CC BY
9Динамические системы, том 1(29), №1 (2011), 131-144
УДК 517.9+530.1
Анализ автомодельных режимов горения вдоль полосы
О.В. Шиян
Крымский институт бизнеса,
Симферополь, 95047.E-mail: [email protected]
Аннотация. Для распределенной автоколебательной системы, состоящей из диффузионно-связанных осцилляторов Ван-дер-Поля и описывающей движение фронта горения, проводится численно-аналитический анализ периодических по времени устойчивых пространственно неоднородных решений. Эти решения возникают при потери устойчивости пространственно однородного режима автоколебаний.
Ключевые слова: горение, бифуркация, периодические решения, автомодельные циклы, орбитальная устойчивость, параболические уравнения.
1. Введение
ё+е = 2*(ё - 4(е)3 + -П де+7п ^), (i)
Эволюцию фронта безгазового горения феноменологически описывает уравнение [2, 61
, А2 _ , Ав
где £ — отклонение положения фронта от невозмущенного, соответствующего стационарному режиму. Здесь точка означает дифференцирование по времени г, А > 0 — корреляционная длина теплопроводностной связи соседних участков фронта, в > 0 — коэффициент нелокальной связи участков фронта, 0 < 6 << 1 — инкремент неустойчивости, А - одномерный лапласиан.
Исследование решений (1) на окружности радиуса Я типа бегущих волн представляет интерес, поскольку эти решения соответствуют спиновым волнам горе-
Я
ЯЯ сированных прочих параметрах. Необходимое условие устойчивости той спиновой волны было получено в [2], а критерии её устойчивости установлены в [7, 1]
(в = 0), [ю] (в > 0).
В данной работе уравнение (1) рассматривается на отрезке длины I с краевыми условиями:
=
дх дх
х=0 в=0
рения теплоизолированной полосы ширины I. Согласно [9, 6] задача (1), (2) имеет
= 0. (2)
x=l
© о. В. шиян
решения в виде стоячих волн. Все они неустойчивы, за исключением решения = cos t + O(8) — синфазной волны.
При в > 0 пространственно однородный цикл теряет устойчивость [4] тогда, когда параметр р = 2nl/\ возрастая, проходит бифуркационное значение р0 = При этом от £о ответвляются двс1 пространственно неоднородных (автомодельных) экспоненциально орбитально устойчивых циклов, переходящих друг в друга при преобразовании x ^ l — x. Форма этих циклов при малых р — р0 вполне определяет-
р ро
циклов зависит от параметра в- Существует в * такое, что при в ^ (0,в *) автомодельные циклы сохраняют устойчивость на достаточно большом промежутке изменения бифуркационного параметра р. Если же в > в *>
то тогда существует
значение р(в) такое, что при р = р(в) автомодельные циклы устойчивость теряют.
Статья организована следующим образом. В первом разделе устанавливаются условия, обеспечивающие локальную разрешимость начально-краевой задачи. Во втором разделе приведены результаты аналитического исследования характера устойчивости упрощенной двухмодовой аппроксимации задачи (1), (2). В третьем разделе исследуется четырехмодовая модель. В четвертом разделе приведены результаты численного анализа восьмимодовой аппроксимации Галеркина задачи (1), (2). В заключении подчеркнуты основные результаты работы.
2. Существование и единственность решения
Задача (1), (2) эквивалентна следующей системе уравнений: С = Р,
p = -С + 2i[p(1 - 4Р2) + Ap + ^v-Ap), (3)
dp dx
dp dx
= 0.
x=l
x=0
Уравнение (1), (2) или (3) рассматривается при начальных условиях:
С
= Со, С
t=0
t=0
p0, ИЛИ С
= С0, p
t=0
t=0
p0,
Обозначим, следуя [3, см. 1.5], И3, в > 0, шкалу пространств, порожденную на [0,1] оператором — А при условии (2) (А — одномерный лапласиан). Норма в И3 определяется равенством ||м||| = (—А3п,п) + (п,п), где (-, ■) - скалярное произведение в пространстве И = Ь2(0,1).
Система (3) является системой спэ^ренных обыкновенного " и "параболического" уравнений. Следуя [12, см. 3.4], приходим к заключению о существовании и единственности решения (3), (4) при £ И, р0 Е И1. Итак, система (3) или, что
то же самое, (1), (2) в пространстве E = H х H1 порождает локальную динамическую систему. Далее, в качестве фазового пространства задачи (1), (2) примем пространство E.
Справедлива следующая теорема [4].
Теорема 1. Существует 80 такое, что при 0 < 8 < 80 и малых р — р0 > 0 (ро = в-1) задача (1), (2) имеет периодические по t пространственно неоднородные решения £±{u(8)t,6), где ш(8) = 1 + O(82) - гладкая функция 8. Справедливо равенство:
ПХ
f±M) = V3 — 2а 1 cos t ± 2у/а1 — 1 sin t cos в + 0(8,р — р0), в = —. (5)
k
ак = ак (р) = 1 — ^ + в~, k = 0,1, 2,..., р = 2nl/X. р2 р
Решения £±(w(8)t, в) экспоненциально орбитально устойчивы при малых 8, р — р0.
Для доказательства теоремы в [4] использовался метод Крылова-Боголюбова [5].
3. Анализ двухмодовой модели
В [4] для нахождения асимптотики приближенных периодических решений задачи (1), (2) использовалась двухмодовая аппроксимация Галеркина исходной задачи. В этом случае приближенные решения задачи (1), (2) были построены в виде!
i
t(t,e) = Y,(zk + Zk) cos(ke) + 8ai(z,z,e), в = ^, (6)
k=0
где a1(z, z, в) (a1(z, z, в + 2п) = a1 (z, z, в)) — кубическая форма по z, Z, a zk = zk(t), k = 0, 1
zk = (i + 8ak)zk + 8bk(z,Z), z = (zo,z1) k = 0,1. (7)
8.
результате относительно a1(z,z^) получим линейное неоднородное уравнение:
8 ( 1 У 1 —
Ва^,г,в) = 3i ( ^^(zk — zk) cos k^ — iM^^(bk — bk) cos kв, (8)
3 k=0 k=0
db db
Mb(z,z) = b(z,z) + — z — — z, dz dz
B
z, Z. При этом
Bz aze = (l — ^(а,- — вj )2 1
V j=0
Г7Т„ 7а = уЗД Га1. = гво
I X/ — /^о ^ 1 ^ ^ — ^о 1
В соответствии с методом Галеркииа, из условия разрешимости (8) одно-ЗНсХЧНО н&ходят ся Ьк, к = 0,1. Подставим теперь Ьк, в (7), выполним замену ¿к м 2¿к ехр(й), к = 0,1, а затем в полученной относительно гк1 к = 0,1, системе осуществим преобразование Ь = т/6. В результате получим систему уравнений
¿0 = го(а0 — Ы2 — |z1|2) — 2¿0¿1, /ПЧ
зи ^ ^2
¿1 = М «1 — 21 ¿012 — 4Ы2) — Zlzl.
Здесь штрих - дифференцирование по т. При этом к = 0,1, удовлеторяют комплексно сопряженным уравнениям.
Отметим, что система (9) является Б^эквивариантной, градиентной системой. Она инвариантна относительно группы вращений окружности ^^^ м ехр(1р)^0, ¿1), р Е Ж/2пЪ.
Если а1 < 1 (р < 1), то единственным аттрактором в системе (9) является окружность стационарных точек
йдЫр^)) = {ехр(гр)(1, 0), р Е R/2пZ}.
При возрастании р и прохождении им значения в та окружности ББ1,1(а1(р, в)) = Б1>1(р,в) бифурцируют две устойчивые окружности стационарных точек
51±1(«1(р,в)) = {ехр(гр)(±/3—2а1, ±2г/а1—1), р Е R/2пZ}.
Если в < 2, то тогда Б±1(р,в) являются единственными аттракторами в (9) при р Е (1, го). Отметим, что Б±1(р,в) гладкие функции р на (в, |). При возрастании р от значения |, Б^^р^) проходят в обратном порядке свои значения.
Пусть теперь в > 2. Если р Е , в ^/в—2)' Т° тог,л,а Б^^в) — аттракторы в системе (9). В точке р = ^ /в—2 окРУжности ^1±1(р,в) умирают, передавая устойчивость окружности стационарных точек:
So,i(p, ß) = {exp(^)(ü, 2^) , <р Е
Если р Е /в—2' в /в—^7 ТО тог,д'а Б0,1(р, в) — единственный аттрактор в (9).
В точке р = -2- окружность Б0,1(р,в) устойчивость теряет и от неё ответв-
в —2
ляются две устойчивые окружности Б^^р^)• Таким образом, при р > -2-
в— в2—2
аттракторами в (9) являются Б1^1(р,в)•
4. Анализ четырехмодовой модели
Для анализа устойчивости решений при углублении параметра р в область надкрптичностп, согласно [4], построим приближенные решения задачи (1), (2) в
ВИД6!
3
в) = + ¿к) шв(кв) + г, в),
к=0
где а1(г,г,в) — кубическая форма по г, г, а, гк = гк(¿), к = 0,1, 2, 3. Следуя описанной выше методике, приходим к 51-эквивариантной системе
zo = zo (a0 - |z|2) - 2z0(d2 - z$) - fo,
zk' = zk (ak - |z|2 - |zo|2 + 4lzkI2) - 2zk(d2 + z2 - z2) - fk, к = 1, 2, 3,
(10)
где |г|2 = £ \гк|2, С2 = £ г2к, к=0 к=0
/с = 4гк¿2 + к |г1|кг2 + к(г1г2г3 + г22123 + г3г2г1), /1 = ^ г2 ¿3 + 1 |г1|2г3 + 1 г2г3 + 2| г212 г3+
+(¿02122 + ¿12022 + ¿2^0 21) + (¿02223 + ¿2 2023 + ¿32220), /2 = ^г2 ¿0 + |г1|2г0 + (г0 2123 + г12023 + г32021) + ^ (г12223 + г22123 + г3z2z1),
/3 = 4¿1 + 1 |г2|2г1 + 4 г2г1 + (г02122 + г120-22 + г22021)
Как и выше, при р < в единственным аттрактором в системе (10) является окружность стационарных точек
^1,1 = {ехр(гр)(1, 0,0, 0), у € Ж/2пЪ}.
Переход р через р0 = 1 приводит к потере устойчивости окружности 51 д — одна простая точка её спектра возрастая, проходит через нуль. При этом из 31;1 бифурцируют две устойчивые окружности стационарных точек
3з1±1(р,в) = {ехр(гу)(ж0, ±гх1,х2, ±1Х3), у € Ж/2пЪ}.
Здесь хк = хк(р,в), к = 0,1, 2, 3 — непрерывная ветвь решений системы
Xo(ao 2 - Xo - 1 х2 2 X1 3 х2 2 X2 2х3) - 12 -1- /у*-1 /у 4 х1 х2 - 2 X1X2X3 = 0,
х1(а1 2 - Xo - 3 х2 4 х1 1 х2 2 х2 2X3) - Xo X1 X2 - XoX2X3 3 х2 X 4 х2х3 =
X2(a2 - 3 X 2o - 1 х2 2 х1 3 х2 4 х2 " 2X3) " 12 2 X0X1 - XoX1X3 - 1X1X2X3 = 0,
хз(аз 2 - Xo - 3 х2 2 х1 1 х2 2 X2 4 x3) - X0X1X2 1 2 - 4х1х2 - - 4х? = 0,
(П)
" 2Х0Х1 — Х0Х1Х3 — 2Х1Х2Х3 — 0,
Х0Х1Х2 1Х1Х2 1Х1 — 0,
такая, что Х0 = 2 — а1 + 0((1 — а1)2).
Динамика окружностей стационарных точек <^±1(р, в) системы (10) при возрастании р соответствует динамике окружностей стационарных точек Б±1(р, в) системы (9). А именно, существует такое /3, (3 ~ 1.91), что при в € (0,в) окружности
3±Лр, в) сохраняют устойчивость на промежутке (р0, го) изменения параметра р. Пусть теперь в > в- Тогда существует такое р>\(в), что на промежутке (р0,р1 (в)) окружности !31±1(р,в) устойчивы. При р = р1(в) °ни сливаются и умирают на окружности !30}1(р,в)• Окружность стационарных точек
50д(р,в) = [ехр(гр)(0,гх1(р,в), 0,гх3(р,в)), р е R/2nZ}
р
а1(р,в) = 0. Здесь (0,х1(р, в),0,х3(р,в)), х1(р,в) > 0 — непрерывная ветвь решений системы (11). При р = р1 (в) окружность Б0г1(р,в) обретает устойчивость и сохраняет её на промежутке (р1(в),р2(в))• При р = р2(в) окружноеть 30у1(р,в) теряет устойчивость и от неё ответвляются две устойчивые окружности стационарных точек !3±1(р,в)• Таким образом, динамика аттракторов в системе (10) отвечает соответствующая динамике аттракторов системы (9).
Качественное отличие систем (10) и (9) заключается в следующем. Когда параметр р возрастая, проходит точку 2р0, индекс неустойчивости окружности S1t1 возрастает на порядок. При этом из S1;1 бифурцируют две окружности стацио-парных точек
^,2(р, в) = | exp(ip^1 V3 — 2а2, 0, ±г^а2 — 1, 0^, р е
с индексом неустойчивости 1. Проведеный анализ устойчивости этих окружностей
SS1,2 (р, в)
р — 2р0 > 0
р
характеристик соответствующих аттракторов в системах (10) и (9). При этом диа-
р
яние высших гармоник. Представление же двух пространственно неоднородных окружностей стационарных решений задачи (1) - (2) в виде
п х
£±(t, в, в, р) = Xоcost ± х1вгп cos в + х2СОSt cos 2в ± хзвгп cos 3в, в = — ,
где хк — хк (р,в), k = 0,1, 2, 3 - указанная выше непрерывная ветвь решении системы (11), можно использовать на достаточно большом промежутке изменения параметра р. Графики решений Cf(t,e, 1, 7) и C+(t,e, 3, 7) [11] представлены на рис. 1.
5. Численный анализ восьмимодовой модели
р
вается влияние старших мод на формы автомодельных решений. Для анализа
Рис. 1. Графики решений в, р) для случая четырехмодовой модели.
устойчивости в этом случае, согласно [4], строится приближенное решение задачи (1) - (2) в виде:
£(£, в) = + ¿к) сов(кв) + да1(г, г,
к=0
где а1(г, г, в) — кубическая форма по г, г, а гк = гк(¿), к = 0, 7.
Аналогично вышеизложенному, приходим к Б 1-эквивариантной системе
= г0 (а0 — |г|2) — 1 ¿0(с2 — ^ — /0, /-.^ч
2к' = 2к («к — |г|2 — 120|2 + 4 12к |2) — 1 ¿к (с2 + 202 — ^ — /к, к = 1,7, ^
7 7
где |г|2 = ^ |гк|2, С2 = ^ г2. В виду громоздкости, выражения для функций
к=0 _ к=0
/к = /к( г), к = 0, 7 опущены.
Как и выше, при р < 1 единственным аттрактором в системе (12) является окружность стационарных точек
31,1 = {ехр(гу)(1, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0), у € Ж/2пЪ}.
Переход р через р1 = 1 приводит к потере устойчивости окружности 31;1 — одна простая точка её спектра возрастая, проходит через нуль. При этом из 31;1 бифурцируют две устойчивые окружности стационарных точек
31(р,в) = {ехр(гу)(Х0, ±1Х1,Х2, ±1Х3,Х4, ±1Х5,Х6, ±1Х7), у € R/2пZ}.
Здесь xk = xk(р, в),к = 0, 7 — непрерывная ветвь решений системы:
Гр ( _ гр2 _ 1 гр2 _ 3 /у2 _ 1 /у2 _ 3 /у2 _ 1 /у2 _ 3 /у2 _ 1 /у2 \ _ 1 /у2 /у _ 3 /у2 /у _ 1 /у2 /у _
Xq^LXQ XQ 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7/ 4^2 4 4^3 6
— 1 x1(x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x6 + x6x7) — 2 X2(x3x5 + 3x4x6 + X5X7) — 2 x3x4x7 = 0,
/ _ rp2 _ 3 rp2 _ 1 rp2 _ 3 rp2 _ 1 ^v>2 _ 3o^2 _ 1 ^v>2 _____ 1 rP2 ___
x1("1 x0 4 x1 2 x2 2 x3 2 x4 2 x5 2 x6 2 x7) 4 x1 x3 4 x2x3 4 x2x5
— 4 x2x5 — 3 xi|x7 — 4 x4x7 — x0(x1x2 + x2x3 + x3 x4 + x4 x5 + x5x6 + x6x7) — 1 x1(x2x4+ +3x3x5 + x4x6 + 3x5x7) — 1 x2(x3x4 + x3x6 + x4x5 + x4x7 + x5 x6 + x6 x7) —
— 1 x3(x4x6 + 3x5 x7) = 0,
x2 (^2 3x0 1 x1 3 x2 1 x2 3 x4 1 x5 3 x2 2 x/) 1 xqx^ 1 x1x4 44 x2x6
— 1 x3x4 — 4 x4x6 — x0(x1x3 + 3x2x4 + x3x5 + 3x4x6 + x5x7) — 1 x1(x2x3 + x2 x5+ +x3x4 + x3x6 + x4x5 + x4x7 + x5x6 + x6x7) — 2 x2x3x7 — 2 x3(x4x5 + x5 x6 + x6x7) —
i X4X5X7 — 0,
Гр ( /V _ Гр2 _ 3 Гр2 _ 1 Гр2 _ 3 rp2 _ 1 rp2 _ 3 rp2 _ 1 rp2 _ 3 rp2 \ _ 1 Гр3 _ 3 rp2 Гр _ 1 rp rp2 _
«Х'3у(-х3 0 2 1 2 2 4 3 2 4 2 5 2 6 2 7^ 41 4 ^ 1 ^5 4 ^ 1 ^ 2
— 4 x2X7 — 1 X4X5 — 3 X2X7 — XQ(X1X2 + x1x4 + x2 x5 + x3 x6 + x4x7) — 1 x1(x2x4 + +x2x6 + 3x3x5 + 3x3x7 + x4x6 + 3x5x7) — 2 x2(x3x4 + x4x5 + x5x6 + x6x7) —
— 2 x4(x5x6 + x6x7) = 0,
rp ( _ '"л'Т*2 _ 1 /у»2 _ 3 /у2 _ 1 /у2 _ 3 /у2 _ 1 /у2 _ 3 /у2 _ 1 /у2 \ _ 1 /у2 гр _ 1 /у2 Гр _ 3 гр /у2 _
x4yLx4 oxQ 2 1 2 2 2 3 4 4 2 5 2 6 2 7) 2^0^2
— 4 x2x2 — 1 x5x6 — XQ(X1X3 + x1x5 + 3x2x6 + x3 x7) — 2 x1(x2x3 + x2x5 + x2x7 + +x3x6 + x4x7) — 1 x2(3x4x6 + x3x5 + x5x7) — 2 x3(x4x5 + x5x6 + x6x7) — 2 x5x6x7 = 0,
rp_ ( у-\J _ rp2 _ 3 rp2 _ 1 rp2 _ 3 rp2 _ 1 rp2 _ 3 rp2 _ 1 rp2 _ 3 rp2 \ _ 3 rp2 rp _ 3 rp2 rp _ 1 rp rp2 _
«¿5 0 2 1 2 2 2 3 2 4 4 5 2 6 2 7/ 4 ^ 1 ^o 4 ^ 1 ^ 7 4 ^ 2
— 3 x1x3 — 1 x3x4 — 1 x6x7 — XQ(X1X4 + x1x6 + x2 x3 + x2 x7) — 2 x1(x2x4 + x2x6 +
+ 3x3x7) — 2 x2(x3 x4 + x3x6 + x4x7) — 2 x3(x4x6 + 3x5x7) — 1 x4^x6 + x6x7) = 0,
rp ( _ '"л'Т*2 _ 1 /у»2 _ 3 rp2 _ 1 rp2 _ 3 rp2 _ 1 rp2 _ 3 rp2 _ 1 rp2 \ _ 1 rp3 _ 1 rp2 rp _ 1 rp rp2 _
x6yLx6 oxQ 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 4 6 2 7s 4 2 203
— 4 x2x° — 1 x4x2 — x0(x1x5 + 3x2x4 + x1x7) — 1 x1(x2x3 + x2x5 + x2x7 + x3x4) —
— 1 x2(x3x5 + x3x7) — 1 x3(x4x5 + x4x7) — x4x5x7 — 1 x5x6x7 = 0,
лу (_ rp2 _ 3 rp2 _ 1 rp2 _ 3 rp2 _ 1 ^v>2 _ 30^2 _ 1 ^v>2 _____ 1 O^2 ■'Y' _ 3 ^Y' ГР2_
x7(a7 xQ 2 x1 2 x2 2 x3 2 x4 4 x7 2 x6 4 x7) 4 x1 x5 4 x2x3 4 x1x3
— 1 x1x4 — 4 x3x° — 1 x5x6 — XQ(X1X6 + x2x5 + x3 x4) — 2 x1(x2x4 + x^x6 + 3x3 x5) —
— 1 x2(x3x6 + x4x5) — 2 x3x4x5 — 1 x4x5x6 = 0,
такая, что xQ = 2 — a1 + O((1 — a1 )2).
Можно убедиться, что окружностям стационарных точек S^д(р, в) системы (12), отвечают функции
3 3
£±(t, в, в, р) = cosí(j^x2fc cos 2кв ^ ± sint(j^x2k+1 cos(2k + 1)в), в = (14)
k=Q k=Q
где xk = xk(р, в), к = 0, 7 — непрерывная ветвь решений системы (13), являющиеся решениями исходной задачи (1) - (2).
Графики решений £+(t,e, 1, 4) и £+(t,e, 3,4) [11]
представлены на рис. а. Есть основания полагать, что устойчивым приближенным периодическим решениям (14) отвечают устойчивые стационарные точки S?1 д(р,в)-
Приведем далее ряд результатов численного анализа решений системы (13) выполненных при помощи
Wolfram Mathematica 7.0. Здесь же приведем значения
(13)
Рис. 2. Графики решений £+(Ь,0,в,р) для случая восьмимодовой модели.
х±
точек спектра (максимальное и близкие к нулю) стационарных решений 31;1(р, в). Пусть в = 1, тогда р = 1.01 отвечает следующее решение и спектр:
(0.9804, 0.2787, —0.098, —0.0005, 0,0, 0, 0), {—43.03,..., —0.02, 0}
р
р = 2: (0.3810, 1.2996, —0.5556, —0.1474, 0.0289, 0.0052, —0.0009, —0.0002),
{ — 11.76,..., —0.30, 0}; р = 7: (—0.0174, —0.3203, —0.3661, —1.0579, 0.9736, 0.2869, 0.1745, 0.2121),
{ — 2.71,..., —0.03, 0}; р = 10: (0.1239, —0.2097, —0.1977, —0.8345, 1.0799, 0.4460, 0.2227, 0.4474), { — 2.59,..., —0.01, 0}.
в=3
р = 0.3334: (0.9980, 0.0894, —0.0002, 0, 0, 0, 0, 0),
{ — 379.83,..., —2, —0.003, 0}; р = 0.3559: (0.0689, 1.4349, —0.0047, —0.0154, 0.00004, 0.0001, 0, 0),
{ — 330.15,..., —1.79, —0.004, 0}; р = 0.6471: (0.0072, 2.1613, —0.01, —0.1884, 0.0006, 0.0142, —0.0001, —0.0011), {—90.80,..., —1.52, —0.0004, 0}; р = 1: (0.1644, 1.8249, —1.4871, —0.3831, 0.0412, —0.0201, 0.0131, 0.0031),
{ — 33.60,..., —1.13, 0}; р = 4: (—0.0431, 0.2821, —0.1006, 0.5289, 0.00003, 1.2872,1.7881, —0.9526), {—6.42, . . . , —0.29, 0};
р = 7: (0.0079, 0.1939, 0.0428, 0.3422, 0.2016, 0.8125, 1.6870, -1.2549), {-5.59,..., -0.47, 0.0071};
р = 10: (0.0109, 0.1795, 0.0484, 0.3070, 0.1966, 0.7180, 1.5538, -1.2030), {-4.91,..., -0.42, 0.0066}.
ГТ риве денные численные расчеты иллюстрируют сформулированное выттте утверждение о зависимости динамики автомодельных решений от параметра в-А именно, существует такое в* Е (1.9; 3), что если в < в*-, т0 тогда автомодельные циклы рождаются и остаются устойчивыми на достаточно бодлыттом промежутке изменения р. При в > в* динамика автоволновых решений (12) меняется. Так при в=3 существует р, р = 0.3558
ром два автомодельных цикла сливаются и умирают на пространственно неоднородном цикле, инвариантном относительно преобразования отражения отрезка.
Этот цикл остается устойчивым до критического р = 0.6471 значения параметра рр
сто бифуркация рождения двух устойчивых автомодельных циклов, сохраняющих
р
Поведение параметров автомодельных циклов (14) для случаев в = 1 и в = 3
представлено на рис. 3 и 4 соответственно.
хк
Рис. 3. ß =1.
Рис. 4. ß = 3.
Запишем (14) в виде И :
t±(t, в, ß, р) = Л(в, р, ß) cos(t т у(в, р, ß)), (15)
где Л(в, р, ß) = ( ( Е cos 2кв) ' + ( Е Z2k+i cos(2k + 1)в j' уV к=0 7 V к=0 7
tg у(в, р,ß) =( Е Z2k+1 cos(2k + 1)в)( Е Z2k cos 2кв) к=0 к=0
Графики аплитуд Л(в) = Л(в,р,Р) автомодельных циклов (15) для случаев
ß = 1 и ß = 3 представлены на рис. 5 и 6 соответственно.
ß Л(в)
р
чению размаха амплитуды Л(в). Так для случая ß =1 максимальное значение амплитуды автомодельного цикла - maxlA^^ß)} ~ 1, 25, а для случая ß = 3 - max{Л(в,р,ß)} ~ 2, 25. Также увеличение параметра р приводит и к усилению
Л(в, р, ß)
в. р Л(в) р
онного значения, уже таковой не является.
Рис. 5. График амплитуды для случай в = 1.
Рис. 6. График амплитуды для случай в = 3.
6. Заключение
Остановимся здесь на основных результатах работы. В силу теоремы 1 при увеличении бифуркационного параметра р и его прохождении через значение р0 = ß-1 из теряющего устойчивость пространственно однородного цикла ответвляется пара экспоненциально орбитально устойчивых пространственно неоднородных (автомоде л ь н ых) циклов, переходящих друг в друга при преобразовании x ^ l — x. Их форма при малых р — р0 вполне определяется двумя параметрами. Качественно исходную задачу отражает её упрощенная форма — система (7). При ß Е (0,ß*)
и увеличении р автомодельные циклы !S11(p,ß), усложняясь по форме, сохраняют устойчивость. Следует отметить, что переход к восьмимодовой аппроксимации исходной задачи не приводит к существенным качественным изменениям. Однако при этом становятся значимыми количественные отличия в значениях параметров автомодельных циклов.
Если ß > ß*, то автомодельные циклы существуют и устойчивы на промежутке (ß-1,p1(ß)) изменения параметра р. При р = p1(ß) они сливаются и исчезают, передавая при этом устойчивость пространственно неоднородному циклу, инвариантному относительно преобразования x ^ l — x. Этот цикл рождается из неустойчивого нулевого решения тогда, когда индекс неустойчивости нуля, увеличиваясь на единицу, становтся равным два. При рождении он имеет форму стоячей
ВОЛНЫ и р
р
р2 (ß) он теряет устойчивость, испуская при этом пару устойчивых автомодельных
р
ß,
ность А(9) = А(9, р, ß) и усиливается зависимость амплитуды автомодельных циклов (15) от пространственной переменной 9. Как видно на рис. 5 и 6, когда пара-р
приходится на середину, а максимальное - на края интервала (0; п). При удале-р
прижимается к краям интервала (0; п).
Список цитируемых источников
1. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е.Ф. Мищенко, В.А. Садовничий, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. — М.: Физматлит. — 2005. — 430 с.
2. Алдушин А.П. Феноменологическое описание нестационарных неоднородных волн горения /А.П. Алдушин, Б.А. Маломед // Физика горения и взрыва. — 1981. — 17. N 1. - С. 3 - 12.
3. Бабин A.B. Аттракторы эволюционных уравнений. / A.B. Бабин , М.И. Вишик. — М.: Наука. - 1989.
4. Белан Е.П. Автоколебательные режимы горения вдоль полосы. / Е.П. Белан, О.В. Шиян. // Динамические системы. — 2009. —Вып.27. — С. 3-16.
5. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. — М.: Наука. — 1969. — 410 с.
6. Зельдович Я.Б. Сложные волновые режимы в распределенных динамических системах/Я.Б. Зельдович, Б.А. Маломед // Изв. вузов, сер. Радиофизика, — 1982. — 15. - N 6. - С. 591 - 618.
7. Колесов А.Ю. Явление буферности в теории горения/А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // ДАН. - 2004. - 396. - N 2. - С. 170 - 173.
8. Колесов Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившехся режимах параболических систем с малой диффузией. / Ю. С. Колесов// УМ Ж. - 1987. -Т.39. - №1. - С.27-34.
9. Маломед Б.А. Распространение автоколебательных волн вдоль полосы. / Б.А. Маломед // Изв. вузов, сер. Радиофизика. — 1981. — 14. — N 5. — С. 571 — 576.
10. Самойленко A.M. Динамика бегущих волн феноменологического уравнения спинового горения. / А. М. Самойленко, Е.П.Белан // Доклады РАН. — 2006. — 406. — N 6. - С. 738-741.
11. Структуры и хаос в нелинейных средах. / Т. С. Ахромеева, С.П.Курдюмов , Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский. — М.: Наука. — 2007. — 484 с.
12. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. / Д. Хенри. — М.: Мир. — 1985. — 376 с.
Получена 30Щ .2011
