CC BY
33
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 195-197
195
УДК 531.36:534.1
АВТОКОЛЕБАНИЯ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ, ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
© 2011 г. Д-А. Куликов
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
Поступила в редакцию 16.05.2011
Изучены автоколебания двух идентичных связанных осцилляторов. Найдены аналитически все автомодельные циклы. Исследована их устойчивость и локальные бифуркации.
Ключевые слова: связанные осцилляторы, автомодельные циклы, устойчивость, бифуркации, нормальные формы.
Решение системы (1) будем искать в виде
x(t, в) = в1/2и1(7, s) + ви2(7, s) +
+ s3/2u3(t,s)+..., (3)
где £ > 0 (при £ < 0 следует в слагаемых (3) сделать замену £ ^ -е), и^, s) - достаточно гладкие двумерные вектор-функции, имеющие по переменной 7 период 2п, s = £7,
и1(7, s) = z1( s) Е1(7) + !1( s) Е1(7) +
+ ^ 2 (s )Е 2(7) + ^2 (s) ),
Е1(7)=со1оп(ехр( /'0,0), Е2 = со1оп(0,ехр(/7)).
Комплексные функции z1(s), z2(s) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений
2-
Введение
Рассматривается система из двух дифференциальных уравнений второго порядка
xk-2sxk + ®2 xk + f( xk , xk ) + (- 1)k+1[PS (x1- x2) +
+ ys(X1 - X2>] = 0, k = 1,2, (1)
где £ - малый параметр, f(y,z) - достаточно гладкая функция, имеющая в нуле порядок малости выше первого. Без нарушения общности можно считать ю = 1. Система (1) описывает динамику двух слабосвязанных осцилляторов [1-3]. Так, например, если f (y, z) = a1 y2z + a 2y3, то речь идет о двух слабосвязанных осцилляторах Ван-дер-Поля - Дуффинга. При £ < 0 и f (y, z) = sin y -
- y + a3y2z, a3 > 0 речь идет о двух слабосвязан- z'(s) = d exp(-ia)Dz(s)+z(s) - (1 + ic)z¿z (4)
ных физических маятниках, в которых учтена диссипация (трение).
Пусть x(t) = colon(x1(t), x2(t)). Сразу отметим, что система (1) допускает решение вида xj(t) = x2(t), где xj(t) удовлетворяет уравнению
x1 - 2ex1 + x1 + f (x1, x1) = 0. (2)
Если уравнение (2) имеет периодическое решение, то оно порождает цикл системы дифференциальных уравнений (1) x (t) = colon(xj(t, е), x2(t, е)), который принято называть синхронным циклом (СЦ). Можно указать условия существования противофазного цикла (ПЦ): x (t) =
= colon(y(t, е), -y(t, £)).
Тем не менее, остается ряд вопросов при рассмотрении системы (1). Первый из них - наличие или отсутствие иных, отличных от СЦ и ПЦ, асимметричных циклов (АЦ). Второй -устойчивость циклов. Наконец, третий вопрос состоит в изучении их локальных бифуркаций.
при є > 0. Здесь z(s) = colon(zi(s),Z2(s)), z2z = = colon(z12z1, z2z2), d=0.5д/y2 +p2, a - аргумент комплексного числа Y + ф,
(-1 Л
D =
v 1 - 1/
При £ < 0 получаем систему, аналогичную (4): z'(s) = -d ехр( -ia)Dz( s) - z( s) - (1+/с) z 2I. (5)
Исследования систем (4), (5) аналогичны, но их удобно рассматривать раздельно. Первая из них была получена в случае диссипативной связи, а вторая - при изучении активной связи. Системы (4), (5) были получены путем подстановки суммы (3) в систему (1) с последующим применением алгоритма получения нормальных форм, который основан на развитии метода Крылова - Боголюбова. Достаточно подробное изложение реализации этого алгоритма имеется в работах [4, 5].
196
Д.А. Куликов
Случай диссипативной связи
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (4). Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Система (4) имеет цикл z(s) = = e0 exp( -ics), e0 = colon(1,1), соответствующий СЦ системы (1). СЦустойчив, если d є (d1 , ^) , и неустойчив при d є (0, d1 ), d1 = csin a — cos a, если d1 > 0. При d1 < 0 он устойчив всегда.
Теорема 2. Противофазный цикл сущест-вует, если 1 — 2dcos a > 0. Он устойчив, если выполнены неравенства
1 - 4dcosa> 0, d(d + d1p2) > 0, (6)
где p2 = 1 - 2d cos a. Если хотя бы одно из неравенств заменено на противоположное, то ПЦ неустойчив.
Периодические решения вида Z1(s) = y х X expías), Z2(s) = y2exp(/as), если |y | Ф | y2 |, уместно называть АЦ. Вопрос их сосуществования удается свести к рассмотрению решений квадратного уравнения
П2 + (4p-q2(1 +h2))n +4(p2 -q2) = 0, (7)
для которого выполнено неравенство П > 0, (1 —
— dcos a)(n + 2p) > 0. Здесь
p = 1+cos2 a-c sin a cos a, q=d1(1-d cos a)/d, h = ¿>1/db ¿1 = c cosa+sin a.
Теорема 3. Каждому подходящему решению квадратного уравнения (7) соответствует АЦ системы дифференциальных уравнений (1). При d є (0, d4 ) АЦ неустойчив, а при d є (d4, устойчив.
В [4 —6] приведены формулы, позволяющие восстанавливать параметры АЦ системы (1), асимптотические формулы для этих решений и алгоритм, позволяющий вычислять d4 .
Случай активной связи
Система дифференциальных уравнений (5) не имеет СЦ. Это справедливо и для системы (1).
Теорема 4. ПЦ существует, если —1 + 2dx Xcos a > 0. Если выполнены неравенства: 1) dx < < 0 или 2) d1 > 0, 1 — 2 djcos a > 0, то ПЦ устойчив при всех значениях коэффициента d.
При одновременном выполнении неравенств d1 > 0, 1 — 2djcos a < 0 он устойчив, если
de(0,dз ), d3 = -dj/(l - 2d1cos a) и неустойчив, если d e (d3 , ^).
Вопрос о существовании АЦ для системы (5) сводится к исследованию алгебраического уравнения, аналогичного (7). При активной связи осцилляторов характерно наличие устойчивого ПЦ. Именно это было отмечено Гюйгенсом в известном эксперименте с двумя связанными физическими маятниками.
Бифуркации автомодельных циклов
Детальное изложение результатов содержится в работах [4, 5]. Методами теории бифуркаций было показано, что от СЦ и ПЦ бифурци-руют АЦ. Впрочем, в рамках нормальной формы существование АЦ носит нелокальный характер. Они существуют только в малой окрестности СЦ.
Исследование бифуркаций АЦ сводится к применению бифуркационной теоремы Андронова — Хопфа для вспомогательной трехмерной системы. При ее рассмотрении были использованы результаты работ Н.Н. Баутина, где была вычислена ляпуновская величина для произвольной системы из трех дифференциальных уравнений в критическом случае пары чисто мнимых собственных значений [7].
Список литературы
1. Пиковский А., Розенблюм М., Куртц Ю. Синхронизация. Фундаментальное явление. М.: Техносфера, 2003. 431 с.
2. Aronson D.G., Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude response of rnupled oscillators // Phisika D. 1990. Vol. 41. P. 403—449.
3. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 894 с.
4. Куликов Д. А. Автомодельные периодические решения и бифуркации от них в задаче о взаимодействии двух слабосвязанных осцилляторов // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 2005. Т. 5. С. 120—132.
5. Куликов Д. А. Автомодельные циклы и их локальные бифуркации в задаче о двух слабосвязанных осцилляторах // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 4. С. 543—559.
6. Куликов Д.А. Периодические решения разно стной аппроксимации уравнения Курамото—Цузуки // Диффер. уравн. 2007. Т 43, № 7. С. 992—994.
7. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 368 с.
SELF-OSCILLATIONS OF TWO COUPLED OSCILLATORS. SELF-SIMILAR SOLUTIONS,
LOCAL BIFURCATIONS
D.A. Kulikov
Self-oscillations of two identical oscillators are studied. All the self-similar cycles are found analytically. Their stability is investigated as well as the local bifurcations of the self-similar cycles when there is a change in stability.
Keywords: coupled oscillations, self-similar cycles, stability, bifurcations, normal forms.
