CC BY
1УДК: 517.957, 517.928.7
MSC2010: 35K61, 35C07, 35C15, 35C20
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
СПИНОВОГО ГОРЕНИЯ
© А. А. Гребенева, В. А. Лукьяненко
КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация e-mail: agrebeneva2001 @gmail.com, [email protected]
Some problems of the phenomenologioal equation of spin combustion.
Grebeneva A. A, Lukianenko V. A.
Abstract. The model of spin combustion, generalization of the Ja. B. Zeldovich model with a pseudo-differential operator (—A)a, 0 < a < 1 is investigated. The equation is a singularly perturbed nonlinear parabolic equation of the Van-der-Pol's type.
Spin combustion modes were discovered as new non-stationary effects by Zeldovich, who developed the theory of burning condensed systems with solid-phase products. In auto-oscillating combustion, the front of the reaction remains flat and moves at an oscillating rate about the average. In the spin regimes on the surface of the burning sample, there are rotating reactions along the front.
The article reviews the basic models of the theory of combustion of condensed systems. The mathematical model of the phenomenological equation of spin combustion was proposed by Zeldovich together with A. P. Aldushin and B. A. Malomed. Spatial non-stationary effects of burning hollow cylinder with radius R were investigated by them. The research in the field of theoretical foundations of mathematical modeling of combustion modes belongs to Ivleva and Merzhanov. Their model consists of the equation of thermal conductivity and kinetic equation. The results of experimental, numerical and analytical studies of the burning surface spins are presented in the works by B. V. Novozhilov.
The article considers a model of spin burning on a real axis. The integral representation of the problem by Fourier transformation is constructed. For comparison, a model of gas-free spin combustion on the entire plane and corresponding to it an integral representation of the problem with Neumann conditions are given.
In the study of the combustion model on a real axis with periodic conditions on a spatial variable and its spectral problem, the consistency with the combustion model in a circumference, which corresponds to the spin modes of combustion of a thin-walled cylinder, has been established. By using discrete Fourier transform, the problem in the form of a nonlinear integral equation of convolution type is obtained.
For bounded areas, the operator methods of mathematical physics have been used to estimate non-linear cubic components. The operator form of the problem of spin combustion is presented, it is proved that its operator is a generator of the holomorphic semigroup. The type of the semigroup can be specified by studying the spectrum of the operator.
The local solvability of the problem for bounded areas has been proven. Of interest is the model of spin combustion on the real axis with a delay on the spatial variable or time.
Keywords: nonlinear equation, nonstationary effects, rotating waves, bifurcation analysis, integral representation
Изучение теории детонации, так называемого «быстрого горения», позволило открыть новые нестационарные эффекты: автоколебательные и спиновые режимы распространения зоны экзотермической реакции. При автоколебательном горении фронт реакции, оставаясь плоским, перемещается с осциллирующей около среднего значения скоростью. В спиновых режимах на поверхности горящего образца наблюдаются бегущие вдоль фронта очага реакции. Интерес в первую очередь представляет явление спина, первоисследователем которого является Я. Б. Зельдович [1], развивший теорию горения конденсированных систем.
Еще в работе [2] была предпринята попытка построить упрощенную математическую модель спинового горения — двумерную задачу о распространении волны горения. Данная модель безгазового горения тонкой полубесконечной цилиндрической трубы позволяет исследовать стационарные режимы, одномерные автоколебательные волны горения и двумерные нестационарные процессы.
В работе [3] была исследована устойчивость стационарных режимов работы цилиндрического реактора с внутренней подачей относительно малых возмущений температуры и положения зоны реакции.
Теоретические основы математического моделирования режимов сгорания изложены в [4], где модель состоит из уравнения теплопроводности и кинетического уравнения:
Введение
(1)
где r — радиус, <£> — полярный угол, h — высота слоя.
Описанная двухмерная модель учитывает температуру для нескольких слоев пористой порошковой среды:
Анализируя устойчивость фронта реакции для уравнений (1) и (2), в работах Зельдовича и Баренблатта [5], [6], как визуальную особенность распада фронта термодиффузионного пламени на небольшие тепловые структуры, были введены в расчет характерные модели малых возмущений:
где /(у,Ь) — поверхность распространения фронта горения, к — количество волн поперечного возмущения, и — круговая частота для времени термохимической индукции, < — снижение температуры нагревательной зоны Майкельсона.
В работе [7] исследовалась устойчивость волн горения предварительно смешанной смеси в модели Зельдовича-Линьяна в адиабатическом пределе в двух пространственных измерениях. Показано, что для числа Льюиса, большего или меньшего единицы, возникают либо волновая, либо ячеечная неустойчивости. Уменьшение параметра рекомбинации, соответствующего соотношению характерных времен реакций ветвления и рекомбинации, делает волны горения более устойчивыми за счет увеличения области значений параметров устойчивых решений бегущей волны. Показано, что повышение температуры окружающей среды оказывает аналогичный стабилизирующий эффект на волны горения. Получено, что эффект изменения числа Льюиса для радикалов более сложен и зависит от режима рекомбинации, а при пересечении критических значений параметров возникновения неустойчивости рождаются либо пульсирующие, либо ячеистые двумерные решения. Изучены свойства этих решений.
Рассматриваются волны детонации для упрощённых уравнений Чепмана-Жуге (Ш) и уравнения Зельдовича-Неймана-Деринга ^N0) для сферически симметричных уравнений Эйлера [8]. Скорость реакции модели Ш бесконечна, в то время как скорость реакции модели ZND конечна. Для модели сгорания ZND
(2)
х = /(у,Ь) = £ ехр[гку + + <] ~ е ехр[<£] вт(ку),
(3)
(и + гд^ + / (и)х +
и
(4)
0
х
с краевыми условиями Римана
(5)
(и, г)(ж, 0) = (0,1), х > 0, и(0,Ь) = 0, Ь > 0
взрывная волна — это процесс сгорания, инициируемый током перед сжатием. Для
того, чтобы исследовать взрыв, рассматривается задача о свободных границах для угловой области
+ f (u)x + U = kqe-k[t-i(x)],
ut
x
u = 0, x = 0, t > 0,
(6)
u
f (u) - f (0)
= i'(x), t = i(x), x > 0,
где Ь = ¿(ж) (¿(0) = 0) — неизвестная кривая, представляющая путь сжатия.
При устремлении к ^ решения (ик, гк) модели ZND совпадают с решениями (и, г) модели горения Ш:
(0,0), 0 < x < f'(0)t,
(u, z)(x, t) = <
u
x
), ^ , f'(0)t < x < f'(ucjDT)t,
(0, 1), x>f'(ucjDT )t,
где /'(и^^дт) = /( С-]ВТ-/(0)), CJDT — детонационная волна Чепмена-Жуге.
ио,ют - Ч
В работе [9] В. М. Гендугов исследовал модифицированную модель стационарной идеальной детонации Зельдовича-Неймана-Деринга (ZND) с плоской одномерной структурой, включающей ударную волну и непрерывную зону горения с одной независимой реакцией. В традиционной схеме Я. Б. Зельдовича горючая смесь предполагается смесью совершенных газов, а реакция, не удовлетворяющая кинетической формулировке закона действующих масс, завершается так, что продукты детонации являются инертной средой. В этих приближениях установлено, что идеальная детонация не зависит от структуры волны и распространяется в режиме Ш, т. е. имеет относительно потока продуктов детонации скорость, равную замороженной скорости звука.
Анализ устойчивости этой модели к пространственным возмущениям показал, что модель неустойчива и имеет сингулярную особенность в точке Ш и может быть
t
описана следующей системой:
РоЩ = РоП = рп = К,
¿р К2 ¿р
¿ж р2 ¿ж'
¿Л К2 ¿р
¿ж р3 ¿ж'
(7)
К— = т,1(ь{ - ьг)е.
¿ж
Здесь р, р, Л, в, е — давление, плотность, энтальпия, энтропия и скорость реакции смеси; ж — координата; и — скорость потока относительно ударной волны; Я — абсолютная газовая постоянная; N — число компонент смеси; г — номер компоненты; срг, Л, тг, с — теплоемкость при постоянном давлении, энергия образования, молекулярная масса и массова концентрация г-ой компоненты; г>", V — стехиометрические коэффициенты г-ой компоненты до и после реакции;
Для определения устойчивости системы (7) построена функция Ляпунова. Проведенные исследования модифицированной модели ZND выявили возможность построения решений для двух типов самоподдерживающихся детонационных волн с устойчивыми по Ляпунову зонами горения — для слабой и сильной детонаций. При этом скорость слабой детонации относительно равновесного потока продуктов детонации, не зависящая от структуры волны, соответствует равновесной скорости звука. Сильная же детонация является недосжатой и распространяется в режиме Ш. Именно на этот режим выходят пересжатые детонационные волны и детонация с примыкающей волной разрежения. Отметим также, что предположение о равенстве теплоемкостей компонент смеси или о том, что смесь является совершенным газом, ограничивает модель, исключая решение для сильной детонации.
Результаты экспериментальных, численных и аналитических исследований сгорания поверхностных спинов представлены в [10]. При сжигании наблюдается небольшое пятно реакции, движущееся по поверхности цилиндрического образца. Это приводит к новой концепции двух типов спинов. Первый — очень ярко выраженный нелинейный феномен, полученный экспериментально. Второй представляет собой лишь результат теоретических исследований, проводимых главным образом в
рамках теории бифуркации и никогда не наблюдаемых в эксперименте. Существует значительное несоответствие между количественной характеристикой двух типов спинов.
В статье сформулирован аналитический метод для приближенного описания сильного сгорания на поверхности. В двумерной модели предполагается, что как несгоревшее топливо, так и продукты сгорания являются твердыми, и конденсированная фаза экзотермической реакции происходит на цилиндрической поверхности с центром сгорания, проникающим в образец на небольшую глубину. Таким образом, поскольку движение спинового пятна почти перпендикулярно вектору средней скорости волны сгорания, двумерная задача может быть сведена к простой одномерной задаче, которая похожа на задачу одновременного сгорания с потерями тепла.
Выяснены условия наступления режима спинового горения. Даны аналитические выражения для различных величин, включая скорость спина распространения, среднюю скорость волны и температурный профиль. Они зависят от диаметра цилиндра и потерь тепла. По мере увеличения диаметра на поверхности цилиндра появляются два или более центров химической реакции (многоцентровое вращение).
Аппроксимирующая теория сильного спина описывается уравнением
d2T dT
к—2--V— + qi - q2 - 0з - 04 = 0, (8)
d2y dy
U rm m\ к fm T где q1 = — (Ta - T) — конвективный энергетический поток, , q2 = a— T--
z z2 \ a
потери тепла в смеси, q3 = a1 — (T — Tb) — тепловые потери в продуктах сгорания,
z2
q4 = 777 (T — Ta) — тепловые потери в окружающей среде; a, a1 — соответствующие h2
коэффициенты тепловых потерь, z — шаг спина (вращения).
В 2020 году был завершен эксперимент NASA (Saffire), который показал, что в условиях микрогравитации горение имеет две фазы: длительная депрессивная фаза, так называемое «холодное горение» и быстрое горение в хаотически расположенных «горячих точках» [11].
Ранее математическая модель феноменологического уравнения спинового горения была предложена Я. Б. Зельдовичем совместно с А. П. Алдушиным и Б. А. Маломедом [12], [13]. Тогда же были исследованы возникающие пространственные нестационарные эффекты горения полого цилиндра радиуса R:
4io \ Л2
1 - 3 +£ *+вЛ ^
(9)
Здесь £ = £ (ж, Ь) — функция, описывающая фронт распространения реакции горения; 0 < е ^ 1 — инкремент неустойчивости, Л > 0 — корреляционная длина теплопроводности связей между соседними участками фронта, в > 0 — коэффициент нелокальной связи участков фронта. Точка означает дифференцирование по времени, а А — одномерный лапласиан.
Уравнение представляет собой сингулярно возмущенное нелинейное параболическое уравнения ван-дер-полевского типа.
Методом квазинормальных форм динамика спиновых волн или, что тоже самое, решений типа бегущих волн задачи (1) исследовалась в [14]. Критерий устойчивости бегущих волн был найден в работах Е. П. Белана и его соавторов [15], [16]. Ими же получен, так называемый, принцип 1:2 взаимодействия, а также установлено явление высокомодовой буферности [17].
Вопросы существования и устойчивости периодических решений автономной параболической системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и малой диффузией на окружности рассмотрены в работе [18].
Емкий обзор работ по проблематике горения был приведен в [19].
Раннее авторами были рассмотрены модели спинового горения, когда зона распространения реакции вся плоскость и тонкостенный цилиндр [20], [21]. При этом рассматривается обобщение модели (1), в которой вместо оператора у/—А использовался псевдодифференциальный оператор (—А)а, 0 < а < 1. Задача для тонкого кольца Я < г < Я + 5 при 5 ^ 0 (см. [22]) сводится к задаче на окружности. Построено интегральное представление решения для окружности (тонкостенного цилиндра), а также исследована устойчивость приближенных периодических решений.
Дальнейшее изложение будет относиться к обобщенной модели феноменологического горения, согласующейся с экспериментами.
1. МОДЕЛЬ спинового ГОРЕНИЯ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ
Рассмотрим модель безгазового спинового горения, когда область распространения реакции вещественная ось ж € К
Щ + и = 2е Гп (1 — ^п2) — р-2(—А)п + вр-1(—А)аЩ , 0 < а < 1,
(10)
и(ж, 0) = ио(ж), и(ж, 0) = и1(ж), 2п
где р = —.
В образах Фурье U(е, t) = (Fu)(£, t) = JR u(x, t)e dx задача (10) предста-вима в виде следующего уравнения
U + U = 2e [1 - р-2е2 + вр-1£2а] U - 2eGfé, t), (11)
с начальными условиями
u(е,о) = Uo(e), u(е,о) = и^е), (12)
4
где G(e,t) = (Fрй3)(е, t), р = - в модели Зельдовича.
3
Введем обозначения
?(р, е) = 1 - р-2е2+вр-1е2а. (13)
Рассмотрим линеаризованное уравнение (11):
U - 2eqU + U = 0. (14)
Представляя зависимость от времени t через U(е, t) = V(e)ewí, получим характеристическое уравнение относительно ш:
ш2 - 2eqш + 1 = 0.
Запишем ш в виде ш = Яеш + iImu = ш1 + гш2 и подставим в характеристическое уравнение, приравняв коэффициенты при действительной и мнимой частях:
ш2 - ш\ - 2eqш1 + 1 = 0,
(15)
(ш1 - £q)ш2 = 0.
Из второго уравнения системы следует, что либо ш2 = 0, либо ш1 = eq (или одновременно).
Если ш2 = 0, то = eq ± \/e2q2 - 1, j = 1, 2. При e2q2 - 1 > 0 решением (14) будет функция вида
U(е,t) = e£qí (V1(e)ev^2q2-1t + V>(e)e-v-2q2-1^ .
Если e2q2 - 1 < 0, то ш1 является мнимым, что противоречит ш1 = Reш.
Если ш1 = eq, то ш2^ = iy71 - e2q2, j = 1, 2. При 1 - e2q2 > 0 справедливо следующее представление:
U(е, t) = e£qí ^1(е) cos y/1 - e2q2t + V2(е) sin - e2q2t) .
И, наконец, при e2q2 - 1 = 0 решением (14) будет функция вида
U(£t) = e£qí (К(е) + V2(е)t).
Если одновременно ш2 = 0 и ш1 = ед, то из первого уравнения (15) получим, что ед = ±1. Это соответствует рассмотренному выше случаю, когда е2д2 — 1 = 0. Таким образом достаточно исследовать три представления решения. 1.1. Представление решения. При е2д2 — 1 > 0 однородное решение (14) и(£,Ь) = VI(£)в"м* + у>(£К1-2* = ^1(£)^1(£,Ь) + У2(£)^2(£,Ь), где ^1,1 = ед + у^д2 — 1, = ед — а/е2д2 — 1, а частное неоднородное найдем с помощью метода вариации произвольной постоянной: У^ = У (£, Ь), ,7 = 1, 2; получим систему из двух связанных уравнений:
'йи + йи = 0,
(16)
^д^и + ^1,2^^2 и"2 = —2еС.
Тогда У = --2е^ , У> = —7-2е^ , где ^ — ^д = — 2 у/е2д2 — 1.
Откуда
г г
К(£,Ь) = — / е^(£, Т) е-.-¿т, ^(£,Ь) = / е^(£, Т) ¿т.
1( ) ] у/е2д2 — 1 , 2(£, ) 7 л/е2д2 — 1
Тогда частное решение представимо в виде:
г
ич (£, Ь) = / (е^2^ — е^1^ ))С(£, т )^т.
е2д2 — 1
о
Общему решению соответствует выражение
г
и(£,Ь) = К(£)е^Г(Ь—т)С(£,т)^т. (17)
е2д2 — 1
Найдем коэффициенты Кх, К2 из начальных условий (12):
и (£, 0) = К + У2 = ио, и (£, 0) = ^1^1,1 + ^1,2 = и1.
тт * лг и1 — ^1,2и^ ^1Дио — и1
После преобразований получим, что = — -, у2 =
е2д2 — 1 е2д2 — 1
Тогда общее решение уравнения (11):
и(£ Ь) = и1(£) — ^1,2ио(£) ^ + ^1,1ио(£) — и1(£) ^^ (£, ) /е2д2 — 1 г/ё2?2—1
г
>5Л (Ь — т )с(£,т )<гт
о
1.2. Представление решения в случае комплексных корней, когда e2q2 — 1 < 0. Общее решение однородного уравнения: U(е, t) = e£qt (V1 (е) cos у/1 - e2q2t + V2 (е) sin у/1 - e2q2í). Тогда частное решение представимо как U (е, t) = V1(е,t)U1(е, t) + У2(е, t)U2(е, t), где U1(t) = e£qt cos д/1 - e2q2t, U2(t) = e£qt sin д/1 - e2q2t. После подстановки в (11), аналогично предыдущему случаю, получим, что
• 2eG(е, т)e-£qt sin - e2q2t • 2eG(е, т)e-£qt cos - e2q21
V =-, =-, V2 =--=-.
1 - e2q2 1 - e2q2
Откуда частное решение
t
ич(е, t) = Jl— Í e£q(t-T) sin v7!-ev (t - т ме, т )dT.
1 - e2q2
Общему решению соответствует выражение
U(е,t) = e£qt(V1 (е) cos х/1 - e2q21 + V2(е) sin - e2q21) +
2e t ,_ (18)
+ ; 1 e£q(t-T) sin - e2q2(t - т)G(е, т)dт. x/1 - e2q2 У
Согласно начальным условиям (12):
V1(í) = Uo(í), V2(í) = .
1 - e2q2
Тогда общему решению уравнения (11) соответствует нелинейное интегральное уравнение в образах Фурье:
U(е, t) = e£qt(Uo^) cos х/1 - e2q2t + U1 (е) - ио(е)eq sin - e2q2t) +
V1 - e2q2
* (19)
+ Ji— í e£q(t-T) sin (t - тт)dr.
л/1 - e2q2 J 0
1.3. Представление решения в случае, когда e2q2 — 1 = 0. Частное решение ищем в виде U(f,t) = e£qt(V1(£,t) + V2(£,t)t) = V1U + V2U2, где Ul = e£qt, U2 = e£qtt. При подстановке в (11), получим систему из двух связанных уравнений:
í Wi + V2U2 = 0, (20)
У egViUi + (1 + 5gt)V2Ui = —2eG.
Тогда = 2ее-£<гС(£,Ь)Ь, У2 = — 2ее-£<гС(£,Ь), откуда
г г
К(£,Ь) = 2е J е-£<Т£(£, т)т¿т, У(£,Ь) = —2е^ е-<тС(£, т)^т. оо Тогда частное решение представимо в виде
г
ич(£, Ь) = —2еJ (Ь — т )е£<(г-г)£(£, т )^т, о
когда общее можно найти по формуле
г
и(£, Ь) = У1е£<г + К2е£<гЬ — 2е J(Ь — т)е£<(г-г^(£, т)^т.
о
Из начальных условий следует, что У = и0, К2 = и1 — еди0. Тогда
г
и (£, Ь) = (1 — едЬ)е£9гио(£) + Ье£<ги1(£) + 2^ (Ь — т )е£<(г-г)£(£, т )^т.
о
Рассмотрим наиболее интересный случай (19) из п. 1.2.
Возвратимся к исходной функции и(ж, Ь), применяя обратное преобразование Фурье и(ж, Ь) = (^-1и)(£, т) к случаю комплексных корней. Запишем (19) в виде
1
и (£, Ь) = К1 (£,Ь)ио(£) + К2(£,Ь)и1(£) + 2^ Кз(£, т)£(£, т)#.
о
Теорема 1. Задача Коши для нелинейного уравнения спинового горения пред-ставима в виде нелинейного интегрального уравнения типа свертки
г
и(ж,Ь) ^(^1(ж—£,Ь)ио(£) + ^2(ж—£,Ь)щ(£М+2^ ^ Л* (ж—£,Ь)и3(£,т)^т, (21)
Е 0 Е
^(ж, Ь) = ^-1{К-(£, Ь)}(ж, Ь), = 1, 2, 3; К1(£,Ь) = е£<г
г-2г2, эту71 — е2 д2Ь
с°еД/Г—Ь — еед2
К2(£,ь) = Кз(£,ь) = е£<1<б1п 2Ь; д = 1 — р-2£2 + вр-1 £2а.
1 - е2д2
Более подробно выкладки приведем для задачи на К2.
U + и = 2e
U(1 - ^U2) AU + ^-(—A)aU
t> 0, x,y G R, (22)
2. Модель спинового горения на всей плоскости
Аналогично рассматривается случай, когда область распространения фронта реакции вся плоскость к2:
А2 вА —А и + 4п2 2п
и(ж, у, 0) = и0(ж, у), и(ж, у, 0) = и1 (ж, у). (23)
Для решения задачи (2)-(3) во всем пространстве применим двойное преобразование Фурье:
и(£, п, Ь) = (^и) (£, п, Ь) = ^ У и(ж, у, Ь)ег(х?+вд)¿ж^у. (24)
Е2
Теорема 2. Задача Коши (2)-(3) для нелинейного уравнения спинового горения представима в виде нелинейного интегрального уравнения вида
и(ж, у, Ь) = / (^(ж — £, у — п,Ь)ио(£, п) + ^2(ж — £, у — п,Ь)и1(£, п)Ж¿п—
(25)
— 2pe J J k3(x — £,y — n,t)U3(£, n, r)d£dndr,
0 R2
где kj (x, y, t) = J-1 {Kj (£, n, t)} (x, y, t), j = 1, 2, 3 ; £ = p cos n = P sin
Ki(£, n, t) = e£qi
cos
УГ—^1 — si^V/l—^
у/Г—ÍV
= peqt W1 — i2q2t. q = , (£2 + n2) + M 2 + n2)a
K2(£,n,t) = Кз(£,n,t) = e£qt—J==^-; q = 1 — — (£2 + n2) + ¿(£2 + n2)"-
Доказательство. Для реакции во всем пространстве применим двойное преобразование Фурье (24). Тогда для (2)-(3) получим задачу Коши с коэффициентами, зависящими от параметров £, n g r:
LU = Utt — 2^ 1 — 4^(£2 + n2) + Ав(£2 + n2)^ Ut + U = 2iG(£, n, t), (26)
U (£, n, 0) = Uo(£, n), Ut (£, n, 0) = Ui(£, n),
4
где G(£, n,t) обозначено преобразование Фурье j (—pU3), p = -.
3
Обозначим через q(p) = 1 — A2(£2+n2) + Ав(£2 + n2)a = 1 — A2p2 + Авр2а, в полярной системе координат £ = р cos 0, n = P sin 0.
t
Зависимость от £ выберем в виде и(£, п, £) = С(£, п)еш4, тогда характеристическое уравнение линейной части имеет вид:
возможны три случая:
1. Корни кратные и действительные, если в2д2(р) — 1 = 0.
2. Корни различные и действительные, если £2д2(р) — 1 > 0.
3. Корни комплексные, если в2д2(р) — 1 < 0.
Первые два случая соответствуют затухающим (или растущим) решениям. Наибольший интерес представляют комплексные корни вида
ш = Леш + ¿/шу = и + ¿ш2. В полярной системе координат и = £д(р),
У = \л — ^2?2(Р).
В случае комплексных корней (29) для характеристического уравнения (27) общее решение однородного уравнения (5) Ьи = 0 имеет вид:
(27)
(28)
ш1,2 = eq(p) ±yje2q2(p) - 1
(29)
U(е, n, t) = eWlt (C1 (е, n) cos Ш2t + С2(е, n) sin Ш2t) = = ске, п)и1(е, n, t) + С2(е, п)и2(е, n, t),
где и1(е, n,t) = eWlt coso?2t и и2(е, n, t) = eWlt sin ш2t соответственно равны. Тогда частное решение представимо в виде:
U4 = C1(t)ewlt cos ш2t + C2(t)ewlt sin ш2t = C1(t)U1(t) + C2 (t)U2(t).
Подставляя в (5), получим систему уравнений относительно C1(t), C2(t):
t
U (t) 2e г U1 (е,n,т)и2(е,n,t) - и2(е,n,т)и1(е,n,t)G(, )d
u4(t) = 2v-U1U2 - U2U1-G(е,n,т )dт =
0
t
= 2e f e"l(f'n'"-T' sin<"2«- n)(t - т))g(í,,,т)dT.
J ^2(е, n, т)
o
Найдем коэффициенты C1, C2 из начальных условий:
и (е, n, 0) = с = ио(е, n), Ut(е, n, 0) = C1W1 + С2Ш2 = и1(е, n).
Тогда общее решение уравнения (3):
U(е, n, t) = U0e£qt cos - e2q2t + U1 - eqUo e£qt sin - e2q2t+
\/1 - e2q2
t _
+2e f i-^G(i, n, т)dr = Uo (e- cos УТ-¡2?t-
e^e£" sin vT-ivA + Ue£" si^1 - eVi -
r2n2 У 1 „ /1 _ a2n2
a/1 - e2q2 / a/1 - e2q
t _
Г e£q(t-T' sin a / 1 - e2q2 (t - т) _ . ,
+2e -/ v-- G(е, n, т )dт.
e2q2
o
Л-
Представление решения задачи Коши (5) с правой частью , п, £) можно
представить в виде:
и & п, £) = ис(е, п)^1(е, п, £) + и^, п)^, п, *)+ (зо)
+2в / Кз(е, п, т )С(£, п, т )^т,
где K1 (е, n,t) = e£qt
o
г2/
cos
Л-evt - eqsin ,yTf
1 - e2q2
, п,£) = Кз(е, п,£)= /--— .
V1 — е2?2
Применив к (30) обратное преобразование Фурье, с учетом теоремы о свертке ^-1 (КС) = к * д [24], получим искомое представление (4).
sin а/1 - e2q2t
В операторном виде u = A(u3) + f, где f отвечает начальным условиям и внешнему воздействию, A — оператор с ядром
k,(x,y,t) = -L ^^
R2
Для его вычисления перейдем к полярным координатам: £ = р cos 0, П = р sin Согласно [23] интегральное представление функции Бессе-
п
ля J0(rp) = — I e ip(xcossin6)d0, где x = r cos<£>, y = r sin <£>. Откуда 2п I
О
Если и0(х, у) = 0, Их (ж, у) = 0, получаем нелинейное уравнение и = А(и3) или и = А'(и3), или, обозначив V = И, получим уравнение V = А^3 удобное для применения итерационных методов.
3. ПЕРИОДИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ СПИНОВОГО ГОРЕНИЯ
Рассмотрим модель безгазового спинового горения, когда область распространения реакции вещественная ось х € к с периодическими условиями по пространственной переменной:
и + и = 2е [и (1 - рй2) - р-2(-Д)и + вр-1(-Д)ай] , 0 < а < 1, ж € к, Ь > 0, и(х + 2п,Ь) = и(ж,Ь), (31)
и(х, 0) = и0(х), и(ж, 0) = их(х), 2п
где р = —.
Задача на вещественной оси ж € к с условиями периодичности эквивалентна задаче на окружности, которая соответствует спиновым режимам горения тонкостенного цилиндра радиуса Я [22].
Определим действие дробной степени лапласиана (—Д)а с помощью действия оператора — Д или с помощью дискретного преобразования Фурье W:
u(x,t) = Y^ un(t)einx = Wu,
n=-<x
un = W-1u.
те
, —inx
Так как (—Д)и = £ ип(£)п2е тх, то действие дробного лапласиана определя-
п=—те
ется следующим образом:
(-A)aU = uun(t)
n V
n=—oo
n2aeinx.
В образах Фурье для функций ип(£) получим:
А2«2
/ А2„2 в А 2Л = ип - 2e I 1 - + —„ 1 uun + Un = 2egn(t),
те 4
где дп = Ж-1С, С(х,£) = — £ дпе™ = — -и3.
п=—те 3
Для уравнения = 0 соответствующее характеристическое уравнение:
иП — 2едпип + 1 = 0, (32)
1 А2«2 в А 2а
где оп = 1-----1--п.
Л 41 4п2Л 2п
Построим решение задачи (31) для комплексных корней характеристического
уравнения (32):
(Ш12) = е Л - А^ + вА„2а \ ± i (¡1 - £2 Л - А^ + вА„*Л2,
V 1,2;n V 4п2 2п у Y V 4п2 2п у '
где (и1,2)п = Яеип ± г/шш„, Яеип = едп, /шип = а/1 — е2дП. Лемма 2.
Решение начально-краевой задачи (31) для комплексных корней представимо в виде
п
1
и(х, £) = - (К1(х — й)ио(й) + К2(х — 5)и1(в)) ^й—
2п J
—п
4 п
—^ У К3(х — в, £ — т)й3(й, т(33)
о —п
где (к1)п (£) = -7771-Т"^-, (к2)п(£) =
__(^2)n - (^1)n ' (^2)n - (^1)п '
Sin /1 ^2q21
(кз)п(t) = ^-s-qn Kj(x,t) = W(kj)n(x,t), j = 1, 2,
1
2П
K3(x - s, t - т)uU3(s, т)dsdr = W(k3)ngn, e2- 1 < 0.
Представление (33) позволяет находить вид приближенного решения в зависимости от параметров. Если искать решение уравнения (33) методом центральных многообразий, то приходим к утверждению работы [22] об асимптотическом представлении решения и его устойчивости.
4. Разрешимость уравнения для ограниченной области
Одним из важных вопросов является исследование разрешимости задачи феноменологического уравнения (существование и единственность) в случае круговых областей 0 (окружность, круг, кольцо) или произвольных ограниченных с гладкой границей.
Задачу спинового горения в ограниченной области 0 € к2 можно записать в виде следующей системы уравнений
и = V,
V = —и + 25
( 4 Л Л2 / лл вк .V (34)
V 1 — V2--г (-Д) V + — (-Д)а) v ;
V 3 ) 4п2 1 ; 2п1 ;
Г - ди 1
Определим А^ := -Дv, 9(А0) = ^ V € ¿2(0) : V € С~(0), ^ = 0 (д0) >. Обозначим через А расширение по Фридрихсу оператора А0. А = А* > 0; {Лк (А)}, {ик(А)}, к = 1, 2,... — система собственных значений и собственных функций оператора А, образующая ортонормированный базис в ¿2(0), Лх = 0.
2П
Обозначая через р = — бифуркационный параметр, при £ = (и, v)T система (34)
Л
запишется в виде задачи Коши для эволюционного нелинейного уравнения
^ = -а£ + n(£), Ь> 0,
^ (35)
£(0) = £0,
иЛ /о -I
где £0 = , х и1
^ , а := ^ в^ , В := 2в [р-2А - вр-1Аа - I], 9(В) = 9(А),
Я(А) = ¿2(0) х Я(А), N(£) := I 8 3 I , = ¿2(0) х ¿2(0).
5 Г
Покажем, что оператор В замкнут. Оператор Аа — А-ограничен (существует а > 0: ||Аа|| < а||А||). Спектр А дискретен и Лх(А) = 0. Для оператора Лапласа А = -Д с условиями Неймана это условие выполняется. Тогда оператор р-2А - врАа самосопряжен и замкнут. Оператор I ограничен. Следовательно, В = 25 [р-2А - врАа - I] замкнут. Множество собственных значений {Лк} с собственными функциями {ик(А)} — ортономированный в ¿2(0) базис. Спектр
o"(B) = {2е(р 2Ak — вр — 1)}fc=i, нижняя грань оператора B вычисляется по фор-
муле
Y := min {2e [p-2Afc(A) — вр-1А£(А) — 1]} (7 > 0).
Следовательно,
(о —B)
(Bv, v) >—7(v,v) vv e D(A).
и ограниченного
0 —I
1 0
(36)
^ I 0 0 \ /0 —n /0 0
Итак, a = I + замкнутый, как сумма замкнутого
-BI \ I 0 I \ 0 —B
00 —0B
0
Приведем оценку для нелинейного слагаемого N(£) = I 8
3
-ev2
l|n (£i) — n (6) ||2 =
0
— 8e (v? — v3)
64e2
К — vHU^), Vi = v(£i),i = 1, 2.
ik —v2||L2(fi) =1 J |vi — V2| ■ (V2 + V1V2 + V2) dO I < sup |V2 +V1V2+V2|-||V1—V2|l2 < 3
< 3sup(|Vi|2 + |V2|2)|V1 — V2 || L2 < «(blll + ||v2HL_ )|K — V2iu2 . Докажем секториальность оператора A := | 0 j. Для этого оценим действи-
V в)
тельную и мнимую части:
Re(Aе,е) = (Bv,v) >—y||v||2, |/m(Aе,е)| =2|/m(u,v)| < 2||u|| ■ ||v||.
Для любого 5 > 0, e > 0 справедливо: Re(aе,е)—5|/ш(ае,е)| > —Y||v||2—25|МНМ| >
2|MI ■ ||vM < 1 ||uH2 + e|KI2 — 25||u|| ■ ||v||
<
5
<—Y||v||2 — e N|2 — 5e||v||2 =
с
(y + 5e)||v||2 + 5 И
Y + л/Y2 + 452
2
где 2||u|| ■ ||v|| < -|M|2 + e||v||2 ve > 0, где e =
25
11е|2 = —Y (5m2,
5
Y + V Y2 + 452 e
, - = Y + 5e.
2
9
2
Тогда
ле((А + 7(1))е,е) — 1|/ш((А + 7(1))е,О! > 0, |/ш((А+7 (^))е, е)| I ле((А+7(1))е, е) - ^,
+ ^^^) с ^ 1) ,
7 + л/72 + 412
где Ж — числовая область значений оператора А со сдвигом --- и сек-
12
тором агс*д-.
Отсюда следует, что огибающую семейства кривых (ж, у) € м2 можно построить
только в области (ж — 0). В области (ж > 0) это будет полоса (ж > 0, |у| — 1).
Т Р ( 1) 1 ( + 7 + у7^2"^2 ^ Тогда Р (ж, у, 1) = у — - I ж Г--- 1 •
1 ( 7 + 2 + 412 \ у=1 ^+—2—;
1 (х + 7 + _ и 87 ^ =0
к 12 V + 2 ) 1 у/УГ4!2; 0,
откуда ^ж + 0 • ^+ У2 = 1.
Докажем максимальность оператора А. Она следует из того, что р(А) п (А < —7) = 0 (т. е . существует хотя бы одна регулярная точка на
ЛеА < 0): а + А/ = | А —1
V 5 + А,
Проведя факторизацию Шура-Фробениуса
А + А/ = / —А + (В) 0 \ / / 0^ \0 / / I 0 В + А / 1^л(В) /
делаем вывод, что существует регулярная точка А + ^Л(В) ^ 0, В + А ^ 0 при А > 7. Таким образом, оператор —А — генератор голоморфной полугруппы и(£):
iiи(*)|| — Ме—^, v > 0.
Тип полугруппы может быть уточнен через исследование спектра А. Из полученных оценок следует
Утверждение 2. Задача безгазового спинового горения (34) для ограниченных областей локально разрешима.
Заключение
В работе приведен обзор по различным математическим моделям теории горения, начиная с теоретических основ, заложенных еще Т. П. Ивлевой и А. Г. Мержановым, заканчивая современными исследованиями и работами авторов.
Основной является модель спинового горения с псевдодифференциальным оператором (—Д)а, 0 < а < 1, которая обобщает модель, предложенную Я. Б. Зельдовичем совместно с А. П. Алдушиным и Б. А. Маломедом на окружности. В работе задача исследуется на r, r2 и на r в классе периодических функций. Уравнение на вещественной оси r сравнивается с модель безгазового спинового горения на всей плоскости и соответствующее ей интегральное представление задачи, полученное с использованием преобразования Фурье по пространственным переменным.
Для модели с периодическими условиями по пространственной переменной установлена согласованность с моделью горения на окружности, которая соответствует спиновым режимам горения тонкостенного цилиндра. Для последней с помощью дискретного преобразования Фурье получено представление задачи в виде нелинейного интегрального уравнения типа свертки.
Показано, что исходная задача может быть записана в операторной форме и доказано для ограниченной области, что ее оператор является генератором голоморфной полугруппы. Исследованы условия максимальности, секториальности оператора. Откуда следует локальная разрешимость задачи для ограниченных областей.
Дальнейший интерес представляет рассмотрение задачи спинового горения на вещественной оси с запаздыванием по пространственной переменной или по времени. Исследование соответствующих спектральных задач и построение решения итерационным методом на базе интегрального представления.
Авторы благодарят Д. А. Закору за ценные советы и обсуждение вопроса локальной разрешимости для ограниченных областей.
Список литературы
1. Алдушин, А. П., Зельдович, Я. Б., Маломед, Б. А. К феноменологической теории спинового горения // ДАН СССР. - 1980. - Т. 251, №5. - C. 1102-1106. ALDUSHIN, A., ZELDOVICH, J. & MALOMED, B. (1980) A Remark on the Phenomenological Theory of Spin Combustion. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 251 (5). Pp. 1102-1106.
2. Ивлева, Т. П., Мержанов, А. Г., Шкадинский, К. Г. Математическая модель спинового горения // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 239, №5. - C. 1086-1088.
IVLEVA, T.,MERZHANOV, A. & SCHKADINSKY, K. (1978) Mathematical model of spin combustion. Sov. Phys. Dokl. 239 (5). Pp. 1086-1088.
3. Бабаджанян, А. С., Вольперт, В. А., Вольперт, Вл. А.,Давтян, С. П., Меграбо-ва, И. Н Устойчивость фронтальных режимов протекания экзотермической реакции при радиально-симметричной подаче реагентов // Черноголовка. — 1989. — C. 27-36.
BABADJANIAN, A. & VOLPERT, V. (1978) Formation of a layered product after a combustion wave. Physics of combustion and explosion. Pp. 27-36.
4. Ivleva, T. & MERZHANOV, A. (2003) Three-dimensional modes of unsteady solidflame combustion. Chaos (Woodbury, N.Y.). 13 (1). Pp. 80-86.
5. Зельдович, Я. Б. Теория горения и детонации газов / Я. Б. Зельдович. — Москва; Ленинград: АН СССР, 1944. — 71 c.
ZELDOVICH, J. (1944) Theory of combustion and detonation of gases. Moscow: Nauka.
6. BARENBLATT, G., ZELDOVICH, J. & ISTRATOV, I. (1962) On thermal-diffusive stability of a laminar flame. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 4. Pp. 21-26.
7. GUBERNOV, A., KOLOBOV, A., POLEZHAEV, H. & SIDHU, H. (2012) Stability of combustion waves in the Zeldovich-Linan model. Combustion and Flame. 159 (3). Pp. 1185-1196.
8. CHEN, H., LAI, G. & SHENG, W. (2020) Detonation wave solution to the simplified combustion model for the spherically symmetric Euler equations. AMS Subject Classification. Pp. 15.
9. Гендугов, В. М. Модифицированная модель Зельдовича-Неймана-Деринга и ее особенности // Вестн. моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. — 2008. — 1. — C. 58-65.
GENDUGOV, V. (2008) Modified Zeldovich-Neumann-Dering model and its features. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1, Mathematic. 1. Pp. 58-65.
10. NOVOSHILOV, B. (1993) The theory of surface spin combustion. Pure &Appl. Chem.. 65 (2). Pp. 309-316.
11. BHARAT, N, MISHRA, D. & GUNDAWAR, M. (2020) Effect of Heat Loss on Propagation Limits of Combustion Fronts. Combustion Science and Technology. 192 (3). Pp. 391-415.
12. Алдушин, А. П., Маломед, Б. А. Феноменологическое описание нестационарных неоднородных волн горения // Физ. гор. и взрыва. — 1981. — 17(1). — C. 3-12.
ALDUSHIN, A. & MALOMED, B. (1981) Phenomenological description of non-stationary inhomogeneous combustion waves. Physics of combustion and explosion. 17 (1). Pp. 3-12.
13. Зельдович, Я. Б., Маломед, Б. А. Сложные волновые режимы в распределенных динамических системах (обзор) // Известия высших учебных заведений. — 1982. — XXV(6). — C. 591-618.
ZELDOVICH, J. & MALOMED, B. (1982) Complex wave modes in distributed dynamic systems (overview). Izvestiya vischich uchebnich zavedenii. XXV (6). Pp. 591-618.
14. Мищенко, Е. Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е. Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А. Ю. Колесов, Н. Х Розов. — М.: Физматлит, 2005. — 432 c.
MISCHENKO, E., SADOVNICHY, V., KOLESOV, A. AND ROZOV, N. (2005) Autowave processes in nonlinear media with diffusion. Moscow: Fizmatlit.
15. Белан, Е. П. О динамике бегущих волн феноменологического уравнения спинового горения // Дифференциальные уравнения. — 2005. — 41. — C. 857.
BELAN, E. (2005) On the dynamics of the phenomenological equation of spin combustion. Differential equations. 41. Pp. 857.
16. Самойленко, А. М., Белан, Е. П. Динамика бегущих волн феноменологического уравнения спинового горения // Доклады РАН. — 2006. — 406(6). — C. 738-741.
SAMOILENKO, A. & BELAN, E. (2006) Dynamics of traveling waves of the phenomenological equation of spin combustion. Reports of the Russian Academy of Sciences. 406 (6). Pp. 738-741.
17. Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Явление буферности в теории горения // ДАН. — 2004. — 396(2). — C. 170-173.
KOLESOV, A. & ROZOV, N. (2004) The buffer phenomenon in combustion theory. Dokl. Math. 396 (2). Pp. 170-173.
18. Клевчук I. I. Б1фуркащя автоколивань парабол1чних систем i3 аргументом, що зашзнюеться, та малою дифузieю // Нелiнiйнi коливання. — 2016. — 19(3). — C. . KLEVCHUK, I. (2016) Bifurcation of self-oscillations of parabolic systems with a recognizable argument and small diffusion. Nonlinear oscillations. 19 (3). Pp. .
19. BUCKMASTER, J., CLAVIN, P. & LINAN, A. (2005) Combustion theory and modeling. Proceedings of the Combustion Institute. 30 (1). Pp. 1-19.
20. Хазова, Ю. А., Гребенева, А. А. Периодическое решение уравнения спинового горения // Международная конференция И. Г Петровского: Тезисы докладов. — 2022. — C. 193-194.
KHAZOVA, YU. & GREBENEVA, A. (2022) Periodic solution of the spin combustion equation. International Conference dedicated to I. G. Petrovskii, XXIV Joint Session. Pp. 193-194.
21. Гребенева, А. А., Хазова, Ю. А. Некоторые задачи спинового горения // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной научной конференции, Воронеж, 12-14 декабря 2022 года. — 2022. — C. 37-42.
GREBENEVA, A. & KHAZOVA, YU. (2022) Spin combustion regimes. Applied mathematics and informatics in the modern world. Materials of the All-Russian Scientic and Practical Conference in Krasnodar. Pp. 37-42.
22. Хазова, Ю. А., Гребенева, А. А. Анализ устойчивости и формы приближенных периодических решений уравнения спинового горения / / Таврический вестник информатики и математики. — 2022. — 1(56). — C. 75-87.
KHAZOVA, YU. & GREBENEVA, A. (2022) Analysis of stability and form of approximate periodic solutions of the equation of spin combustion. TVIM. 1 (56). Pp. 75-87.
23. KORENEV, B. (1971) An Introduction to the Theory of Bessel Functions. Moscow: Nauka.
24. GAKHOV, F. & CHERSKY, YU. (1978) Convolution Type Equations. Moscow: Nauka.
