛИРУЮЩИХ НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.957+517.928.7

MSC2010: 35K61, 35C07, 35C15, 35C20

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, МОДЕЛИРУЮЩИХ

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

© В. А. Лукьяненко

КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

e-mail: [email protected]

Approximate solutions of the equations which are simulating nonlinear processes.

Lukianenko V. A.

Abstract. Nonlinear ordinary differential equations and partial differential equations have found application in many sections of physics: photonics and plasmonics, nonlinear optics, gasfree combustion theory, hydrodynamics and electrodynamics; biophysics; nonlinear population dynamics; nonlinear wave theory, etc. In terms of system analysis, the considered models contain evolutionary blocks, diffusion, diffraction, blocks of interaction, nonlinear blocks and others.

Within the framework of mathematics with broad interdisciplinary topics in the problems of applied nonlinear dynamics (AND) the existence and behavior of solutions (particularly, periodic and quasi-periodic solutions) of nonlinear equations with parameters, their stability are investigated, as well as spatially heterogeneous structures which are born by bifurcation.

Some historical information related to the research of the AND in Crimea is given, for example here was held the famous international Lyapunov Conference about stability problem, which was chaired by G. A. Leonov in 2018. Research in the field of linear and nonlinear equations such as equations of convolution type, singular integral equations with argument shifts, nonlinear Urysohn type equations have their origin from F. D. Gakhov students, namely G. S. Litvinchuk and Yu. I. Chersky. Here, in the Crimea, a monograph «Equations of convolution type» was written by F. D. Gakhov and Yu. I. Chersky.

Research in the field of applied non-linear dynamics in V. I. Vernadsky Crimean Federal university which were started by E. P. Belan, now develop in the following directions: quasi-linear parabolic equations of nonlinear optics with transformations of spatial variables (V. A. Lukianenko, Yu. A. Khazova and A. A. Kornuta); nonlinear models of propagation of surface plasmon-polaritons (V. A. Lukinaneko, M. S. Germanchuk and S. P. Plyshevskaya); mathematical model of the phenomenological equation of gas-free spin combustion as a singularly perturbed nonlinear parabolic Van der Pole equation (O. V. Shyian, V. A. Lukianenko and A. A. Grebeneva); nonlinear integral equation of the first Urysohn type and their approximate solutions (V. A. Lukianenko, M. G. Kozlova, V. A. Belozub and Yu. A. Khazova).

For the problem of propagation of phase wave of light modulation with transformation of reflection of spatial variable using the method of integral (central) manifolds the theorem about existence of spatially heterogeneous stationary solutions has been proved; applying the Galerkin method, the form and stability of rotating wave solutions, which are born as a result of Adronov-Hopf bifurcation, metastable structures have been investigated; integral representation of the problem with transformation of involution type on an infinite strip with boundary conditions with oblique derivative has been obtained.

Surface plasmon-polariton wave propagation is considered on the example of a system of two related nonlinear Schrodinger equations with cubic nonlinearity Kerr's type, as well as generalizing model of spin combustion in annular regions (circle, ring, thin ring and circumference) and the quasi-normal form of the problem is constructed and investigated. The dependence of the first spin waves which are born after bifurcation from the time is visualized.

The algorithm of solving of nonlinear integral equations of 1st kind of convolution type on example of Urysohn type equation arising in problems of applied nonlinear dynamics is introduced.

Constructed structures are consistent with light structures obtained during physical experiments. This section of mathematics is also reflected in the works oby Moscow, Yaroslavl, Rostov, Nizhny Novgorod and other schools of non-linear dynamics.

As the main methods of solving the studied problems of applied nonlinear dynamics the method of central manifold, bifurcation analysis, method of Krylov-Bogolyubov-Mitropolsky-Samoilenko (KBMS), asymptotic decomposition of the solution according to eigen functions, averaging method, Jacobi elliptic function method, Galerkin method are offered. The solvability of the problems is based on the operator's approach of studying equations in Banach spaces.

The considered mathematical models are the basis of fundamental research on the development of new technologies of elemental electronics base, aimed at storage, transformation of information and creation of computational systems of intellectual processing of Big Data.

The results presented in the paper reflect the research about AND and integral equations within the development program "Crimean mathematical center".

Keywords: nonlinear equation, nonstationary effects, rotating waves, bifurcation analysis, integral representation

Введение

Нелинейные дифференциальные уравнения обыкновенные и в частных производных нашли применение во многих разделах физики: фотонике и плазмонике, нелинейной оптике, теории горения, гидродинамике и электродинамике; биофизике; нелинейной популяционной динамике; теории нелинейных волн и др. С точки зрения системного анализа рассмотренные модели содержат эволюционные блоки, диффузионные, дифракционные, блоки взаимодействия, блоки нелинейностей и другие.

В рамках раздела математики с широкими междисциплинарными связями в задачах прикладной нелинейной динамики (ПНД) исследуется существование и поведение решений (в частности, периодических и квазипериодических) нелинейных уравнений с параметрами, их устойчивость, а также рождающиеся при бифуркации пространственно-неоднородные структуры.

Для изучения локальных семейств дифференциальных уравнений применяется теория бифуркации векторных полей. Теория центральных многообразий дает возможность сводить исходную задачу к задаче меньшей размерности, тогда как теория нормальных и квазинормальных форм позволяет представлять уравнения с нелинейными членами в наиболее простом виде.

Приведем исторические сведения, связанные с исследованием ПНД в Крыму. Программу нового развития теории бифуркаций В. И. Арнольд изложил в «Лекциях о бифуркации и версальных семействах» [1], прочитанных им на летней школе в Кацивели (рядом с Симеизом) в 1971 г. и опубликованных в УМН в 1972 г. В это же время были анонсированы результаты А. Н. Шошитайшвили и Р. И. Богданова.

Исследовательская программа В. И. Арнольда была направлена на систематизацию теории локальных бифуркаций с точки зрения теории особенностей с использованием леммы Сарда и теоремы трансверсальности. На этом пути исследований отмечаются результаты Р. И. Богданова, Ф. Такенса, Х. Жолондека, Э. И. Хорозова, Ф. С. Березанского, А. И. Хибника, Б. Краускопфа, Ю. С. Ильяшенко и др.

С Крымом связаны международные Ляпуновские конференции по устойчивости. Председателем одной из них (Б88Т-2018) был Г. А. Леонов 1. Работы Г. А. Леонова и его школы оказывают существенное влияние на исследования устойчивости задач прикладной нелинейной динамики.

Исследования в области линейных и нелинейных уравнений типа свертки, сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, нелинейных уравнений типа Уры-сона берут свое начало от учеников Ф. Д. Гахова, а именно, Г. С. Литвинчука и Ю. И. Черского. Здесь же, в Крыму, была написана монография «Уравнения типа свертки» Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского.

Наряду с работой научной школы «Спектральные и эволюционные задачи» под руководством Н. Д. Копачевского, основными направлениями которой является исследование вопросов разрешимости задач гидродинамики с помощью спектральной теории операторов и операторных пучков, в Крымском федеральном университете

1 Имеется ввиду международная конференция «Динамические системы в науке и технологиях» (ЮБЯТ). https://dsst.su

им. В. И. Вернадского (далее — КФУ) развивалось направление прикладной нелинейной динамики.

Впервые данную тематику в КФУ предложил в своих работах Е. П. Белан [2] совместно с А. М. Самойленко [3] и О. Б. Лыковой [4], исследуя квазилинейные параболические уравнения с преобразованиями пространственных переменных, задачи о бифуркации рождения вращающихся структур для параболического уравнения на круге с преобразованием поворота и радиального сжатия, проблемы бифуркации рождения периодических решений на гладкой области. Построенные структуры согласуются со световыми структурами, полученными в ходе физических экспериментов.

Данная проблематика также нашла свое отражение в работах московской, ярославской, ростовской, нижегородской и других школах нелинейной динамики.

Исследования в области прикладной нелинейной динамики в КФУ, начатые Е. П. Беланом, сейчас развиваются в следующих направлениях:

1. Квазилинейные параболические уравнения нелинейной оптики с преобразованиями пространственных переменных (В. А. Лукьяненко, Ю. А. Хазова и А. А. Корнута [5]-[8]).

2. Нелинейные модели распространения поверхностных плазмон-поляритонов (В. А. Лукьяненко, М. С. Германчук и С. П. Плышевская [11]).

3. Математическая модель феноменологического уравнения безгазового спинового горения — сингулярно возмущенного нелинейного параболического уравнения ван-дер-полевского типа (О. В. Шиян, В. А. Лукьяненко и А. А. Гребенева [12]-[16]).

4. Нелинейные интегральные уравнения 1-го рода типа Урысона и их приближенные методы решения (В. А. Лукьяненко, М. Г. Козлова, В. А. Белозуб и Ю. А. Хазова [17]-[21]).

В качестве основных методов решения исследуемых задач прикладной нелинейной динамики предлагаются метод центрального многообразия, бифуркационный анализ, метод Крылова-Боголюбова-Митропольского-Самойленко (КБМС), асимптотическое разложение решения по собственным функциям, метод усреднения, метод эллиптических функций Якоби, метод Галеркина. Разрешимость задач основана на операторном подходе исследования уравнений в банаховых пространствах.

Рассмотренные математические модели лежат в основе фундаментальных исследований по разработке новых технологий элементной базы электроники, направленных на хранение, преобразование информации и создание вычислительных систем интеллектуализированной обработки больших данных (Big Data).

Приведенные в работе результаты отражают исследования по ПНД и интегральным уравнениям в рамках программы развития НО «Крымский математический центр» и, в частности, представлены в октябре 2023 г. в Майкопе на III Конференции Математических центров России и на VI Международном научном Форуме «Цифровые технологии: наука, образование, инновации» (ноябрь, 2023 г.).

1. Нелинейные уравнения параболического типа с

ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ АРГУМЕнТОВ

В области S рассматривается начально-краевая задача [22]—[24]

ut(x,t) + u(x,t) = DAu(x,t) + K(1 + ycosQu(x,t)), x E S С R2, t > 0, (1)

с краевыми условиями Неймана на границе S и начальным условием u (x, 0) = u0 (x).

Уравнение (1) описывает динамику фазовой модуляции u(x,t) световой волны, прошедшей тонкий слой нелинейной среды керровского типа с преобразованием пространственных аргументов Qu(x,t) = u(q(x),t) в обратной связи.

Здесь A — оператор Лапласа, D > 0 — эффективный коэффициент диффузии частиц нелинейной среды, 0 < y ^ 1 — контрастность интерференционной картины, K > 0 — коэффициент, пропорциональный интенсивности светового потока.

Отметим, что достаточно общий тип преобразований изучался в работах [25]-[26]. В качестве области S рассматриваются:

1. Кольцо Sr = {(r, в)| 0 < rx < r < r2; 0 < в < 2п}.

2. Круг (п = 0) Sc = {(r, в)| 0 < r < r2; 0 < в < 2п}.

3. Окружность S1 = {в10 < в < 2п}.

4. Тонкое кольцо Ss = {(r, в)| 0 < rx ^ r ^ r2; r2 — rx = 6 << 1, 0 ^ в ^ 2п}.

Для всех круговых областей функция u = u (r, в, t) удовлетворяет условию пери. d2u 1 du 1 д 2u одичности u (r, в + 2п, t) = u (r, в, t); Au = —— |———|—^тттт — оператор Лапласа

dr2 r dr r2 дв2

в полярной системе координат.

Для круга и кольца оператор Q может содержать преобразование радиальной координаты и угловой q(r, в) = (кг, в + h), 0 < к < 1, 0 < h < 2п, т. е. операторы сжатия (растяжения) и поворота (отражения). Для модуляции световой волны

на окружности рассматривается только поворот: д(в) = (в + h). В случае, когда

2п

Qu = Qhu = u(r, в + h, t) — преобразование поворота на угол h = — (p E N) опера-

P

тор Qh — оператор инволюции Qp = I [9].

При исследовании задачи (1) используются следующие функциональные пространства: Н = Н(Б) = Ь72(Б) — пространство функций из Ь2(Б), квадратично интегрируемых с весом г, со скалярным произведением и нормой соответственно Бг, Бс:

2п г 2 2п г'2

<п,у>н = ! J и(г, в)у(г, в)гв1гв1в, ||м||Н = J ! \п(г, в)\2гд1гв1в,

0 Г1 0 Г1

здесь < *, * > — скалярное произведение в гильбертовом пространстве Н; функциональное пространство Н2 — соболевское пространство комплекснозначных функций двух вещественных переменных со скалярным произведением и нормой соответственно:

<и,у >Н2=< и,ю >н + < (—А)1 и, (—А)2V >н, НиЦН =< и, и >Н2 .

Шкалу пространств, порожденную оператором —А с учетом краевых условий обозначим Н8,в € Ъ+. Норма в пространстве Н® определяется следующим образом: 1|и||® =< (—А)®и,и > + < и,и >.

Пространство Соболева Н1(Б) измеримых на Б функций вводится стандартным образом. Скалярные произведения в Н1 (Б) определяется формулой

{и,ю)1 = — дau(x)дav(x)dx, (2)

где а = («1, а2) € Ъ+, да = д^1 д^ 2 , \а\ = «1 + а2.

f du \dv

бесконечно дифференцируемых на S с

Пространство H1 = H1 (S)П .. 0

[ди

lluH-1 = suP{ ^ (v G H \v = 0) }.

= 0 ^ является пополнением пространства

дв

функций, удовлетворяющих краевому условию, по норме пространства Н1(Б). Норму в пространстве Н1 будем обозначать \ \ ■ \ \/.

Обозначим Н-1 — пространство, сопряженное пространству Н1. Тогда

^ (V € Н1^ = 0) (3)

По теореме Соболева имеют место вложения Н1 С Н С Н-1, причем, вложение Н1 С Н вполне непрерывно.

Отметим, что оператор Q : Н ^ Н ^ : Н1 ^ Н1), определяющий правую часть уравнения (1), является линейным и ограниченным и |^||яот(я) = к-1.

Из работы [28] следует

Теорема 1. Для Т > 0 начально-краевая задача (1) с условием и\4=0 = и0(г, в), и0 € Н имеет единственное решение и(г, в,Ь), принадлежащее пространству (Н, [0,Т]) П^Н1, [0,Т]).

В качестве фазового пространства выбирается пространство Н1.

Корректность начально-краевой задачи (1) для круга Sc доказана в [17], для кольца Sr, окружности S1 и тонкого кольца S6 доказательство аналогично.

Легко показать, что если u(r, в, t) — решение этой задачи, то функция u(r, в+а, t), где 0 ^ а ^ 2п, также является решением (1). Следовательно, математическая модель уравнения динамики фазовой модуляции световой волны с преобразованием пространственных аргументов в круговых областях S-эквивариантна.

В работе описана асимптотическая форма и проведен анализ устойчивости структур — решений, бифурцирующих из пространственно-однородного состояния равновесия, определяемого уравнением

w = K(1 + y cos w). (4)

Согласно [29]-[30] рост K сопровождается увеличением количества одновременно существующих корней уравнения (4); кроме того, из-за появления новых состояний равновесия и исчезновения старых, происходит постоянное обновление их состава. То есть в зависимости от вида преобразования Q данная модель обладает широким спектром бифурцирующих структур.

Зафиксировав одну из непрерывных ветвей решения уравнения (1) w = w(K), 1 + K sin w(K) = 0, предположим, что выполняется следующее условие

Условие 1. При K = K существует такое решение w = w уравнения (4), что 1 + Ky sin w = 0.

В силу теоремы о неявной функции, следует, что найдется аналитическая в окрестности точки K функция w = w(K + v) = w(v), w(0) = w, удовлетворяющая уравнению (4) при K = K + v.

Пусть u = w = Const — одно из пространственно-однородных решений задачи (1), определяемое уравнением (4). В окрестности точки w, выполнив замену u (r, в, t) = w + v (r, в, t), где v(r, в, t) — новая неизвестная функция, относительно v получим следующую задачу:

vt + v = DAv - Ky sin w ■ Qhv + f (Qhv,w), (r, в) £ S, t > q0, (5)

где f (Qhv, w) = Ky (cos w(cos Qhv — 1) — sin w(sin Qhv — Qhv)), с условиями Нейма-

dv n с

на на границе —— = 0, v — единичная внутренняя нормаль к границе S, а также

dv

начальным условием

v (r, в, 0) = v0(r, в) (6)

и условием периодичности

v (r, в + 2n,t)= v (r, в,t) . (7)

Раскладывая f (Qhv,w) в ряд и оставляя некоторое конечное число членов ряда, получим иерархию модельных уравнений, для которых исследуется задача нахождения приближенного пространственно-неоднородного решения, бифурцируещего из его пространственно-однородного решения при изменении бифуркационного параметра. Бифуркационными могут быть параметры D и K.

Запишем уравнение (1) в виде

vt = L(D, K)v + B(Qv), (8)

где L(D, K) = ^Av — v — Ky sin wQhv, B(Qv) = f (Qhv, w).

Согласно лемме 3.1 [31], оператор L(D,K) в пространстве И с областью определения И2 имеет компактную резольвенту и, следовательно, дискретный спектр. Обозначим через An, n = 1, 2,... собственные значения оператора L(D, K).

В работе [7] для оператора L(D,K) в пространстве И(Sr) доказана лемма 1.

Лемма 1. Оператор L(D,K) имеет полную в И(Sr) ортонормированную систему собственных функций

Фп,т(г, в) = Rn,m(An,mr) exp[ine], n = 0, ±1, ±2,...; m =1, 2,..., такую, что

L(D, K)фщт(r, в) = (—1 — DA2nm + Лexp[inh})^n,m(r, в),

,' ' (9)

Rn,m (r) R2,m(A2,mr) Jn (An,mr) ' Yn (An,mr1) Yn (An,mr) ' Jn (An,mr1) .

Функции Rnm(r) определяются через функции Бесселя Jn, Yn [10], первого и второго рода соответственно, порядка n:

fx\2 ~ , , г , ч ^ (—1)k (x^2k

(x) = i - ■■Wnix), где énix) = 4 '

Jn(x) = (!)n ■ ^(x)> ГДе ^(x) = g r(k + 1) ■ r(n + k + 1) (f) '

Yn(x) = lim (ctgna ■ Ja(x)--- J_a(x) ) ,

...... y sin na )

(10)

где Ап,т = А — упорядоченные по возрастанию корни уравнения

■ (Ап) • Уг[ (Лг2) - .]'п (лг2) • УП (лп) = 0. (11)

Функции Я(т) = Яп,т (Ат,п) являются решениями краевой задачи для уравнения Бесселя

т2Я''(т) + тЯ'(т) + ^А2т2 - п2) Я(т) = 0, Я!{т1) = 0, Я'(т2) =0, и = 0, ±1, ±2,....

(12)

Собственным значениям оператора L(D, K) соответствует выражение вида:

An = —DA£im — 1 + Л exp[inh], (13)

где n = 0, ±1, ±2,..., m = 1, 2,..., Л = —Ky sinQhw = —Ky sin w для w = const. Проведя рассуждения, аналогичные доказательству леммы 1 (см. [7]), доказана

Лемма 2. Оператор L(D, K) имеет полную в H(Sc) ортонормированную систему собственных функций

"0n,m(r, в) = Jn(An,mr) ехр[тв], n = 0, ±1, ±2,...; m = 1, 2,...,

L(D, K(r, в) = (—1 — DAn,m + Л exp[rnh])^m(r, в),

где Jn (An,mr) — функции Бесселя первого рода порядка n, An,m = А — упорядоченные по возрастанию корни уравнения

J (м) = 0. (14)

Функции R(r) = Jn (Am,nr) являются решениями краевой задачи для уравнения Бесселя

r2R''(r) + rR'(r) + ^А2r2 — n2) R(r) = 0, R'(r2) = 0, n = 0, ±1, ±2,.... (15)

Собственные значения для оператора L(D,K): An = —1 — + Лexp[inh],

n = 0, ±1, ±2,..., m = 1,2,....

Частным случаем леммы 1 является лемма 3.

Лемма 3. Оператор L(D,K) имеет полную в H(S1) ортонормированную систему собственных функций

■0n(r, в) = ехр[тв], L(D,K)^n(r, в) = (—1 — Dn2 + Л exp[inh])^n(r, в) n = 0, ±1, ±2,....

Собственные значения для оператора L(D,K): An = —1 — Dn2 + Лexp[inh], n = 0, ±1, ±2,....

В зависимости от значений действительной и мнимой частей An могут существовать различные типы решений, бифурцирующие из пространственно-однородного решения, определяемого равенством (4). Так, в случае ReAn = 0, ImAn = 0 могут быть исследованы пространственно-неоднородные стационарные решения, в случае ReAn = 0, ImAn = 0 получим чисто периодические решения.

Линеаризуя уравнение (5) на выделенном стационарном пространственно-однородном решении w, u = v + ги, рассмотрим одну из модельных постановок задачи (5)-(7):

n. г _ . ^ _ Ky cos w 2 K y sin w 3

vt + v = DAv — Ky sin w ■ Qhv-----Qhv +-----Qhv ,

2! 3! (16)

0 < r < r2, 0 < в < 2п, t > 0, с условиями второго рода на границе

vr (r2, в, t) = 0, (17)

начальным условием

v (r, в, 0) = 0 (18)

и условием периодичности

v (r, в + 2n,t) = v (r, в,t) . (19)

Введем обозначения Л = —Ky sin w, fi = —tg—. Тогда задача (16) имеет вид

vt = —v + DAv + ЛQhV + fiQh v2 — Л Q^v3,

6 (20)

0 < r < r2, 0 < в < 2п, t > 0.

В работе [5] методом центрального многообразия исследовалось уравнение (20), линеаризованное в окрестности нулевого решения; здесь vt = L(D,K)v,

п

Lv = —v + DAv + ЛQhv. Зафиксируем h = — (другие случаи рассматриваются ана-

3

логично).

Интерес представляет, когда Л < —1. Тогда для K выполняется условие

Условие 2. Л = Л уК^ < -1.

Обозначим = (-1 — (—1)вЛ)/Л§в т, в = 1, 2,.... Если Б > то согласно лемме 2 нулевое решение задачи (20) является устойчивым. При убывании параметра Б и его прохождении через значение собственное значение Лх пересекает мнимую ось.

Если Б2 < Б < то индекс неустойчивости нулевого решения равен 1. Индекс неустойчивости нулевого решения повышается на единицу при уменьшении Б и его прохождении через Б^, в = 2, 3,....

Теорема 2. При выполнении условий 1 и 2 для Н = п/3 существует ^ > 0, такое, что при фиксированном значении т =1 и для любых значений параметра Б, удовлетворяющих неравенству — ^ < Б < существует непрерывное по Б

стационарное решение <£>(r, 0, D) уравнения (20), определяемое равенством

¥>(r, 0,D) =

(21)

= zJ3 (Л3дг) cos 30 + Z2P6(r, cos 60 + z3P9(r, cos 90 + £(z, r, 0, |z=z(M),

p6(r, D) = 2 (2Л3 -726) dg,! ■ j6 (д6,1г), (22)

■ J9 (Лддг) . (23)

Pg(r,D)= 1

2 (ЗЛ3 - Л9) d9,i

fi2 7273 + Л74'

(2Л3 - Лб) d2,i 12

Здесь £(z,r, 0, D) = O(|z|3), z(D) > 0 — непрерывная ветвь стационарных точек уравнения

= + - - (^ак) z3 + ..., (24)

24Д 4 (2Л3 - Л J dg,

Г2

где J3s (Л3в,1г) определяется в (10), = /гЛП(Л3дГ^г, n = 0, ±1, ±2,...,

, о

m = 1, 2,...,

Г'2 i'2

Y1 = J r J3 (Л3,1Г )dr, 72 = J rJf (Л3,1г) 7б(Лб,1Г )dr,

0 0 (25)

2 2

73 = J rJ3^3,1r)J6^6,1r)J9^9,1r)dr, 74 = J rJf ^3,1r)Jg^9,1r)dr. 00

Таким образом, в некоторой полуокрестности D1 существует решение (r, 0, D) уравнения (20), определяемое равенствами (20)-(23), где £(z,r, D) = O(|z|3), z(D) > 0 — непрерывная ветвь стационарных точек уравнения (19). Решение ^1(r, 0, D) — асимптотически устойчиво.

Отметим, что описанный процесс построения функции <£>(r, 0, может быть продолжен.

В пакете символьных вычислений «Wolfram Mathematica 11.3» при фиксированных значениях параметров Л = -3/2, h = п/3 построены приближенные стационарные решения <^>(x,y,D) для различных значений бифуркационного параметра D (рис. 1).

Задача (5)-(7) для круга характеризуется существованием периодических по t решений типа «бегущая волна», существование и асимптотическая форма которых подробно исследованы в [33].

Для кольца S = Sr справедлива теорема аналогичная теореме 2 [7], [9].

D -» 0.1 D -» 0.01

Рис. 1. Приближенное стационарное решение ^(х, у,В) для Л = -3/2, Н = п/3 в цилиндрической системе координат: а) при Я = 0.1; б) при В = 0.01

Используя пакет символьных вычислений, построено приближенное стационарное решение ^(г, в, В) из класса Wl для значений параметров Л = -3/2, В = 0.1; 0.01 (рис. 2).

Рис. 2. Приближенное решение для Л = -3/2, h = п/3: а) при D = 0.1; б) при D = 0.01

В [3] для области фазовой модуляции волны окружности доказана теорема о существовании в окрестности бифуркационного значения параметра Di = —1 + Л exp[ih] устойчивых пространственно-неоднородных стационарных решений задачи (5)-(7), бифурцирующих из пространственно-однородного стационарного решения (4). При уменьшении параметра D G (0,1) были обнаружены два каскада седло-узловых бифуркаций, в результате которых происходило ответвление пары непрерывных по D пространственно-неоднородных стационарных решений (5)-(7).

Использование указанных решений в качестве начальных условий в задаче (5)-(7) привело к появлению метаустойчивых структур, которые на достаточно длительном промежутке времени не изменяются, а затем за сравнительно короткий промежуток времени переходят в окрестность одного из пространственно-неоднородных стационарных решений задачи (5)-(7), бифур-цирующих из пространственно-однородного стационарного решения (4) при Di = — 1 + Л exp[ih]. Сценарий возникновения описан в [7]. Подобные структуры имеют место и для остальных областей.

Для уравнения (1) на окружности S1 = R/2nZ В. А. Лукьяненко совместно с Ю. А. Хазовой исследована параболическая задача с преобразованием поворота пространственной переменной Qu(0,t) = u(0 + h, t), 0 ^ t ^ 2n:

ut = ^Au — u — Л^м + Л1 ctgu • Qu2 + ЛQu3, t > 0, (26)

2! 6

u(<p + 2n,t) = u(<p,t), (27)

где Л = Л(К, y) = — Ky sinu, Qu(<^>, t) = u(<£> + h, t) — оператор поворота; угол поворота выбирается несоизмеримым с 2п. Зафиксируем h = • Здесь р — бифуркационный параметр, A — одномерный оператор Лапласа.

Теорема 3. Пусть выполнено условие Л > 2. Тогда существует такое 50 > 0, что если 0 < р* — р < 50, то задача (26)-(27) имеет приближенное решение типа бегущей волны вида:

u(^,t) = p^y^V^ + p1(/u)e-i^)te-^+

+ Л pi(p)e3iWl(^)te3i^ Л p3(p)e-3iWl(M)te-3i^ 2 3Ai — Л3 2 3Л1 — A3 '

где p1 (р) > 0 является положительным корнем уравнения

Re Л1(р) + (Rec3)p1(p) + (Rec5)p1(p) = 0,

U1 (р) = Im Л1(р) + (Imc3)p1(p) + (Imc5)p1(p). Rec3 < 0, Rec3 < 0. Периодические по t решения u(^,t) орбитально устойчивые.

Для численных расчетов применялась модельная задача (26) с условием cos и = 0, а также задача (26) с квадратичным и кубическим слагаемыми.

Первая бегущая волна при фиксированном значении N = 6, рождающаяся орбитально устойчивой в результате бифуркации Андронова-Хопфа при переходе бифуркационного параметра р через значение р^ = 0.5 приведена на рис. 3, а).

Вторая бегущая волна при фиксированном значении N = 6, рождающаяся неустойчивой, с индексом неустойчивости два, в результате бифуркации Андронова-Хопфа при переходе бифуркационного параметра / через значение / = 0.125 приведена на рис. 3, б).

а) первая бегущая волна

б) вторая бегущая волна

Рис. 3. Результаты численных экспериментов. ^ пространственная переменная, £ переменная времени, и значение функции и(^,£)

Рис. 4. График роста амплитуды второй бегущей волны при фиксированном N = 6 в зависимости от уменьшения бифуркационного параметра / = 0.09, 0.06,0.03; здесь ^ пространственная переменная, t переменная времени, u значение функции u(^,t)

Для случая окружности:

1. С помощью метода центральных многообразий доказана теорема о существовании пространственно неоднородных стационарных решений параболического уравнения с преобразованием отражения пространственной переменной.

2. С помощью метода Галеркина исследованы форма и устойчивость пространственно неоднородных стационарных решений типа бегущая волна, рождающиеся в результате бифуркации Андронова-Хопфа.

3. Исследованы метаустойчивые структуры (медленно меняющиеся решения), возникающие в результате седло-узловых бифуркаций.

В [8] исследован вопрос существования, формы и устойчивости пространственно неоднородных стационарных решений, бифурцирующих из пространственно однородных стационарных решений. Изучены неустойчивые и метаустойчивые структуры параболического уравнения с квадратичным и кубическим слагаемыми на отрезке. Получено интегральное представление решения параболической задачи.

Исследована динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной. Математической моделью для такой оптической системы является полулинейное параболическое уравнение:

dtu(x,t) + u(x,t) = Ddxxu(x,t) + K(1 + 7cosu(-x,t)), t > 0, (28)

dxu (-^,tj = dxu{^,tj =0. (29)

Преобразование u = w + v приводит задачу (28)-(29) к виду

v + L(D)v = N (Qv). (30)

Справедливо следующее равенство

N(v) = iЛ^2 - 1 Лv3 + O(v4), Л1 = -Лctgш. (31)

2 6

Для анализа динамики v±(x, D) при смещении параметра D в область надкри-тичности строятся галеркинские аппроксимации уравнения (30) при Л1 = 0 в виде

4

v = ^ Z2fc+1 sin(2k + 1)x. (32)

k=0

В результате для z = (z1, z3,..., zg) получим градиентную систему

zz2k+1 =--1 ,0( , ), k = 0, l, 2,3,4. (33)

dZ2k+1

Качественно различающиеся фазовые портреты однопараметрического семейства систем уравнений (33), схематически изображенных на рис. 5.

Рис. 5. Фазовый портрет градиентной системы

В работах В. А. Лукьяненко и А. А. Корнута [9]—[8] получено обобщение задачи для граничных условий с косой производной. В частности, рассмотрена начально-краевая задача для нелинейного ФДУ параболического типа с преобразованием отражения по переменной х £ М с косой производной:

д u

St

+ u = DAu + K(1 + y cos Qu), x e R, |y| ^ l, t > 0,

(34)

/ du ^ Su\ ^ / du ^ du\

\dy tgaiдx) y=_l , \дy tga2дx J

= 0,

y=i

(35)

u(x, y, 0) = uo(x, y)

(36)

здесь u = u(x,y,t), x e R, |y| < l, Qu(x,y,t) = u(-x,y,t).

Теорема 4. Начально-краевая задача (34)-(36) представима в виде нелинейного интегрального уравнения

м(ж, у, £) =

1

о

еЬ Л(£ — т) ехр

(ж+е )2

+ бЬ Л(4 — т) ехр

4(4 — т

(х — е)2 ]) ехр [—(4 — т)] 2^ п(£ — т

+

4(4 — т

)

X

х-

-I

+ Е

ехр

к=1

41) <4 — т)

еоБ 17 (у — п)

х

х ^К(1 + 7 еоБ и(е, П, т)) — Ли(е, п, т) ^ ^п^е^т+

+—1 ехр[ / еЬ л^ ехр

л/2П 2л/ПШ У V

(х — е)2

4Ш

+ бЬ Л£ ехр

(х+е)2

4Ш

)

х

(37)

Х 7

-I

- + ^ ехр

к=1

(

—О —

V 21

)2 ■

еоБ 127 (у — п)

ио(е, п)« •

4

1

1

I

2

Полученное нелинейное уравнение подходит для итерационных вычислительных процедур.

Основные результаты:

1. Проведен бифуркационный анализ начально-краевой задачи для параболического ФДУ с преобразованием пространственных аргументов.

2. Исследованы форма и устойчивость стационарных неоднородных и периодических по времени структур.

3. Получено интегральное представление задачи с преобразованием инволюции на бесконечной полосе с краевыми условиями с косой производной.

В работе [34] (продолжение работ [35]—[36]) рассматривались «процессы формирования фазовых пространственных структур в поперечном сечении когерентного светового пучка в нелинейной оптической системе с пространственно распределенной обратной связью — нелинейном кольцевом резонаторе» (использовался тонкий слой нелинейной среды керровского типа).

Взаимодействие световой волны с нелинейной средой учитывает диффузию и дифракцию при распространении волны в резонаторе. Динамика нелинейной фазовой

модуляции и (г, описывается системой уравнений (аналогичной раннее рассматриваемым в данной работе)

т0+ и(г, *) = £Ди(г, *) + К| А(г, 0, *) |2, (38)

A(r,z,t + ir) = (1 - R)1/2Am(r) + Re^° exp[iLA(A(r, z, t)ein(r'i))] I =0 , (39)

2ik0дА(Г zt) = AA(r,z,t), A(r, 0,t) = A0(r,t). (40)

д z

Здесь r = (x, y) — радиус поперечное сечение светового поля; z — продольная координата; t — время; т0 — характерное время релаксации нелинейности; A — лапласиан по переменным (x,y), описывающий диффузионный процесс в нелинейной среде; D — нормированный коэффициент диффузии; K — коэффициент нелинейности среды; |A(r, 0, t) |2 — интенсивность светового поля, попадающего в нелинейную среду; A(r, z, t) — комплексная медленно меняющаяся амплитуда светового поля внутри резонатора; R — коэффициент отражения зеркал по интенсивности; tr — время распространение поля в резонаторе; Ain(r) — комплексная амплитуда входной световой волны; <£>0 — постоянный фазовый сдвиг световой волны; L — длина резонатора (нормированная на дифракционную длину); k0 = 2п/Л — волновое число; l — толщина слоя нелинейной среды. Такая подстановка обобщает модели для уравнения (1).

При допущениях l ^ L, tr = L/c ^ т0 «медленной нелинейности» уравнение (38) является упрощенным вариантом уравнения Икеды [37]. В системе также могут присутствовать преобразования пространственных переменных Q.

Система (38)-(40) имеет пространственно-однородное стационарное решение

u =_(1 - r)k/0__(41)

s 1 + R2 - 2R cos(us + ^0)' v ;

где us = K|As|2, I0 = |Ain|2.

Дальнейшая линеаризация исходных уравнений проводится в окрестности us.

В результате вычислительных экспериментов показана вариативность динамики исследуемой системы, формирование сложных поперечных структур (flower like — структуры). Обнаружен особый режим, приводящий к динамическим фазовым пространственным структурам типа ролла и гексагона, являющихся результатом «соревновательной динамики нелинейных мод в резонаторе, а также сложных фазовых структур, формирующихся в результате кооперативной динамики нелинейных мод».

Еще один пример задачи для рассматриваемого в работе класса абстрактных параболических уравнений с преобразованием пространственных переменных (с приложениями не из нелинейной оптики) рассмотрен в работе Д. А. Куликова [38]. Уравнение указанного класса является моделью формирования рельефа на поверхности пластины под воздействием потока ионов. Процесс формирования волнового рельефа получается в результате решения бифуркационных задач, для которых используется метод центральных инвариантных многообразий и аппарат теории нормальных форм.

Показано, что в рассмотренной периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии сохраняется механизм образования наноструктур, который был выявлен ранее для модели Бредли-Харпера (волновые структуры могут сформироваться при потере устойчивости плоского фронта обработки мишени ионов).

2. Нелинейные уравнения типа Шредингера

В работе [39] исследуется распространение поверхностных плазмон-поляритонных (ППП) волн вдоль границы двух сред: металла или метаматериала с отрицательным показателем преломления и диэлектрика, обладающего оптической активностью или кубической нелинейностью.

Интерес к ППП связан также с возможным применением в передаче (обработке) информации и др.

Электромагнитное поле поверхностного плазмон-поляритонного пучка представляется в виде

Е (ж,у,г) = А(х,у)/(¿)ехр[гвж], (42)

где А(х,у) это медленно меняющаяся огибающая, /описывает поперечное распределение поля

/= /о[7^ (^ — %0)] — в среде с керровской нелинейностью;

(43)

/= /х ехр[—7х|г|] + /2 ехр[—72|г|) — в среде с оптической активностью.

Тогда уравнение огибающей

д А д 2 А

^ — ¿А«/^ — ^ (44)

где А^/ = — — коэффициент дифракции, — эффективный коэффициент нели-2р

нейности, знак и величина которого зависят от диэлектрической и магнитной проницаемости, нелинейности сред и коэффициентов локализация пучка .

Уравнение для А(х, у) с учетом дифракционных и дисперсионных явлений в случае плазмон-поляритонного импульсного пучка конечной ширины и длительности

Е(х, у, £) = А(х, у, £) ехр[^х - iшot}f (х)

можно записать в виде нелинейного уравнения Шредингера, имеющего солитонные решения [40]

д А д2 А д2 А

(45)

д А д2А

+ iDdis 0

дх д£2

д А . . 2

iDdif^72 - iaNL\A\ А = 0,

д у2

д w

где £ = х — t — бегущая координата пучка, = —— — групповая скорость пучка,

1 dv-1 D — ga Ddis =

дв

2 ди В работе И

= k0 — коэффициент дисперсии.

В. Дзедолика [41] рассмотрена задача конструирования и реализации логических элементов для обработки сигналов в процессорах оптического диапазона с помощью плазмонных устройств. И. В. Дзедоликом проведен эксперимент, когда на поверхности металла в интерференционном поле возникают сингулярные точки, в которых фаза вектора Пойнтинга поверхностных плазмон-поляритонов (ППП) имеет винтовую дислокацию. На рис. 6 показана интерференционная картина нормальной к поверхности металла компоненты вектора Пойнтинга БгМ при отражении ППП от криволинейной границы неоднородности, До = О.б^т, ем = —8.77 + й.37 (золото).

Рис. 6. Топологические заряды вихрей: +1 (красная стрелка, против часовой), — 1 (зеленая стрелка, по часовой), размеры по осям отложены в микрометрах)

Из системы уравнений Максвелла получено приближенное уравнение для поперечной компоненты электрического поля нелинейных поверхностных плазмон-поляритонов (ППП) [42] в виде

d2 E

dd^x + K 2Ex + x\Ex\2Ex = 0,

(46)

где К2, х известные параметры.

Представляя Ех = А (г) ехр[гв г], где А (г) это медленно меняющаяся амплитуда в масштабе скорости изменения фазы, выбирая амплитуды падающих и отраженных ППП в форме А^г = А^г (г) ехр[г^,г (г)], где А^г, — действительные амплитуды и фазовые составляющие, получена система уравнений для . Ее решения имеют следующий вид = ±агС^у7а/Ьtg(v/abí)], где а = Q + х + в, Ь = Q — х + в,

д = (кс2 + хА2 + х^42)/2в, х = хЛЛ, /в.

Нормальные компоненты электрических векторов нелинейных ППП (приближенные) могут быть представлены как Е^ = А^ ехр[г<^ — + ¿<£>0/2] и Ег = Аг ехр [¿<£>г — + ¿<£>0 /2].

Рассмотрено возможное плазмонное устройство, реализующее плазмонный логический элемент «ИЛИ-НЕ», необходимый для функционально полного логического базиса.

Более общая модель анонсирована в работе В. А. Лукьяненко и М. С. Германчук [11], в которой исследуется устойчивость системы из двух связанных нелинейных уравнений Шредингера для комплекснозначных функций с кубической нелинейностью Керра и периодическими условиями:

ди 1 д2 и

г т + ¿1и + ™ = 0'

ди 1 д2и 2

1 ~дЪ + 2в дУ2 + ¿(1 — + 7|и| и + Ки = 0'

и(-2 + „у) = и(| + е е <47>

и(—2 + У,= и(2 + У,¿), Г 1 ' у '

и(У, 0)= и0(У), е

и(у, 0) = ^(у)

б б '2, 2

где и(у, ¿), и(у, ¿) — искомые комплекснозначные функции; действительные параметры 1, д и к являются нормированными коэффициентами потерь, усиления и связи; /Т = 7, где 7 = 7х + ¿72, / — безразмерный масштабный параметр, Т — параметр нелинейности Керра; б — это ширина области по оси у.

Начально-краевая задача (47) представима в следующей операторной форме:

дм б . .

— = Ам, *> 0, |у| < ^, (48)

б + = б + У^Х

м(у, 0) = ^(у) = (и0(у), ^0(у))т,

где

A = L + N, L = DA - B, Nw = G(w)w, w = (u, u)T,

ВД = ^ A 0 ,B = l iK

2^ I 0 A / \ iK l - g

,

(

G(w) H 0 ; I lui2,

A — одномерный оператор Лапласа.

Лемма 4. Система уравнений (47) имеет решения, зависящие только от времени:

u0 = ae^0i, u0 = beiW0Î, (49)

где a, b удовлетворяют уравнениям

гкЪ

a =

iw0 + l '

к2

(/ + - g) - iY|b|2 = т, (50)

гш0 + /

|b|2 = l2 - - gl + K2 = 2/^0 - g^0 -Yi^o - Y2/ Yil - Y2W0 '

а w0 является корнем кубического уравнения

w3 - —Yi(g - ¿V2 + (l2 - k2- — /((g - /)/ - k2) = 0. (51)

Y2 Y2

Для исследования устойчивости (47) представим решения следующим образом:

/ \ ^ . \ 2пп у — ( 2пп \2 +

и(у^) = w(£, ~уе2в( * ^ *,

(52

/ \ ^ . \ • 2пп у —1 (2пп \2х V

и(у^) = д(£^)ег"зтуе2в( * ] *, где £ = у — взтр t, и получим

— Ш + ^ = (53)

wt — + (I — — i7|w|2w = iкq.

Так как система (53) такого же вида, что и система (47), то для того, чтобы ис-

- ^ •( Цп у- А (^ )2*)

следовать на устойчивость бегущие волны е ^ * * ; , достаточно исследовать

только решение вида м0^) = аегш°4, и0^) = 5егш°*. Как и ранее, в этой задаче обнаружение бегущих волн, вихревых и других структур, в первую очередь, актуально для практики.

3. Математическая модель спинового горения

Краевые задачи для феноменологической модели спинового горения, предложенной Я. Б. Зельдовичем, исследовались в работах Е. П. Белана и О. В. Шиян [12], продолжены В. А. Лукьяненко и А. А. Гребеневой [13]-[16] в случае кольцевых областей (круг, кольцо, тонкое кольцо и окружность) для более общей модели сингулярно возмущенного нелинейного параболического уравнения ван-дер-полевского типа с условиями Неймана и с дробной степенью оператора Лапласа. С помощью спектральной теории и теории операторов доказана теорема о существовании и единственности решения для ограниченных областей, исследована устойчивость задач и соответствующие им квазинормальные формы, а также спектральные задачи. Получена связь модели спинового горения в кольце с моделью горения на окружности.

Математическая модель спинового горения была предложена Я. Б. Зельдовичем совместно с А. П. Алдушиным и Б. А. Маломедом:

4

е +е = 2г

К1 - 3 е2)

А2 д ; в А /-Т" 1

+ 4П2 Ае + ^ ^

(54)

Здесь е = е(х, ¿) — функция, описывающая фронт распространения реакции горения; 0 < е ^ 1 — инкремент неустойчивости, А > 0 — корреляционная длина теплопроводности связей между соседними участками фронта, в > 0 — коэффициент нелокальной связи участков фронта.

В работах В. А. Лукьяненко и А. А. Гребеневой рассмотрено обобщающее (54) феноменологическое уравнение безгазового спинового горения в круговых областях. В частности, в кольце Бг = {г, <£>| < г < г2, 0 < <£> < 2п} (цилиндрическая толстостенная труба):

и + и = 2е

и0 - 4 и 2)

и (г, <£> + 2п, ¿) = и(г, <£>, ¿),

ди

д г

= 0,

Г'=Г'1,Г'2

ди дг

4П2 (-А)й + § (-А)"и

= 0.

0 < а < 1,

(55)

Г'=Г'1,Г'2

Уравнение представляет сингулярно возмущенное нелинейное параболическое уравнение ван-дер-полевского типа.

Для первых спиновых волн построено асимптотическое разложение решения задачи (55) в виде комбинации бесселевых функций /пт(г):

£ Лт(г)е-^ + ^ ¿ш/1ш(г)е4^ + ^(¿е-^, ¿е^, г),

т=1

и / ^т

т=1

(56)

где х = (¿ь ¿2, ¿3), а ¿т такие, что

¿ш = ¿т^ + ед1т) + еат(х,х), т = 1, 2, 3. (57)

Функции = 1, 2, 3, являются 5 -эквивариантными:

ат(хе-г1р, хег^, г) = ег^ат(х, х, г) для всех <£> € М/2пй. Задача (55) имеет приближенные решения

3

К)± = ^ ¿\rnJi (г) cos(t + р), 3 = 1, 2. (58)

т=1

Решения (и2)± являются неустойчивыми. Бегущая волна («1)+ подавляется волной (и1)+ (рис. 7).

Аналогично строятся вторые спиновые волны, но в отличие от первых спиновых волн вторые рождаются и остаются неустойчивыми.

Теорема 5. Первая спиновая волна («1)+ на (/5х(в),Рх(в)) (которые определяются из характеристического уравнения: ш2п — + 1 = 0) устойчива относительно давления (игт)-, (иШ+1)+ для всех т = 2, 3,..., i, j = 1, 2,... .

Получена квазинормальная форма задачи (55):

¿ = ^(1 — М2) + Д^ + ^(—Д)> 0 < а < 1, ^ 4 1 1 ' 4п2 ' дг

= 0.

(59)

r=r 1 ,Г2

Замечание. Задача об устойчивости (г>1)± эквивалентна устойчивости реше нил («1)± задачи (55).

Также рассмотрена задача (55) для тонкого кольца Я ^ г ^ Я + 5, 5 ^ 1. Потребовав, чтобы решение совсем (почти совсем) не менялось в радиальном направлении (т. е. йу = 0), и устремив 5 ^ 0, получена одномерная модель феноменологического

уравнения безгазового горения с оператором Дй = — йИсследованы периоди-

Я2

ческие решения на окружности при <£> = 0Я, соответствующие спиновым режимам горения тонкостенного цилиндра:

U + и = 2г

u (i -4 и»)

+

Л2

4n2R2

Ди +

ел

2nR2a

:(-Д)ви

0 < а < 1,

(60)

и(0 + 2п, t) = u(0, t), u(0,0) = ио(0), U(0, 0) = ui(0) 0 < 0 < 2п.

Лемма 5. Начально-краевая задача (60) представима в виде

П

и(0, t) = 2П / (Ki(0 - s)uo(s) + K2(0 - s)ui(s)) ds-

t П

- 2рг / — K3(0 - s,t - T)U3(s, t)dsdr,

(61)

(W2)ne(wa)nt + e^)nt + e^)nt где (ki)n (t) =--—---—--, (k2)n(t) = —r-—r—,

(^2)n - (^1)n (^2)n - (^ljn

sin л / 1 _ c2q2 t

(A3)n(t) = \-^ e^, Kj(0,t) = W(kj)n(0,t), j = 1, 2,

V1 - г2?2

1 П

— f K3(0 - s,t - t)U3(s, t)dsdT = W(k3)ngn, г2?" - 1 < 0. Здесь (w12)n находятся

2п -П

из соответствующего характеристического уравнения: - 2eqnwn + 1 = 0.

Асимптотический анализ в сочетании с методом Галеркина позволяет найти пару периодических устойчивых решений (при а = 1/2):

u± = а/3 - 2q1 cos t ± 2^q1 - 1 sin t cos 0 + O (г),

которые рождаются из нулевого решения u0 = cos t + O (г) при прохождении q1 через критическое значение равное единице (рис. 8).

Дальнейший интерес представляет применение итерационных алгоритмов для нелинейных уравнений типа свертки (интегрального представления задачи безгазового спинового горения) и исследование моделей с запаздыванием по пространственной переменной.

4. Нелинейные интегральные уравнения 1-го рода типа свертки

В ряде задач прикладной нелинейной динамики при построении решений возникают нелинейные интегральные уравнения. Нелинейные интегральные уравнения 1-го рода типа Урысона и их приближенные методы решения рассматриваются в работах [17]—[21]. Для решения применяются методы регуляризации, интегральные преобразования Фурье ^ и непрерывное вейвлет-преобразование (CWT), асимптотические методы и итерационные с использованием близких уравнений.

Рассмотрено применение вейвлет-преобразования для решения уравнения Урысона:

Ах = J /(в) п (г - ф)) ^ = ф), г е м, (62)

м

А)(а, 6) = / / (в) {п(г - ф))} = и (а, 6).

Из

получим

Wv {n(t - ф))} (а, b) = |a|* J F {n(t - z(s))} (f)£(af)e-ib* =

R

= |а|1 / N(f) ds,

............■).............

|а|1 I | If (s)e**)da 1 N (f )Ф (af) = |a| * J U (£)Ф (af)e-i* ds.

/ R

Из этого следует

У f (s)e^(s)ds = N-1(£)U(£), N(£) = 0

R

или в регуляризованной форме относительно ядра N (£)

f ' а + |N(e)|2'

где а — параметр регуляризации.

Для монотонно возрастающих на интервале [а, b] функций z(s) таких, что

а = min z(s) ^ z(s) ^ max z(s) = ß,

уравнение (62) с заменой т = z(s), s = <£>(т) приводится к следующей форме

ß

J f (^(t))n (t - т) ^'(т)бт = u(t), а < t < в•

а

Для n(t) = 5(t) получим обыкновенное дифференциальное уравнение

f (^(т )V(t) = u(t).

Задача нахождения решения для уравнений типа свертки относительно CWT преобразования

Af = k#f = g (63)

является некорректной. Регуляризирующий функционал А. Н. Тихонова имеет вид

J(f (■)) = а llf llLa + l|k#f - g|lLa ^ inf,

где а — параметр регуляризации. Здесь

(k#f )(t) = q(t, т,^(т) бт f (s) ds = J n(t,s)f (s) ds.

RR R

Из необходимых условий экстремума для функционала J(f) следует

[а + |K (а, b)|2] Fp (а, b) = K(а, b) Gp (а, b) • Из этого уравнения получим

(а, b) = Kp (а, b) [а + |Kp (а, b)|2] 1Gp (а, b) = Ra (а, b) Gp (а, b)

или

fa (t) = W- {Ra (а, b) Gp (а, b)} (t) = (ra#g) (t) • (64)

На уравнение типа Урысона Ах = и распространяются раннее полученные автором результаты [18]-[21] по итерационным алгоритмам, основанные на использовании близкого уравнения Ах = и. В зависимости от наличия априорной и другой информации о решении и модели косвенных измерений можно воспользоваться всей гаммой известных алгоритмов регуляризации. Наиболее близкие результаты содержаться в работах В. В. Васина и его соавторов. Например, для метода регуляризации Лаврентьева ^(х) = Ах — и + а(х — хт) итерационная процедура построения хп+1 приближения хп+1 = хп + Н приводит к алгоритму нахождения Н из линейного уравнения [а/ + (А'хп)] Н — ^(хп) = 0 или

хп+1 = хп — 7 [а/ + (А'хп)]-1 [Ахп — и + а(хп — хт)].

В качестве близких уравнений следует рассматривать уравнения КН = [а/ + (А'хп)] Н = Ахп — и + а(хп — хт) = д,

1С h =

а/ + (A'zn) h = Azn - u + <х(хп - zm) = g,

где, обеспечив ||К-1(К — К)|| < 1, можем найти решение уравнения КН = д через решение близкого уравнения КН = д, более простого по своей структуре, или решение, которое уже найдено для различных уровней погрешности (прецедентная информация) . Для модифицированного варианта метода Левенберга-Марквардта решения нелинейных уравнений типа Урысона в частном случае имеет вид

г ~ ~ п-1

Л I / \ зк Л I / \ , Т

хп+1 хп

А'(хп)*А'(хп) + а/ А'(хп)(Ахп — щ) + а(хп — хт)

Здесь 4т — начальное приближение для искомого решения,

<а',„)н = /„<« — г(.),.)/<.)ВД((.

м

и справедлива теорема об оценке погрешности.

Таким образом, наличие эффективно решаемых близких уравнений позволяет строить алгоритмы для исходных уравнений.

Заключение

В рамках направления прикладной нелинейной динамики, развивающейся в Крымском федеральном университете им. В. И. Вернадского с конца XX века, рассмотрены дифференциальные уравнения в частных производных с оператором дифференцирования по времени, оператором преобразования, оператором Лапласа и

дробным лапласианом. В основе лежит математическая формализация реальных физических процессов таких как задачи нелинейной оптики, плазмоники и теории так называемого «быстрого» горения и детонации.

Используются основные методы исследования квазилинейных параболических уравнений. Например, метод Крылова-Боголюбова-Митропольского-Самойленко (КБМС), наиболее часто встречающийся для сведения исходного уравнения к градиентной системе с комплексно сопряженными уравнениями, сочетающийся с методом Галеркина (согласованным с интегральным (центральным) многообразием), а также асимптотическое разложение решения по собственным функциям, метод усреднения, метод эллиптических функций Якоби и операторный метод.

Для задачи распространения фазовой волны световой модуляции с преобразованием отражения пространственной переменной с помощью метода интегральных (центральных) многообразий доказана теорема о существовании пространственно неоднородных стационарных решений; применяя метод Галеркина, исследована форма и устойчивость решений типа бегущая волна, рождающихся в результате бифуркации Адронова-Хопфа; исследованы метаустойчивые структуры; получено интегральное представление задачи с преобразованием инволюции на бесконечной полосе с краевыми условиями с косой производной.

Рассмотрено распространение поверхностных плазмон-поляритонных волн на примере системы из двух связанных нелинейных уравнений Шредингера с кубической нелинейностью Керра, а также обобщенная модель спинового горения в круговых областях (круг, кольцо, тонкое кольцо и окружность), построена и исследована на устойчивость квазинормальная форма задачи. Визуализирована зависимость первых, рождающихся спиновых волн от времени.

Приведен алгоритм решения нелинейных интегральных уравнений 1-го рода типа свертки на примере уравнения Урысона, возникающего в задачах восстановления решений по данным косвенных измерений.

Благодарности

Работа выполнена НО «Крымский математический центр» и поддержана Министерством науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2023-1799.

Автор выражает признательность за плодотворную совместную работу своим соавторам.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд, В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // УМН. — 1972. — 27(5). — C. 119-184.

ARNOLD, V I. (1972) Lectures on bifurcations in versal families. Uspekhi Mat. Nauk. 27 (5). Pp. 119-184.

2. Белан, Е. П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной / / Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — 1(1). — C. 3-34.

BELAN, E P. (2005) On the dynamics of the running waves in the parabolic equation with the transformation of the shift of the space variable. Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom. 1 (1). Pp. 3-34.

3. Самойленко, А. М., Белан, Е. П. Динамика бегущих волн феноменологического уравнения спинового горения // Доклады РАН. — 2006. — 406(6). — C. 738-741.

SAMOILENKO, A.M. & BELAN, E. P. (2006) Dynamics of traveling waves of the phenomenological equation of spin combustion. Reports of the Russian Academy of Sciences. 406 (6). Pp. 738-741.

4. Белан, Е. П. Бифуркации вращающихся структур в параболическом уравнении с преобразованием поворота пространственной переменной / Е. П. Белан, О. Б. Лыкова // Динамические системы. — 2008. — 25. — C. 3-16.

BELAN, E. P. & LYKOVA, O. B. (2008) Bifurcations of rotating structures in a parabolic equation with transformation of rotation of a spatial variable. Dynamic systems. 25. Pp. 3-16.

5. KORNUTA, A. A. & LUKIANENKO, V. A. (2021) Stability of Structures and Asymptotics of Nonlinear Parabolic Type Equations Solutions with Transformation of Arguments. Lobachevskii Journal of Mathematics. 42 (14). Pp. 3468-3485.

6. Корнута, А. А. Метаустойчивые структуры в параболическом уравнении с поворотом пространственной переменной // Динамические системы. — 2014. — 4(32). — C. 59-75.

KORNUTA, A. A. (2014) Metastable structures in a parabolic equation with rotation of the spatial variable. Dynamic systems. 4 (32). Pp. 59-75.

7. KORNUTA, A. A. & LUKIANENKO, V. A. (2021) Stable Structures of Nonlinear Parabolic Equations with Transformation of Spatial Variables. Lobachevskii Journal of Mathematics. 42. Pp. 911-930.

8. Хазова, Ю. А. Метаустойчивые структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной на отрезке // Динамические системы. — 2017. — 7(35). — C. 119-129.

KHAZOVA, Yu. A. (2017) Meta-stable structures in a parabolic problem with the reflection of a spatial variable on a segment. Dynamic systems. 7 (35). Pp. 119-129.

9. Корнута, А. А. Динамика решений одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения параболического типа / А. А. Корнута,

B. А. Лукьяненко // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. — 2022. — 30(2). — C. 132-151.

KORNUTA, A. A. & LUKIANENKO, V. A. (2022) Dynamics of solutions of a nonlinear functional differential equation of a parabolic type. Izv. VUZov. 30 (2). Pp. 132-151.

10. Корнута, А. А. Задача нелинейной оптики с преобразованием пространственной переменной и косой производной / А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2023. — 69(2). —

C. 276-288.

KORNUTA, A. A. & LUKIANENKO, V. A. (2023) The problem of nonlinear optics with the transformation of a spatial variable and an oblique derivative. Modern mathematics. Fundamental directions. 69 (2). Pp. 276-288.

11. GERMANCHUK, M. S., LUKIANENKO, V. A. & PLYSHEVSKAYA, S. P. (2023) Modeling of the Propagation of Surface Plasmon Polaritons. International Conference on «Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications» (PHENMA 2023): Abstracts and Schedule (Surabaya, Indonesia, October 3-8, 2023). I. A. Parinov, E. P. Putri, S.-H. Chang (Eds.); Southern Federal University (Rostov-on-Don; Taganrog: Southern Federal University Press). Pp. 127-128.

12. Белан, Е. П. Автоколебательные режимы горения вдоль полосы / Е. П. Белан, О. В. Шиян // Динамические системы. — 2009. — 27. — C. 3-16.

BELAN, E. P. & SHYIAN, O. V. (2009) Auto-oscillating regimes of combustion modes along the strip. Dynamic systems. 27. Pp. 3-16.

13. Хазова, Ю. А., Гребенева, А. А. Анализ устойчивости и формы приближенных периодических решений уравнения спинового горения / / Таврический вестник информатики и математики. — 2022. — 1(56). — C. 75-87.

KHAZOVA, Yu. A. & GREBENEVA, A.A. (2022) Analysis of stability and form of approximate periodic solutions of the equation of spin combustion. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 1 (56). Pp. 75-87.

14. LUKIANENKO, V. A. Solvability of the phenomenological spin combustion equation / V. A. Lukianenko, A. A. Grebeneva // Математический форум (Итоги науки. Юг России). - 2023. - 15. - C. 194-195.

LUKIANENKO, V. A. & GREBENEVA, A. A. (2023) Solvability of the phenomenological spin combustion equation. Mathematical Forum (Results of Science. South of Russia). 15. Pp. 194-195.

15. Гребенева, А. А. Некоторые задачи феноменологического уравнения спинового горения / А. А. Гребенева, В. А. Лукьяненко // Таврический вестник информатики и математики. — 2022. — 3(58). — C. 7-29.

GREBENEVA, A. A. & LUKIANENKO, V. A. (2022) Some problems of the phenomenological equation of spin combustion. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 3 (58). Pp. 7-29.

16. GREBENEVA, A. A. & LUKIANENKO, V. A. (2023) Bifurcation of Solutions of the Phenomenological Equation of Spin Combustion. International Conference on «Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications»: Abstracts and Schedule (Surabaya, Indonesia, October 3-8, 2023). I. A. Parinov, E. P. Putri, S.-H. Chang (Eds.); Southern Federal University ( Rostov-on-Don; Taganrog: Southern Federal University Press). Pp. 130.

17. Хазова, Ю. А., Лукьяненко, В. А. Применение интегральных методов для исследования одной параболической задачи // Известия вузов. ПНД. — 2019. — 4. — C. 85-98.

KHAZOVA, Yu. A. & LUKIANENKO, V. A. (2019) Application of integral methods for the study of the parabolic problem. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 27 (4). Pp. 85-98.

18. BELOZUB, V., KOZLOVA, M. G. & LUKIANENKO, V. A. (2021) Approximated solution algorithms for Urysohn-type equations. J. Phys.: Conf. Ser. 1902. Pp. 012051.

19. LUKIANENKO, V. A (2020) Approximate solution of the smooth transition equation. Sib. Elektron. Mat. Izv. 17. Pp. 1849-1862.

20. LUKIANENKO, V. A (2021) Applying Wavelet Transforms as a Solution for Convolution Type Equations. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Rostov-on-Don. Rostov-on-Don, 2021. Pp. 369-391.

21. LUKIANENKO, V A., KOZLOVA, M. G. & BELOZUB, V. A. (2023) Application of Wavelet Transform to Urysohn-Type Equations. Mathematics. 11. Pp. 3999.

22. Ахманов, С. А., Воронцов, М. А., Иванов, В. Ю. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей. — Новые принципы оптической обработки информации. М.: Наука, 1990. — 263-325 с.

AKHMANOV, S. A., VOROTSOV, M. A. & IVANOV, V. Yu. (1990) Generation of structures in two-dimensional feedback optical systems: towards the creation of nonlinear-optical analogues of neural networks. New principles of optical information processing. M.: Nauka.

23. VORONTSOV, M. A. & ZHELEZNYKH, N. I (1990) Transverse bistability and multistability in nonlinear optical systems with two-dimensional feedback. Matem. Mod. 2:2. Pp. 31—38.

24. VORONTSOV, M. A., ZHELEZNYKH, N. I. & IVANOV, V. Yu. (1988) Transverse interaction in 2-D feedback non-linear optical systems. Opt. and Quant. Electron. 22. Pp. 301-318.

25. Разгулин, А. В. Нелинейные модели оптической синергетики. — МАКС Пресс Москва, МГУ, 2008. — 204 c.

RAZGULIN, A. V. (2008) Nonlinear models of optical synergetics. M: MGU, MAKS Press.

26. SKUBACHEVSKII, A. L. (1998) Bifurcation of periodic solution for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics. Nonlinear Analysis. Theory. Methods & Applications. 12 (2). Pp. 261-278.

27. KARAPETYANTS,N. K. & SAMKO, S. G. (1988) Equations with invulative operators and their applications. Rostov: Rostov University Press.

28. Бабин, А. В., Вишек, М. И. Аттракторы эволюционных уравнений. — Москва: Наука, 1989. — 470 c.

BABIN, A. V. & VISHIK, M. I. (1989) Attractors of Evolution Equations. Moscow: Nauka.

29. Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Оптическая буферность и механизмы ее возникновения // Теоретическая и математическая физика. — 140(1), 2004. — C. 14-28. KOLESOV, A. Yu. & ROZOV, N. Kh. (2004) Optical Buffering and Mechanisms for Its Occurrence. Theoretical and Mathematical Physics. 140 (1). Pp. 14-28.

30. Мищенко, Е. Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е. Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов. —М.: Физматлит, 2010. - 395 c.

MISHCHENKO, E. F., SADOVNICII, V. A., KOLESOV, A. Yu. & ROZOV, N. Kh. (2010) Autowave processes in nonlinear media diffusion. М.: Fizmatlit.

31. Скубачевский, А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. — 1998. - 34:10. - C. 1394-1401.

SKUBACHEVSKIY, A. L. (1998) On the Hopf bifurcation for a quasilinear parabolic functional differential equation. Differ. Equ. 34 (10). Pp. 1395-1402.

32. ABRAMOVITS, A. & STEGUN, I. (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55. Tenth Printing.

33. Кубышкин, Е. П., Куликов, В. А. Бифуркации автоколебательных решений нелинейного параболического уравнения с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2021. — 61:3. — C. 428-449.

KUBUSHKIN, E. P. & KULIKOV, V. A. (2021) Bifurcations of self-oscillatory solutions to a nonlinear parabolic equation with a rotating spatial argument and time delay. Comput. Math. Math. Phys. 61 (3). Pp. 428-449.

34. Иванов, В. Ю., Иванова (Полякова), И. Б. Фазовые структуры в нелинейном кольцевом резонаторе // Вестник Московского университета / Серия 03. Физика. Астрономия. - 2016. - 3. - C. 48-53.

IVANOV, V. Yu. & IVANOVA (POLYAKOVA), I. B. (2016) Phase structures in nonlinear ring resonator. Moscow University Physics Bulletin. 71 (3). Pp. 266-271.

35. AKHAMANOV, S. A., VORONTSOV, M. A., IVANOV, V. Y. etal (1992) Controlling transverse-wave interactions in nonlinear optics — generation and interaction of spatiotemporal structures. J. Opt. Soc. Amer. 9. Pp. 78-90.

36. IVANOV, V. Y., IROSHNIKOV, N. G. & LACHINOVA, S. L. (1996) Cross interaction in a passive ring resonator. Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. 60 (12). Pp. 1964-1970.

37. IKEDA, K. (1979) Multiple-Valued Stationary State and Its Instability of the Transmitted Light by a Ring Cavity System. Opt. Commun.

38. Куликов, Д. А. Механизм формирования волновых диссипативных структур в одной из задач нано-технологий // Вестн. РАЕН. Диффер. уравн. — 2013. — 13(4). - C. 23-31.

KULIKOV, D. A. (2013) Mechanism of the formation of the wave dissipative structures in one of the nanotechnological problems. Vestnik RAEN. 13 (4). Pp. 23-31.

39. SUKHORUKOV, A. P., SARAPINA, D. O. & KALISH, A. N. (2010) Surface plasmon-polariton terahertz waves in optically active media. Vestnik NSU. Series: Physics. 5 (4). Pp. 154-157.

40. SARAPINA, D. O. & SUKHORUKOV, A. P. (2009) Diffraction of surface waves in metals and metamaterials. Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. 73 (12). Pp. 1594-1597.

41. DZEDOLIK, I. V. (2016) Solitons and Nonlinear Waves of Phonon-Polaritons & Plasmon-Polaritons. New York: Nova Science Publishers Inc.

42. Климов, В. В. Наноплазмоника // УФН. - 2008. - 178:8. - C. 875-880. KLIMOV V. V. (2008) Nanoplasmonics. Phys. Usp. 51 (8). Pp. 839-844.