Термонапряженное состояние плиты, образующейся путем одностороннего «Намерзания» расплава Текст научной статьи по специальности «Физика»

(¡ш п гттглтш

4 (49). 2008-

The mathematical model of calculation of the hardening ingot thermostressed state in elastoplastic raising is offered.

Ю. С. ПОСТОЛЬНИЯ, ДГТУ, В. И. ТИМОШПОЛЬСКИЙ, ПИИ «ЕВРОСТАЛЬ ЛТД» (УКРАИНА), И. А. ТРУСОВА, П. Э. РАТНИКОВ, Г. А. РУМЯНЦЕВА, БИТУ

удк 669.18-412:536.24

ТЕРМОНАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛИТЫ, ОБРАЗУЮЩЕЙСЯ ПУТЕМ ОДНОСТОРОННЕГО «НАМЕРЗАНИЯ» РАСПЛАВА

Температурное поле стальных слитков и заготовок в процессе кристаллизации изменяется в довольно широком диапазоне: от температуры расплава (фазового перехода из жидкого в твердое состояние) Гф до температуры охлаждающей (внешней) среды Гс, что приводит к возникновению в затвердевшем слое слитка температурных напряжений. При этом в связи с существенным зависящим от температуры пределом текучести а5 по сечению твердой корочки образуются две зоны: пластических напряжений в приповерхностных слоях О < х < Ьх{т), Ь2(т) < х < 6ф(т) и разделяющая их зона упругих напряжений Ьх{т) < х < Ь2(т) (см. рисунок).

Прй исследовании термонапряженного состояния (ТНС) делаются попытки исходить из релаксационных моделей формирования поля термона-

1У

а,

Твердая фаза

X

X

н

Схема теплового и термонапряженного состояния плоского слитка

пряжений. Однако в работе [1] приводятся экспериментальные данные, указывающие, что релаксация напряжений в кристаллических материалах фактически сводится к пластическому течению. Пластическая же зона со стороны охлаждаемой поверхности с большой вероятностью может образоваться из-за большого перепада температур, порождающего большие напряжения, и низкого предела текучести при высоком уровне температурного состояния (ТС).

При математическом моделировании термонапряженного состояния объекта обычно для зоны упругого деформирования используется квазистатистическая теория термоупругости Гука-Дюаме-ля-Неймана [2, 3], а для пластической зоны - гипотеза идеальной упругопластичности (модель Прандтля [4, 5]). При этом границы раздела зон детерминируются в соответствии с той или иной теорией предельного состояния.

Рассмотрим задачу определения упругопласти-ческих напряжений в плите с односторонне «намерзающим» расплавом. Затвердевший слой стали будем считать идеально-пластическим (модель Прандтля). Условия текучести чаще всего принимают [6] исходя из предельного состояния по IV (энергетической) теории Губера-Мизеса:

-а2 )2 + (а2 -а3 f + (о3 - ст, f

= М 1)

или по III (наибольших касательных напряжений) теории Кулона-Треска-Сен-Венана:

ai ~ аз - Gs> (2)

где а1? а2, а3 - главные напряжения, МПа.

Так как в неограниченной пластине (твердой корочке затвердевающего слитка) температура за-

№лт*а ш гсягштггтгг

висит от одной координаты х, т. е. изменяется лишь по толщине 6ф(х), то принимаем плоское напряженное состояние: о^ = о2 = сг(х, х), ах = 0. В таком случае любая из теорий предельного состояния (1) или (2) приводит к условию текучести в пластических зонах:

4(49). 2008

а ТЕ

/59

к.-^-,ф> (.0,

Тогда принятая выше математическая модель термонапряженного состояния односторонне затвердевшего плоского слитка преобразуется к виду

°пл (*>= (Т) sign СУупр'^ (3)

При этом полагаем, что

os(3-) = oj[l-0(x,x)], (4)

где введена безразмерная температурная функция ч t(x,x)-L

0(х,х) =-причем эту зависимость будем

считать справедливой для всего температурного интервала затвердевающего слитка (0 < 9(х, х) < 1).

Для определения напряжений в упругой зоне 6j(x) < х < Ь2(т) необходимо решить известное в квазистатистической теории термоупругости [3] уравнение равновесия свободной (длинной) пластины

д2

дхг

сх Е

а(х, х) + —— Т(х, х) 1-v

= 0,

(5)

где Т(х, х) = /с - ¿(х) - избыточная температура.

Граничные условия неразрывности поля напряжений при существовании пластических зон:

СТ(*'Т)Ц(т) =СТпл(*>ОЦ(т) =^(0), (6)

а(х,х)Ц(т) =апл(х,т)Ц(т) =-а5(0). (7)

Условия силового баланса на торцах плиты (твердой фазы)

е(л) (5), л

ьм

Л1 - , , ч > Л2

дц'

-[ад+0(п>] = о, л,(т) < л ^ л2(0, (10

(12)

<*(П2) = °пл(П2) = -Ме2), (13) где температурная функция 9(г|) и движущийся фронт /?ф(т) затвердевания определяются решением соответствующей задачи Стефана, например [7, 8].

Интегрируя уравнение (11) дважды по г|, имеем в упругой зоне

ад=одт1+Дт)-е(т1). (14)

Подставляя решение (14) в условие силового баланса (8), (9), получаем систему уравнений для определения функций интегрирования С(х) и £>(х):

с(Т)ЛLji+D(T)(r]2 _ )=Ф(Т)5

( 2 Л2-Л1

(15)

где

|а(х,х)<& = 0, |а(х,х);с(^с = 0 о о

с учетом наличия трех зон (см. рисунок) принимают вид

¿ц(т) Ь2(т)

} (0)с1х+ | а(х,х)<&- | а5(0)<& = 0,(8) о б!(т) ¿>2(1)

Ш ¿2 СО

\ о3(в)хс!х+ \ а(х,х)х^х- | а5(0)<& = 0.(9) о *,(!) М*0

Для упрощения дальнейших выкладок введем безразмерные величины

П2 Ш 1

Ф(т)= ¡mdr\- Ja5(0)</Ti;

тц 0 П2

Т(т) = 7 0(л)л ¿Л - ]а5(е)л ¿Л + J 55(0)Т, dr\.

Щ О Л2

(16)

Решая систему уравнений (15), находим

д0 =

2 2 Л2-Л1 ■ (л2 -ni)

2 (

Лг-Л? л! -л?

3 2

Ф(т) (л2 -л,)

Д,= ¥(т) Л2" -Л? 2

Oh-Tli) 12

W

2

И/шг^г: ffMürjwn'f;

I 4 (49). 2008-

Д2 =

л! -Л?

2

Л32 ~Л1

3

Ф(т)

¥(т)

2(Л2-Л?)Ф(Х)-3(Л|-Л1)У(Х) 6

Тогда С( х)

Ai =б(Л2-Л1)ВД-(112-Л?)Ф(т)| А0 (Л2-Л1)4

-3 „3\/ь/_\ 4/^.2 „2>

£>(т) = = 2ЗД-Л1)Ф(т)-3(П2-Л1)ВД Ао

(Л2-Л1)

(17)

Таким образом, температурные напряжения, действующие в упругой зоне щ < г| < г|2, определяются функцией (14), которую с учетом (17) можно представить так:

0(т,) = а3(т)Ф(т) + 12 ДзСО

а\ Ст)т1_

-6

а2(т)г|--

Ф(т)-в(т), (18)

где

(Л2-Л1) (Л2-Л1)

а3(т) =

.3 „3

Л2 -Л1

(Л2-Л1)

,4 '

(19)

дой фазы. В этом случае предполагается, что переходный слой отсутствует, затвердевание металла сопровождается мгновенным выделением скрытой теплоты кристаллизации, что приводит к разрыву тепловых потоков на границе раздела фаз.

Математическая модель в этом случае содержит одно уравнение теплопроводности, но с разрывными краевыми условиями. Устранение этой особенности граничных условий приводит к появлению в уравнении теплопроводности аддитивного члена типа источника, зависящего от температуры. Это делает краевую задачу теплопроводности нелинейной (нелинейность III рода).

Задачи в такой постановке общепринято относить к так называемой «проблеме Стефана» [9]. За редким исключением (например, [10]) задачи типа Стефана точных решений не имеют. Поэтому используются различные приближенные (численные, аналоговые, аналитические) методы.

Однако для изучения термонапряженного состояния слитков и заготовок предпочтение, на наш взгляд, следует отдавать аналитическим методам, так как использование численного решения краевой задачи теплопроводности для определения температурных напряжений крайне затруднено.

Область применения аналитических методов исследования теплового процесса затвердевания достаточно подробно изложена в [11].

При постоянных теплофизических характеристиках (ТФХ) металла и пренебрегая перегревом расплава (Г0 = Гф), процесс симметричного затвердевания плоской отливки толщиной 2Н при конвективном охлаждении запишем в следующем виде [12]:

Дальнейшие исследования термонапряженного состояния затвердевающего слитка требуют полной определенности «функции нагружения» (температурной функции 0(г|)) на базе решения соответствующей задачи теплопроводности.

При моделировании процесса кристаллизации с учетом переходного слоя, температура которого плавно изменяется в интервале Гсол < Т< Глик, задача содержит две сопряженные задачи теплопроводности для твердой и твердо-жидкой фаз. На границе раздела (Т - Гсол) эти температурные поля сопряжены и по температуре, и по тепловому потоку, так как скрытая теплота фазовых превращений постепенно выделяется по мере перехода от Т

= Глик Д° Т= Геол.

Вместе с тем в ряде случаев для решения некоторых практических вопросов требуется знание продолжительности процесса кристаллизации и ориентировочное температурное состояние твер-

д2Э _ ае

dp2 ~ дх 50

р=0

Эр Ко^ф(т)

, о< р < ^ф(т), e(p,o) = e0=i, = Bi9n(x), 0(p,t)|p=,(t)-i?

дв др

, ^ф(О) = 0, 0<т<тф,

ф;

(20)

где введены известные критерии Био (Bi), Коссо-вича (Ко), число Фурье (Fo = х) [13]:

Ко = --

X с(Тф-ТсУ

z = Fo

at

я

а также безразмерные температуры и отсчитываемая от внешней поверхности координата:

mwa rr ггмш^тя

0(p,x)=

Т(р,т)-Тс

H

bW =

¿ф(т)

H ■

В работе [13] приводится точное решение Стефана для частного случая (Bi -» оо) задачи (20)

erf v 2л/т >/я о

При этом продвижение фронта кристаллизации ¿ф(т) происходит по хорошо известному в теории литья «закону квадратного корня»

¿(t) = WÍ,

(21)

где параметр к определяется решением трансцендентного уравнения

ехр

Ко

U.

(22)

Если ограничиться главными членами разложений в степенные ряды функций ехр(-А:/4) и erf (Л/2), то в первом приближении находим [14]

кх =уЩКо

(23)

Применяя МЭИ, получаем приближенное решение задачи (20) (ЕН —» оо) в виде

в(п) = 2(1 - «0)Т1 - а - 2«0)л2

где

"о =-

Кок2

^ф(х)

(24)

(25)

2 Ко А: и =-

6Ко

(1 + 6Ко)

1+.1+-

12Ко

(1 + 6Ко)

"4 (49). 2008

/61

Для исследования термонапряженного состояния затвердевающей отливки используем решение МЭИ (24), (26).

Вначале рассмотрим простейший случай, когда критерий Коссовича (Ко) достаточно большой и параметр можно принять и0 = 0,5, что соответствует упрощенной формуле (23).

Для этого случая функция (24) примет вид

в(л) = л- (27)

Подставляя (27) в (16), с учетом (4), (19) имеем

Ф(х) = +1-[1 - 2(Л1 + *12) + (т,? + Л^)],

2

(28)

ад = + - 3(1? + ) + 2(л? + )],

а(х) = а«[Д,(х) + 4(х)Л]>

- {2(Л1 - лх )[1 - +г,2)] --(Л2-Л?)[1-3(Т12 + П?)] + + 4тц2Л2(П1-Л1)}(112-Л1)",5

(29)

(30)

Следует заметить, что упрощенная формула (23) существенно искажает действительную скорость продвижения фронта кристаллизации ^ф(т) (21). Для практических целей в формулу (24) вводятся различные поправки, о чем подробно говорится в работе [14].

По решению МЭИ

• (26)

4С0 = {2(Т12 -Л1>[1-з(лГ +Л2) + 2(Г,? +Л32)]-

-3(Л2-Л?)[1-2(Л1+Л1) + (Л?+Л2)]}(Л2-Л1)"4.

(31)

Положение подвижных границ г^ и г|2 раздела упругой и пластической зон определяется из условий сопряжения (12), (13):

Л0(т) + Л^т)^! = (1 - ЛхХ

А0(х) + А{(х)ц2 = -(1 -У]2).

Выводы. В работе предложена математическая модель расчета термонапряженного состояния затвердевающего слитка в упругопластиче-ской постановке. При использовании метода «эквивалентных источников» получены приближенные аналитические решения поставленной задачи термоупругопластичности.

Литература

1. Абрамов В. В. Остаточные напряжения и деформации. М.: Машгиз, 1963.

2. П а р к у с Г. Неустановившие температурные напряжения. М.: Физматгиз, 1961.

3. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970.

4. Н а д а и А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: Мир, 1969.

Р

621

TTTrßlT

4 (49). 2008-:-

5. К а ч a h о в Jl. M. Основы теории пластичности. М: Наука, 1969.

6. Янковский М. И., Иванченко И. Ф., Кондратьева Г. С. Температурные напряжения при неравномерном нагреве слитка с учетом пластических деформаций // Прикладная механика. 1967. Т. 3. Вып. 4. С. 126-128.

7.Постольник Ю. С., Телкин С. И. Приближенный расчет температурного поля в затвердевающей отливке // Изв. вузов. Черная металлургия. 1976. № 10. С. 20-24.

8. Постольник Ю. С., Телкин С. И., Барабан Н. М. Исследование процесса затвердевания плоской отливки // Изв. вузов. Машиностроение. 1976. № 5. С. 140-143.

9. Рубинштейн J1. И. Проблема Стефана. Рига: Звайгене, 1967.

10. S t е f a n G. Т. Uber einige Problem der Theorie der Wanne Leitung Sitzungsberichte der Wissenschaften. 1889. Vol. 98. N 3. И.Тимошпольский В. И., Постольник Ю. С., Андрианов Д. Н. Теоретические основы теплофизики и

термомеханики в металлургии. Мн.: Беларуская навука, 2005.

12. В е й н и к А. И. Теория затвердевания отливки. М.: Машгиз, 1960.

13. JT ы к о в А. В. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967.

14. Самойлович Ю. А., Тимошпольский В. И., Трусова И. А. и др. Стальной слиток. В 3-х т. Т. 2. Мн.: Белорусская наука, 2000.