CC BY
57
УДК 004.032.26+519.62
Васильев А.Н., Тархов Д.А., Шемякина Т.А.
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, Россия
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
АННОТАЦИЯ
Рассматриваются подходы к построению многослойных приближённых решений дифференциальных уравнений. Эти подходы основаны на классических приближённых методах. В отличие от классических подходов в результате вычислений получаются не поточечные приближения, а приближённые решения в виде функций. Данные методы могут быть применены для генерации сколь угодно точных приближённых нейросетевых решений без трудоёмкой процедуры обучения. Проведены вычислительные эксперименты на тестовых задачах.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Нейронные сети; приближенные решения; дифференциальные уравнения.
Vasilyev A.N., Tarkhov D.A., Shemyakina T.A.
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Saint Petersburg, Russia
APPROXIMATE ANALYTICAL SOLUTIONS OF ORDINARY DIFFERENTIAL
EQUATIONS
ABSTRACT
Original approaches to building multi-layered approximate solutions of differential equations are discussed. These approaches are based on classical approximate methods. In contrast to classical approaches, we obtain as the result of the calculation not pointwise approximations but approximate solutions as functions. These methods can be applied for generating arbitrarily accurate approximate neural network solutions without time-consuming learning procedure. Computational experiments were carried out on several test problems.
KEYWORDS
Neural networks; approximate solutions; differential equations. Введение
Мы неоднократно отмечали в качестве одного из преимуществ неиросетевого моделирования над классическими подходами к построению приближенных решении дифференциальных уравнении (типа метода сеток) то обстоятельство, что неиросетевои подход позволяет получить решение в виде аналитическои формулы, а не набора числовых значении [1-5, 7-14]. В даннои работе показано, что это не совсем верно: задаваемые аналитически приближения для решения можно получить на основе более общих подходов, куда неиросетевои входит как частныи случаи. На примере обыкновенных дифференциальных уравнении с помощью метода Эилера и некоторых его обобщении получены приближенные аналитические решения. Обычные оценки точности исходных классических методов позволяют получить удобные оценки точности полученных приближении.
Данныи подход несложно распространить и на другие алгоритмы подобного типа. Так, например, этот подход распространяется на сеточные методы решения дифференциальных уравнении в частных производных. С помощью данного подхода, в частности, можно получить многослоиные неиросетевые приближенные решения дифференциальных уравнении без трудоемкои процедуры обучения. Получившиеся таким образом неиронные сети можно обучить с помощью классических методов [6].
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнении
fy'( x) = f (x, y( x)),
У( xo) = У 0
на промежутке D = [х0; х0 + а]. Здесь х е В с □ , у с □ р, f : □ р ^ □ р. Классический метод Эйлера состоит в разбиении промежутка В на п частей: х0 < х1 <... < хк < хк+1 <... < хп = х0 + а, и применении итерационнои формулы
у к+1 = у к + К * (хк , у к), [2]
где Кк = хк+1 - хк; ук - приближение к точному значению искомого решения у(хк).
Известна оценка получившихся приближении в виде
||у(хк) - У к || ^ с тах(Кк), [3]
где постоянная С зависит от оценок функции * и ее производных в области, в которои находится решение [6].
С помощью формулы [2] будем строить приближенное решение задачи [1] на интервале В = [х0, х] с переменным верхним пределом х е [х0, х0 + а]. При этом Кк = Кк (х), ук = ук (х), у0(х) = у0 и в качестве приближенного решения предлагается использовать уп (х).
Самыи простои вариант алгоритма получается при равномерном разбиении промежутка с шагом Кк (х) = (х - х0)/ п . Такои вариант применялся при тестировании алгоритма.
В качестве тестовои была выбрана задача о нелинеиных колебаниях маятника
[у"(х) + а sin(у) = 0, у(0) = 1, у'(0) = 0
Перепишем постановку [4] в виде системы дифференциальных уравнении. Для этого
(4)
(
введем вектор y(x)=
yi(x) | = í У(x) У2 (x) J ly'(x)
Л
(
и вектор f (x, y( x)) =
fi( x, yi( x), У2 (x))
Л (
f2(x, yi(x), У2 (x)) J l -a sin (У1(x))
У2 (x)
Л
тогда (4) примет вид системы (1) с условием Коши y(0) =
í11
10 j
. В дальнеиших рассмотрениях под
приближенными решениями уп (х) подразумеваются первые компоненты уп (х).
Представим некоторые результаты вычислительных экспериментов, проведенных в среде Mаthemаticа 10. Рассматривали две серии вычислительных экспериментов: первыи - для случая х е [0; 1],
второи - для случая х е [0; 5]. Параметр а = 1,2,3 . Количество разбиении п = 2,3,5,10,15 . Вычислительные эксперименты
Результаты вычислительных экспериментов для промежутка [0,1]. Применяем метод Эилера [2] при п = 2, тогда получаем формулу
уп (х) = 1 - 0.25x2аsin1 [5]
Графики данного приближенного решения уп (х) и решения у(х), построенного с помощью встроеннои операции МаШетайса 10, при а = 1; 2; 3 выглядят следующим образом:
Рис. 1. Графики приближённого решения yn (x) из (5) и y (x), построенного с помощью Mathematica 10, при
a = 1;2; 3
На рис.1 видим, что точность приближенного решения неудовлетворительная, хотя характер решения отражается верно. С увеличением количества разбиении n = 5 получим формулу
yn(x) = 1 - 0.04 (7x2a sin 1 + x2a sin [l - 0.12x2a sinl] + 2x2a sin [l - 0.04x2a sinl]) (6)
Графики данного приближенного решения yn (x) и решения y(x), построенного с помощью
встроенной операции МаШетайса 10, при а = 1;2;3 существенно ближе друг к другу:
0.2 0.4 0.6 08 10 0.2 0.4 0.6 08 1.0
Рис. 2. Графики приближённого решения уп (х) из (6) и у(х), построенного с помощью МаАетаИса 10, при
а = 1;2;3
Дальнеишее увеличение количества разбиении п приводит к постепенному повышению точности и усложнению вида полученного приближенного решения. При этом точность формул растет как первая степень п в соответствии с оценкои (3).
Более точные формулы получаются при применении методов второго порядка, для которых оценка (3) заменяется оценкои ||у() - ук|| < С тах(Кк )2.
Одним из методов такого типа является уточненныи метод Эилера, для которого формула (2) заменяется формулои из книги [6]
у *+1 = у *-1 + 2к*f (х* > у к), (7)
к к
при этом У1 = У о + ¥ (Хо + Уо + у Ъ (Хо, Уо)).
Применяем уточненныи метод Эилера (7) при п = 2, тогда получаем формулу
уп (х) = 1 - о.5х^т1 (8)
Графики данного приближенного решения уп (х) и решения у(х), построенного с помощью встроеннои операции МаШетайса 10, при а = 1;2;3 выглядят следующим образом:
Рис. 3. Графики приближённого решения yn (x) из (8) и y (x), построенного с помощью Mathematica 10, при
а = 1;2;3
На рис.3 видим, что точность приближённого решения yn (x) из формулы (8) существенно выше, чем приближенного решения, полученного применением метода Эилера по формуле (6).
С увеличением количества разбиении n = 5 уточненныи метод Эилера (7) представим формулои
yn (x) = 1 - 0.0168х2а- 0.32х2а sin Ti - 0.0168x2a]-
(9)
- 0.16x2a sin [i- 0.0168x2a - 0.16x2a sin [i - 0.0168x2a]]
Графики данного приближенного решения yn (x) и решения y(x), построенного с помощью встроеннои операции Mathematica 10, при а = 1;2;3 практически сливаются:
а = 1;2;3
Рассмотрим метод средней точки из книги [6]:
y *+1 = y * + hf (** + у, y * + y f(**, y *)) [10]
Применяем метод среднеи точки (10) при n = 2, тогда получаем формулу
yn (x) = 1- 0.316х2а - 0.125x2« sin [1 - 0.105х2а] (11)
Графики данного приближённого решения уп (х) и решения у(х), построенного с помощью встроенной операции МаШетайса 10, при а = 1;2;3 выглядят следующим образом:
а = 1;2;3
Точность приближенного решения (11) еще выше, чем у формулы, получающеися применением уточненного метода Эилера (7) - (9). Применяем метод среднеи точки (10) при п = 5, тогда получаем формулу
уп (х) = 1 - 0.151х2а - 0.12х2а Sin[1 - 0.0337х2а] - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а] -
- 0.02х2а Sin[1 - 0.05х2а - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а]] -
-0.08x2аSin[1 - 0.0673х2а - 0.02x2аSin[1 - 0.0337х2а] - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а]] -
-0.02х2а Sin[1 - 0.0841х2а - 0.04х2а Sin[1 - 0.0337х2а] -0.02х2аЗт[1 - 0.0168х2а] -
- 0.02х2а Sin[1 - 0.05х2а - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а]]] --0.04х2а Sin[1 - 0.1х2а - 0.06х2а Sin[1 - 0.0337х2а] - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а] --0.02х2а Sin[1 - 0.05х2а - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а]] -
-0.02х2а Sin[1 - 0.0673х2а - 0.02х2а Sin[1 - 0.0337х2а] - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а]]] --0.02х2а Sin[1 - 0.119х2а - 0.08х2а Sin[1 - 0.0337х2а] - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а] --0.02х2а Sin[1 - 0.05х2а - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а]] -
-0.04х2а Sin[1 - 0.0673х2а - 0.02х2а Sin[1 - 0.0337х2а] - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а]] --0.02х2а Sin[1 - 0.0841х2а - 0.04х2а Sin[1 - 0.0337х2а] - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а] --0.02х2а Sin[1 - 0.0505х2а - 0.02х2а Sin[1 - 0.0168х2а]]]] Графики данного приближенного решения уп (х) из последнеи формулы и решения у(х), построенного с помощью Mаthemаticа 10, при а = 1;2;3 практически сливаются.
Рассматриваем еще один метод, подобньш выше тестируемым, это метод Хоина из книги [6]:
Уk+1 = y* + у [f(Xk, yk) + f X + К, yk + hf (x*, yk))]. (12)
Результаты применения метода Хоина (12) к рассматриваемой задаче (4) аналогичны результатам применения метода среднеи точки (10).
Рассмотрим тесты исправленного метода Эилера, которыи работает в соответствии с формулои:
у k+1 = у k + hk [f (Xk, y k) + \ (fX (Xk, у k) + fy (Xk, у k )f (Xk, у k))] (13)
Применение данного метода к рассматриваемои задаче (4) дает такие же результаты, как и у предыдущих методов среднеи точки (10) и Хоина (12).
Приведем результаты для стандартного решения задачи (4), полученного с помощью разложения в степеннои ряд в окрестности x0 = 0 для n = 6
yn (x) = 1 - 0.5а sinl X2 + а2 sin2 x4/12 + a3sin1 x6 (3sin21 - cos2l)/720. (14)
Заметим, что первые два слагаемых совпадают с результатом, полученным с помощью
а = 1; 2; 3
На рис.6 видим, что во второй половине промежутка приближенное решение (14) проигрывает в точности всем приведенным выше решениям, кроме решения, полученного (5) методом Эилера для разбиения п = 2.
Результаты вычислительных экспериментов для промежутка [0,5].
Приведем результаты для значении параметра« = 1 и а=3 .
Графики приближенного решения уп (х), полученного по формуле (14), и решения у(х), построенного с помощью встроеннои операции МаШетайса 10, при а = 1 выглядят следующим образом:
Рис. 7. Графики приближённого решения уп (х) из (14) и у(х), построенного с помощью МаАетаИса 10,
при а = 1 и для ( в), г), д), е)) - п = 10
На рис.7 видим, что метод Эйлера (2) существенно проигрывает всем остальным методам, причем ситуацию не спасает значительное увеличение числа разбиении п .
Графики приближенного решения уп (х), полученного по формуле (14), и решения у(х), построенного с помощью встроеннои операции МаШетайса 10, приа = 3 выглядят следующим образом:
г) Метод средней точки (10)
д) Метод Хойна (12)
е) Исправленный метод Эйлера (13)
Рис. 8. Графики приближённого решения yn (x) из (14) и y (x), построенного с помощью Mathematica 10
при а = 3 и для ( в), г), д), е)) - n = 10 На рис.8 видим, что в данном случае лучше всего работает метод Хойна (12). По данным графикам может сложиться неверное представление о сравнительной эффективности методов: более точными представляются (2), (7), (10), (12), (13). Однако уточненныи метод Эилера (7) при n = 10 дает вполне обозримое приближение:
yn (x) = 0.02 (50 - 5х2а Sinl - 8x 2а Sin[1 - 0.02x 2а Sinl] -
- 6x2а Sin[0.04(25 - x2а Sinl - x2a Sin[-0.02x2а Sinl])] -
- 4x2аSin[0.02(50 - 3x2а Sinl - 4x2aSin [l - 0.02x2а Sinl] -
- 2x2а Sin[0.04(25 - x2а Sinl - x2aSin[l - 0.02x2а Sinl])])] -
-2x2a Sin[0.04(25 - 2x2а Sinl - 3x2а Sin[l - 0.02x2а Sinl] --2x2a Sin[0.04(25 - x2a Sinl- x2а Sin[l- 0.02x2а Sinl])] --x2aSin[0.02(50 - 3x2а Sinl - 4x2aSin [l - 0.02x2a Sinl] -
-2xa Sin[0.04(25 - x2a Sinl- x2a Sin[l- 0.02Sinl])])])]). Методы, использующие формулы (10) - метод среднеи точки, (12) - метод Хоина, (13) -исправленныи метод Эилера, дают существенно более сложные аналитические выражения.
Дальнейшее развитие
Первым направлением развития является включение начальных условии в параметры решения. Так, например, в качестве обобщения задачи (4) получаем
í y" (x) + a sin(y) = 0,
1 y(0) = y0,y' (0) = yl. Методом Эилера при n = 3 получаем приближенное решение
y0 + yl x - 2 x2a sin y0 -1 x2a sin
Ус +
ylx
3
а при n = 5 - приближенное решение
y0 + y1 x - — (4x2a sin [y0 ] + 3x2asin
y1 x
y0 + У5"
+ 2x a sin
2 yiX 1 2 Г 1
Уо +———x asin [ Уо ]
+ x a sin
3 y1 x 2 2 1 2 y0 +—^--— x asin[y0]+~x asin
Уо +
У1x
Аналогичные результаты можно получить, применяя и другие методы, приведенные выше. Подобные параметрические решения можно применить для решения краевых задач. Например, задачу
Г y"(x) + a sin(y) = О, 1 У(О) = Уo, У(а) = Уа ,
можно решать, определяя y1 из уравнения y(a) = ya, используя в качестве y(x) полученное параметрическое решение.
Второе направление развития связано с тем, что в формуле (2) и других аналогичных формулах используется не сама функция f (x, y), а ее неиросетевое приближение. Подобныи вариант может возникать, например, когда функция f(x, y) задана таблично или получается решением некоторои другои задачи, когда это решение целесообразно искать в классе неиросетевых функции. В результате даже для однослоиных неиросетевых функции f(x, y) получаем решение в виде многослоинои неироннои сети.
Третье направление получается при оптимизации расстановки точек xk исходя из минимизации подходящего функционала ошибки. Данное направление можно развить, заменив числовые значения в полученных выше аналитических приближенных решениях параметрами и подбирая эти параметры минимизациеи функционала ошибки, используя исходные числовые значения как начальные приближения. При использовании неироннои сети, как это было указано выше, в результате такого подхода получаем обычную процедуру обучения.
Четвёртое направление связано с распространением изложенного подхода на уравнения в частных производных. Для этого можно применить, например, метод прямых.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №14-01-00660 и №14-01-00733).
Литература
1. Васильев А.Н., Тархов Д.А., Шемякина Т.А. Гибридный метод построения параметрической нейросетевой модели катализатора// Современные информационные технологии и ИТ-образование, 2014. - №10. - С.476-484.
2. Васильев А.Н., Тархов Д.А., Шемякина Т.А. Модель неизотермического химического реактора на основе параметрических нейронных сетей. Гибридный метод// Современные информационные технологии и ИТ-образование, 2015. - Т.2. №11. - С.271-278.
3. Васильев А.Н., Тархов Д.А., Шемякина Т.А. Многоуровневые модели окружающей среды в мегаполисах// Современные информационные технологии и ИТ-образование, 2015. - Т. 2. № 11. - С. 267-270.
4. Васильев А.Н., Тархов Д.А., Шемякина Т.А. Мезо-уровневая нейросетевая модель загрязнения атмосферного воздуха Санкт-Петербурга по данным мониторинга// Современные информационные технологии и ИТ-образование, 2015. - Т. 2. № 11. - С. 279-283.
5. Васильев А.Н., Тархов Д.А., Шемякина Т.А. Нейросетевой подход к задачам математической физики. - СПб.: «Нестор-История», 2015. - 260 с.
6. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Оникс 21 век, 2005. - 400 с.
7. Романова А.Г., Тархов Д.А, Шемякина Т.А. О применении нейросетевых моделей в экологии// Современные информационные технологии и ИТ-образование, 2013. - № 9. - С.534 -539.
8. Budkina E. M., Kuznetsov E. B., Lazovskaya T. V., Leonov S. S., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N. Neural Network Technique in Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. 2016. - pp. 277-283.
9. Gorbachenko V. I., Lazovskaya T. V., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N., Zhukov M.V. Neural Network Technique in Some Inverse Problems of Mathematical Physics // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. 2016. - pp. 310-316.
10. Kainov N.U., Tarkhov D.A., Shemyakina T.A. Application of neural network modeling to identication and prediction problems in ecology data analysis for metallurgy and welding industry// Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2014. - vol. 17, 1. - pp. 57-63.
11. Lazovskaya T.V., Tarkhov D.A. Fresh approaches to the construction of parameterized neural network solutions of a stiff differential equation. St. Petersburg Polytechnical University Journal: Physics and Mathematics (2015), http://dx.doi.org/10.1016/j.spjpm.2015.07.005
12. Shemyakina T. A., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N.// Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. 2016. - pp. 547-554.
13. Tarkhov D., Vasilyev A. New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. I: Simple problems Optical Memory and Neural Networks (Information Optics), 2005. - 14. - pp. 59-72.
+
14. Tarkhov D., Vasilyev A. New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. II: Complicated and nonstandard problems Optical Memory and Neural Networks (Information Optics), 2005. - 14. - pp. 97122.
15. Vasilyev A., Tarkhov D. Mathematical Models of Complex Systems on the Basis of Artificial Neural Networks// Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2014. - vol. 17, 2. - pp. 327-335.
References
1. Vasil'ev A.N., Tarkhov D.A., Shemyakina T.A. Gibridnyy metod postroeniya parametricheskoy neyrosetevoy modeli katalizatora// Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie, 2014. - №10. - S.476-484.
2. Vasil'ev A.N., Tarkhov D.A., Shemyakina T.A. Model' neizotermicheskogo khimicheskogo reaktora na osnove parametricheskikh neyronnykh setey. Gibridnyy metod// Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie,
2015. - T.2. №11. - S.271-278.
3. Vasil'ev A.N., Tarkhov D.A., Shemyakina T.A. Mnogourovnevye modeli okruzhayushchey sredy v megapolisakh// Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie, 2015. - T. 2. № 11. - S. 267-270.
4. Vasil'ev A.N., Tarkhov D.A., Shemyakina T.A. Mezo-urovnevaya neyrosetevaya model' zagryazneniya atmosfernogo vozdukha Sankt-Peterburga po dannym monitoringa// Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie, 2015. - T. 2. № 11. - S. 279-283.
5. Vasil'ev A.N., Tarkhov D.A., Shemyakina T.A. Neyrosetevoy podkhod k zadacham matematicheskoy fiziki. - SPb.: «Nestor-Istoriya», 2015. - 260 s.
6. Verzhbitskiy V.M. Chislennye metody. Matematicheskiy analiz i obyknovennye differentsial'nye uravneniya. - M.: Oniks 21 vek, 2005. - 400 s.
7. Romanova A.G., Tarkhov D.A, Shemyakina T.A. O primenenii neyrosetevykh modeley v ekologii// Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie, 2013. - № 9. - S.534 -539.
8. Budkina E. M., Kuznetsov E. B., Lazovskaya T. V., Leonov S. S., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N. Neural Network Technique in Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. 2016. - pp. 277-283.
9. Gorbachenko V. I., Lazovskaya T. V., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N., Zhukov M.V. Neural Network Technique in Some Inverse Problems of Mathematical Physics // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN
2016, LNCS 9719. 2016. - pp. 310-316.
10. Kainov N.U., Tarkhov D.A., Shemyakina T.A. Application of neural network modeling to identication and prediction problems in ecology data analysis for metallurgy and welding industry// Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2014. - vol. 17, 1. - pp. 57-63.
11. Lazovskaya T.V., Tarkhov D.A.: Fresh approaches to the construction of parameterized neural network solutions of a stiff differential equation. St. Petersburg Polytechnical University Journal: Physics and Mathematics (2015), http://dx.doi.org/10.1016/j.spjpm.2015.07.005
12. Shemyakina T. A., Tarkhov D. A., Vasilyev A. N.// Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016, LNCS 9719. 2016. - pp. 547-554.
13. Tarkhov D., Vasilyev A. New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. I: Simple problems Optical Memory and Neural Networks (Information Optics), 2005. - 14. - pp. 59-72.
14. Tarkhov D., Vasilyev A. New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. II: Complicated and nonstandard problems Optical Memory and Neural Networks (Information Optics), 2005. - 14. - pp. 97122.
15. Vasilyev A., Tarkhov D. Mathematical Models of Complex Systems on the Basis of Artificial Neural Networks// Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2014. - vol. 17, 2. - pp. 327-335.
Поступила: 15.10.2016
Об авторах:
Васильев Александр Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Высшая математика» Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (ФГАОУ ВО «СПбПУ»), a.n.vasilyev@gmail.com;
Тархов Дмитрий Альбертович, доктор технических наук, профессор кафедры «Высшая математика» Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (ФГАОУ ВО «СПбПУ»), dtarkhov@gmail.com;
Шемякина Татьяна Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (ФГАОУ ВО «СПбПУ»), sh_tat@mail.ru.
