CC BY
20
УДК 004.032.26+519.63
Тархов Д.А., Шершнева Е.А.
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, Россия
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МАТЬЁ, ПОСТРОЕННЫЕ НА ОСНОВЕ КЛАССИЧЕСКИХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
АННОТАЦИЯ
На примере уравнения Матьё рассматриваются методы построения многослойных приближённых решений дифференциальных уравнений, основанные на классических приближённых методах. В отличие от классических подходов в результате предложенных методов получается не поточечные приближения, а приближённое решения в виде функций. Работа методов проверена на ряде вычислительных экспериментов. Рассмотрен подход, основанный на сочетании классических и нейросетевых методов.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Нейронные сети; приближенные решения; дифференциальные уравнения, уравнение Матьё.
Tarkhov D. A., Shershneva E.A.
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Saint Petersburg, Russia
APPROXIMATE ANALYTICAL SOLUTIONS OF MATHIEU'S EQUATIONS BASED ON
CLASSICAL NUMERICAL METHODS
ABSTRACT
Methods of construction of multi-layer approximate solutions of differential equations, based on the classical approximate methods are discussed (the example of Mathieu equation). In contrast to classical approaches, a result of the proposed methods is not that pointwise approximation, it is approximate solutions in the form of functions.
Work of methods tested on a number of computational experiments. Approach based on a combination of classical and neural network techniques was discussed.
KEYWORDS
Neural networks; approximate solution; differential equations.
Здесь Ф(£) - периодическая функция возбуждения, o)q- квадрат частоты собственных колебании, ц- коэффицент возбуждения, q- обобщенная координата, е- коэффициент вязкого трения. Уравнение (2) сводится к уравнению (1) путем подстановки q(t) = u(t)e~£t, где функция u(t) удовлетворяет уравнению
u"(t) + ш1 [l - ^ + 2^Ф(0] u(t) = 0.
Также уравнение Матье достаточно часто используются в радиотехнике. Например, для расчета токов в параметрических генераторах (системах). В параметрических генераторах и усилителях механизм передачи энергии (или, как его называют, накачки) оказывается таким: энергия вводится в систему путем изменения с некоторои частотои реактивного параметра, на что какои-то источник затрачивает энергию. Поскольку параметр меняется с однои частотои, возбуждаемые или усиливаемые колебания в большинстве случаев имеют другую частоту, параметрические устроиства оказываются преобразователями энергии переменного тока однои частоты в энергию колебании другои частоты [1]. Рассмотрим один из контуров параметрического генератора. Заряд в контуре изменяется по закону:
q"(t) + (¿¡)q'(t) + <^j(1 + mcos2u>)q = 0. (3)
Можно преобразовать (3) в (1), чтобы воспользоваться известными сведениями из теории уравнения Матье для установления своиств рассматриваемои параметрическои системы.
Для исследования решении уравнения Матье (так же, как и для исследования решении многих других уравнении) применяются три принципиально разных подхода. Первьш подход
заключается в качественном исследовании решении уравнения (1), опираясь на его тип и свойства правой части. Второй подход состоит в получении различного рода асимптотик и разложении в степенные ряды, которые позволяют получить аналитические выражения, являющиеся приближенными решениями (1). Третии подход состоит в численном решении (1) для некоторого набора параметров. Множества параметров и точек, для которых вычисляется приближенное значение решения, должны быть достаточно представительными для целеи исследования.
В даннои работе показано, что второи и третии подходы можно совместить. Такое совмещение продемонстрировано на примере уравнения Матье, но без труда переносится на другие подобные задачи.
Методы и результаты вычислительных экспериментов
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнении
[у'(X) = f (X, у (X))
У(Х0) = У 0
на промежутке [х0,х0 + а]. Для ее решения можно применить уточненным метод Эилера [7]. Разделим данныи промежуток на интервалы длины ^,к = 1,...,п и применим рекуррентную формулу [7]:
h h
У к+1 = У к-1 + 2К1(хк, У к), при этом У1 = У 0 + ¥(х0 + ^ У 0 + у 1 (Хр У 0)).
Если мы применим этот метод к интервалу с переменным верхним пределом [х0, х] с [х0, х0 + а] (при этом \ = ^ (х)), то в результате применения этои (или подобнои) формулы
получим функцию уп (х), которую можно считать приближенным решением уравнения (1). Для равномернои оценки точности такои формулы можно применить обычные оценки точности соответствующего численного метода.
Далее приведены результаты вычислительных экспериментов для уравнения (1) в случае,
когда
^ = 1, х0 = 0, у(х0) = 1, у'(х0) = 0. Разбиение интервала считаем равномерным, т.е. ^ = х / п .
Для п = 2 применением уточненного метода Эилера, получаем формулу
1 ,
у2(х) = 1 - — х" | а + cos
. Графики данного приближенного решения и решения, построенного с
помощью встроеннои операции МаШетайса 10 при а= 0.5;1 и 1.5 и х е[0,1] выглядят следующим образом:
Рис .1. Графики
и приближённого решения, построенного с помощью встроенной операции МаШета^са 10 при а = 0 5;1 и 15
Для п = 6 применением уточненного метода Эилера, получаем формулу
1 2|
у6(х) = 1 — х | а + 008
1
+ — х 2
(
1
— х | а+ 008 4
1
— х 2
(
Л 1 2,
1 — х | а + 008
г -| г -| \\
х I I х I
— 1 | а + 008 — 1
_ 4 _ 1 _ 2 _ 1
\
. (4)
Графики данного приближенного решения и решения, построенного с помощью встроеннои операции МаШетайса 10 при а = 0.5;1 и 1.5 практически сливаются:
02 0.4 0.6 0.8 10 02 0.4 0.6 08 1.0
Рис. 2. Графики функции (4) и приближённого решения, построенного с помощью МаШета^са 10 при
а = 0.5;1 и 1.5
Следующая серия графиков построена на интервале х е[0,5]. Приведем результаты для значении параметра а = 1 и 3 .
Приведем график приближенного решения, полученного приведенным выше способом и график решения, построенного с помощью встроеннои операции МаШетайса 10 при а = 1.
п = 6;
Рис. 3. Графики функции (4) и приближённого решения, построенного с помощью МаШета^са 10 при
а = 0.5;1 и 1.5, х е[0,5]
' для интервала 1 ' J
Видно, что точность результатов невысока, поэтому увеличим значение п.
Уточненньш метод Эилера при п = 10 дает вполне обозримое приближение У1оМ=(^(50 - х2(а + Соб[^]) + 10х(-^х(а + Соб[^]) - ^х(1 - ¿х2(а + СоБ[^))(а + Соб[^])) + х2(-а - Соб[^] - 2(1 - ^х2(а + Соб[^]))(й + Соб[||) - ^(1250 - 100х2а + х4«2 + х2(-50 + х2а)СоБ[^] + х2Соб[^](-50 + х2а + х2СоБ[^]))(а + Соб[^])) + х2(-а - Соб[^] - 2(1 - ¿х2(а + соб[^]))(й + Соб[^]) - ^(1250 - 100х2а + х4«2 + х2(-50 + х2а)СоБ[|] + х2Соб[^](-50 + х2а + х2Соб[-]))(й + Соб[—]) + (а + Соб[—])(-31250 + 5625х2а - 150х4«2 + х6а3 + 1250х2Соб[—] -
5 5 15625 5 5
100х4йСоб[^] + х6й2Соб[^] + х2(-50 + х2а)СоБ[|](-50 + х2а + х2Соб[^]) + х2Соб[^](1875 -100х2а + х4«2 + х2(-50 + х2й)Соб[-] + х2(-50 + х2а)СоБ[—]) + ^х6Сбс[—])) + х2(-а -
5 5 8 10 5
Соб[^] - 2(1 - ^х2(а + СоБ[^]))(а + Соб[||) - ^(1250 - 100х2а + х4«2 + х2(-50 + х2а)СоБ[|] + х2Соб[—](-50 + х2а + х2Соб[-]))(й + Соб[—]) + (а + Соб[—])(-31250 + 5625х2а - 150х4«2 +
10 5 5 15625 5
х6«3 + 1250х2Соб[^] - 100х4йСоб[^] + х6й2Соб[^] + х2(-50 + х2а)СоБ[|](-50 + х2а + х2соб[^]) + х2Соб[^](1875 - 100х2а + х4«2 + х2(-50 + х2а)СоБ[|] + х2(-50 + х2а)СоБ[^]) + ^х6Сбс[-]йп[—]) - -(а + Соб[—])(50 - х2(а + Соб[-]) + 10х(--х(а + Соб[-]) - ^х(1 --х2(а +
8 10 5 25 5 10 10 10 5 50
СоБ[^]))(а + Соб^])) + х2(-а - Соб[^] -2(1- ¿х2(а + СоБ[^]))(а + Соб^]) - ^ (1250 -100х2а + х4а2 + х2(-50 + х2«)Соб[^] + х2Соб[^](-50 + х2а + х2Соб[^]))(й + Соб[^])) + х2(-а -Соб[^] - 2(1 - ^х2(а + СоБ[^]))(а + Соб[|]) - ^(1250 - 100х2а + х4а2 + х2(-50 + х2«)Соб[^] + х2Соб[—](-50 + х2а + х2Соб[-]))(й + Соб[—]) + (а + Соб[—])(-31250 + 5625х2а - 150х4а2 +
10 5 5 15625 5
х6а3 + 1250х2Соб[^] - 100х4йСоб[^] + х6й2Соб[^] + х2(-50 + х2«)Соб[^](-50 + х2а + х2соб[^]) + х2Соб[^](1875 - 100х2а + х4а2 + х2(-50 + х2«)соб[^] + х2(-50 + х2а)СоБ[^]) + 1х6СОБ[^ш[^])))))
-2 -3 -4
Рис. 4. Графикиу10(х) и приближённого решения, построенного с помощью МаШета^са 10 при
х е [0,5] для интервала 1 ' J
а = 0.5;1 и 1.5
Рассмотрим приближённые аналитические решения, получаемые с помощью специально предназначенного для уравнений второго порядка метода Штёрмера [7].
Пусть дано уравнение у"(х) = /(х,у). Простейший вариант метода Штёрмера, который мы будем далее использовать, состоит в применении рекуррентного соотношения ук+1 = 2ук — ук_1 +
^2!(хк,ук),К = х/п.
При п=2 получаем формулу у2(х) = 1 -0.25х21 (1 + а)-(1 -0.125х2 (1 + а))(а +( х
008
) I;
Графики данного приближенного решения и решения, построенного с помощью встроеннои операции МаШетайса 10 при а=0.5;1;1.5, выглядят следующим образом:
Рис. 5. Графики
1 - 0.25х2|(1 + а) - (1 -0.125х2 (1 + а))(а + 008
помощью МаШета^са 10 при
и приближённого решения, построенного с а = °.5;1 и 1.5 для интервала х е[0,5]
Графики приближенного решения, построенного по методу Штермера при п=6 и решения, построенного с помощью встроеннои операции МаШетайса 10 при а=0.5;1;1.5 выглядят следующим образом:
Рис. 6. Графики приближённого решения, построенного по методу Штёрмера при п=6 и приближённого решения, построенное с помощью Ма^етаЫса 10 при а=0.5;1;1.5
Расширение интервала требует увеличения числа функции. Приведем графики для интервала [0;10].
Графики решения, построенного по методу Штермера при п=14 и с помощью встроеннои операции МаШетайса 10 при а=0.5;1;1.5 выглядят следующим образом:
-5
)
Дальнейшее развитие и выводы
Первое перспективное направление развития связано с аппроксимацией степеней х и функции соб(х) нейронными сетями. В результате решение приближается многослоинои неиросетевои функциеи, которую можно реализовать в виде неирочипа для ускорения вычислении. Второе направление получается при оптимизации выбора шагов Ък (х). Простеишии
вариант получается, если выбрать Ък (х) = hkх . При этом hk находятся исходя из минимизации
подходящего функционала ошибки [6]. Более продвинутьш вариант получается, если Ък (х) искать
как некоторые неиросетевые функции, веса которых подбираются оптимизациеи упомянутых выше функционалов.
В качестве определения границ возможностеи запишем приближенное решение, которое получается применением стандартного метода Эилера [10] с двумя шагами ^х) и х — ^х). Тогда
в качестве приближенного решения получится функция у2( х) = 1 — ^ х)(1 — ^ х)) х2 (а+ q). Возникает вопрос подбора ^х) , для которои ошибка минимальна. Графики подобнои функции h(х) для д = 1 приведены ниже.
Рис. 8. Графики оптимального h(х) при а=0.5;1;1.5 В силу известного своиства неиросетевых функции как оптимального аппроксиматора функция ^х,а) может быть сколь угодно точно приближена неироннои сетью использованием методов [6]. Соответствующие графики для решении приведены ниже
приближённого решения, построенное с помощью Mathematica 10 при а=0.5;1;1.5
В качестве вывода укажем, что представленным в даннои работе подход обладает очень широким множеством возможностеи для построения приближенных аналитических решении важных практических задач и реализации этих решении в виде неирочипов. Границы применимости предложенного метода пока трудно представить.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №14-01-00660 и №14-01-00733).
Литература
1. Андреев В. С. Теория нелинейных электрических цепей: Учебное пособие для вузов. 1982. - 280 с. С.225-234.
2. Васильев А.Н., Тархов Д.А., Шемякина Т.А. Гибридный метод построения параметрической нейросетевой модели катализатора // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - М.: ИНТУИТ.РУ, 2014. Т.1. №1(9). С.476-484.
3. Васильев А. Н., Тархов Д. А., Шемякина Т. А. Модель неизотермического химического реактора на основе параметрических нейронных сетей. Гибридный метод // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - М.: ИНТУИТ.РУ, 2015. Т.2. №11. - С.271-278.
4. Васильев А.Н., Тархов Д.А., Шемякина Т.А. Многоуровневые модели окружающей среды в мегаполисах Современные информационные технологии и ИТ-образование. - М.: ИНТУИТ.РУ, 2015. Т. 2. № 11. - С. 267-270.
5. Васильев А.Н., Тархов Д.А., Шемякина Т.А. Мезо-уровневая нейросетевая модель загрязнения атмосферного воздуха Санкт-Петербурга по данным мониторинга // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - М.: ИНТУИТ.РУ, 2015. Т. 2. № 11. - С. 279-283.
6. Васильев А. Н., Тархов Д. А., Шемякина Т. А. Нейросетевой подход к задачам математической физики. - СПб.: «Нестор-История», 2015. - 260 с.
7. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Оникс 21 век, 2005. - 400с.
8. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. Пер. с нем.— М.: Мир, 1982.— 304 с. С.165-170.
9. Романова А.Г., Тархов Д.А, Шемякина Т.А. О применении нейросетевых моделей в экологии «Соврем. Информац. технологии и ИТ-образование». - М.: ИНТУИТ.РУ, 2013, Т.1. № 1(8). - С.534 -539.
10. Челомей В.Н. (пред.). — М.: Машиностроение, 1978 — Т. 1. Колебания линейных систем/Под ред. В. В. Болотина. 1978. - 352 с.
11. Budkina E. M., Kuznetsov E. B., Lazovskaya T. V., Leonov S. S., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N. Neural Network Technique in Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. - pp. 277-283, 2016
12. Gorbachenko V. I., Lazovskaya T. V., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N., Zhukov M.V. Neural Network Technique in Some Inverse Problems of Mathematical Physics // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. - pp. 320-316, 2016
13. Kainov, N.U., Tarkhov, D.A., Shemyakina, T.A. Application of neural network modeling to identication and prediction problems in ecology data analysis for metallurgy and welding industry / / Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2014. vol. 17, 1. - pp. 57-63
14. Lazovskaya, T.V., Tarkhov, D.A.: Fresh approaches to the construction of parameterized neural network solutions of a stiff differential equation. St. Petersburg Polytechnical University Journal: Physics and Mathematics (2015), http://dx.doi.org/10.1016/j.spjpm.2015.07.005
15. Shemyakina T. A., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N. // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. - pp. 547-554, 2016
16. Tarkhov D, Vasilyev A 2005 New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. I: Simple problems Optical Memory and Neural Networks (Information Optics) 14. - pp.59-72
17. Tarkhov D., Vasilyev A. 2005 New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. II: Complicated and nonstandard problems Optical Memory and Neural Networks (Information Optics) 14. - pp.97-122.
18. Vasilyev A., Tarkhov D. Mathematical Models of Complex Systems on the Basis of Artificial Neural Networks / / Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2014. vol. 17, 2. - pp.327-335.
References
1. Andreev V. S. Teoriya nelinejnyh ehlektricheskih cepej: Uchebnoe posobie dlya vuzov. 1982. - 280 s. S.225-234.
2. Vasil'ev A.N., Tarhov D.A., SHemyakina T.A. Gibridnyj metod postroeniya parametricheskoj nejrosetevoj modeli katalizatora // Sovremennye informacionnye tekhnologii i IT-obrazovanie. - M.: INTUIT.RU, 2014. T.1. №1(9). S.476-484.
3. Vasil'ev A. N., Tarhov D. A., SHemyakina T. A. Model' neizotermicheskogo himicheskogo reaktora na osnove parametricheskih nejronnyh setej. Gibridnyj metod // Sovremennye informacionnye tekhnologii i IT-obrazovanie. - M.: INTUIT.RU, 2015. T.2. №11. - S.271-278.
4. Vasil'ev A.N., Tarhov D.A., SHemyakina T.A. Mnogourovnevye modeli okruzhayushchej sredy v megapolisah Sovremennye informacionnye tekhnologii i IT-obrazovanie. - M.: INTUIT.RU, 2015. T. 2. № 11. - S. 267-270.
5. Vasil'ev A.N., Tarhov D.A., SHemyakina T.A. Mezo-urovnevaya nejrosetevaya model' zagryazneniya atmosfernogo vozduha Sankt-Peterburga po dannym monitoringa // Sovremennye informacionnye tekhnologii i IT-obrazovanie. - M.: INTUIT.RU, 2015. T. 2. № 11. - S. 279-283.
6. Vasil'ev A. N., Tarhov D. A., SHemyakina T. A. Nejrosetevoj podhod k zadacham matematicheskoj fiziki. - SPb.: «Nestor-Istoriya», 2015. - 260 s.
7. Verzhbickij V.M. CHislennye metody. Matematicheskij analiz i obyknovennye differencial'nye uravneniya. - M.: Oniks 21 vek, 2005. - 400s.
8. Magnus K. Kolebaniya: Vvedenie v issledovanie kolebatel'nyh sistem. Per. s nem.— M.: Mir, 1982.— 304 s. S.165-170.
9. Romanova A.G., Tarhov D.A, SHemyakina T.A. O primenenii nejrosetevyh modelej v ehkologii «Sovrem. Informac. tekhnologii i IT-obrazovanie». - M.: INTUIT.RU, 2013, T.1. № 1(8). - S.534 -539.
10. CHelomej V.N. (pred.). — M.: Mashinostroenie, 1978 — T. 1. Kolebaniya linejnyh sistem/Pod red. V. V. Bolotina. 1978. - 352c.
11. Budkina E. M., Kuznetsov E. B., Lazovskaya T. V., Leonov S. S., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N. Neural Network Technique in Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. - pp. 277-283, 2016.
12. Gorbachenko V. I., Lazovskaya T. V., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N., Zhukov M.V. Neural Network Technique in Some Inverse Problems of Mathematical Physics // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. - pp. 320-316, 2016.
13. Kainov, N.U., Tarkhov, D.A., Shemyakina, T.A. Application of neural network modeling to identication and prediction problems in ecology data analysis for metallurgy and welding industry / / Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2014. vol. 17, 1. - pp. 57-63.
14. Lazovskaya, T.V., Tarkhov, D.A.: Fresh approaches to the construction of parameterized neural network solutions of a stiff differential equation. St. Petersburg Polytechnical University Journal: Physics and Mathematics (2015), http://dx.doi.org/10.1016/j.spjpm.2015.07.005.
15. Shemyakina T. A., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N. // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. - pp. 547-554, 2016.
16. Tarkhov D, Vasilyev A 2005 New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. I: Simple problems Optical Memory and Neural Networks (Information Optics) 14. - pp.59-72.
17. Tarkhov D., Vasilyev A. 2005 New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. II: Complicated and nonstandard problems Optical Memory and Neural Networks (Information Optics) 14. - pp.97-122.
18. Vasilyev A., Tarkhov D. Mathematical Models of Complex Systems on the Basis of Artificial Neural Networks / / Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2014. vol. 17, 2. - pp.327-335.
Поступила: 15.10.2016
Об авторах:
Тархов Дмитрий Альбертович, доктор технических наук, профессор кафедры высшая математика Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (ФГАОУ ВО «СПбПУ»), [email protected];
Шершнева Екатерина Андреевна, студент кафедры механика и процессы управления Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (ФГАОУ ВО «СПбПУ»), [email protected].
