CC BY
10УДК: 517.6+530.1 MSC2010: 37L10, 35Q60
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНОГО
ГОРЕНИЯ ВДОЛЬ ПОЛОСЫ © О. В. Шиян
Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Академия биоресурсов и природопользования факультет механизации производства и технологии переработки сЕльскохозпродукции пос. Аграрное, Симферополь, 295492, Российская Федерация e-mail: [email protected]
The dynamics of periodic solutions of non-stationary combustion along the strip.
Shiyan O. V.
Abstract. Physical objects, describes the distribution of self-oscillating system is the combustion front propagates in a homogeneous medium. Experimental studies conducted Merzhanov, Borovinskaya showed that the stationary mode of propagation of the front becomes unstable if the activation energy of the exothermic reaction exceeds a certain value. In the instability of the stationary mode combustion front, staying flat, moving in an oscillatory mode. In works of Aldushin, Zeldovich, Malomed unsteady regimes of propagation of the combustion front was effectively described the phenomenological equation for the coordinate points of the front of the report in a system where the front of the average rests. In the simplest case - a singularly perturbed parabolic equation of Van der Pole type (1). Among the most interesting of unsteady combustion modes distinguish the spin waves are found in particular in the combustion of gasfree systems. In contrast to the self-oscillating unsteady combustion, when the reaction front is flat spin modes in running the centers arise reactions pervert the front and leaving a spiral track on the surface of the burned-out cylinder. Study of spin combustion modes are devoted works of Kolesov, Rozov, Samoilenko, Belan. In this paper the phenomenological equation of propagation of nonstationary combustion regimes along the strip described by a parabolic equation of Van der Pole type with small diffusion and Neumann boundary conditions. The above equation allows analytically investigate the distribution of the curvature of the waves along the front in problems with various boundary conditions. This problem can be represented as a system of coupled ordinary and parabolic equations, and therefore according to Henry, is soluble in the phase space E. We consider the problem of existence, asymptotic form and of the stability of spatially inhomogeneous periodic solutions bifurcating from a spatially homogeneous - phase of the waves and the zero solution - standing waves. To solve this problem using methods of nonlinear mechanics, such as the method of central manifolds and Galerkin method. Shows the theorem on the existence of asymptotic stability of the form and the first self-similar cycle bifurcating from losing the stability of phase waves of the original problem in a small neighborhood of the
bifurcation parameter. Through numerical calculations and finite-dimensional approximation of the Galerkin held bifurcation analysis of self-similar regimes by removing the critical parameter in the region. The values of the bifurcation parameter in which a spatially inhomogeneous periodic solutions bifurcating from a spatially homogeneous and neutral solutions become resistant. Mechanism of finding of stability this solutions is described.
Keywords: combustion, bifurcation, periodic solutions, orbital stability, auto-model circles, parabolic equation.
Введение
Нестационарные режимы распространения фронта горения могут быть эффективно описаны феноменологическим уравнением [1,2]
£ + £ = M(i - 4(£)3 + £ А£ + Лв (1)
для координаты £ точек фронта в системе отсчета, в которой фронт в среднем покоится. Величина £ зависит от времени t и от координаты x, отсчитываемой вдоль фронта, в то время как сам фронт движется в направлении оси у. Точка означает дифференцирование по времени t, Л > 0 — корреляционная длина теплопровод-ностной связи соседних участков фронта, в > 0 — коэффициент нелокальной связи участков фронта, 0 < 5 << 1 — инкремент неустойчивости, А — одномерный лапласиан.
Феноменологическое уравнение (1) учитывает два основных фактора, относящихся к нестационарным процессам распространения фронта: наличие автоколебательной неустойчивости плоского фронта, стабилизируемой нелинейными эффектами, и наличие взаимодействия тепловых слоев, примыкающих к зоне экзотермических реакций.Структура этих слоев определяется не только скоростью и температурой прилегающего участка реакционной поверхности, но и распределением температуры вдоль всего фронта реакции. Уравнение (1) позволяет аналитически исследовать распространение волн искривления вдоль фронта в задачах с различными краевыми условиями.
Исследование решений (1) на окружности радиуса R типа бегущих волн представляет интерес, поскольку эти решения соответствуют спиновым волнам горения кругового цилиндра радиуса R. В [2] установлено, что число бегущих волн (1) на окружности радиуса R неограниченно увеличивается при увеличении R и фиксированных прочих параметрах. Необходимое условие устойчивости m-ой спиновой волны было получено в [2], а критерии её устойчивости установлены в [7, 4] (в = 0),
в [5] (в > 0).
В данной работе рассматривается задача о горении теплоизолированной полосы ширины I, т.е. уравнение (1) рассматривается на отрезке длины I с краевыми условиями
di dx
x=0
dí dx
= 0.
x=l
Задача (1) - (2) в случае в = 0 рассматривалась в [3, 8]. Согласно,[3, 8] задача (1) - (2) имеет решения в виде стоячих волн. Все они неустойчивы за исключением периодического решения £0 = cos t + O(8) — синфазной волны.
Согласно проведенному в работах [9, 10, 11] анализу, при в > 0 периодическое решение £0 теряет устойчивость и имеет место бифуркация рождения из £0 двух экспоненциально орбитально устойчивых пространственно неоднородных периодических по t решений. Таким образом, изучается задача возникновения пространственно неоднородных периодических режимов из пространственно однородного.
В данной работе продолжено изучение асимптотики пространственно неоднородных периодических режимов бифурцирующих из пространственно однородного, а также стоячих волн — периодических решений, бифурцирующих из нулевого решения задачи (1) - (2). Проведен численный анализ характера устойчивости указанных решений при удалении бифуркационного параметра в область надкритичности.
1. Существование и асимптотическая форма пространственно неоднородных режимов задачи (1) - (2)
Задачу (1) - (2) можно представить в виде системы спаренных "обыкновенного" и "параболического" дифференциальных уравнений, следовательно, согласно [12, 9, 10, 11], задача (1)-(2) разрешима в пространстве Е = Н х Н1. Здесь Ня,в > 0, шкала пространств, порожденная на [0,/] оператором —А при условии (2). Норма в Ня определяется равенством ||п||| = (—А3п,п) + (и,и), где (•, •) - скалярное произведение в пространстве Н = Ь2(0,1).
Справедлива следующая теорема [9].
Теорема 1. Существует 50 такое, что при 0 < 5 < 50 и малых р — р0 > 0 (р0 = в 1) задача (1), (2) имеет периодические по t пространственно неоднородные решения £±(ш(5)Ь,6), где ш(5) = 1 + O(52) — гладкая функция 5. Справедливо равенство:
nx
£f(t,e) = V3 — 2ai cos t ± — 1 sin t cos в + O(5,p — ро), в = —. (3)
к2 к
ак = ак (р) = 1 - -г + /-, к = 0,1, 2,..., р = 2П/Л. Р2 Р
Решения £±(ш(#)£,0) экспоненциально орбитально устойчивы при малых р — р0.
Указанная теорема носит локальный характер. Для доказательства теоремы в [9] использовалась методика работ [13, 5].
2. Бифуркационный анализ двухмодовой аппроксимации Галёркина исходной задачи (1) - (2)
Согласно [9, 10, 11], для построения асимптотики приближенных периодических по t пространственно неоднородных режимов задачи (1) - (2) использовалась двухмо-довая аппроксимация Галеркина для исходной задачи. В этом случае приближенные решения задачи (1), (2) были построены в виде:
1
£(t, 0) = + zfc) cos(k0) + 5as(z. z. 0). 0 = y. (4)
k=0
где a3(z,z,0) (a3(z.z,0 + 2n) = a3(z,z,0)) — кубическая форма по z.z, а zk = zk(t), k = 0.1, удовлетворяет уравнению:
Zk = (i + 5ak )zk + 5bk(z.z). z =(zo.Zi). (5)
где bk(z. z) — кубическая форма по z. z.
Подставим (4), (5) в уравнение (1) и приравняем затем коэффициенты при 5. В результате относительно a1(z,z,0) получим линейное неоднородное уравнение:
8 / i A3 i —
Ba1(z,z,0) = -i (zk - zk) cos k0 - iM^(bk - bk) cos k0. (6)
\k=0 / k=0
где
5b 5b Mb(z.z) = b(z.z) + — z - — z.
dz dz
оператор B является диагональным на пространстве многочленов относительно z, z. При этом
BzazP = (1 - (aj - в)2 )zaze. j=o
где za = П zakk. ze = П zffc. k=0 k k=0 k
В соответствии с методом Галёркина, из условия разрешимости (6) однозначно находятся Ьк, к = 0,1.
Подставив найденные Ьк, в (5) и выполнив замену М 2ехр(г£), к = 0,1, а затем в полученной относительно системе осуществив преобразование £ = т/8, приходим к системе дифференциальных уравнений:
= г0(а0 — |г0|2 — | г! |2) — 1 г^2,
3 2 (7)
= а — 21 го |2 — 41 | ^ — г^.
Здесь штрих — дифференцирование по т. При этом г к, к = 0,1 удовлетворяют комплексно сопряженным уравнениям. Таким образом, анализ решений задачи (1)-(2), согласно методу Галёркина конечномерных приближений, сводится к анализу характера устойчивости решений системы (7).
Отметим, что система (7) является Б1 — эквивариантной системой. Она инвариантна относительно группы вращений окружности (г0,г1) М ехр(гр)(г0,г1), ^ € Е/2^. Система (7), в сущности, — градиентная система. Действительно, после преобразования
¿0,^0,г1,г 1 М ¿0,^0,
она представима в виде
Zu — —
dG(z, z, р)
dzi
где
1
3,
k — 0,1,
1
1
- G — ao|zo|2 + ai|zi|2 - -|zo|4 - -|zi|4 - -Z^ - -z^zf - 2|zo|2|zx|2.
2
4'
2
2
Бифуркационный анализ системы (7) выявил следующую её динамику. Система (7) для любого значения а1 = а1(р) имеет нулевое решение и окружность стационарных точек
Б1,0(«1) = {ехр(гр)(1, 0), р € Е/2^}.
Устойчивость окружностей стационарных точек |ехр(гр)(г0, г1) р € Ж/2пЪ}, определяется матрицей:
Qi(p)
( 1 - 2|zo|2 -|zi|2
-У2 - 1 z2 zo 2zi
— 2zoz 1 — 2z ozi у -2zozi
-z2 - 1 z2 zo 2zi
1 - 2|zo|2 -|zi|2
- 2zozi — 2zozi — 2zozi
-zozi - zozi -zozi ai - 2|zo|2 - §|zi|2
- zo z1
z2 _z2 -zo - ■ z
-zozi - zo zi
3
4 zi
12 3 I
_z2 _ — z2 zo ■ z
4zf ai - 2|zo|2 - 2|zi|2 J
Анализируя спектр матрицы для окружностей стационарных точек системы (7), получаем следующие результаты.
Спектр устойчивости нулевого решения равен {1,1,^,^}. Таким образом, если «1 < 0, то нулевое решение неустойчиво с индексом неустойчивости 2. Увеличение а1 и прохождение им значения 0 приводит к увеличению индекса неустойчивости нулевого решения на два порядка, что приводит к бифуркации окружности стационарных точек 5о,1(а1) :
ЗодЫ = {ехрМ(о, 2^), ^ е
которые при рождении также имеют индекс неустойчивости равным 2.
Спектр устойчивости З0,1(а1) равен 10, —2а1,1 — 2а1, ^(3 — . Следовательно,
З0,1(а1) остается неустойчивой на промежутке ^0; изменения параметра а1. При этом индекс неустойчивости З0,1(а1), уменьшаясь на единицу, становится равным 1 при увеличении параметра а1 и прохождении им значения ^. В результате этой бифуркации от окружности стационарных точек З0,1(а1) ответвляются две окружности стационарных точек:
Зона их существования — промежуток ^, 3^ измене-
ния
2
2
параметра а1. Спектр устойчивости З0=2(а1) равен
{0, —(3 + 4«1), 10(2«1 — 1) + 0((2«1 — 1)2), — 22а + 6 + 0((2а — 1)2)}. Таким образом, на всем промежутке существования З0=2(а1) остается неустойчивой с индексом неустойчивости 2.
Спектр устойчивости окружности З1,0(а1) равен {0, —2, а1 — 1, а1 — 3}. Таким образом, окружность З1,0(а1) — орбитально экспоненциально устойчива, если а1 < 1. Индекс её неустойчивости сохраняется равным 1 на промежутке (1; 3) изменения параметра а1. При увеличении а1 и прохождении им значения 3 индекс неустойчивости З1,0(а1(р, в)) увеличивается на порядок.
Потеря устойчивости З1,0(а1(р, в)) при а1 = 1 приводит к ветвлению двух устойчивых окружностей стационарных точек:
З±±1(«1) = {exp(^)(V3 — 2«1, ±2г^«1 — 1), ^ е Е/2^},
зона их существования — промежуток ^1, ^ изменения параметра а1. Действительно, спектр устойчивости З11(а1) равен {0, —2, —2 + 0((а1 — 1)2), —2(а1 — 1) + 0((а1 — 1)2)}, т.е. на всем своем промежутке существования З±=1(а1) сохраняет устойчивость.
3
В точке а1 = - окружности Б11(а1) умирают на окружности Б0,1(а1), которая
при этом обретает устойчивость. Таким образом, на интервале а1 > 3 единственным аттрактором системы (7) является окружность Б0,1(а1).
При дальнейшем увеличении параметра а1 и прохождении им значения а1 = 3 индекс неустойчивости Б1,0(а1(р, в)) увеличивается на порядок. При этом на Б1,0(а1(р, в)) умирают две окружности Б±2(а1 (р, в)) стационарных точек системы (7).
Учтем теперь, что бифуркационным параметром задачи (1)-(2) является р = 2п//Л. Из равенства
1 1 + в
«1 = 1--2 + -
Р2 Р
следует, что а1(р,в) монотонно возрастает на промежутке ^0, и монотонно убы-
(2 \ в2
вает на промежутке ^—, то^ , максимальное значение функции а1(р,в) = 1+—.
Таким образом, динамика системы (7) при возрастании р зависит от величины в. В
3
частности, при в < л/2 максимальное значение функции а1(р, в) менее —, т. е. окружность стационарных точек Б±=1(а1) системы (7) остается единственным аттрактором при удалении параметра р от бифуркационного значения р0 = —.
1 в Пусть теперь в > //2. Если р € ^, в — \/в2 — 2^, то тогда Б^р, в) — аттракторы в системе (7). В точке р = в — л/в2 — 2 окружности Б±=1 (р, в) умирают, передавая устойчивость окружности стационарных точек: Б0;1(р,в). При р = в + л/в2 — 2 окружность Б0;1(р, в) теряет устойчивость и от неё ответвляются две устойчивые окружности Б±=1(р,в). Таким образом, при р > в + \/в2 — 2 аттракторами в (7) являются Б±1(р, в).
Согласно (4)-(5), замены гк М 3гк ехр(г£), к = 0,1, и приведенного выше бифуркационного анализа системы (7), есть основания утверждать, что имеет место следующая динамика периодических структур задачи (1)-(2).
1. Задача (1)-(2) для всех значений параметра р имеет нулевое решение и периодическое по £ решение — синфазную волну:
£0 = £0(^,0,8) = сое £ + 0(8). (9)
2. При р € ^0; 1 (—в + /в2 + 4)^ существует единственное глобально экспоненциально устойчивое периодическое по £ решение (9) задачи (1)-(2).
3. Прохождение р через в + /в2 + 4) приводит к увеличению на два порядка индекса неустойчивости нулевого решения и бифуркации из него неустойчивого периодического решения — стоячей волны £0д, где
£o,i = £o,i(t,M) = 4* cos t cos 0 + O(5), в = ПХ. (10)
V 3 l
Её индекс неустойчивости 2.
4. Прохождение параметра р через значение р = —в + \Jв2 + 2 уменьшает на порядок индекс неустойчивости стоячей волны £0,1. В результате этой бифуркации от стоячей волны £01 ответвляется пара периодических решений £0^ :
_ С± и О _ . . /2а1 - 1 ... I3 — а1
^ = ^мн ±у t + cos tcos 9 + (n)
с индексом неустойчивости 2.
5. Синфазная волна £0 экспоненциально орбитально устойчива при р < —. При
перех°де параметра р зрения — синфазш. « & ^ уст°й4ив°сть и °т
нее ответвляется пара экспоненциально орбитально устойчивых периодических по t решений :
fíi = £mM,¿) = Va —201 cost ± 2V«1 - 1 sint cos 9 + O(¿). (12)
Решения существуют на промежутке ^—; в — //в2 — 2 ^ ^ ^в + //в2 — 2; го^ изменения параметра р и являются единственными аттракторами (1)-(2).
6. При р = в — л/в2 — 2 решения умирают на стоячей волне £0>1, которая при этом переходит в класс устойчивых периодических структур. Решение £0,1 сохраняет устойчивость на интервале ^в — /в2 — 2; в + //в2 — 2^ изменения
параметра р. Прохождение параметра р через значение в + \/в2 — 2 приводит к потере устойчивости стоячей волны £01 и бифуркации из нее £±1.
7. Прохождение параметра р через значение —(в — //в2 — 8) приводит к увеличению на порядок индекса неустойчивости синфазной волны £0, на которой умирают 2 периодические структуры (11). В интервале
_(в — v/в2—8);4(в ^л/в2
— 8) I изменения параметра р синфазная волна £0
сохраняет индекс неустойчивости равным 2. При р = —(в + //в2 — 8) индекс неустойчивости синфазной волны £0 становится 1, что приводит к биффурка-ции из нее периодических структур (11).
3. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЧЕТЫРЕХМОДОВОй АППРОКСИМАЦИИ ИСХОДНОЙ
ЗАДАЧИ (1) - (2)
Для анализа устойчивости решений при углублении параметра р в область надкритичности, согласно [9, 11], строим приближенные решения задачи (1), (2) в виде:
3
£ (г, 0) = + гк) еов(к0) + (г, г, 0),
к=0
где а1(г, г, 0) — кубическая форма по г, г, а гк = гк(г), к = 0,1, 2, 3. Следуя описанной выше методике, приходим к Б 1-эквивариантной системе
V = zo (ао - |z|2) - 2zo(d2 - z0) - /о,
zfc' = zfc (afc - |z|2 - |zo|2 + 1 |zfc|2) - 1 Zk(d2 + zo2 - z2) - /k, k = 1, 2, 3,
где |z|2 = E |zk|2, d2 = E z2, k=0 k=0
f0 = 4zlZ2 + 2 |zl |2z2 + 2(Zlz2z3 + Z2 zl z3 + Z3z2zl) , /l = ^z2Z3 + l |zi |2z3 + 2z2Z3 + 2 |z2|2z3 +
+ (Zoziz2 + zlz0z2 + z2zozl) + (zoz2z3 + z2z0z3 + z3z2zo),
/2 = 1 z2Zo + |z l |2zo + (Zozlz3 + Zlzoz3 + Z3zozl) + 1(Ziz2z3 + Z2z lz3 + Z3z2zl),
:i3)
2~1~и 1 ^ 11 I I 1 2
/з = 4 +
Как и выше, при р < 1 единственным аттрактором в системе (13) является окружность стационарных точек
Б1,и = {ехр(гр)(1, 0, 0, 0), р е Е/2^}.
Переход р через ри = 1 приводит к потере устойчивости окружности Б?1)и: одна простая точка её спектра возрастая, проходит через нуль. При этом из Б^и бифурцируют две устойчивые окружности стационарных точек
<9±1(р, в) = |ехр(гр)(хи, ±гх1,х2, ±гх3), р е Е/2^}.
Здесь Хк = Хк(р,в), к = 0,1, 2, 3 — непрерывная ветвь решений системы
:i4)
xo (ao - 2 x0 l x2 2 Xl 3 x2 2 x2 2X3) - l 2 4xlx2 - - 2XlX2X3 = 0,
xl (al - 2 x0 3 x2 4 xl l x2 2 x2 2X3) - XoXlX2 - X0X2X3 3 x2 x 4x2x3 = °
X2 (a2 - 3xo - l x2 2 Xl 3 x2 4 x2 " 2X3) - l2 ,-yi 2 l — XoXlX3 - 2XlX2X3 4= 0,
X3 («3 - 2 x0 3 x2 2 Xl l x2 2 x2 4 x3) - XoXlX2 l 2 - 4xlx2 - -1 x3 = 0,
такая, что хи = 2 — а1 + 0((1 — а1 )2).
Динамика стационарных точек системы (14) при значениях параметра в =1 и в = 3 представлена на рис. 1 и 2 соответственно.
Рис. 1. Поведение стационарных точек системы (14) при в = 1.
Рис. 2. Поведение стационарных точек системы (14) при в = 3.
Как видно из рис. 1, при р = 5 параметры автомодельного цикла
£±(t, в, в, р) = x0cost ± cos в + x2cost cos 2в ± x3smt cos 3в (15)
стабилизируются и практически не меняются при дальнейшем увеличении параметра р. Стационарная точка, компоненты которой на рис. 2 изображены пунктиром, неустойчива. При р = 1.4 параметры автомодельного цикла (15), как и выше, стабилизируются и практически не меняются при дальнейшем увеличении параметра р.
Отметим теперь, что переход р через 1 (—в + \Jв2 + 4) приводит увеличению индекса неустойчивости нулевого решения системы (13). В результате от нуля ответвляется окружность стационарных точек ¿>0,1 (р, в) такая, что
S0,i(р, в) = |exp(i^)(0, ¿£1 (р, в), 0,iX3(р,в)), Р е R/2nZ}.
Здесь (0, х1(р, в), 0, Х3(р, в)), х1(р, в) > 0 _ непрерывная ветвь решений системы (14).
Окружности стационарных точек §±1(р, в) системы (13) при возрастании р качественно изменяются так же, как и окружности стационарных точек 5'±1(р,в) системы (7). А именно, существует такое в, что при в £ (0,в) окружности 3±1 (р, в)
сохраняют устойчивость на промежутке , то^ изменения параметра р.
Пусть теперь в > в, тогда существует такое 31 (в), что на промежутке (—,р1(в)
в
окружности ¿3±1(р, в) устойчивы. При р = 31 (в) они сливаются и умирают на окруж-
ности sq,i(p, в) (см. рис. 3).
Рис. 3. Бифуркационные диаграммы окружностей стационарных точек 31,о(р,в), 3±1(р,в), '3о,1 (р,в), случай в<в.
При р = 31 (в) окружность Б0,1(р,в) обретает устойчивость и сохраняет её на промежутке (р>1(в), р2(в)). При р = р>2(в) окружность 5од(р,в) теряет устойчивость и от неё ответвляются две устойчивые окружности стационарных точек 3±1 (р,в) (см. рис. 4).
Рис. 4. Бифуркационные диаграммы окружностей стационарных точек 31,о(р,в), 31д(р,в), 3о,1 (р,в), случай в > в.
С помощью пакета "Mathematica" установлено, что для случая четырехмодовой аппроксимации Галёркина исходной задачи справедливо равенство S = 1.98. Так, если в = 2, то 3l(2) = 0.63, 32(2) = 0.74. Если же в = 3, то Sl(3) = 0.356, 32(3) = 0.65. Таким образом, динамике аттракторов в системе (13) отвечает динамика аттракторов в системе (7) вблизи бифуркационных значений параметра р.
При отходе р от критических значений р0, 3l (в), 32(в) усиливаются отличия количественных характеристик соответствующих аттракторов в системах (13) и (7). При этом диапазон применения по параметру р формулы (12) является узким: усиливается влияние высших гармоник. Представление же периодических по времени t решений задачи (1)-(2) в виде (15) можно использовать на достаточно большом промежутке изменения параметра р.
Согласно проведенным численным расчетам, имеют место следующие приближенные равенства для автомодельных циклов задачи (1)-(2):
f+~(t,0,1, 7) = -0.091 cos t + 0.777 sin t cos 0 - 1.112 cos t cos 20- 0.684 sin t cos 30, f+(t,0, 2, 7) = -0.131 cos t + 0.489 sin t cos 0 - 1.186 cos t cos 20- 1.067 sin t cos 30, (16) 0, 3, 7) = -0.116 cos t + 0.352 sin t cos 0 - 1.188 cos t cos 20- 1.334 sin t cos 30.
Качественные отличия систем (13) и (7) заключаются в том, что в системе (13) при прохождении параметра р через критические значения имеет место бифуркация рождения неустойчивых окружностей неподвижных точек, аналогов которых в системе (7) нет. Так, при прохождении параметра р через значение 2р0 индекс неустойчивости окружности Sl ,0, возрастая на порядок, становится равным 2. При этом из S3 ,o бифурцируют две окружности стационарных точек
3 ,2(р,в ) = {exp(ip)( V3 - 2а2, 0, ±2iV« - 1, 0) , р е R/2nZ} (17)
с индексом неустойчивости 1.
Исследование устойчивости окружностей 3,2(р, в) приводит к эрмитовой блочно-диагональной матрице, состоящей из двух блоков. Одним блоком является матрица, собственные значения которой аналогичны спектру матрицы Q, т.е. равны
{0, -2, -2 + O((«2 - 1)2), -2(«2 - 1) + O((«2 - 1)2)}.
Другой блок — матрица, у которой при малых р — 2р0 одна её простая точка спектра принадлежит положительной полуоси, остальные — отрицательной. При отходе параметра р от бифуркационного значения 2р0 и прохождении им значения р* происходит переход указанной матрицы в класс устойчивых. Таким образом, автомодельный цикл
= (t,M) = V3 — 2а2 cos t ± 2V«2 — 1 sin t cos29 + O(¿) (18)
задачи (1)-(2), бифурцирующий из неустойчивой синфазной волны £10(t,9,í) при
2
прохождении параметра р бифуркационного значения 2р0 = —, приобретает устойчивость при отходе р от бифуркационного значения.
Заключение
В данной работе изучено поведение автомодельных режимов феноменологического уравнения безгазового горения вдоль полосы — задача (1)-(2). В силу теоремы 1 при увеличении бифуркационного параметра р и его прохождении через значение р0 = в-1 из теряющего устойчивость пространственно однородного цикла £1 , o(t, 9, $) — синфазной волны — ответвляется пара экспоненциально орбитально устойчивых пространственно неоднородных (автомодельных) циклов пе-
реходящих друг в друга при преобразовании x ^ l — x. Их форма при малых р — р0 вполне определяется двумя параметрами. Дальнейшее увеличение параметра р и его прохождение через значение р0 = 2/в приводит к бифуркации из уже неустойчивой сифазной волны пары пространственно неоднородных циклов также переходящих друг в друга при преобразовании x ^ l — x.
Для анализа динамики автомодельных циклов при отходе параметра р от бифуркационного значения р = k/в построена аппроксимация Галеркина по системе функций cos k9, k Е Z+. Проанализированы двух- и четырехмодовые модели исходной задачи — системы (7) и (13) соответственно. Проведенный бифуркационный анализ указанных систем даёт веские основания для следующего утверждения. Качественно исходную задачу отражает её упрощенная форма — система (7). Следует отметить, что полученные для в = 0 результаты Б. А. Маломеда [8] распространяются и на общий случай в > 0. А именно, существует такое значение параметра в, в = в что:
— при в < в и увеличении р автомодельные циклы усложняясь по
форме, сохраняют устойчивость. Следует отметить, что увеличение степени аппроксимации исходной задачи не приводит к существенным качественным изменениям. Однако при этом становятся значимыми количественные отличия
в значениях параметров автомодельных циклов. Для четырехмодовой модели найдено [ = 1.98, а для восьмимодовой модели — [3 = 1.93
— при [ > [ автомодельные циклы существуют и устойчивы на промежутке ([-1,р1([)) изменения параметра р. При р = р1 ([) они сливаются и исчезают, передавая при этом устойчивость пространственно неоднородному циклу £±1(г, 0, $), инвариантному относительно преобразования х ^ I — х. Этот цикл рождается из неустойчивого нулевого решения тогда, когда индекс неустойчивости нуля, увеличиваясь на единицу, становится равным двум. При рождении он имеет форму стоячей волны и фактически сохраняет её при возрастании бифуркационного параметра р. При дальнейшем увеличении р и прохождении его через бифуркационное значение р2([) он теряет устойчивость, испуская при этом пару устойчивых автомодельных циклов £±1(г,0,^), сохраняющих устойчивость при дальнейшем увеличении р. Для четырехмодовой модели при [ = 2 найдено р1(2) = 0.633, р2(2) = 0.749, а при [ = 3 — р1(3) = 0.355, р2(3) = 0.65. Для восьмимодовой модели при [ = 2 найдено р1(2) = 0.6331, р2(2) = 0.7445, а при [ = 3 — 31(3) = 0.3559, 32(3) = 0.6471.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алдушин, А. П., Зельдович, Я. Б., Маломед, Б. А. К феноменологической теории спинового горения // ДАН СССР. - 1980. - Т. 251. - № 5. - C. 1102-1106.
ALDUSHIN, A., ZELDOVICH, Y. & MALOMED, B. (1980) To the phenomenological theory of spin combustion. The reports of the USSR Academy of Sciences. 251 (5). p. 1102-1106.
2. Алдушин, А. П., Маломед, Б. А. Феноменологическое описание нестационарных неоднородных волн горения // Физика горения и взрыва. — 1981. — Т. 17. — № 1. — C. 3-12.
ALDUSHIN, A. & MALOMED, B. (1981) Phenomenological description of heterogeneous nonstationary combustion waves. Physics of combustion and explosion. 17(1). p. 3-12.
3. Зельдович, Я. Б. Сложные волновые режимы в распределенных динамических системах // Известия вузов. Серия "Радиофизика". - 1982. - Т. 15. - № 6. - C. 591-618.
ZELDOVICH, Y. (1982) Complex wave regimes in distributed dynamic systems. Izvestiya vuzov Radiophysics series. 15 (6). p. 591-618.
4. Мищенко, Е.Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е. Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А.Ю. Колесов, Н. Х. Розов. - М.: Физматлит, 2005. - 430 c.
MISCHENKO, E. and SADOVNICHY, V. (2005) Autowave processes in nonlinear media with diffusion. Moscow: Fizmatlit.
5. Самойленко, А.М., Белан, Е.П. Динамика бегущих волн феноменологического уравнения спинового горения // Доклады РАН. - 2006. - Т. 406. - № 6. - C. 738-741.
SAMOILENKO, A. & BELAN, E. (2006) Dynamics of traveling waves of the phenomenological equation of spin combustion. Reports of the Russian Academy of Sciences. 406 (6). p. 738-741.
6. Самойленко, А. М., Белан, Е. П. Вращающиеся волны феноменологического уравнения спинового горения // Доклады РАН. - 2008. - T. 421. - № 6. - C. 749-753.
SAMOILENKO, A. & BELAN, E. (2008) Rotating waves of the phenomenological equation of spin combustion. The reports of the Russian Academy of Sciences. 421 (6). p. 749-753.
7. Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Явление буферности в теории горения // Доклады РАН. — 2004. — T. 396. - №2. - C. 170-173.
KOLESOV, A. & ROZOV, N. (2004) Buffer phenomenon in combustion theory. The reports of the Russian Academy of Sciences. 396(2). p. 170-173.
8. Маломед, Б. А. Распространение автоколебательных волн вдоль полосы // Изв. вузов, сер. "Радиофизика". - 1981. - T. 14. - № 5. - C. 571-576.
MALOMED, B. (1981) Distribution the self-oscillating waves along the strip. Izvestiya vuzov Radiophysics series. 14 (5). p. 571-576.
9. Белан, Е. П., Шиян, О. В. Автоколебательные режимы горения вдоль полосы // Динамические системы. - 2009. - T. 27. - C. 3-16.
BELAN, E. & SHIYAN, O. (2009) Self-oscillating mode of burning on the strip. Dynamicheskie Sistemy. 27. p. 3-16.
10. Белан, Е. П., Шиян, О. В. Устойчивые режимы горения вдоль полосы // Ученые записки ТНУ, сер. "Физ.-мат. науки". - 2010. - Т. 62. - № 1. - C. 1-16.
BELAN, E. & SHIYAN, O. (2010) Stability model of burning on the strip. Scientific notes of Taurida national University Physico-mathematical science series. 62(1). p. 1-16.
11. Шиян, О. В. Анализ автомодельных режимов горения вдоль полосы // Динамические системы. - 2011. - T. 29. - № 1. - C. 131-144.
SHIYAN, O. (2011) Analysis of auto-oscillation model of burning on the strip. Dynamicheskie Sistemy. 29. p. 131-144.
12. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. — М.: Мир, 1985. - 376 c.
HENRY, D. (1985) Geometric theory of semilinear parabolic equation. Moscow: Mir.
13. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский.. - М.: Наука, 1969. - 410 c.
BOGOLUBOV, N. and MITROPOLSKY, Y. (1969) Asymptotic methods in the theory of nonlinear vibrations. Moscow: Nauka.
Статья поступила в редакцию 25.11.2015
