CC BY
34
Бифуркации ^^^^^^^^^^^^^^^^^
^ш в динамических системах
Изв. вузов «ПНД», т. 14, № 5, 2006 УДК 517.9
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И БИФУРКАЦИИ ОТ НИХ В ЗАДАЧЕ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДВУХ СЛАБОСВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
Д.А. Куликов
В работе рассмотрена задача о взаимодействии двух слабосвязанных идентичных осцилляторов ван дер Поля - Дуффинга. Для ее решения применен метод нормальных форм Пуанкаре - Дюлака. Найдены аналитически все автомодельные периодические решения. Изучен вопрос о локальных бифуркациях от данных периодических решений.
Введение
В работе основным объектом исследования является система двух комплексных уравнений
11 = вехр(-га)(^ - Ы + - (1 + ш2)№|2, . (1) |2 = вехр(-га)(§1 - §2) + ^2 - (1 + ш2)^!^!2-
Данная система, как хорошо известно, является простейшим конечномерным аналогом классического уравнения Гинзбурга - Ландау
ди {. -2\1|2 7 { . \ д и
тг = и - (1 + гю )и|и| + а0 ехр(-га)——2, д1 дх2
где и = и(Ь,х), х € [0; I], ю, во - положительные действительные постоянные, а € [0; л/2]. Система из двух комплексных уравнений (1) получается путем простейшей его разностной аппроксимации, если это уравнение рассматривается вместе с периодическими краевыми условиями или условиями непроницаемости.
Другой источник возникновения системы (1) - это задача об изучении динамики двух слабосвязанных полностью идентичных осцилляторов ван дер Поля -Дуффинга при наличии как диссипативной (диффузионнной) связи, так и инерционной связи. Достаточно близкая ситуация реализуется, если связь является и прямой. Подчеркнем, что сведение задачи о динамике двух связанных осцилляторов к исследованию системы (1) может быть строго обосновано лишь при условии их слабой связи. В работе для этого использован метод нормальных форм. При этом укороченная нормальная форма, естественно, совпадает с системой укороченных уравнений,
полученной при использовании метода усреднения Крылова - Боголюбова или метода медленно меняющихся амплитуд.
Обе задачи, исследование системы (1) и исследование динамики двух связанных генераторов, - две широко известные задачи, которым посвящено большое число глубоких и разноплановых исследований [1, с. 158; 2; 3, гл. 4; 4-7]. Более подробный библиографический обзор можно найти в упомянутых выше монографиях и статьях.
Во многих работах рассмотрены автомодельные циклы
для которых р1 = р2 (полностью синхронизированный - цикл Андронова - Хопфа) и р2 = —Р1 (противофазный цикл или асинхронный, согласно терминологии работы [5]). Понятно, что должны быть и другие автомодельные циклы, отличные от двух выше упомянутых. Обычно их пытались найти численно. В статье [4, §3] была предпринята попытка найти асимметричные циклы аналитически, но был рассмотрен лишь частный случай, когда отсутствует инерционная связь, то есть а = 0 в уравнении (1). Легко заметить, что случай а = 0 более сложен и более содержателен, так как лишь при а = 0 синхронный цикл может терять устойчивость.
Следует отметить, что полученные формулы для автомодельных циклов не являются самоцелью, а позволяют исследовать структуру их окрестности, рассмотреть локальные бифуркации.
Рассмотрим систему двух слабосвязанных осцилляторов ван дер Поля - Дуф-
финга
х1 — 2ех 1 + х1 + х2х 1 + Ьх\ + еу(х1 — х2) + ев(х 1 — х 2) = 0,
Здесь Ь, у - произвольные действительные постоянные, в > 0, а е е (0; ео), где е0 -достаточно малая положительная постоянная. Отметим, что при у = в = 0 мы имеем два полностью идентичных осциллятора ван дер Поля - Дуффинга. Каждый из них, как хорошо известно, генерирует устойчивый предельный цикл, амплитуда которого пропорциональна Последние два слагаемых в каждом из уравнений (2) отвечают за наличие связи между осцилляторами. Знак постоянной в (в > 0) соответствует наличию диссипативной связи. Предпоследнее слагаемое в первом и втором уравнениях системы (2) отражает наличие инерционной связи. Множитель е подчеркивает тот факт, что оба вида связи следует считать в данной постановке слабыми.
Хорошо известно (см., например, [3,8-11]), что в нашей постановке за динамику решений системы уравнений (2) отвечает система двух комплексных уравнений первого порядка - нормальная форма Пуанкаре - Дюлака. Опишем основные этапы ее построения в форме приближенной к методу медленно меняющихся амплитуд.
Обозначим х = и перепишем систему (2) в векторной форме
= р1 ехр(ш£), = Р2ехр(ш£),
1. Нормальная форма в задаче о динамике двух слабосвязанных осцилляторов.
х2 — 2ех 2 + х2 + х^хс 2 + Ьх2 + еу(х2 — х1) + ев(х 2 — х 1) = 0.
(2)
х — 2ех + х + f (х, х) + Ьд(х) + еуАх + евАх = 0,
(3)
f (х,Х) =
2
Х1 Х1 2
х2 х2
д(х) =
А =
1 -1 -1 1
Линеаризуем (3) при е = 0 и получим линейную систему
х + х = 0.
Система (4) имеет четыре линейно независимых периодических решения
Е1(Ь) = ехр(гЬ)в1, Е2 (Ь) = ехр(-г^)в1,
10
Е3(Ь) = ехр(гЬ)в2, Е4(Ь) = ехр(-гЬ)в2, в1 =
0
в2
1
Будем искать решения системы (3) в виде
х(Ь, в) = е2 (11 (в) ехр(гЬ) +11(5) ехр(-гЬ))в1 +
__"I 3
+(12(в) ехр(гЬ) + 12(в) ехр(-гЬ))в2 + е2у(Ь, в) + ...,
(5)
где в = еЬ; точками обозначены слагаемые, имеющие более высокий порядок малости по е; 11(в), 12(в) - скалярные комплекснозначные функции, черта означает операцию комплексного сопряжения; вектор-функция у(Ь,в) по переменной Ь имеет период 2п. Подставив (5) в (3), приравняем слагаемые при одинаковых степенях е. На втором шаге этого алгоритма (то есть при е3/2) получим следующее неоднородное уравнение в Я2 для вектор-функции у(Ь,в) :
у + у = -2г (11 ехр(гЬ) - 11 ехр(-гЬ))в1 + (12 ехр(гЬ) - 12 ехр(-гЬ))в2 + 2г (11 ехр(гЬ) - 11 ехр(-гЬ))в1 + (12 ехр(гЬ) - 12 ехр(-гЬ))в2 - гГ(Ь, 11,12,11,12) - ЪС(1,11,12,11,12) - (у + г|3)Я(Ь, 11,12).
+
(6)
Здесь
Г (Ь, 11, 12,11,12 ) =
С(1,11,12,11, 12) =
„ ехр(ЗгЬ) + I ехр(гЬ) + к.с.
31 1 12 12 /
11 12 . 13 \
3 ) ехр(ЗгЬ) + 3 12
11 11
11 11 \ 12 12
ехр(гЬ) + к.с.
11 - 12
Н (Ь, 11,12) =1 , ехр(гЬ) + к.с., 12 - 11
где знак к.с. означает наличие комплексно-сопряженных функций к выписанным ранее. Из условий разрешимости неоднородного уравнения (6) в классе 2п-периоди-ческих функций по Ь получаем, что с необходимостью комплекснозначные функции 11,12 удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
11 = 1 (в - гу)(12 - 11) + 11 - |(1 - 3Ъг)11|11|2
12 = 1 (в - гу)(11 - 12) + 12 - 1 (1 - 3Ъг)12|12|2
х
1
3
х
2
Штрихом в формуле (7) и (6) обозначена производная по в. Замена ^ ^ л/2^к (к = 1, 2) и переобозначение 2(в — гу) = d ехр(—га) приводят (7) к удобной для дальнейших рассмотрений форме
= d ехр(—га)(^2 — Ы + — (1 + гы2)Ь\Ь\2,
(8)
Ц2 = d ехр(—га)(^1 — Ы + & — (1 + гю2)№\2,
где ю2 = —3Ь, то есть далее рассматривается случай, когда Ь < 0. Добавим, что так как в > 0 и далее рассматривается лишь случай у > 0, то следует считать, что а е [0; л/2]. Если а = л/2, то в исходной системе (2) присутствует лишь инерционная связь, а при а = 0 присутствует лишь диссипативная связь.
В заключении этого пункта можно отметить, что если вместо (2) в качестве исходной рассмотреть систему
х1 — 2ех 1 + х1 + ф(х1; х 1) + еу(х1 — х2) + ев(х 1 — х 2) = 0, х2 — 2ех 2 + х2 + ф(х2, х 2) + еу(х2 — х1) + ев(х 2 — х 1) = 0,
где ф(и, V) - произвольная, достаточно гладкая функция, имеющая в нуле порядок малости выше первого, то построение нормальной формы приведет нас к системе уравнений вида
= d ехр(—га)(^2 — Ы + + (do + гсо)№\2,
£2 = dexp(-rn)(£i - ^2) + Ъ + (do + ícq)^2|^2|
2
Коэффициент do + ico известен под названием первой ляпуновской величины. В нашем случае d0 = -1, c0 = —ю2.
2. Периодические автомодельные решения
В данном пункте будет рассмотрен вопрос о существовании у системы дифференциальных уравнений (8) автомодельных периодических решений, к которым традиционно относят решения, имеющие вид
?1(в) = У1 ехр(гов), ^2 = У2 ехр(гов), (9)
где о - действительная постоянная, у1, У2 комплексные постоянные.
Наиболее легко найти среди них автомодельное решение, у которого ^(в) = = ^2(в). В этом случае простая подстановка показывает, что у1 = у2 = 1, о = —ю2. Его принято называть циклом Андронова - Хопфа или однородным циклом. Исследуем цикл Андронова - Хопфа на устойчивость. Положим для этого
^(в) = ехр(—гю2 в)(1 + М1(в)), ^2(в) = ехр(—гю2в)(1 + П2(в)). (10)
Подставив ^1(в), ^2(в) в форме (10) в (8) и линеаризовав полученные дифференциальные уравнения, получим следующую систему;
и 1 = d ехр(—га)(и2 — и1) — (1 + гю2)(и1 + и1),
2 _ (11) и2 = d ехр(—га)(и1 — и2) — (1 + гю2)(и2 + и2).
Стандартные вычисления показывают, что спектру устойчивости системы (11) принадлежат собственные числа X1 = 0, X2 = -2, а собственные числа Хэ, X4 следует искать как корни квадратного уравнения X2 + pX + q = 0, где p = 4d cos a + 2, q = 4d(d + cos a — ю2 sin a). Отметим, что при любом выборе параметров задачи, справедливо неравенство p > 0. Коэффициент q может менять знак только в случае, если
d1 = ю2 sin a — cos a > 0. (12)
Далее будем выбирать a и ю2 такими, чтобы неравенство (12) выполнялось. При этом справедливо утверждение.
Лемма 1. Цикл Андронова - Хопфа устойчив (орбитально асимптотически устойчив), если d > d1 и неустойчив при d < d1. При d = d1 получаем критический случай в задаче об устойчивости этого цикла. Цикл Андронова - Хопфа теряет устойчивость дивергентным образом.
Еще одно периодическое решение нетрудно найти, если положить
12(S) = —11 (S).
В этом случае y1 = pa, y2 = —pa, где p2 = 1 — 2d cos a, а o = oa = 2d(m2 cos a + sin a)— —ю2. Такой цикл естественно называть противофазным. Он существует при тех d и a, для которых выполнено неравенство 1 — 2d cos a > 0.
Рассмотрим вопрос о существовании автомодельных циклов отличных от цикла Андронова - Хопфа и противофазного. Придерживаясь терминологии работы [4] называем их асимметричными, так как у них | y 11 = | y21. Предположим, что a е [0; л/2). Случай a = п/2 будет далее рассмотрен отдельно. Подставляя (9) в (8) и полагая при этом
yj = pj exp(i<pj) (j = 1,2), ■ф = ф2 — Ф1, X = (P2/P1), p1 = RX-1, p2 = RX,
получаем систему двух комплексных уравнений для определения действительных неизвестных R, X, o
io = d exp(—ia)(—1 + X exp(i^)) + 1 — (1 + ^2)R X-1,
(13)
io = d exp(—ia)(—1 + X 1 exp(—i^)) + 1 — (1 + ^2)R X.
Пусть o = —o1 — ю2. Умножим оба уравнения системы (13) на exp(ia). После разделения действительных и мнимых частей переменных получим систему четырех действительных уравнений
d(Xcos ■ф — 1) = o1 sin a — d1(R X-1 — 1),
1 (14)
d(X 1 cos ^ — 1) = o1 sin a — d1 (R X — 1), —dX sin ^ = o1 cos a — b1(RX-1 — 1),
1 (15)
dX 1 sin ^ = o1 cos a — b1(R X — 1),
где b1 = ю2 cos a + sin a. При X = 1 получаем ранее найденные решения. Далее будем считать X = 1 , d1 > 0
Кратко опишем процесс решения системы уравнений (14), (15). Вычитая в (14) из второго уравнения первое, получаем R = d cos Складывая их, находим
Oí = d(sinа)_1[(Х + X"1) cosф — (1 + did-1)]. После аналогичных преобразований уравнений (15) и подстановок в полученные уравнения R и Oí приходим к системе уравнений
(X + X"1) sin ■ + h(X — X"1) cos ■ = 0, 1 1 (16) (X 1 — X) sinф + H0(X + X 1) cosф = q0,
где h = b1/d1, Ho = (1+cos2 a—ш2 cos a sin a)(d1 sin a)-1, q0 = 2(1—dcos a)(d sin a)-1.
Пусть сначала q0 = 0. Используя систему (16), находим
cos ■ = (X + X-1)H1, sin ■ = h(X-1 — X)H1, R = d(d1)-1(X + X"1)^, (17)
где H1 = qo/H, H = Ho(X + X"1)2 + h(X — X"1)2. Положим
X + X"1 = (n + 4)1/2. (18)
Используя основное тригонометрическое тождество и подстановку (18), приходим к уравнению
П2 + (4p — q2 (1 + h2))n + 4(p2 — q2) = 0, (19)
где p = H0d1 sin a = 1 + cos2 a — rn2 sin a cos a, q = (q0d1 sin a)/2. Напомним, что cos ф > 0 и X > 0, то есть H1 > 0. Последнее неравенство эквивалентно условию (П + 2p)q > 0.
Пусть сначала d < d1 - цикл Андронова - Хопфа потерял устойчивость. Тогда справедливо утверждение.
Теорема 1. При q0 = 0 каждому положительному корню квадратного уравнения (19), удовлетворяющему неравенству (n + 2p)q > 0, соответствуют два автомодельных решения вида (9), параметры которых восстанавливаются по формулам (17), а X находится из уравнения (18).
Пусть теперь q0 = 0. В этом случае система (16) имеет нетривиальные решения при H = 0, то есть n = —2p для p < 0. Функции cos ф, sin ф, R находятся по тем же формулам (17), в которых следует полагать H1 = K1, K1 = ((X + X"1)2 + h2(X — X"1)2)"1/2.
Несложный анализ показывает, что при сделанных ранее предположениях уравнение (19) может иметь только один подходящий корень. Полезно отметить, что X ^ 1 при n ^ 0 и найденные в этом пункте решения стремятся к циклу Андронова - Хопфа.
Теперь положим d > d1 - цикл Андронова - Хопфа устойчив. При выполнении этого неравенства полный анализ затруднен, так как система зависит от трех параметров. Ограничимся некоторыми модельными ситуациями.
Можно показать, что если d ^ ж, то система (8) имеет лишь один устойчивый автомодельный цикл - цикл Андронова - Хопфа. Это легче сделать косвенно, применяя метод повторной нормализации. Понятно, что в этом случае величину 1/d = 6 можно интерпретировать как малый параметр.
В системе дифференциальных уравнений (8) положим
( ^ \
^(s) = exp(—irn2s)u(s),= , u =
\ I2 J
После перенормировки времени в = бт получим следующую систему
^ = Аи + бГ (и), ат
где А
- ехр(-га) ехр(-га) ехр(-га) - ехр(-га)
г (и) = (1 + гю2)
и1 |их|2 и2 |и2 |2
Достаточно стандартный анализ показывает, что у данной квазилинейной системы все ее аттракторы могут находиться на плоскости и\ = и2, а на ней ее динамика определяется следующим дифференциальным уравнением (нормальной формой):
^ = (1 + гю2)[г - ф|2], ат
у которого есть лишь два состояния равновесия: г = 0 и ^^ = 1.
Можно указать и те значения параметров а, а, ю2, при которых уравнение (19) имеет два подходящих корня: щ > 0, (пк + 2p)q > 0 (к = 1,2). Напомним, что последнее означает наличие у системы дифференцальных уравнений (8) уже четырех автомодельных периодических решения. Возьмем, например, в = + е, где величина е положительна и достаточно мала. Тогда простые вычисления показывают, что уравнение (19) имеет два корня
где
П1 = -Ро + 0(е),
П2 = - оо е + 0(е2),
Р0 = (1 - ¿1 еоэ а)(4 -
(1 - в1 еоэ а)(1 + ю4)
Щ
), Оо = 8
1 - й\ еоэ а й\
0.0 а57 1.2
2.4 Рис. 1.
1
< Ьда <
ю2
4.8 со2
Нетрудно указать область параметров
2
а, ю , при которых эти корни удовлетво-
ряют ранее выписанным неравенствам.
Если ю2 € [0; 1Д/3], то а следует вы-
бирать из тех а € (0; л/2), при
которых справедливо неравенство
tg а > 1/ю2. При выборе ю2 > 1/\/3
следует брать а таким, чтобы были вы-
полнены неравенства
ю
2(7 - ю4) + Vю12 + 10ю8 + 17ю4 + 8
2(3ю4 - 1)
Эту ситуацию иллюстрирует рис. 1. Если взять параметры из областей Ао, Во, то система (8) имеет четыре решения вида (9).
3. Устойчивость автомодельных циклов
Напомним, что условия устойчивости цикла Андронова - Хопфа были получены ранее: при 0 < d < d\ - цикл неустойчив и при d > d\ - устойчив.
Устойчивость противофазного цикла исследуется по той же схеме как и в случае цикла Андронова - Хопфа. Положим
Ii(s) = pa exp(ioas)(1 + vi(s)), I2 (s) = -pa exp(-ioas)(1 + V2(s)).
Для вновь введенных функций Vi(s), v2(s) получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
v'1 = dexp(-ia)(vi - V2) - (1 + rn2)pl(vi + vi) + Я1,
2 2 _ (20) v2 = dexp(-ia)(v2 - vi) - (1 + ¿rn2)pa(v2 + v2) + H2,
где Hk = -(1 + ¿m2)pa[2vkv"k + + v|vk], k = 1, 2. У системы (20), следовательно, подлежит исследованию вопрос об устойчивости нулевого решения. Спектру устойчивости нулевого решения принадлежат точки Vi = 0, ^2 = —2pa, а ^3,4 находятся как корни уравнения
Ц2 + PaV + qa = 0, (21)
где
pa = 2(1 - 4d cos a), qa = 4d(d + padi) > 0.
Знак меняет только коэффициент pa: pa > 0 при d < --и pa < 0 при d > --.
4 cos a 4 cos a
Откуда следует утверждение.
Лемма 2. Противофазный цикл устойчив, если d < -- и неустойчив,
1 1 4 cos a
если d > --. При d = d2 = --реализуется критический случай в задаче
4 cos a 4 cos a
об устойчивости. Состояние равновесия вспомогательной системы (20) теряет
устойчивость колебательным образом.
Для исследования устойчивости периодических автомодельных решений, отличных от цикла Андронова - Хопфа и противофазного цикла, приходится использовать более сложные построения. Положим в (8)
I? (s) = Pj (s) exp(^j (s)) (j = 1, 2), ^(s) = Ф2 (s) - фl(s),
Pi(s) = VW Sin( ^ + 4), P2(s) = ^2PMC0S( ^ + 4),
где 9(s) e (-После замены s = ^ и преобразований для p, ф, ф получим замкнутую систему трех дифференциальных уравнений
P'
(1 - d cos a) + d cos a cos ф cos ф
P - P2
1 + sin2 ф
ф' = d sin a sin ф - d cos a sin ф cos ф - P sin 2ф, (22)
/ 2 sin ф
ф' = rn2p sin ф - d sin a tg ф cos ф - d cos a-
где штрихом обозначена производная по т. Система (22) имеет состояние равновесия R1: p = 1, ф = ■ф = 0, соответствующее циклу Андронова - Хопфа, и состояние равновесия R2: p = \/1 — 2d cos a, ф = 0, ■ф = п, соответствующее противофазному циклу. Остальным автомодельным циклам соответствуют состояния равновесия, чьи координаты восстанавливаются по формулам
2 X- 1 X p = d(n + 4)(^1/(2d1)), cosф = . , . _1 , sinф
X + X-1' ^ X + X-1'
cos ^ = K1(X + X-1), sin ^ = K1h(X-1 — X).
После линеаризации системы (22) на выбранном состоянии равновесия вопрос об устойчивости сводится к исследованию характеристического уравнения
цэ + P (d>2 + Q(d)p + R(d) = 0, (23)
корни которого лежат в левой полуплоскости, если
P(d) > 0, Q(d) > 0, R(d) > 0, F(d) = P(d)Q(d) — R(d) > 0. (24)
В нашем случае неравенства слишком громоздки и не поддаются аналитическому исследованию. Они были проанализированы численно при a е (0; п/2), ю2 е (0; 10].
Если d е (0; d1), то как отмечалось в разделе 2 существуют два асимметричных автомодельных цикла. Оказалось, что при всех указанных значениях a, ю2 существует такое d = d3(a, ю2) е (0; d1), что при d е (0; d3) справедливы первые три неравенства из неравенств (24), а F(d) < 0. При d > d3 справедливы все неравенства (24). Наконец, при d = d3 имеем F(d3) = 0 и характеристическое уравнение (23) имеет чисто мнимые корни = ±iv (v > 0) и цэ < 0. Это означает, что состояния равновесия, соответствующие этим циклам, теряют устойчивость при прохождении d = d3 колебательным образом.
Лемма 3. При d < d1 автомодельные асимметричные циклы устойчивы, если d е (d3; d1), и неустойчивы, если d е (0; d3).
Пусть теперь воспроизводится ситуация, когда есть четыре автомодельных цикла: d = d1 + е (е > 0) и a, ю2 выбраны соответствующим образом. Тогда численный анализ коэффициентов характеристического уравнения (23) показывает, что для большего по модулю корня выполнены неравенства P(d), Q(d), R(d) > 0, a F(d) < 0. Если рассмотреть меньший по модулю корень, то P(d),Q(d),F(d) > 0, а R(d) < 0. Это означает, что при всех рассмотренных значениях параметров эти асимметричные решения неустойчивы. Напомним, что в данной ситуации устойчив цикл Андронова - Хопфа.
4. Бифуркации от автомодельных циклов
Локальные бифуркации от цикла Андронова - Хопфа изучены в работе [8]. При в = в1 - е (е > 0) от него бифурцируют два цикла. Элементарный анализ формул из раздела 2 показывает, что таковыми являются как раз асимметричные автомодельные циклы. Рассмотрим теперь бифуркации от противофазного и асимметричных циклов. При этом вопрос о локальных бифуркациях от этих решений сводится
0.0 0.5 1.0 1.5 а 0.0 0.5 1.0 1.5 а
Рис. 2. Рис. 3.
к аналогичному вопросу для соответствующих состояний равновесия системы (22) в случае, близком к критическому пары чисто мнимых собственных значений. Для исследования этого вопроса, следовательно, может быть применена классическая теорема Андронова - Хопфа. Хорошо известно, что в конечном итоге все сводится к исследованию нормальной формы
Z = ivz + e(So + фо) + (lo + iCo)z|z|2, (25)
где z = z(t), e = d3 — d для асимметричных циклов из раздела 2 и е = d — d2 для противофазного. В обоих случаях So > 0. Разбиение плоскости параметров (а, ю2) на области сохранения знака ляпуновской величины lo приведено на рис. 2 для случая противофазного цикла, а на рис. 3 для случая асимметричного цикла. Область Ai на рис. 2 образуют те пары (а, ю2), для которых невозможна колебательная потеря устойчивости. При (а, ю2) £ Bi справедливо неравенство lo < 0, а неравенство lo > 0 справедливо при (а, ю2) £ C1. На рис. 3 lo > 0 в области C2 и lo < 0 в области B2. Область A2 составляют те пары (а, ю2), которые не рассматривались (ю2 sin а — cos а < 0).
Теорема 2. Существует такое eo > 0, что при е £ (0; eo) и (а, ю2) £ B1 (для противофазного цикла) и (а, ю2) £ B2 (для циклов из раздела 2) от соответствующего автомодельного цикла системы (8) бифурцирует асимптотически устойчивый двумерный инвариантный тор. При (а, ю2) £ C1t (а, ю2) £ C2 и е £ (—eo; 0) от соответствующего автомодельного решения бифурцирует дихотомичный инвариантный тор.
Замечание. Задача о бифуркациях от противофазного цикла рассмотрена без ограничения d < d1.
Строгое математическое доказательство может быть проведено на основе методики изложенной в [12].
5. Об одном особом случае
В предыдущих разделах предполагалось, что а £ [0; я/2). Случай а = п/2 следует отметить и рассмотреть отдельно. Предположение а = п/2 для исходной задачи о связанных осцилляторах означает, что присутствует лишь инерционная связь.
Итак, пусть а = л/2, то есть ехр(-га) = -г. Понятно, что цикл Андронова -Хопфа существует при всех в, но теперь ^ = ю2 и он устойчив при в > ю2, а при в < ю2 - неустойчив. Противофазный цикл существует и устойчив при всех в, а р2 = 1, оа = 2й - ю2.
Повторяя в целом (с небольшими отличиями) построения раздела 2, сведем вопрос о существовании асимметричных циклов к нахождению положительных корней квадратного уравнения
2 ю4 + 1. ю4. . .
П2 + (4 - )П + 4(1 - ) = 0. (26)
Понятно, что при в < ю2 существует только один корень, которому как и ранее отвечают два асимметричных цикла. При реализации неравенств
в> ю2, ю4 + 1 > 4в2, ю8 + 2(1 + 4в2)ю4 + 1 - 8в2 > 0
уравнение (26) имеет два подходящих корня, а система (8) четыре асимметричных цикла. Сразу отметим, что во втором случае все найденные асимметричные циклы неустойчивы, а устойчивы два цикла: Андронова - Хопфа и противофазный.
На рис. 4 область Нл - это область, где уравнение (26) имеет один подходящий корень, а А3 - область параметров, где у уравнения (26) есть два подходящих корня.
Более интересен случай, когда в < ю2. Как и в общем случае (а е [0; п/2]), вопрос сводится к исследованию устойчивости соответствующих состояний равновесия системы трех дифференциальных уравнений (22), адаптированной к ситуации а = п/2. В свою очередь, как и ранее, приходим к исследованию корней характеристического уравнения
0.4 0.6 Рис. 4.
и3 + р р2 + ^ + к = 0,
(27)
где Р = Р(в, ю2), д = ю2), К = К(в, ю2). Уравнение (27) было проанализировано численно. Оказалось, что Р,д, К > 0, а Р = Рд - К может менять знак, то есть потеря устойчивости происходит колебательным образом: существует в = в4(ю2), что при в е (0; в4(ю2)) справедливы неравенства Р,д,К > 0, а Р < 0, при в > в4(ю2) все корни характеристического уравнения (27) лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости. При в = в4-е, где е - малый параметр, структуру окрестности можно изучить, применяя классическую теорему Андронова - Хопфа. Оказалось, что при е > 0 из каждого такого цикла системы (8) бифурцирует асимптотически устойчивый двумерный инвариантный тор.
Заключение
В работе рассмотрена система связанных полностью идентичных осцилляторов ван дер Поля - Дуффинга. В предположении, что связь слабая, рассмотрена задача о нахождении периодических решений у этой системы. Найдены аналитически все автомодельные периодические решения, в том числе и асимметричные. Полученные формулы для автомодельных периодических решений позволили исследовать их устойчивость по Ляпунову, а также изучить локальные бифуркации автомодельных циклов. Показано, что от синхронного цикла при смене им устойчивости ответвляются два цикла. Для противофазного и асимметричных циклов характерна бифуркация двумерных инвариантных торов.
Следует отметить, что все кратко перечисленные результаты были получены аналитически и использование компьютерного счета было сведено к минимуму. В некоторых случаях компьютер был использован для определения знака достаточно громоздких функций. Для исследования структуры окрестности автомодельных решений, в частности, при рассмотрении вопроса о локальных бифуркациях был использован аппарат метода нормальных форм.
Из результатов работы следует, что для данной системы характерна мульти-стабильность, то есть сосуществование нескольких аттракторов: нескольких устойчивых периодических решений, устойчивых двумерных инвариантных торов.
Библиографический список
1. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969, 400с.
2. Пиковский А., Розенблюм М., Куртц Ю. Синхронизация. Фундаментальное явление. М.: Техносфера, 2003, 496 с.
3. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит., 2005, 431 с.
4. AronsonD.G., Ermentrout G.B., Kopell N.Amplitude response of coupled oscillators // Physika D. 1990. Vol. 41. P. 403.
5. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Hysteresis of synchronous - asynchronous regimes in a system of two coupled oscillators//Phys. Rev. A. 1991. Vol. 49. P. 5638.
6. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. О динамике двух осцилляторов ван дер Поля - Дуффинга с диссипативной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т. 11, №6. С. 48.
7. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Особенности устройства пространства параметров двух неидентичных связанных осцилляторов ван дер Поля - Дуффинга // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13, №4. С. 3.
8. Куликов Д.А. Знак ляпуновской величины в задаче о бифуркации от однородного цикла // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. ЯрГУ. 2005. Вып. 7. С. 78.
9. Куликов Д.А. Циклы билокальной модели волнового уравнения: полный анализ // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. ЯрГУ. 2001. Вып. 4. С. 93.
10. Куликов Д.А. Исследование динамики билокальной модели нелинейных волновых уравнений // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. ЯрГУ. 2002. Вып. 5., с.46.
11. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения двухточечной разностной аппроксимации уравнения Гинзбурга - Ландау // Тезисы докладов конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы». 1-7 марта 2006. Н. Новгород. 2006. С. 91.
12. Колесов А.Ю., Куликов А.Н. Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений. Ярославль. ЯрГУ. 2003. 107 с.
Ярославский государственный Поступила в редакцию 22.05.2006
университет им. П.Г. Демидова После доработки 23.07.2006
AUTOMODEL PERIODIC SOLUTIONS AND BIFURCATIONS FROM THEM IN THE PROBLEM OF THE INTERACTION OF TWO WEAKLY COUPLED OSCILLATORS
D.A. Kulikov
The problem of the interaction of two identical weakly coupled van der Pol -Duffing oscillations has been considered. The method of Poincare - Dulak normal forms has been used for its solution. All automodel periodic solutions have been found analytically. The problem of local bifurcations of these periodic solutions has been studied.
Куликов Дмитрий Анатольевич - родился в Ярославле (1981). Окончил математический факультет Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова в 2003 году. Аспирант кафедры дифференциальных уравнений ЯрГУ. Занимается научной деятельностью по направлению: математические вопросы теории нелинейных колебаний. Имеет 8 научных публикаций. E-mail: [email protected]
История
Изв. вузов «ПНД», т. 14, № 5, 2006 УДК 539.1(470+571)(093.3)
К 10-летию со дня смерти академика Ю.Б. Харитона
Это было 17 июня 2001 года в Ереване. В уютном дворике небольшого ресторана делегацию нашего университета принимал ректор Ереванского государственного университета профессор-физик Радик Мартиросович Мартиросян. Удивительным сюрпризом для нас было участие во встрече восьмидесятичетырехлетнего Нерсеса Крикоряна из Лос-Аламосской Национальной лаборатории США, которого только сейчас стали выпускать из страны. Он работал с Оппенгеймером и Теллером над разработкой атомной бомбы. Я спросил: «А Фей-нмана Вы знали?». Ответ: «Кого? А, Файнмана! Конечно». Удивительно приятный и остроумный человек. Пошутил: «Вам нужно было прилететь в Ереван, чтобы встретить человека из Лос-Аламоса». У нас, в России, он побывал в Арзамасе-16, где встречался с академиком Ю.Б. Харитоном. Крикорян рассказал, что Юлий Борисович выступал в Лос-Аламосе в память Роберта Оппенгеймера. Я заинтересовался, и он обещал прислать мне текст. Выступление, на мой взгляд, будет интересно читателям нашего журнала.
27 июня 2006 Д.И. Трубецков
The J. Robert Oppenheimer Memorial Committee presents a special memorial address by Academician Yuli Borisovich Khariton, Scientific Director Emeritus All Russian Research Institute of Experimental Physics, Sarov, Russia. July 1995
Preface
With the advent of perestroika and glasnost came the dissolution of the Soviet Union and the formation of the Russian Federation. Benign governmental interactions between the United States and Russia have led to the agreements that are reducing the nuclear weapon stockpiles of both countries. Personal and professional interaction between Russian and American scientists has increased. In the spirit of openness that would have pleased Robert Oppenheimer, the Memorial Committee invited Academician Yuli Borisovich Khariton to present a special Memorial Lecture. Since his acceptance of the invitation, however, illness has prevented his travel. Academician Khariton has nevertheless written a statement for the Memorial Committee. It is a thoughtful and fitting commentary from the scientist who directed the Russian equivalent to Oppenheimer's efforts at Los Alamos. It is a pleasure to share this message.
The J. Robert Oppenheimer Memorial Committee
