Приближенные расчеты температурных полей в цилиндрических заготовках различных марок сталей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

- 2 (42). 2007 / Uf

ЕТАЛЛУРГИЯ

77/e offered calculation procedure allows to determine with adequate accuracy the temperature dynamics by section of slug depending on time.

л

у

Ю- С. ПОСТОЛЬНИК, Днепродзержинский государственный технический университет, П. Э. РА ТНИКОВ, Белорусский национальный технический университет, Т. В. СОРОКО, ИТМО им. A.B. Лыкова HAH Беларуси, Д. В. МЕНДЕЛЕВ, Белорусский национальный технический университет

УДК 621.783

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАСЧЕТЫ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗАГОТОВКАХ РАЗЛИЧНЫХ МАРОК СТАЛЕЙ

Все методы решения нелинейных задач теплопроводности можно разделить на три класса: аналитические; приближенные (инженерные); численные.

Перечисленные методы имеют свои преимущества и недостатки, область применения и т.д. В одних случаях предпочтение следует отдавать численным методам, позволяющим учесть физико-химические процессы, сложную геометрию нагреваемых тел, специфику организации тепловой работы печей, тепловое взаимодействие всех компонентов системы «кладка печи — факел горения топлива — нагреваемые заготовки», расположение газогорелочных устройств и т.д. В других случаях, например, при проведении оперативных расчетов, оценки влияния различных факторов на закономерности нагрева тел, высокая точность решения нелинейных задач численными методами оказываются излишними.

В работах [1—7] доказана необходимость дальнейшего совершенствования и развития приближенных методов, при этом обоснованы их преимущества для проведения конкретных исследований.

В настоящее время существует множество различных приближенных методов решения задач нестационарной теплопроводности, в основу которых положена модель термического слоя (МТС). При этом используется идея разбиения процесса по времени на два этапа: инерционный, который длится до тех пор, пока температурное возмущение не достигнет центра заготовки, и регулярный, где идет нагрев всех точек сечения тела. Наиболее распространенными из них являются интегральный метод теплового баланса Гудмена, метод исключения пространственных переменных Вейника, метод мгновенного регулярного режима Гольдфарба, итерационный метод Швеца, вариационные методы Био и Канторовича, метод эквивалентных источников Постольника.

Однако большинству этих методов присущи недостатки, главные из которых — одномерность области интегрирования в пространстве и необходимость априорного задания первоначального температурного профиля. Отсюда вид и точность решения определяются умением угадывать наиболее удачный задаваемый профиль температуры.

Эти недостатки становятся весьма существенными особенно при решении нелинейных задач теплопроводности. Поэтому большинство существующих МТС в таких случаях дает неудовлетворительные результаты. Исключением является метод эквивалентных источников (МЭИ), который не требует предварительного задания температурного профиля и лучше всех других МТС работает в нелинейной теории теплопроводности.

Таким образом, при моделировании процессов нагрева цилиндрических заготовок в кольцевых печах в качестве базового метода решения выбран метод МЭИ [1—7], хорошо зарекомендовавший себя при решении нелинейных задач нестационарной теплопроводности.

При расчете нагрева термочувствительных марок сталей, т.е. когда их теплофизические свойства существенно зависят от температуры, для упрощения математической модели предлагается линеаризовать эти зависимости. При построении линейных зависимостей в работе применяется метод наименьших квадратичных отклонений.

//;гпт:£ г: г/жштггг?

/ 2 (02), 2007 -

Вид прямой задается уравнением

у = ах + Ь.

Функционал квадратичных отклонений для данной зависимости записывается в виде

¿=1

Условия минимума функционала:

да ' Э Ь

Отсюда, произведя соответствующие вычисления, получаем

N N N N

ь-

1=1 1=1

1=1 ¿=1

N Г N V

- 1л

1=1 V /=1

IV

1=1

¡\

2«

(о

(2)

(3)

(4)

(5)

/=1

Математическая модель радиационно-конвективного симметричного нагрева неограниченного цилиндра из термочувствительных металлов имеет вид [1—7]:

1д_

эе

= (1 + ег0)—

(1+ехв)||| ^=Бк [1 - е* (х)]+т [1 - еп (х)];

(6) (7)

— Е-п = 0

8(^,0) = е0 =СОП51 ,

(8) (9)

где е =

Л

„ м _,. ай

х = Бо = —— • В1 =--Бк

/?2 ' X '

Су(Т) = $+ЬсТ .

В соответствии с известной моделью термического слоя рассмотрим два последовательных этапа нагрева: инерционный, когда цилиндр только прогревается, и упорядоченный, когда температура меняется уже по всему сечению.

Решение для инерционного этапа прогрева (0<т<хо) [1—7]:

т 1+еЛ

° 8(1+ех90)'

где Т0 — время, при котором Р(хо) = 0, т.е. время полного прогрева цилиндра;

Р(х) = 1- 181 + ^9«

1 + еЛ

(10)

(П)

где р(х) — фронт прогрева.

icq

- 2 (02). 2007/ VV

Изменение температуры по сечению цилиндра:

0, (4,т)=в0 + [е1п(т)-в0]-

^2-Р2(т)+2Р2(т)1п

PW

1-(32(т)+2Р2(Т)1П(3(Т)

(12)

Температура на поверхности цилиндра:

[Бк + В1(1-80)] [1 - р2 (х)+2р2 (х)1п р (х)] 01п ^ ~ 00 + 2 (1 + £?1е0) [1 - р2 (х)]+[1 - р2 (х) + 2р2 (х) 1п р (х)] '

В момент х0 температуру 01п (х) определим по выражению:

(13)

0,п (Хо) = 0п=6о +

Sk + Bi (1 — 0О) 2(l+e.90) + Bi

(14)

Эта же температура является начальной для второго, упорядоченного, этапа прогрева (х0<х<°°), значение температуры на котором определяется как [1—7]:

sk[i-e*,(T)]+Bi[i-e2n(T)]

е2(^т)=е2п(т)

Решение для поверхности цилиндра на этом этапе имеет вид

4

М2).

где

[ф, (02п )-ф, (eg)] = 2(Sk + Bi)(x-x0) s

¿=1

9i = \ [агЛвгп +^Ебгп 00]; ф2 = \ [arthe2n CO - агс1§в2п CO] ;

(15)

(16)

ф4—¿ln[l-ein(x)];

ax = 1-

e„-e»

3(l-et)

(4e^Sk-Bi).

do = —

1 1 + gL(T)

ф, = — In--- .

3 4 l-02n(x)' 4(ef-eJSk + (l-eX)Bi

3(l-el)

a-, =e.

4e„ (ec -ex)Sk-(ec -г{)Bi 4(l-e^)sk-ex(l-гсгх)Bi -. a4=-

Температура в центре цилиндра рассчитывается [1—7] по формуле:

мо=

1-0-Мп)

1+е-

Sk(l-0j)+Bi(l-0„)

(i-вЛ)2

(17)

С помощью метода наименьших квадратов были линеаризованы теплофизические свойства (теплопроводность и объемная теплоемкость) для следующих марок сталей: Ст.08, 20, 45, 40Х, ШХ15, У8, У12.

При линеаризации объемных теплоемкостей по формулам (4), (5) не учитывались максимумы этих зависимостей, так как они носят точечный характер. Результаты расчетов приведены на рис. 1, а—о, а формулы этих зависимостей — в табл. 1.

Расчеты проводили на ЭВМ. Были составлены две программы расчета на языке FORTRAN 6: для линеаризации свойств и расчета температурных полей.

Для оценки точности предложенной приближенной методики было произведено сравнение процессов нагрева цилиндрических заготовок, рассчитанных с помощью метода эквивалентных источников с точным численным решением. Исходные данные: Sk=0,3; Bi=0,05; е)=—0,49; ес=1,33; 0о=О, 196.

Численное решение задачи (6)-(9) проводили на ЭВМ методом конечных разностей с использованием явной разностной схемы. Выполняя замену частных производных их разностными аналогами, получаем следующие расчетные формулы:

Э0 _ 0,+1 -0,_, Э0 _0,+1-9, Э20_0,+1-20,+0„

А^ ' Эт

Дт

¿Г

дг

711 /ЛГ:ГГ:Г;Г Г/^ПШТГГГгТ

И и / 2 (02). 2007 -

300 500 700 900 1100 1300 1500

т, к

1000 1500

т, к

Сталь 45

6000 000

I

£ зоооооо

Сталь 45

300 500 700 900 1100 1300 1500 Т, К

550 800 1050 1300 1550

Т, К

Сталь 40Х

~ 3 000 000

300,0 500,0 700,0 900,0 1100, 1300, 1500, 1700, О 0 0 0 00 00 00 00

Сталь ШХ15

Сталь ШХ15

45 40

3 35

о.

1эо

н Ш

1300

т, к

а

т. к

т. к

(гт^глгш I т|

- 2 («а. 2007/ I I

Сталь 08

7,00Е+06

6.50Е+06

6.00Е+06

5.50Е+06

5.00Е+06

4.50Е+06

о

4.00Е+06

3.50Е+06

3.00Е+06

300,00 500,00 700,00 900,00 1100,00 1300,00 1500,00

т, к

70,00 65,00 60,00 55,00 50,00 45,00 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00

\

ч

1000 Т, К

7.00Е+06

6.50Е+06

2 ■6.00Е+06

5 5.50Е+06

а 5.00Е+06

с? 4.50Е+06

4.00Е+06

3.50Е+06

3,00Е+06

450 650 Т, К

1050 1250 1450

М

600 Т, К

8000000,00 7000000,00 6000000,00 5000000,00 4000000,00 3000000.00 2000000,00 1000000,00 0,00

м

400

т. к

Рис. 1. Зависимости теплофизических свойств от температуры для выбранных марок сталей по данным [8]. Кривые линии —

истинное поведение, прямые — линеаризованные зависимости

Таблица 1. Формулы линеаризованных зависимостей теплофизических свойств сталей от температуры

Марка стали Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, Вт/(м-К) Зависимость коэффициента объемной теплоемкости от температуры, Дж/(м3*К)

Сталь 08 69.6-3.3-10 "2Т 40.6-10;>+1090Г

Сталь 20 58.9-2.54-10~2Т з7.2-ю:'+151ог

Сталь 45 56.0-2.32-10~2Т зв^-юЧпоог

Сталь 40Х 49.3-1.7-10^Г 45.6-10:>+469Г

Сталь ШХ15 40.8-8.74-10^7 38.6-105+916Г

Сталь У8 56.2-2.53-10^7' 40.5-105+887Г

Сталь У12 56.8-2.09-Ю^Г 39.5-105+999Г

Температура во внутренних точках:

Эу+1 = 0У

Дх

Температура поверхности:

/А*2

А^2

nj+l п-1у+1

Ар

-(8к[е^+1 -е^.+1]+в1(егу+1 -еп;+1))5

(1 +есеп_,.+1)

где / — номер пространственного слоя; у — номер временного интервала.

(19)

72

//гггтт * г: кгтпшчтгп

/ 2 (42). 2007 -

Уравнение (20) представляет собой трансцендентное уравнение относительно температуры поверхности 9 -+1 в последующий момент времени. Для его решения использовали метод последовательных приближений Ньютона:

3

П] ф"

где Ф представляет уравнение (20), заданное в виде Ф(9пу+1)=0; Ф — производная по температуре

поверхности. Для нахождения удовлетворительной в точности достаточно 5—10 итерационных шагов.

Результаты сравнения метода эквивалентных о,8 источников с численными расчетами приведены на рис. 2.

Из рисунка видно хорошее согласование обо

0,6

их методов. Максимальное расхождение ол 9 — 9

да_ анал числ 1 ПП°/ г* по

w - q -iuu/o не превышает 5%, что °>£

\ e'nix)^ ......

* * J

/* J 'S sy sjy

// У' 4 г ^ /У sy

0,1

0,8

г,2

1,6

2,0

2,4

Fo-T

сплошные линии — по приближенному решению, штриховые — численное решение

говорит об адекватности методики (10)—(17) для Рис. 2. Изменение относительных температур поверхности расчета высокотемпературного нагрева стальных ()„ (т) и центра 9ц(х) в зависимости от критерия Фурье: цилиндрических заготовок с переменными тепло-физическими свойствами.

С помощью предложенной методики (10)—(17) были рассчитаны динамики изменения температурных полей в цилиндрических заготовках для сталей Ст.8, 20, 45, 40Х, ШХ15, У8, У12 диаметрами

130 и 150 мм при нагреве их по камерному режиму. Исходные данные для расчетов: Тд = 300 К,

а = 60 Вт/(м2-К), ст= 2,8 • 10~8 Вт/(м2-К), Тс = 1440 К. Теплофизические параметры взяты из табл. 1. Результаты расчетов приведены в табл. 2.

Таблица 2. Длительность нагрева и конечный перепад по сечению цилиндрических заготовок

Марка стали Диаметр, мм Время нагрева, ч Перепад по сечению заготовки

Сталь 20 130 1,43 6

Сталь 45 130 1,26 7

Сталь 40Х 130 1,19 8

Сталь ШХ15 130 1,3 7

Сталь 20 150 1,7 8

Сталь 45 150 1,5 10

Сталь 40Х 150 1,43 8

Сталь ШХ15 150 1,56 7

Таким образом, предложенная расчетная методика позволяет с достаточной точностью определить динамику температуры (что было подтверждено сравнением с экспериментом) по сечению заготовки в зависимости от времени, а затем при необходимости и термонапряжения, возникающие в металле при нагреве.

Литература

1. Постольник Ю.С., Тимошпольский В.И. Радиационно-конвективный нагрев неограниченного цилиндра с функционально-зависящими теплофизическими характеристиками // Изв. вузов. Энергетика. 1980. №3. С. 121—124.

2. Постольник Ю.С., Тимошпольский В.И., Сичевой А.П. Анализ технологии нагрева металла в пламенных печах// Изв. вузов. Черная металлургия. 1979. №2.

3. Тимошпольский В.И., Трусова И.А., Пе каре к и й М.Я. Кольцевые печи. Мн.: Выш. шк., 1993.

4. Промышленные теплотехнологии: Моделирование нелинейных процессов: Учеб. в 5-ти ч. 4.5 / В.И. Тимошпольский, И.А. Трусова, А.П. Несенчук; Под общ.ред. В.И. Тимошпольского, А.П. Несенчука. Мн.: Выш. шк., 2000.

5. Стальной слиток. В 3-х т. Т.З. Нагрев / В.И. Тимошпольский, Ю.А. Самойлович, И.А. Трусова; Под общ. ред В.И. Тимошпольского, Ю.А. Самойловича. Мн.: Белорусская наука, 2001.

6. Теплообмен и тепловые режимы в промышленных печах: Учеб. пособ. / В. И. Тимошпольский, И. А. Трусова, А. Б. Стеблов, И.А. Павлюченков. Мн.: Выш. шк., 1992.

7. Постольник Ю.С. Приближенные методы исследований в термомеханике. Киев: Вища шк., 1984.

8. Неймарк Б.Е. Физические свойства сталей и сплавов, применяемых в энергетике: Справ. М.: Металлургия, 1967.