ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ В ЗАДАЧАХ ПРИКЛАДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.957 MSC2020: 35Q68, 65M60

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ В ЗАДАЧАХ ПРИКЛАДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ © А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

Крымский ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

просп. АКАДЕМИКА ВЕРНАДСКОГО, 4, СИМФЕРОПОЛЬ, 295007, РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ e-mail: [email protected], [email protected]

Application of a computer mathematics system in problems of applied

NONLINEAR DYNAMICS.

Kornuta A. A., Lukianenko V. A.

Abstract. Mathematical formalization of various natural processes leads to models that are described by nonlinear differential equations (ordinary, in partial derivatives and functional-differential equations) or nonlinear integral equations.

Their research takes place within the framework of applied non-linear dynamics. The issues of stability, bifurcation of solutions, the emergence of spatially inhomogeneous structures, quasiperiodic solutions, etc. are considered. Various theories, methods and algorithms are used (for example, the theory of bifurcation of vector fields, the theory of central manifolds, the theory of normal forms, etc.). An important and relevant aspect is the use of computer mathematics systems.

In the article, using the Wolfram Mathematica package, the nonlinear (quasi-linear) functional-differential equations of the parabolic type with transformation of spatial variables, which are simulating real physics experiments in nonlinear optical systems with Kerry nonlinearity, in which the transformation of a field in a two-dimensional feedback loop leads to the emergence of spatially heterogeneous, rotating and other structures, are investigated

The conditions under which new structures appear depend on several system parameters: the diffusion coefficient of the medium, the intensity of the signal source, the transformation in the feedback loop (for example, rotation, compression-stretching). For local analysis of structures and description of scenarios of their development asymptotic methods of research of local dynamics of solutions of functional-differential equations with small diffusion parameter, parameter of intensity and parameters of transformation of coordinates are used. The numerical solution and visualization of the results for various parameter values are of interest. Note that various models containing at least cubic nonlinearity with respect to the desired function of the form u3 (\u\pu,p > 2) are used to simulate the formation of rotating structures, travelling waves, vortices.

The importance of studying equations with low diffusion and other parameters is due to the modern problems of searching for innovative methods of storing, transmitting and processing information, modern issues of nanotechnology.

Keywords: applied nonlinear dynamics, functional differential equations, bifurcation, stationary solution, Wolfram Mathematica.

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

57

Введение

Математическая формализация процессов различной природы приводит к моделям, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнения (обыкновенными и в частных производных, а также функционально-дифференциальными уравнениями) или нелинейными интегральными уравнениями.

Их исследование проводится в рамках прикладной нелинейной динамики (ПНД). Рассматриваются вопросы устойчивости, бифуркации решений, возникновения пространственно-неоднородных структур, квазипериодических решений и др. При этом используются различные теории, методы и алгоритмы (теория бифуркации векторных полей, теория центральных многообразий, теория нормальных форм и др.). Важным и актуальным аспектом является использование систем компьютерной математики.

В работе с помощью пакета Wolfram Mathematica исследованы нелинейные (квазилинейные) функционально-дифференциальные уравнения параболического типа с преобразованием пространственных переменных, моделирующие эксперименты в нелинейных оптических системах с нелинейностями керровского типа [1], в которых преобразование поля в двумерном контуре обратной связи приводит к возникновению пространственно-неоднородных, вращающихся и других структур. Условия, при которых появляются новые структуры, зависят от нескольких параметров системы: коэффициента диффузии среды, интенсивности источника сигнала, преобразования в контуре обратной связи (например, поворота, сжатия или растяжения). Для локального анализа структур и описания сценариев их развития используются асимптотические методы исследования локальный динамики решений функциональнодифференциальных уравнений с малым параметром диффузии, большим параметром интенсивности и параметрами преобразования координат. Представляет интерес численное решение и визуализация результатов для различных значений параметров.

Отметим, что для моделирования процессов образования вращающихся структур, бегущих волн, вихрей (спиралей) применяются различные модели, содержащие по крайней мере кубическую нелинейность относительно искомой функции вида u3 (\u\pu,p ^ q2).

Необходимость исследования уравнений с малой диффузией и другими параметрами обусловлена актуальными задачами поиска инновационных методов хранения, передачи и обработки информации, современными задачами нанотехнологий.

«Таврический вестник информатики и математики», № 4 (61)’2023

58

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

Статья организована следующим образом: в первом разделе приводятся теоретические аспекты исследования с необходимыми результатами и описанием алгоритмов, во втором разделе приведена программная реализация представленных алгоритмов построения структур решений и анализ устойчивости в системе компьютерной математики (Wolfram Mathematica).

1. Функционально-дифференциальное уравнение с преобразованием пространственной переменной

На области S рассматривается функционально-дифференциальное уравнение параболического типа с преобразованием пространственной переменной, описывающее фазовую модуляцию световой волны, которая в двумерном контуре обратной связи прошла тонкий слой нелинейной среды керровского типа [1]—[2]:

д и

д

— DAu + и — Л Qu

f (u) = K(1 + y cos Qu) — ЛQu = g(x, t), x G S, t> 0, (1)

где u = u (x,t), x G S, Qu — преобразование пространственной переменной. Заданы краевые условия Неймана [3]-[7] или с косой производной [8], а также начальное условие u(x, 0) = u0(x) и условие 2п-периодичности по угловой переменной. Здесь A — оператор Лапласа, D > 0 — коэффициент диффузии частиц нелинейной среды, Qu(x,t) = u(q(x),t) — гладкое преобразование пространственных переменных, K > 0 — коэффициент, пропорциональный интенсивности входящего потока, Y (0 < y < 1) — коэффициент видности (контрастности) интерференционной картины, Л = —Ky sin w.

Пусть w = w(x,t) — одно из решений задачи (1), в окрестности которого представим (1) в виде

dv

д

Lv + Nv, x G S, t > 0, v (x, 0) = Vo (x),

(2)

где v = v(x, t) — новая неизвестная функция, u = w + v [5],

Lv = —v + DAv + ЛQv, Л = —Ky sin w, (3)

Nv = f (Qw, Qv) = Ky (cos Qw(cos Qv — 1) — sin Qw(sin Qv — Qv)). (4)

Разложение нелинейной функции f (Qv, Qw) в ряд по степеням v начинается со слагаемого v2, удовлетворяющего условию f (0, Qw) = 0. Далее рассматриваются модели с нелинейностью не выше кубической. В качестве w рассматриваются функции в виде w = const, w = w(r), w = w(0), w = w(t) и др.

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

59

Оставляя некоторое количество слагаемых, получена иерархия моделей исходной задачи. В работах [5]-[7] исследованы пространственно-неоднородные стационарные решения и периодические по времени решения начально-краевой задачи для уравнения

dv

dt

D Av

v + ЛQv + fi(Qv)2

f(Qv)3,

t > 0, x e S,

v (x, 0) = vo (x),

dv | d n ^

0 (условие Неймана).

(5)

Задача (5) при = 0 рассматривается в работе [3].

Проводится исследование пространственно-неоднородных решений или периодических по времени решений типа «бегущая волна», которые рождаются в процессе бифуркации из пространственно-однородного стационарного решения u(x,t) = w = const, определяемого уравнением

w = K (1 + y cos w). (6)

Фиксируем гладкую ветвь w = w (K, y), которая соответствует одному из решений уравнения (6), при

1 + K y sin w(K, y) = 0.

Линеаризуя задачу (2) в окрестности стационарного пространственнооднородного решения w = w(K, y) = const, получим:

d v dt

Lv, t > 0, x e S,

d v d n

S

0,

v (x, 0) = v0 (x).

(7)

В качестве области S рассматриваются

1. Кольцо Sr = {(r, в)\ 0 < rl ^ r ^ r2; 0 ^ в ^ 2n} [7].

2. Круг Sc = {(r, в)\ 0 ^ r ^ r2;0 ^ в ^ 2n} [6].

3. Окружность Sl = {в\ 0 ^ в ^ 2n}.

4. Тонкое кольцо Ss = {(r, в)\ 0 < R — 6 ^ r ^ R + 6; 0 ^ в ^ 2n, 6 ^ 1}.

Для круговых областей в качестве преобразования выбран поворот на угол h, Qu = u(r, в + h,t), например, h = 2п (p e N). Преобразование поворота на угол h = 2п определяет оператор Q = Qh, который является оператором инволюции Qp = I [9].

Разрешимость задачи опирается на изучении операторного уравнения ut = Au, A = L + N в банаховых пространствах. Используются H = L2(S) гильбертово пространство измеримых на S функций, H2 — функциональное пространство комплекснозначных функций вещественной переменной Соболева со стандартным скалярным

«Таврический вестник информатики и математики», № 4 (61)’2023

60

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

произведением и соответствующей нормой. Линейный оператор L с областью определения H2, рассматриваемый как неограниченный оператор в пространстве H, является самосопряженным оператором.

Задача на кольце Sr исследуется в пространствах H и H2.

H = Lr2(S) х (0, 2п) — пространство функций из L2 квадратично интегрируемых с весом т, со скалярным произведением и нормой (для круга т1 = 0):

< u, v >Н

2п Г2

u

(т, 6)v(r, 6)rdrd6,

2п Г2

||u||H = / |u(r, e)\2rdrde.

0 r i 0 r i

H2 — соболевское пространство комплекснозначных функций двух вещественных переменных со скалярным произведением и нормой:

< u,v >Н2 =< u,v>H + < (-A)1/2u, (-A)1/2v >н, ||u||H2 = V< u,u >H2;

H|n = {u e H2|u(d+2n) = u(d)} — замкнутое пространство 2п-периодичных функций.

В работе [7] найдена полная в L2(Sr) ортонормированная система собственных функций оператора L:

фп,ш(т, в) = Rn,m(An,mT) exp[ind], n = 0, ±1, ±2,...; m = 1, 2,

(8)

где

Rn,m (т) Rn,m(An,mr) Jn (An,mт) " Yn (An,mT 1) Yn (An,mr) ' Jn (An,mT1) . (9)

Здесь Jn, Yn —функции Бесселя первого и второго рода порядка n соответственно [10], An,m = А — корни уравнения

Jn (М] ■ Yn (Ат^ - Jn (Ат^ ■ Yn (Ап] = 0, (10)

функции R(т) = Rn,m (Am,n!r) — решения краевой задачи для уравнения Бесселя т2^'(т)+ тR/(т) + (А2т2 — n2)R(т) = 0, R^n) = 0, R!(т2) = 0, n = 0, ±1, ±2,..., (11) собственные значения оператора L (7):

An,m = — 1 — DAn,m + Л exp[inhL (12)

где n = 0, ±1, ±2,..., Л определяется равенством (3) при w = const.

2п

Решение линеаризованной задачи, соответствующей (5), при h = — может быть

Р

представлено в виде

((т, в, t) = ^ ^ Cn,mRn,m(r) exp [—ind] exp

(—1—

dAl,m + Л exp

u(т, в, t) = ^ ^ exp l—mfc

n=—oo m=0

В работе [6] получено аналогичное представление для круга.

2nn

I-

p

)

t

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

61

Устойчивость решения v зависит от знака ReЛП m, где ЛП m определяются в (3): если ReЛП m < 0, то решение v устойчивое, если Re\*n m > 0, то решение v неустойчивое. В качестве бифуркационного параметра выбран коэффициент диффузии D, при этом Л считаем фиксированным. В зависимости от значений ReЛ*l m и 1тЛ*п m могут быть получены различные типы решений, в частности, при ReЛn m = 0, 1тЛ*п m = 0 получаем чисто периодические решения. Более подробно рассмотрим случай ReЛn m = 0.

Для дальнейшего исследования используем иерархии упрощенных моделей, построенных в окрестности точек бифуркации [11]-[12], а именно, рассмотрим одну из моделей задачи (2):

dV = -v + DAv + ЛQhv + ^Qhv2 - ЛQhv3, Л = -K7 sin w, Q = -K7Ctg W, dt 6 2

0 < rx ф r ^ r2 (для кольца), 0 ^ r ^ r2 (для круга), (13)

0 < в ф 2п, t > 0,

с условиями второго рода на кольце

dv(rb в, t)

= 0,

dv(r2, e,t)

на круге

начальным условием v (r, в + 2п, t) = v (r, в, t).

dr dr

dv(r2, e,t)

= 0,

d r

v (r, в, 0) = 0

= 0, и

условием

(14)

(15)

периодичности

п

В численных экспериментах полагаем, что h = — (аналогично можно рассмот-

пп

реть другие случаи). Тогда ReЛn , m = 0, 1тЛП , m = K7sinwsin — = 0, оператору L

3

соответствует разложение в ряд по собственным функциям ф3з,m (r, в) = R3s,m cos 3sв, s = 1, 2,

с собственными значениями

Ks,m = -DЛ2s,m - 1 + (-1)SЛ,

(16)

где для кольца Л3^Т„ — т-корень уравнения (10), для круга это корни трансцендентного уравнения

Будем считать, что m равенством

J'n (Лг^ =0. (17)

1. Критические значения параметра D определяются

D

-1 + (-1)"Л

Л 2

Л3s,1

(18)

С точки зрения бифуркационного анализа интерес представляет случай Л < -1. Для значений D > Dx нулевое решение (13) устойчиво, при уменьшении параметра D и

«Таврический вестник информатики и математики», № 4 (61)’2023

62

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

переходе через значение D нулевое решение становится неустойчивым с индексом неустойчивости 1. Происходит бифуркация типа «вилка» [11]. Имеет место следующая теорема для задачи на кольце [7]

Теорема 1. При h = п/3, Л < —1 существует 5 > 0, такое что при фиксированном значении m =1 и для любых значений параметра D, удовлетворяющих неравенству D1 — 5 < D < Di, где Ds = (—1 + (—1)^)/A|s 1, s = 1, 2,..., существует непрерывная ветвь стационарных точек z(D) > 0 уравнения

z = A3(D)z +

1

2d3,i

(

Л71

4

^2y!

(2A3 — Аб) d6,1

)

z3 +

(19)

которой соответствует стационарное решение v = <p(r, d,D) уравнения (22), определяемое равенством

+z R9,1(r)

<£>(r, в, D) = zR3,1(r) cos 3в + z2R6,1(r) 1 \ ^2Y2Y3

^Y2

+

2 (2A3 — A6) d6,1

ЛY4

cos6e+

2 (3A3 — A9) d9,1 _ (2A3 — A6) d6,1 12

(20)

cos9в + f(z,r,в,D) \Z=Z(D),

где £(z, r, в, D) = O(\z\4), R3s,1 удовлетворяет условию (9),

d2 =_______2____

“3s,1 n2 a 2 r2

n A3s,1'1 L

^2

n r1 Ц 2 „2

4

(A3s,1r2 — (3sf) (R3s,1 (r2)) — (A2s,1r2 — (3s)2)

r 2 Г 2

d4 / \ j / d2

Y1 = J rR‘4,1(r)dr, Y2 = J rR31 (r)R6,1(r)dr,

r 1 r 1

r2 r2

Y3 = rR3j(r)R6j(r)R9,1(r)dr, Y4 = rR|j(r)R9j(r)dr,

(21)

r1 r1

где s =1, 2, 3.

Решение <p(r, в, D) — орбитально устойчиво.

Аналогичное утверждение для круга доказано в [6].

Теорема носит локальный характер. Доказательство проведено с применением центральных многообразий.

Для исследования асимптотики стационарных решений задачи (13)-(15) и проведения численных экспериментов с визуализацией результатов при уменьшении бифуркационного параметра D и его отходе от критического значения D1 используется метод Галеркина, который согласован с методом центральных многообразий.

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

63

1.1. Метод Галеркина. В соответствии с методом Галеркина приближенные решения (13)—(15) представим в виде

N

p*(r, в) = ^ (zk exp[ikd\ + zk exp[-ike\) Rk,i{r), (22)

k=1

здесь zk , zk — комплексно сопряженные выражения.

Так как функция <£>*(r, в), определяемая равенством (22), удовлетворяет уравнению (13), приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Zk = Ak,iZk + ok. (z,z),

Zk = K^k + Ofc(z, z),

(23)

где Ak,1(D) = -1 - DA|,1 + exp[ikh^, Ak,1(D) = -1 - DA^ + exp[-ikh^, ok.(z,z), Ok (z,z) — формы третьей степени от zk, zk, к = 1, 2,... ,N.

Устойчивость нулевого решения системы (23) определяет спектр матрицы устойчивости {All(D), Ak,1(D)}.

Как и выше h = п, тогда первое критическое значение параметра D, при котором нулевое стационарное решение системы (23) теряет устойчивость, определяется равенством D1 = —--------. В результате этого происходит бифуркация

A3,1

типа «вилка» и при D < D1 рождается пара устойчивых стационарных точек ±z*(D) = {0, 0, ±z*, 0, 0, ±z6,...}, являющихся решениями алгебраической системы уравнений

Akzk + £k(zi) = 0, k,l = 1, 2,..., N, (24)

где £k(zl) — полином третьей степени, содержащий вторую и третью степень zl.

Тогда пространственно-неоднородное стационарное решение задачи (13)—(15) определяется асимптотическим равенством

[N/3]

V*(r, в, D) = ^ z3k(D) cos[3ke\R3k,1 (r). (25)

k=1

Так, решение z* (D) при трехмодовой аппроксимации определяется системой

A3z1 + 8^2 [Л (^3 + 2^36z2z1 + 2^39z3z1 + Z39zlz3 + ^639z2z^ -8^z2 (^369z3 + ^36z1^ =0,

A6z2 + 8^2 [-A-z2 (^6z2 + 2^36zl + 2^69z3 + 2^639z1z3) + ^z1 (8^369z3 + 4£36z1)] = 0,

A9z3 + 24^2 [3Л (e9z3 + 2^39z2z3 + 2^69z2z3 + C39^l + ^639z2z0 - 24^ 369^z2z^ = 0,

«Таврический вестник информатики и математики», № 4 (61)’2023

64

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

где

Г 2 Г 2

?4 и оап. X / „ d2 /„\ d2

вк = rRjk,i(r)dr, k = 3, 6,9; 5kl = rR2k l(r)R^1(r)dr, k,l = 3, 6, 9 (k < l);

Г1

r 1

Г2

Г2

C39 = J rR^ !(r)Rg,i(r)dr, ^з6 = j rRk,1(r)R6,i(r)dr,

r 1 r 1

Г2 Г2

$369 = / rRkii(r)Rk i(r)Rk,i(r)dr, ^639 = / rRk,i(r)R3ii(r)R9ii(r)dr.

r1 r1

(26)

Все этапы исследования начально-краевых задач (асимптотика, устойчивость и т. д.) сопровождаются разнообразными символьными преобразованиями, численным построением спектра, вычислением громоздких интегралов от произведений собственных функций и др. В следующем разделе вычислительные аспекты представленных теоретических выкладок реализуются алгоритмически с элементами визуализации. Для проведения численных экспериментов использована система компьютерной математики Wolfram Mathematica 11.3.

2. Применение системы компьютерной математики для решения задачи на круге

2.1. Построение пространственно-однородных стационарных решений.

Пространственно-однородное решение уравнения (4) w = const — определяется уравнением

w = K (1 + y cos w),

(27)

K(1 — y) ^ w ^ K(1 = y).

Число решений уравнения (27) зависит от параметров K и y. При возрастании значения K происходит увеличение числа решений. В пакете Wolfram Mathematica построена бифуркационная диаграмма для (27). Более подробно в пункте 2.2.2. рассматривается система таких уравнений.

2.2. Построение частных случаев решений. В программной реализации бифуркационный параметр D обозначим D. Рассмотрим частные случаи: стационарное решение, зависящее от угловой координаты и = п(в); стационарное решение, зависящее от радиальной координаты и = u(r); нестационарное решение, зависящее только от времени и = u(t); нестационарное решение, зависящее от времени и радиальной координаты и = u(r,t).

В окрестности таких решений возможны интересные структуры.

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

65

2.2.1. Решения, зависящие от радиальной координаты. Рассмотрим решение задачи (13)—(15), зависящее от радиальной переменной u = w(r). Для определения функции w(r) получим уравнение второго порядка

w4r)

D w"(r)+ — w(r) + K(1 + y cosw(r)) = 0, 0 ^ r ^ 1 (28)

с краевыми условиями

w(0) = 1, w'(1) = 0. (29)

Приближенные решения задачи (28)-(29) находим с помощью встроенной функции NDSolve[eqns,u,{x,xmin,xmax}], которая возвращает численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений eqns для функции u с независимой переменной x в диапазоне от xmin до xmax. Для D = 0.05, y = 0.5, K = 1,10 находим и строим соответствующие приближенные решения:

Программа 1. Решения, зависящие только от радиальной координаты

у = 0.5; 6 = 0.5;

А = Table [si = NDSolve[{w " [г] + 1 / г w 1 [г] + (К / б) (l + у Cos [w [г] ] ) = l/Dw[r]j W ■ [1] == 0j W[0] == 1}, w, {rj 0, 1}], {K, 10}] ;

Plot [Evaluate [ {w[r] /. А}, {r, 0, 1}],

PlotStyle -> {{Black, Dashing [0.003] }, {Black, Dashing [0.006] },

{Black, Dashing[0.009]}, {Black, Dashing[0.012]},

{Black, Dashing[0.015]}, {Black, Dashing[0.018] }, {Black, Dashing[0.021]},

{Black, Dashing[0.024]}, {Black, Dashing[0.027]}, {Black, Dashing[0.03] } },

PlotRange -> All, AxesLabel -» {Style[r, 14], Style[w[r], 14]},

PlotLegends -» Automatic, PlotLabel -» "y=0.5, 6=0.05"]

2.2.2. Решения, зависящие от угловой координаты. Пусть u = w(6) — стационарное решение (13)—(15), зависящее только от угловой координаты 6. Тогда функция u = w(6) определяется уравнением

Dw"(6) — w(6) + K (1 + y cos Qw(6)) = 0 (30)

«Таврический вестник информатики и математики», № 4 (61)’2023

66

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

с условием периодичности

w(6 + 2п) = w(6),

где Qw(6) = w(6 + h) — оператор поворота на некоторый угол h, являющийся оператором инволюции: Qmw = w. В этом случае уравнение (30) в зависимости от оператора Q может быть сведено к равносильной системе m дифференциальных уравнений второго порядка.

Пусть, например, m = 2, т. е. Q2w = w. Следуя работе авторов [4], приходим к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка

w0 = v0, w[ = Vi,

(31)

v0 = D l(w0 — K(1 + ycoswi)), vi = D i(wi — K(1 + ycosw0)),

положения равновесия которой в плоскости (w0, wi) являются решениями системы уравнений

w0 — K(1 + y cos wi) = 0, wi — K(1 + y cos w0) = 0. (32)

Из (32) следует, что

K(1 — y) < wj <K(1 + y), j = 0,1. (33)

Задаем параметры K = 1,10, y = 0.5. Для маркировки точек равновесия на графике с помощью функции FindRoot[{engi,eng2, ..• }, {{x,xo},{y,yo},••• }],где engi, eng2 , ••• — уравнения системы, {{x,xo},{y,yo}, • • • } — диапазоны значений неизвестных (решение ищется вблизи заданной точки), находим соответствующее каждой паре (K, y) решение системы уравнений (32), удовлетворяющее условию (33):

Программа 2. Построение точек равновесия и векторного поля______________

у = 0.5; К = 1;

FindRoot [ {w0 - К (l + у Cos [wl]) ~ 0, wl - К (l + у Cos [w0] ) == 0}, (w0, К}, {wi. К} ]

Для графического представления решения системы (32) используется функция ContourPlot [{f i =gi,f2=g2,. .. }>{x,xmin,xmax},{y,ymin»ymax^] с различными опциями: PlotLabel (определяет общую метку для графика), FrameLabel (определяет метки осей координат), PlotLegends (определяет условные обозначения для различных контурных линий, которые изображаются в одной системе координат), ContourStyle (определяет стиль, в котором должны быть нарисованы контурные линии или поверхности), Epilog (предоставляет список графических параметров, которые могут быть отображены после визуализации основной части графики). Функция StreamPlot [{{vx,vy},{wx,wy}, ... },{x,xmin,xmax>,{y,ymin,ymax}] позволяет получить векторное поле.

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

67

ContourPlot [ {w0 - wl == 0, W0-K (l + yCos[wl]) == 0, wl - К (l + yCos[w0]) == 0},

{w0, К (l-y), К (l + y)}, {wl, К (l-y), К (l + y)}, FrameLabel -» {w0, wl}, LabelStyle-» Directive [Black, 12], PlotLabel -» "y =0.5, K=l",

PlotLegends -» {,,w0=wl", "w0=K(l+y Cos[wl])", "wl=K(l+y Cos[w0])"},

ContourStyle -» {{Gray, Dotted}, Black, Black}, Axes -» True, Epilog -»

{{FaceForm[White], EdgeForm[Black],

Disk[{l.187151438466767, 1.187151438466767}, 0.01]},

Text["(1.187; 1.187)", {1.25, 1.2}, {-1, -1}]}]

StreamPlot [{w0-К (l + у Cos [wl]) , wl - К (l + у Cos [w0]) }, {w0, К (l - у), К (l + y) }, {wl, К (l-y), К (l + y)}, FrameLabel-» {w0, wl}, LabelStyle -> Directive [Black, 12], StreamColorFunction -» (Blend [ {Black, Black, Black}, tt5] &),

Epilogs { {FaceForm [White], EdgeForm [Black],

Disk[{l.187151438466767, 1.187151438466767}, 0.01]},

Text["(1.187; 1.187)", {0.9, 1.52}, {-1, -1}]},

StreamPoints -» 520, PlotLabel-» "y =0.5, K=l",

StreamPoints -» {{{{1, 1}, Red}, {{1, 1.5}, Green}, Automatic}}]

Фиксируя K = 10, y = 0.5, получим графическое представление точек равновесия и векторное поле (см. рис. 1).

Рис. 1. Точки равновесия системы (20) для Л = — |, h = ^, K = 1,10 и векторное поле в их окрестности

«Таврический вестник информатики и математики», М 4 (61)’2023

68

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

2.2.3. Решения, зависящие только от времени. Рассмотрим решение задачи (13)—(15), зависящее от времени u = w(t). Для определения функции w(t) получим уравнение первого порядка

w'(t) = —w(t) + K (1 + y cos w(t)) (34)

с начальным условием w(0) = w0.

Приближенные решения задачи (34) находим с помощью встроенной функции NDSolve[eqns,u,{x,xmin,xmax], которая возвращает численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений eqns для функции u с независимой переменной x в диапазоне от xmin до xmax. Для D = 0.05, y = 0.5, K =1,10 находим и строим соответствующие приближенные решения:

Программа 3. Решения, зависящие только от времени_________________________________

у = 0.5; 6 = 0.5;

А = Table [NDSolve [ {w'[t] == -w [t] + K (l + y* Cos [w[t] ]), w [0] == 0}, w,

{t, 0, 10}], {K, 10}];

Plot[Evaluate[{w[t] /. A}, {t, 0, 10}],

PlotStyle -> {{Black, Dashing[0.003]}, {Black, Dashing[0.006]},

{Black, Dashing[0.009]}, (Black, Dashing[0.012]},

{Black, Dashing[0.015]}, {Black, Dashing[0.018]},

{Black, Dashing[0.021]}, {Black, Dashing[0.024]},

{Black, Dashing[0.027]}, {Black, Dashing[0.03]}},

PlotRange -> All, AxesLabel -> {Style [t, 14], Style[w[t], 14]},

PlotLegends -> Automatic, PlotLabel -» "y=0.5, 6=0.05"]

2.3. Линеаризация в окрестности выбранного стационарного решения.

Фиксируем гладкую ветвь w = w (K, y), которая соответствует одному из решений уравнения

w = K(1 + y cos w), при 1 + Ky sin w(K, y) = 0.

Выполним замену u = w + v, где v = v(x,t) — новая неизвестная функция. Используя встроенную функцию Series [f,{x,xQ,n}], которая генерирует разложение

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

69

в степенной ряд функции f в точке x0 по (x — x0)n, раскладываем функцию

cos(w + Qv(x, t))

в ряд по v(x,t) (при v0 = 0 с учетом Л = —K7sinw, Q = —K7cosw). Программная реализация:

Программа 4. Процедура линеаризации__________________________________________

(★Исходное уравнение Eq0=0:*)

D[u[x, t], t] + и[х, t] -D* 0[и[х, t], x, x] -K (l+ yCos[Qu[x, t]])

(★Выполняем замену u=w+v*)

(d[ (u[x, t] /. u [Xj t] -> w +v[x, t]), t] + (u [Xj t] /. U [Xj t] ->

w + v[x, t]) -D * D[(u[x, t] /. и[х^ t] ->w + v[Xj t])j x, x] -К (l + у Cos [Qu [x, t] / . Qu [x, t] -> w + Qv[x, t] ])) /.

Cos [w + Qv [Xj t] ] -> Series [Cos [w + Qv[x, t] ], {Qv [x, t], 0, 5} ]

(★Выполняем замену К у Sin [w] -*-А/ .К у Cos [w] *)

Expand [% / . К у Sin [w] -» -Л /. К у Cos [w] -» -П]

Результат работы программы:

Таким образом,

= DAv — v + ЛQv + Q(Qv)2 — 6(Qv)3 — 24(Qv)4+

+ l^(Qv)5 + 0 ((v)e) ■ t > 0,x e S

v (x, 0) = vo (x),

Линеаризуя задачу в окрестности стационарного пространственно-однородного

d v

решения w(K,7) = K(1 + 7cosw), получим = Lv.

2.4. Метод Галеркина, согласованный с центральным многообразием.

Для построения стационарного пространственно-неоднородного решения задаем h = п/3 и порядок аппроксимации p = 3. Используя встроенную функцию Sum imin, imax}], представим решение модельной задачи (5) в специальном ви-

де. Для получения системы обыкновенных дифференциальных уравнений воспользуемся встроенной функцией TrigReduce [expr], которая переписывает произведения и

«Таврический вестник информатики и математики», № 4 (61)’2023

70

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

степени тригонометрических функций в выражении expr в виде тригонометрических функций с комбинированными аргументами. В полученном результате, учитывая ортогональность системы собственных функций [5], приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Правые части S2k, k = 1, 2, 3 записаны с учетом того, что функции R2k (r) являются решениями краевой задача для уравнения Бесселя

r2R"(r) + rR'(r) + ^A2r2 — n2 j R(r) = 0, R'(r2) = 0, n = 0, ±1, ±2,... (35)

Программа 5. Формирование системы уравнений___________________

(«Задаем параметра р-порядок аппроксимации и h-угол поворота*) р = 3; h = Pi / 3;

и [г_л 0_] := Sum [R3 k [г] (z [k] *Cos[3k*0]), {к, 1, p}]

U1 = TrigReduce[u[г, 0 + h]]; U2 = TrigReduce[u [г, 0 + h]A2];

U3 = TrigReduce[u [г, 0 + h]A3];

Pr = Expand [B |d [u[r, 0], г, г] + — D [u [г, 0], г] + — D[u [г, 0], 0, 0]

- u [г, 0] + A U1 + Q U2 - - * U3l;

б

Do [S [к] = Coefficient [Pr, Cos [0 * 3 k] ], {k, 1, p} ]

(♦Используем то, что R3k[r] решение уравнения Бесселя*)

Do[Print["SI [", к, "] =",

. Bz[k] R3k'[r] K ............. В (3k)A2z[k] R3k[r]

SI [k] = S[k] /. ------------+ D z [k] R3k [r] - —i-L--------------

r r2

-*■ - (A3k,i)2Bz[k] R3 k [r] ], {к, 1, p}]

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

71

Получим систему zkR3k,1 = S1k, k = 1,2, 3. Для определения точек равновесия необходимо умножить k-ое уравнение на rR3k,1 и проинтегрировать на отрезке [0, г2]. Для этого используем встроенную функцию Integrate[f,{x,xmin,xmax}]:

Программа 6. Определение точек равновесия системы_____________________________

Do[S2[k] = Distribute®Integrate[Expand[S1[к] * г * R3 к [г] ],

{г, 0, г2} ] //. Integrate [q_ * s_, {v_, 1_, t_}] /;

FreeQ[s, v] s * Integrate^, [v, 1, t}], (к, 1, p}]

Do[Print["S3[", k, S3[k] = S2[k] /. R3[r] ->R3[A3ji r]

/. R6[r] -> Rs [A6,i r] /. R9 [r] -> R9 [A9ji r] ], [kj 1, p}]

Результат работы программы:

«Таврический вестник информатики и математики», № 4 (61)’2023

72

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

Введем обозначения (индексы k, l,m,n = 1, N):

d23k = /q1 гЩк1 (г) dr, faк = J rR|k l(r)dr, S3k,3i = J гЩк, iW^i^r

0 0 1 1

6k,3Z = / rR‘3k,i(r)R3i,i(r)dr, Csk,sz = f rR3M(r)R3z,i(r)dr при k < l, 00 l

$3k,3i,3m = f rR3k,i(r)R3i,i(r)R3m,i(r)dr при k < l < m,

0

l

^3k,3Z,3m /rR3k,1(r)R3l,1(r)R3m,1(r)dr пРи k = l,m; l < m.

0

l

Получим систему zk J rR3k 1(r)dr = S4k, k = 1, 2, 3:

0

Программа 7. Продолжение работы программы 6______________________________

Do[S4[к], {к, 1, р}]

(«Разделим на коэффициент в левой части d23k*)

Do [Print [”S5 ["j к, "]='3 S5[k] = Expand[S4[k] / d23k]], {k, 1, p}

Результат работы программы:

“Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

73

Используя встроенные функции Do [expr ,{i, imin, imax> >{j>jmin »jmax}»---] и

Array[f,n,{a,b}] (генерирует список, используя n значений от а до b), составляем матрицу устойчивости системы S5k = 0, k = 1, 2, 3.

Для проведения анализа устойчивости точек равновесия находим собственные значения матрицы матрицы устойчивости с помощью встроенной функции Eigenvalues [m]. С помощью MatrixForm[list] представляем элементы списка в виде обычной матрицы.

Программа 8. Нахождение собственных значений матрицы

Результат работы программы:

{{'

1 -Л-D XjA

Л (539 z [3] 2 4d23 '

Л£зэг[1]2

3 Л /З3 z [ 1 ] 2 Qf36z[2] Лб36 z[2]2 Л §39 z [1] z [3]

8d23 d23 4d23

52§36z[l] Л536 z[l] z[2] Q6369 z[3

4d23

л §639 z [2] z [3]

d23

52 <5369 z [2]

2d23 л §639 Z [2] 2

8 d23

52 §36 Z [ 1 ]

d23

Лб36 z[l] z [2]

8 d23

52 6зб9 Z [3

d23

Лб39 z[l] Z [3] 1

Г у

2d23

A §639 Z [2] z [3]

4d23

d26

-1 + Л- D A| ! -

2d26 d26

A 636 Z [ 1 ] 2 3 Л /36 Z [2] 2

4d26

A §639 z[l] z [3]

52 6369 Z [1]

d26

•A^39Z[1]2

4d26

л §639 Z[l] z [2]

8d26

A <569 z [2] z [3]

4 d2(

6

Лбб9 z [3]: 4d26

4d26

52 6369 Z [2]

2d26

л §639 Z [ 2 ]

ЛЙ39 Z[l] Z[3;

8d29 d29 8 d29 2 d29

52<5369 z[1] A §639 z [ 1 ] z[2] A<569 z[2] z[3]

d29

-1 -Л- 6 12

1 -Л- D 0 0

4d29

A 639 z[l]2

{ -1 - Л - I

J УУ9г1 4d29 4d29

4,1 0 0

-1 + Л- D А\л 0

0 -1 -Л-1

4,11 -1 + л - в 4,i > -1-Л-

2d29

Л 669 z [2] 2 3 Л/39 z [3] 2

+ ------------

8 d2q

1

}}

-1 - A - D Aq

«Таврический вестник информатики и математики», № 4 (61)’2023

74

А. А. Корну та, В. А. Лукьяненко

Задаем функции R3k;1 = J3k с помощью встроенной функции BesselJ [n,z], которая на выходе дает функцию Бесселя первого рода с индексом п. Находим решения соответствующей краевой задачи для уравнения Бесселя:

Do [R [3 k, 1] = BesselU[3k, х], {к, 1, р}]

Do[NA [ к] = D[R[3 к, 1] , х] /. х -» A rl, {к, 1, р}]

Do [Print ["NA[", к, "]=", NA [к] /. П->1], {к, 1, р}]

Do[Print[{NSolve[(NА[к] /. rl ->l) == 0&& 0 < А < 5 к. A, Reals]}], {к, 1, р}

Результат программы:

{{{Л-> 4.20119}}}

{{{А^7.50127}}}

{ { 10.7114} } }

Задаем найденные на предыдущем шаге собственные значения A3k;1.

Для визуализации результатов разложим функции Бесселя J3k(r), k = 1, 2, 3 в степенной ряд, используя встроенную функцию Series[f,{x,xo ,n}], которая генерирует разложение в степенной ряд f (x) в точке xo до n-го порядка.

Do [Series [BesselD [3 п, г], {г, 0, 13}], (n, 1, р}]

Do[Print[BesselD[3 n, г] // TraditionalForm,

" = ", Series[BesselD[3 n, r], (r, 0, 13}]], (n, 1, p}]

Результат программы:

Задаем решения уравнения Бесселя с краевыми условиями на границе круга:

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

75

Вычислив приближенные значения интегралов, получим систему для нахождения точек равновесия:

Программа 9. Нахождение точек равновесия________________________________________

Do [Print ["S6 [", к, S6[k] = S5[k] /. A*[3k] -+ A[3k]b (k, P>]

Результат работы программы:

S6[l] =

-z [1] - Л z [1] - 17.65 D z[1] + 0.0179538Az[l]3 - 0.0201489fiz[1] z [2] + 0.0116543 Л z [1] z[2]2 +

0.244404 Л z [ 1 ] 2 z [ 3 ] + 2.18021 Q z [2] z [ 3 ] + 0.141148 Л z [2] 2 z [3] + 11.8092 Л z [1] z[3]2 S6 [2] =0.0341502 Q z [1] 2 - z [2] + Az[2] - 56.269 Dz[2] - 0.0395058 Л z [1] 2 z [2] -

0.0170237Л z [2] 3 - 7.39045 Q z [1] z[3] - 0.95692 Л z [1] z[2] z[3] - 33.1706 Л z [2] z[3]2 S6 [3] =-1.47307 xl0~31AZ[l]3-3.94216 x 10~30 О z [ 1] z[2] - 2.55216 x 10~31 A z [1] z[2]2-z[3] -Az[3] -114.735 D z [3] - 2.13529 x 10-29 A z [1] 2 z [3] - 1.76936 x 10“29 A z [2] 2 z [ 3] - 1.0379xl0~26 A z [3] 3

3

В численных экспериментах заданы значения параметров Л = — , K = 2. Определим приближенные значения параметров 7, w, ^ в окрестности 7 = 0.1, w = 2 из условия, что w = w(K) это решение уравнения w = K(1 + 7 cos w), Л = —K7 sin w.

Воспользуемся функцией FindRoot[engi, eng2 , {{x,xo},{y,yo}, ...}],

которая выполняет одновременный поиск численного решения уравнений engi в

окрестности точки (xo ,уо, •••). Вычисляем значения Q = ctg w и D1 = — —------,

2 Аз,1

где Аз1 « 2.100594470605264.

Программа 10. Численные решения в окрестности точки равновесия

Результат работы программы:

«Таврический вестник информатики и математики», М 4 (61)’ 2023

76

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

На заключительном этапе производится визуализация полученных результатов. Выбирается значение параметра D < D & 0.028, при котором решается система S7k = S6k d и находится стационарная точка системы (24). Определятся матрицу устойчивости и ее спектр в точке равновесия. Воспользовавшись встроенной функцией RevolutionPlot3D[f,{t,tmin,tmax},{s,smin,smax}], визуализируем пространственно-неоднородное стационарное решение.

Программа 11. Визуализация пространственно-неоднородного решения

m = 1; а [т] = 0.027; Do[S7[k] =S6 [к] /. 6 -» а [т], {к, 1, р} ];

res = FindRoot [ {S7 [1] == 0, S7 [2] == 0, S7 [3] == 0}, { {z[l], 1}, {z[2], 0}, { z[3], 0}}]

G[m] = u[r, 0] /. res;

Chop [A / . В -+ a [m] /. res]

Eigenvalues [%]

RevolutionPlot3D[G[m], {г, 0, 1}, {0, 0, 2 Pi},

PlotRange -» All, ColorFunction -> "GrayTones" ,

Axes Label-» {Style [r cose, 14, Bold, Italic], Style[rsine, 14, Bold, Italic]},

PlotLabel -» "B" -> a [m] ]

Результат работы программы:

{z[l] -> 0.930376, z [2] -> 0.000927046, z [3] - 7.09125 x 10~28}

{{-0.046896, -0.00235371, 0.346623}, {0.00800975, -3.96753, 0.902312}, {0, 0, -2.59784}} {-3.96753, -2.59784, -0.0469008}

Используя встроенную функцию ContourPlot3D [f,{x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}],

позволяющую построить линии уровня поверхности, получим решения (см. рис. 2).

Программа 12. Построение линий уровня поверхности (решения)

ContourPlot [{G [1] }, (г, 0, 1}, {0, 0, 2тт}, PlotTheme -> "Monochrome",

PlotLabel-> HoldForm[D = 0.025], LabelStyle-> {GrayLevel[0]},

FrameLabel-> {Style[r, 12], Style[0, 12]}, PlotLegends-> Automatic]

ContourPlot | {G[l] == 0.005, G[l] ==0.01, G[l] ==0.015, G[l] ==0.02,

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

77

G [1] == 0.025, G [1] == 0.0В}, {г, 0, 1}, {0, 0, 2 7г},

PlotTheme -+ "Monochrome", PlotLabel -» HoldForm[B = 0.025],

LabelStyle -» {GrayLevel[0]}, FrameLabel -> {Style[r, 12],

Style [0, 12]}, PlotLegends -» {0.005, 0.01, 0.015, 0.02, 0.025, 0.03}]

ContourPlot [ {G [1] == -0.005, G [1] == -0.01, G [1] == -0.015, G[l] == -0.02,

G [1] ==-0.025, G [1] ==0.03}, {r, 0, 1},{©, 0, 27Г}, PlotTheme"Monochrome" PlotLabel -» HoldForm[B = 0.025], LabelStyle -» {GrayLevel [0] },

FrameLabel -* {Style[r, 14], style [e, 14]},

PlotLegends -> {-0.005, -0.01, -0.015, -0.02, -0.025, -0.03}]

Рис. 2. Линии уровня пространственно-неоднородных решений (20) для Л = — 2, h = 3 при D = 0.025.

Заключение

Для выяснения поведения решений задач для нелинейного функциональнодифференциального уравнения параболического типа с преобразованием пространственных переменных используются различные методы асимптотического, бифуркационного анализов, теории возмущений, интегральных (центральных) многообразий и др. Такое исследование сопровождается разложением решений в ряд, преобразованием рядов, вычислением интегралов с собственными функциями соответствующих спектральных задач и т. п. Рационально использовать пакеты прикладных программ на основе символьных вычислений.

На примере задачи, моделирующей эксперименты в оптических системах с нелинейностями керровского типа для круговых областей, в которых преобразование поля в двумерном контуре обратной связи приводит к возникновению пространственнонеоднородных, вращающихся и других структур, приведены характерные программы. В первом разделе статьи содержатся основные теоретические аспекты, связанные с необходимыми для численного решения результатами и описанием алгоритмов (методов), во втором разделе приведена реализация алгоритмов построения структур решений и анализ устойчивости в системе компьютерной математики.

«Таврический вестник информатики и математики», № 4 (61)’ 2023

78

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

Большое внимание уделено построению частных случаев решений, таких как: решения, зависящие от радиальной координаты; от угловой координаты, от времени.

С помощью пакета Wolfram Mathematica, используя основные асимптотические методы прикладной нелинейной динамики (в частности, метод Галеркина), осуществлен локальный анализ рождающихся структур и описаны сценарии их развития, найдены точки равновесия систем и их фазовые траектории. Получено численное решение и его визуализация в зависимости от значений таких параметров, как малый параметр диффузии, большой параметр интенсивности и преобразования координат.

Данная методика применима к широкому кругу задач. Может предварять численные сеточные подходы.

Работа выполнена в рамках НО «Крымский математический центр» и поддержана Министерством науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2023-1799.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахманов, С. А. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей / С. А. Ахманов, М. А. Воронцов, В. Ю. Иванов // Новые физические принципы оптической обработки информации. — М.: Наука, 1990. — C. 263-325.

AKHMANOV, S., VORONTSOV, M. & IVANOV, V. (1990) Generation of structures in optical systems with two-dimensional feedback. New Physical Principles of Optical Information Processing. Moscow: Nauka. Pp. 263-325.

2. Разгулин, А. В. Нелинейные модели оптической синергетики / А. В. Разгулин. — М.: МАКС Пресс, 2008. — 201 c.

RAZGULIN, A. V. (2008) Nonlinear models of optical synergetics. Moscow: MAX-Press.

3. Корнута, А. А. Метаустойчивые структуры в параболическом уравнении с поворотом пространственной переменной // Динамические системы. — 2014. — 4 (32): 1-2. — C. 59-75.

KORNUTA, A. (2014) Metastable structures in a parabolic equation with rotation of a spatial variable. Dynamical Systems. 4 (32). Pp. 59-75.

4. Корнута, А. А., Лукьяненко, В. А. Функционально-дифференциальные уравнения параболического типа с оператором инволюции // Динамические системы. — 2019. — 9 (37):4. — C. 390-409.

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4

Применение системы компьютерной математики в задачах ПНД

79

KORNUTA, A. & LUKIANENKO, V. (2019) Functional-differential equations of parabolic type with the involution operator. Din. Sist. 9 (37). Pp. 390-409.

5. KORNUTA, A. & LUKIANENKO, V. (2021) Stable structures of nonlinear parabolic equations with transformation of spatial variables. Lobachevskii Journal of Mathematics. 42:5. Pp. 911-930.

6. KORNUTA, A. & LUKIANENKO, V. (2021) Stability of Structures and Asymptotics of Nonlinear Parabolic Type Equations Solutions with Transformation of Arguments. Lobachevskii Journal of Mathematics. 42. Pp. 3468-3485.

7. Корнута, А. А., Лукьяненко, В. А. Динамика решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений параболического типа / / Известия вузов. ПНД. — 2022. — 30:2. — C. 132-151.

KORNUTA, A. & LUKIANENKO, V. (2022) Dynamics of solutions of nonlinear functional differential equation of parabolic type. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 30:2. Pp. 132-151.

8. Корнута, А. А., Лукьяненко, В. А. Задача нелинейной оптики с преобразованием пространственной переменной и косой производной // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2023. — 69 (2). — C. 276-288.

KORNUTA, A. & LUKIANENKO, V. (2023) Nonlinear optics problem with transformation of a spatial variable and an oblique derivative. Sovrem. Mat. Fundam. Napravl. 69 (2). Pp. 276-288.

9. Карапетянц, Н. К. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения / Н. К. Карапетянц, Самко С. Г. — Ростов: Издательство Ростовского университета, 1988. — 187 c.

KARAPETIANTS, N. & SAMKO, S. (1988) Equations with involutive operators and their applications. Rostov on Don. Rostov University Publishing House.

10. Абрамовиц, M. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / М. Абрамовиц, Н. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 c.

ABRAMOWITZ, M. & STEGUN, I. (1979) Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs and Mathematical Tables. National Bureau of Standards, Washington. 1082.

11. HENRY, D. (1981) Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Mathematics. New York: Springer-Verlag.

«Таврический вестник информатики и математики», № 4 (61)’2023

80

А. А. Корнута, В. А. Лукьяненко

12. Белан, Е. П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной // Журн. математической физики, анализа, геометрии. — 2005. — 1(1). — C. 3-34.

BELAN, E. P. (2005) On the dynamics of traveling waves in a parabolic equation with the transformation of the shift of the spatial variable. Journal of mathematical physics, analysis, geometry. 1 (1). Pp. 3-34.

Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics”, 2023, 4