Моделирование затвердевания расплава с начальным перегревом металла Текст научной статьи по специальности «Математика»

г,г:тггп г [гж-МЛгРПг.Р.

- 1 (37). 2006

/ 111

м

ЕТАЛЛУРГИЯ

An approximate analytic solving of the problem of the continuously cast slugs hardening and cooling, based on the known schema of thermal layer.

В. И. ТИМОШПОЛЬСКИЙ, HAH Беларуси,

Ю. С. ПОСТОЛЬНИК, Днепродзержинский государственный технический университет, И. А. ТРУСОВА, П. Э. РАТНИКОВ, С. М. КАБИШОВ, Е. В. КАЛИНЕВИЧ, БИТУ

УДК 669.041

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ РАСПЛАВА С НАЧАЛЬНЫМ ПЕРЕГРЕВОМ МЕТАЛЛА

Теплотехнологические процессы в условиях машиностроительного и металлургического производства происходят в очень широком интервале изменения температур и описываются нелинейными уравнениями. Это прежде всего касается процессов кристаллизации слитков и заготовок, сопровождающихся фазовыми переходами, нагрева в условиях сложного радиационно-конвективного теплообмена и т.д. Но нелинейные задачи теплопроводности точных решений в замкнутой форме не имеют.

Как правило, при моделировании таких процессов исследователи пользуются численными методами. Однако известно, что наряду с гибкостью, высокой точностью и универсальностью численные методы обладают таким серьезным недостатком, как трудность использования для оценочных расчетов; затруднена также возможность параметрической настройки по точному решению. Кроме того, здесь имеют место не до конца решенные вопросы сходимости, устойчивости, оценки погрешностей и т.д.

В такой ситуации возникает необходимость разработки приближенных аналитических методов при расчете затвердевания, охлаждения и нагрева слитков и непрерывнолитых заготовок. В статье приведено приближенное аналитическое решение задачи затвердевания и охлаждения непрерывнолитых заготовок, разливаемых в условиях современных МНЛЗ, основанное на известной схеме термического слоя [1]. Полученное решение позволяет развить основные теоретические положения работы высокотемпературных металлургических агрегатов, получить новые научные выводы, разработать и научно обосновать рациональные режимы работы машин непрерывного литья заготовок, повысить уровень качества выпускаемой металлопродукции.

Математическая модель затвердевания расплава с начальным перегревом металла (т0 > Гф) сводится

к решению следующей краевой задачи [2—5]:

уравнение теплопроводности в обобщенной постановке для тел базовой геометрии в безразмерном виде

1

(1ЧГ

9 .Эв:

граничные условия

Э01

= Bi,e, (0, х),

5=0

m^W1'

эв, я,

■ О •

(1)

(2)

(3)

(4)

Математическую модель затвердевания слитков и заготовок упрощают, рассматривая только конвективный теплообмен путем введения суммарного коэффициента теплоотдачи, учитывающем как теплообмен излучением, так и конвекцией (т.е тепловой поток в каждый момент времени численно равен сумме тепловых потоков радиацией и конвекцией).

112 1Г;[

ТГгП гг глгтп^л^гггсгг

(37), 2006 -

Зависимость критерия В\ от времени показывает изменение условий теплообмена в процессе прохождения затвердевающей непрерывнолитой заготовки через различные технологические участки. Граничное условие (3) отражает тот факт, что температура на границе кристаллизирующего слоя постоянна и равна температуре кристаллизации. Условие симметричности (4) соответствует реальным условиям охлаждения непрерывнолитых заготовок на современных МНЛЗ.

Уравнения, показывающие зависимость скорости продвижения фронта кристаллизации от температуры, толщины затвердевшей корки и теплофизических свойств стали, а также начальное условие затвердевания, которое определяет распределение температуры по сечению непрерывнолитых заготовок в момент начала кристаллизации, имеют вид

2

$=/( т)

' е2(^х0ф) = ф(^)'

(5)

где введены температурные симплексы затвердевшей оболочки (у' = 1) [о < с < / (т)| и жидкой сердцевины (у = 2) [/(т)<^<1] :

= - т т

известные критерии Био, Косовича и число Фурье

оиД

1 X,

Ко = ■

V Ч

принимаемые постоянными безразмерные параметры

с а1г

Кт

-Тл

ф

г^-г

К =

22 гг гг _Ъ — > КХ -Т- > Ку --•

(6)

(7)

(8)

\ ' У1

Для решения поставленной задачи используем метод эквивалентных источников, базирующийся на известной схеме термического слоя [1, 6, 7] (рис. 1).

Данный метод использовался ранее при решении задач нагрева слитков и заготовок [8-12] и показал достаточную надежность и точность полученных решений, что позволило использовать его при совершенствовании и разработке технологий нагрева в печах различных конструкций.

Для определения начальной температурной функции ср(^) (5) и времени Тф снятия перегрева

необходимо иметь решение задачи предварительного этапа охлаждения расплава до того момента, когда поверхность достигнет температуры кристал-

ли Тф.

Опуская математические выкладки, связанные с решением начальной линейной задачи теплопроводности методом эквивалентных источников в рамках модели термического слоя, на основе решений, приведенных в работах [3, 4, 13], запишем [2]:

Вь

(9)

XI = Тп +

о I о:

л. [1п(1+/Гг)-1п(1 + В12/2)], (10) 3(1 + т)В121-

12(1 + т)

1 +

В12 Вг

1п(1 + Вь>/2)

(И)

В отдельных случаях (В12 с 1 В'\2 »1) выражение (11), определяющее период т0 протекания инерционного этапа предварительного охлаждения

Рис. 1. Схема теплового пограничного слоя в процессе затвердевания металла с начальным перегревом: т1 — время инерционного периода; т2 — время снятия перегрева; т3 — время кристаллизации

Г.ГТГгП г ГСШ-МТГГП?

- 1 (37). 2006

/113

расплава, приводит соответственно к формулам х0=[б(1 + т)]1 и т0 = [12(1 + га)] 1 при В1 = соп5Ь

0с =1-

Дальнейший отсчет времени будем проводить от момента Тф начала процесса затвердевания. Решение задачи (1)—(5) с помощью МЭИ привело [2, 13] к следующим функциям:

/.со

2(1 + т)

Ш1

0-'М)!-2+к'

В1,

еГ&т)

где

(1 - т)+ Вц {1 - [1 - / (т)]1"'" }

м^н-^НН'-'мГ}-

2В1К П-/(т)1Гб + ЗВи(т)-Вь/2(т)]

/. со = г 1 , ; 12 *1 со;

3{2[1 + В11/(х)]-В1,/2 (х)}

/2М = "з(1-Фц МО-

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Таким образом, получены решения температурного профиля по сечению заготовки в различные моменты времени. Решения включают в себя зависимости толщины затвердевшей корки от времени, а также скорость кристаллизации. Температурные поля зависят от критерия В1, который характеризует теплообмен тела с окружающей средой, т.е. методика позволяет рассчитывать процессы твердения непрерывнолитых заготовок.

Динамика процесса кристаллизации определяется калориметрическим условием Стефана (5), подстановка в которое функций (12)—(16) приводит к дифференциальному уравнению [2, 13]:

где

мо=

/гз(0 =

[Ъ(1)+Р2(1) + Р3(1)]<и = <1т,

КаКо{1-т + ВЧ)[1-1 (т)]м -В1, [1 -1(т)] .

В1,

1 — т

4 КХКТ (1-(рц)[1-/(х)Г'-В1,[1-/(х)]

3(1 + т)В11

2АГа[3 + Ву(т)] 3(1 + т)[2 + Вц/(т)]

1 -т

[1 + т-т/(х)]/(х)[1-/(х)]

(17)

(18)

(19)

(20)

Интегрирование полного уравнения (17) привело к трансцендентному выражению [2, 3]

*вКо(2 + Вц)

2(1-т + В11)(1-/)1+"'-(1 + т)В11 (1-^ (1-т)(2 + В11)

2(1 +т)В11

9(1 + /и)(2 + от)В1

1 3(1-ти + В11)(1-/)2+"'-(2 + т)В11(1-/)

(1-т)(3 + В1[)

щ

3(1 + т)Вм

~2

Г ;2,3

2 , Л В V 4

/- —1п Вь

1 + -

2

•3/4

тВц!

> = х.

2

V

на №

ггг^г: г^штптг?

(ЭЛ. 2006 -

Для определения положения фронта /(т) кристаллизации в произвольный момент времени т (тф<т<Хф) выражение (21) было представлено [3] в следующем виде:

Я(/)[1 + Р1(/) + Р2(/)] = Т, (22)

где

Я(/) =

(2 + Ы{)КаКо

2(1 + т)Вц

Рж(0 =

2(1-т + В11)(1-/)1+т-(1 + />|)В11 (1-/) (1-т)(2 + В11)

4[2т + (1 + т)В^]

(23)

ЗКоВ^2

1 2(1-т + В11)(!-/) — (1 + т)В11 (1 —/) (1-т)(2 + В11)

/ 2 1 {л В11/Л /--1п 1 + —-

В1,

+

Вь

(24)

12 (2 + В^ )[2 т + (1 + т)Вц ]

[б{(1 + т)В^2 -(1 + 2т)В\{ -2т}+4В11 {т-( 1 + 2т)Щ}/ + ЪтВ\2{12]};

М0 =

8[(1-т)(3 + В11)-3(1-т + В11)(1-/)2+т+(2 + т)В11 (I-/)3] 9(2 + т)Рк[(1-т)(2 + В11)-2(1-т + В11)(1-/)1+т +(1 + т)Вц (I-/)2]

(25)

Уравнение (22) разрешаем путем методов уточняющих приближений, например, с помощью метода секущих (метод касательных Ньютона) относительно положения фронта кристаллизации, причем толщина затвердевшей корки рассматривается как функции времени. В качестве приближенного значения корня уравнения используется значение на предыдущей временной итерации. Таким образом, задаваясь временем, мы находим положение фронта кристаллизации.

Достоинством предложенной методики является то, что исследователи могут, задаваясь временем и условиями теплообмена, определять положение фронта кристаллизации и температурные поля. Это позволяет исследовать закономерности затвердевания непрерывнолитой заготовки в зависимости от скорости разливки и условий охлаждения.

Из формулы (22) вытекает, что физическое тепло, теряемое затвердевшей оболочкой, учитывается

составляющей (ЗД^) (24), а наличие перегрева — Р2(^) (25).

При определении динамики продвижения фронта кристаллизации приходим к уравнению

г)ф=/(х) = /(/)/[1 + ш1(/) + со2(/)],

где

Ч=/(0=- «+ВЦ )(1 - / Г - В1, (1 - /)]". 2(1—т)Вц (3 + Вц/)[1 + т(1-/)](1-/)1~т /

со,(0 =

3(1 + ш)Ко(2 + Вц/)|^(1-т)+В11 -Вц (I-/)1 т]

4(1-/) рк=._

щ{1) =

3(1 + т)Рк '

^о-Тф);

(26)

(27)

(28) (29)

Рк — критерий Постольника — критерий начального перегрева расплава.

Эти уравнения позволяют рассчитывать динамику перемещения фронта кристаллизации по сечению заготовки и глубину жидкой лунки.

Для оценки адекватности описания процессов затвердевания непрерывнолитых заготовок с помощью предложенной методики (9)-(29) было осуществлено сравнение результатов расчета

/хгггпг: г/^гглтгпт - 1 (37), 2006

/115

математической модели затвердевания и охлаждения непрерывнолитых заготовок с экспериментальными результатами, приведенными в работах [5, 10] (рис. 2). В качестве температуры кристаллизации принимали температуру выливаемости, что, как показано в работе [5], не приводит к существенным искажениям результатов при кристаллизации углеродистых сталей:

^ВЫЛ ~ ^ЛИК ~~ ^(^ЛИК ~~ ^СОЛ ) > (30)

где А- 0,1-0,15.

Результаты расчетов (рис. 2) показали, что относительная погрешность вычислений по приведенной методике (9)—(29) для процессов непрерывной разливки при определении времени затвердевания не превышает 6%, а при вычислении температуры - 3,5%.

Выводы

Сформулирована нелинейная математическая модель расчета температурных полей в процессе затвердевания стальных слитков и заготовок с учетом начального перегрева расплава. Разработан алгоритм решения математической модели с помощью «метода эквивалентных источников», причем впервые в теории затвердевания этот метод адаптирован для решения задач затвердевай™ и охлаждения непрерывнолитых заготовок. Отличительной особенностью предложенной методики от существующих является то, что, задаваясь временем, условиями теплообмена и теплофизическими параметрами стали, можно определить положение фронта кристаллизации и температурные поля по сечению слитков и заготовок.

1600 | т; ci

1500] 1400 1300 1200 1100 1000

Г»

1 1

\

11... ;ленн< эшени у

Чи< эе л МЭИ Сталь СтЗ

\\ Р€ С / / ю •

\\ /

\\ / /

\\ 1щ^у-J"100

Vu

ч

1

4

8 т, мин 10

Рис. 2. Сравнение результатов расчета затвердевания непрерывнолитой заготовки сечением 125x125 мм из стали СтЗ, полученных с помощью формул (10)—(14), с данными численного моделирования

Это позволяет исследовать закономерности затвердевания непрерывнолитых заготовок в зависимости от скорости разливки, условий охлаждения, конструкционных параметров MHJI3. Выполнено сравнение результатов расчета процессов затвердевания слитков в изложнице и непрерывнолитых заготовок на MHJI3 с экспериментальными данными и результатами численного моделирования, которое показало адекватность предложенной методики.

Литература

1. Лыков A.B. Методы решения нелинейных уравнений нестационарной теплопроводности // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1970. № 5. С. 109-150.

2. Постольник Ю.С. Приближенное исследование процесса симметричного затвердевания отливок при конвективном охлаждении // Изв. вузов. Черная металлургия. 1971. № 6. С. 155—160.

3. Постольник Ю.С. Вопросы нелинейной теории нагрева и охлаждения металла: Автореф. дис. ... д-р техн. наук. Днепропетровск, 1980.

4. Постольник Ю.С., Огурцов А.П., Решетняк 1.С. Основи металургшжи термомехашки. Дншродзержинськ: ДДТУ, 1998.

5. Самойлович Ю.А., Тимошпольский В.И., Трусова И.А., Филиппов В.В. Стальной слиток. В 3-х т. Т.2. Затвердевание и охлаждение / Под общ. ред. В.И.Тимошпольского, Ю.А.Самойловича. Мн.: Беларуская навука, 2000.

6. Постольник Ю.С. Метод эквивалентных источников в задачах нестационарной теплопроводности // Теплообмен и гидродинамика. Киев: Наукова думка, 1977. С. 161—167.

7. Тимошпольский В.И., Постольник Ю.С., Андрианов Д.Н. Теоретические основы теплофизики и термомеханики в металлургии. Мн.: Беларуская навука, 2005.

8. Тимошпольский В.И. Теплотехнологические основы металлургических процессов и агрегатов высшего технического уровня. Мн.: Навука i тэхнжа, 1995.

9. Стальной слиток. В 3-х т. T.3. Нагрев / В.И. Тимошпольский, Ю.А. Самойлович, И.А.Трусова и др.; Под общ. ред.

B.И.Тимошпольского, Ю.А.Самойловича. Мн.: Беларуская навука, 2001.

10. Промышленные теплотехнологии: Моделирование нелинейных процессов: Учеб. / В.И.Тимошпольский, И.А.Трусо-ва, А.П.Несенчук и др.; Под общ. ред. В.И.Тимошпольского, А.П.Несенчука. Мн.: Выш. шк., 2000.

11. Теория противоточного теплообмена при нагреве заготовок и слитков в пламенных печных агрегатах / В.И.Тимош-польский, Ю.С. Постольник, А.П.Огурцов / Тез. докл. и сообщ. ММФ. 2004, ИТМО HAH Беларуси (24-28 мая 2004 г.). T.2.

C. 396-398.

12. Постольник Ю.С., Тимошпольский В.И. Радиационно-конвективный нагрев неограниченного цилиндра с функционально-зависящими теплофизическими характеристиками // Изв. вузов. Энергетика. 1980. №3. С. 121--124.

13. Постольник Ю.С. Приближенные методы исследований в термомеханике. Киев—Донецк: Вища шк., 1984.