Приближенное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе ортогональных разложений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 4, 2009 Электронный журнал, рег. N П2375 от 07.03.97 ISSN 1817-2172

http://www. neva. ru/journal http://www. math. spbu. ru/diffjournal/ e-mail: jodiffWmail.ru

УДК 519.622

ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

О. Б. Арушанян, Н. И. Волченскова, С. Ф. Залеткин

Предложен приближенный метод решения задачи Коши для нормальных и канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Метод основан на ортогональных разложениях решения и его производной на шаге интегрирования в смещенные ряды по многочленам Чебышева первого рода. Построены уравнения для приближенных значений коэффициентов Чебышева правой части системы, описан итерационный процесс их решения и рассмотрены достаточные условия сходимости. Даны асимптотические оценки погрешности приближенных коэффициентов Чебышева и решения относительно величины шага интегрирования.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы интегрирования, численные методы интегрирования, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышева, квадратурные формулы Маркова.

Работа посвящена теоретической разработке метода приближенного решения задачи Коши для канонической системы М обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

у" = /(х,у,уг), Хо < х < хо + X, (1)

с начальными условиями

У(хо) = Уо, (2)

У/(хо) = у0 (3)

и задачи Коши для нормальной системы

у/ = /(х,у), Хо <Х<Х0 + X, (4)

y(x о) = уо.

(5)

Метод основан на разложении правой части системы, взятой на решении дифференциального уравнения, на частичном сегменте [жо, жо+Н], Н < X, в ряд Фурье по ортогональным многочленам Чебышева первого рода. Частичная сумма этого ряда используется в качестве многочлена, аппроксимирующего правую часть /(ж,у(ж),у'(ж)) уравнения (1) (соответственно /(ж,у(ж)) для уравнения (4)). Вычисление коэффициентов указанного разложения ведется с помощью квадратурной формулы Маркова. Предлагаемый подход отличается от известного способа нахождения коэффициентов посредством линейных рекуррентных соотношений [1-4], предназначенного, как правило, для интегрирования линейных дифференциальных уравнений и имеющего ряд ограничений и затруднений в применении.

Мы будем использовать систему смещенных многочленов Чебышева первого рода Т*(ж) на отрезке [0,1] и смещенный ряд Чебышева

Ё' ТТ(ж)

(6)

г=0

функции <^(ж) € ( 0,1;

д/ж(1 — ж)

где

а*М = -

П .) л/ж(1 — ж) о

<^(ж) Т*(ж) ^ж,

(7)

символ Ё' определен форм улой Ё' а3 = - а, + а1+1 + ... + ш>1. Будем предполагать,

з=1

что правая часть дифференциального уравнения имеет достаточное число непрерывных частных производных, обеспечивающих справедливость приводимых в работе оценок для погрешности рассматриваемого метода.

1. Разложение решения задачи Коши и его производной в ряд Чебышева. Зададим некоторое число Н < X и рассмотрим на частичном сегменте [жо,жо + Н] задачу Коши (1)-(3). Приведем соотношения, которые связывают коэффициенты Чебышева производной у'(жо + аН), рассматриваемой как функция переменной а, 0 <а< 1, с коэффициентами Чебышева функции

Ф(а) = /(жо + аН, у(жо + аН), у'(жо + аН)):

Н

а* [у'(жо + аН) = ^(а^Ф] — а*+1 [Ф]), г > 0,

- ао [у'(жо + аН)] = у'0 + Н (ао[Ф] — 1 а1 [Ф]) + Н Е(—1)3 (3

3=2

3 + 1 3 — 1

а*[Ф].

Подобным образом выражаются коэффициенты Чебышева решения у(жо + аН):

(8) (9)

а*[у(жо + аН)] = * (г + 1)а*-2[Ф]- 2га* Ф (г — 1)а*+2[Ф] , г >

г(г2 — 1)

Н2

а1 [у (жо + аН)] = -

а2[у(жо + аН) = - (3ао[Ф] — 4а2[Ф] + а|[Ф]),

уо + Н (ао[Ф] — 4а1 [Ф] + 4а3[Ф]) + Н Е(—1)3 (3

3=2

3 + 1 3 — 1

а*[Ф]

(10)

(11) (12)

1

1

1

1

1

1

1

1 л Л2

2а*0 [у(ж0 + аЛ)] = у0 + ^У> + 32(3а0[Ф| - 2а1[Ф| + а2[Ф|) +

+ (т+Г - 7^1*1-Л6 1 ^ а*|ФЬ а'+2[Ф| (13)

8 ^ ) Ч + 1 7 - 1) 111 16 ¿1( ) Ч +2 ^ 7 + 1

Из сделанного выше предположения о гладкости правой части уравнения вытекает равномерная сходимость всех рассматриваемых в данной работе рядов. Заметим, что если коэффициенты Чебышева функции Ф(а) удовлетворяют условию а*[Ф| = 0 г>к + 1, то а*[у'| = 0 г>к + 2,

а*[у| =0 г>к + 3.

2. Вывод уравнений для приближенных значений коэффициентов Чебышева правой части. Из приведенных соотношений видно, что для практического применения ортогональных разложений решения и его производной

те

а:

у(хо + аЛ) = ^'а* [у(жо + аЛ)] Т*(а),

г=0 те

у'(жо + аЛ) = ^' а* [у'(жо + аЛ)] Т*(а)

а*

г=0

необходимо иметь значения коэффициентов Чебышева а* [Ф| взятой на решении задачи Коши (1)-(3) правой части системы

те

Ф(а) = £'а*[Ф| Т*(а).

г=0

Поэтому дальнейшая цель наших рассуждений состоит в том, чтобы дать способ определения коэффициентов а*[Ф|. Для этого мы перейдем к выводу уравнений, которым удовлетворяют приближенные значения коэффициентов Чебышева правой части, и к описанию алгоритма их решения.

Рассмотрим к-ю частичную сумму ряда Чебышева правой части Ф(а):

к

Бк(а, Ф) = £'а*[Ф| Т*(а). (14)

г=0

Вычислим коэффициенты а*[Ф|, г = 0,1, ... , к, входящие в (14), по квадратурной формуле Маркова [5] с одним наперед заданным узлом а = 0, числом нефиксированных узлов к и весовой

функцией — =. Пусть многочлен Зк(а) представляет полученную таким образом частич-

а(1 - а)

ную сумму

к

Зк(а) = £'а*[Зк| Т*(а), (15)

где

г=0

к

2к + 1

(27 - 1)п

а* [Зк | = 2к^ГТ£' Ф(а1) Т*(а,), (16)

1=0

1 + С°8 2к + 1

а0 = 0, а,- =-22к + 1 , 7 = 1,2, ... , к.

Аппроксимируем функцию Ф(а) многочлен ом Зк (а). Тогда погрешность аппроксимации складывается из остаточного члена г к (а, Ф) ряда и ошибок в приближенных значениях коэффициентов

Чебышева:

Ф(а) - 7к(а) = Е' ВД*(а) + Гк(а, Ф).

(а

г=0

Здесь

1 *

Я = Д(ФТ?) = 24к(2к + 1), ЕС2к+1Ф(2к+1-°(п)Т*%), 0<п< 1, Ф(а) € С^1.

Используя оценки для остатков ряда Чебышева и квадратурной формулы Маркова, можно показать, что суммарная погрешность имеет порядок 0(Нк+1) при Н ^ 0.

Пусть

а а £

и'(жо + аН) = у'(жо) + Н ^ Л(£Ж, и(жо + аН) = у(жо) + у'(жо)аН + Н2 ^ ^ ^ Л((К, (17)

о о о

Ф(а) = /(жо + аН, и(жо + аН), и'(жо + аН)). Определим числа а* [7к], г = 0,1, ... , к, и многочлен 7к(а) по формулам

. к

а*[7к] = 2кТТ Е Ф(а^')Т*(а,-), (18)

,=о

к

7к (а) = Е' а* [7к ]Т* (а).

*=о

Значения правой части Ф (а,) в (18) зависят от значений функций и (жо + аН) и и'(жо + аН), а эти последние зависят от коэффициентов Чебышева а* [7к] • Поскольку точное решение у(жо + аН) дифференциального уравнения (1) и его производная у'(жо + аН), а следовательно, и функция Ф(а) нам не известны, то коэффициенты а*[7к] в (15), (16) являются неизвестными величинами. Будем считать, что коэффициенты Чебышева функций

к+1 к+2 и '(жо + аН) = Е' а* [и']Т* (а), и (жо + аН) = Е' а* [и]Т** (а) (19)

*=о *=о

вычисляются с помощью соотношений (8)—(13), в левых частях которых надо у' и у заменить соответственно на и' и и, а в правых частях необходимо а* [Ф] поменять на а* [7к] из (18). Поэтому соотношения (18) являются уравнениями относительно коэффициентов Чебышева а* [7к]•

и(жо + аН) и'(жо + аН) (жо + аН)

аргументов ао^кЬ аЦ^к], ... , ак [</К т-е- считая их функциями нескольких переменных, уравнения (18) могут быть записаны в виде

4 к

а* [^к] = 2к4+Г Е' ^жо + а,Н,и (жо + а,Н; ао^а^Ь ... X [7к])

и'(жо + а,Н;ао^/кКа^к], ... ,ак[Л])) Т*(а,), г = 0,1, ... ,к.

3. Оценка погрешности приближенных значений коэффициентов Чебышева. Подставим в (20) вместо а* [7к] точные значения коэффициентов Чебышева функции Ф(а). Тогда

4 к

а*[Ф] = 2к—Г Е' Яжо + а,Н, и(жо + а,Н; ао[ФЬ а1[ФЬ ... , ак[Ф])

2к + 1 ,=о (21)

и'(жо + а,Н;ао[Ф],а1[Ф], ... ,ак[Ф])) Т*(а,) + Р*.

Левая часть равенства (21) принимает значение а*[Зк| + сумма в правой части (21) равна:

а*[Зк|+ 0(Лк+2) для уравнения у" = /(ж,у,у'),

а*[Зк|+ 0(Лк+3) для уравнения у'' = /(ж,у),

а*[Зк| для уравнения у'' = /(ж).

Заметим, что Л = 0(Л2к+1-г) при Л ^ 0. Таким образом, невязка, которая при этом получается, будет иметь порядок:

у'' = /(ж, у, у')

Рк

= 0(Лк+1), Р = 0(Лк+2), 0 < г < к - 1, (22)

у'' = /(ж, у)

Рк = 0(Лк+1), рк-1 = 0(Лк+2), р = 0(Лк+3), 0 < г < к - 2, (23)

у'' = /(ж)

р = 0(Л2к+1-г), г = 0,1, ...,к. (24)

Обозначим

¿г = а*[Ф| - а* [Зк |, г = 0,1, ...к,

и вычтем из (21) уравнение (20) (для сокращения записи аргументы и и и' функции / и коэффициенты Чебышева в качестве аргументов функций и и и' указывать не будем):

. = 4 ( А |\Л/ д/(ж0 + а,Л) ди(ж0 + а,Л) Т*( ) ¿г = + ду да^[Ф| Т (а)

2к + 1 0

^ т=0

+ V" Г^'д/(ж0 + а,Л) ди'(ж0 + а,Л) Т*( )' + ^ ^ ду' дат[Ф| Т (а')

т=0 1!=0 у т1 J

¿т +

¿т > + Рг.

ди (ж0 + а, Л) 2

Скалярная матрица ---;—:- порядка М содержит множитель Л2, а скалярная матрица

дат[Ф|

ди '(ж0 + а, Л)

Л

дат[Ф|

представлено в виде

4к

¿г = 2к + 1 £ (Л2^гш + ЛРгтМт + Рг, г = 0, 1, . . . , к, (25)

т=0

где ^гт Рт — квадратные матрицы порядка М, зависящие от г и т (напомним, что М — это

¿

Л

у'' = /(ж, у, у')

¿к = 0(Лк+1), ¿г = 0(Лк+2), 0 < г < к - 1,

у'' = /(ж, у)

¿к = 0(Лк+1), ¿к-1 = 0(Лк+2), ¿г = 0(Лк+3), 0 < г < к - 2,

у'' = /(ж)

й = 0(Н2к+1-*), 0 < г < к.

4. Описание итерационного процесса определения коэффициентов Чебышева.

Применим метод последовательных приближений для решения системы уравнений (20). Допустим, что мы имеем некоторые приближенные значения коэффициентов Чебышева а* [Ф], г = 0,1, ... , к. Примем эти значения в качестве нулевого приближения неизвестных а* [Л]• Обозначим это приближение через а*[Л], полагая здесь V = 0 г = 0,1, ... , к.

Определим и-е приближение коэффициентов Чебышева а* [и'] производи ой и' по форму-г = 1, 2, . . . , к + 1 г = 0

а*М [и'] = Н (а*-1) [Л] - а*+1) [Л]), г = 1,2, ... , к + 1, (26)

2аоМ[и'] = уо + Н (а?—] - 1 а:МЛк]) + Н ЕС(-^ (- ) а*Н[Л]. (27)

,=2 Т + Т

Далее определяем и-е приближение коэффициентов Чебышева а* [и] решения и по формулам (10) для г = 3, 4, ... , к + 2,(11) для г = 2 (12) для г = 1 и (13) для г = 0, а именно:

а*(^)[и] = * (■ + ] - 2Д] + " - 1>а*+2>[л/к] , г = 3, 4.....к + 2, (28)

а2М[и] = Н6(3ао(")[л/к] - 4а2(^)[.7к] + а4м[Л]), (29)

Н Г „ , , к

а?" )[и ] = Н

Уо + Н [Л] - 4а^ [Л] + 4а3(^) [-/к]) + Н ЕЕ(-^ (7+Г - А) а*М [Л]

,=2 Т + Т

1 ао(^) [и] = уо + Нуо + I2 (3ао(^) [-/к] - 2а^ [Л] + а2М [Л]) +

, (30)

+ Н82 Е^(Т+Г - ^)а*^ - 46 Е^ (7+2 - 1) уТГ(а*^ -

3—2 3—1

(31)

Входящие в формулы (26), (28), (31) коэффициенты Чебышева а*( ^[Л] при I > к + 1 полагаются равными нулю.

По найденным значениям коэффициентов Чебышева а*(^)[и'] и а*(^)[и] вычпсляем и-е приближение для значений и '(жо + а, Н) и и (жо + а, Н):

к+1 к+2 и1(и )(жо + а, Н) = Е' а* Н[и']Т* (а,), и М(жо + а, Н) = Е' а* М [и] Т** (а,) (32)

*=о *=о

п значения правой части дифференциального уравнения (1):

Ф(а, ) = / (жо, и (^(ж°), и '(^)(жо)), жо = жо + а, Н, у = 1,2,..., к. (33)

Теперь находим (V + 1)-е приближение коэффициентов Чебышева правой части дифференциального уравнения (1) с помощью соотношений

к

а,

" к

'=° (34)

4 £' / (ж°,им(ж°),и/м (ж°))Т*Ы, г = 0,1, ...,к.

Дальнейшие приближения для коэффициентов Чебышева а*(^)[иа*(^[и], а*(^+1) [ЗкЬ V = 1, 2, ... , строятся по такой же схеме с использованием формул (26)-(34) для V = 1, 2, ... . Каждая вновь выполняемая итерация увеличивает порядок точности относительно Н очередного приближения а*(^[и], и/(^)(ж°), и(ь,)(ж°), а*(^)[^/к] на единицу. В случае, когда правая часть дифференциального уравнения (1) не зависит от производной, т.е. для уравнения у" = /(ж,у), каждая вновь выполняемая итерация увеличивает порядок точности относительно Н очередного приближения и/(ь,)(ж°), иа*(^)[3к] на два. При этом порядок точности данных приближений, т.е. порядок разностей между точными и приближенными значениями соответствующих величин, а именно

у(ж°°) - иМ(ж°), у/(ж°) - и/(^(ж°), а*[Ф] - а*("^],

увеличивается до тех пор, пока не будет достигнут максимальный порядок точности решения и

производной, равный порядку точности формул у/(ж) ~ и/(ж° + аН), у(ж) ~ и(ж° + аН), в кото-и/ и

порядка точности решения и производной, или пока не будет достигнута заданная точность, или пока не будет сделано наперед заданное число итераций.

В качестве значений коэффициентов Чебышева а*[у], а*[у/^ а*[Ф] решения у(ж° + аН) задачи Коши (1)-(3), производной решения у/(ж°+аН) и правой части дифференциального уравнения (1) Ф(а), 0 <а< 1, принимаются значения, полученные на последней выполненной итерации V + 1, а именно:

а* [у] = а*(*+1)[и], г = 0,1, ...,к + 2; а*[у/] = а*(^+1)[и/], г = 0,1, ...,к + 1; (35)

а*[Ф] = а*("+1)[Зк], г = 0,1, ... ,к.

5. Сходимость итерационного процесса. Рассмотрим условия сходимости метода последовательных приближений (34), (32).

Уравнения (20), которым удовлетворяют коэффициенты Чебышева а*[Зк], запишем в виде

а*[Зк] = ^г(а*[Зк],а1 [Зк], ... ,ак[Зк0, г = 0,1, ... ,к,

где ^¿(а*[Зк], а1[Зк], ... , ак [Зк0 — правая часть (20). Обозначим 1-ю компоненту вектор-функции через ^ц, а п-ю компоненту вектора а^Зк] через агат. Найдем частную производную

—-, г, т = 0,1, ... , к 1, п = 1, 2, ... , М (для сокращения записи коэффициенты Чебышева

дагат

а*[Зк], ... , ак[Зк] в качестве аргументов фупкций и и и/ указывать не будем):

д^н = 4 ^/ гд/г (ж° + а^-Н, и(ж° + а^-Н),и/(ж° + а^-Н)) ди„(ж° + а^-Н) + дагат 2 к +1 ^ I дуга дагат

д/г (ж° + а^-Н, и(ж° + а^-Н), и/(ж° + а^-Н)) диП(ж° + а^-Н) дуП дагат

Т*(а,-).

и и' д

сит только от одноименной компоненты вектора а^Лк]• Из (8)-(13) бедует, что ——— = О(Н)

дагат

для уравнения у'' = /(ж,у,у') и = 0(Н2) для уравнения у'' = /(ж,у). Поэтому, выбрав

дапт

Н

сходимости метода итераций (34), (32). Если ввести в рассмотрение матрицу составленную из максимальных (в области изменения переменных) значений модулей найденных выше частных

- , то достаточным условием для сходимости метода итерации является

дагат

условие, что какая-нибудь норма матрицы Q меньше единицы [6, 7], например

производных тах

М (к+1) М (к+1)

= тах Е Qij < 1, = тах ^ Qij < 1, 11^^II2 = VАтах <

,=1 , ¿=1

\

М (к+1)

Е Q;3 < 1 ¿¿=1

где Атах — наибольшее собственное значение матрицы QQT. Таким образом, при значениях шага интегрирования, для которых удовлетворяется какое-либо из выписанных условий, последовательные приближения а*[Л], определяемые по (34) и (32), будут при V ^ те сходиться к решению уравнения (20).

6. Приближенное вычисление решения задачи Коши и его производной на шаге интегрирования. По найденным значениям коэффициентов Чебышева (35) частичные суммы Чебышева

к+1 к+2

и '(жо + аН) = Е' а* [у']Т* (а), и (жо + аН) = Е' а* [у]Т* (а) ¿=о ¿=о

дадут приближенные значения производной решения у'(жо + аН) и решения у(жо + аН) задачи Коши (1)- (3) в любой точке ж = жо + аН 0 < а < 1, жо < ж < жо + Н. В частности, в конце сегмента [жо, жо + Н] значения производной и решения могут быть найдены по формулам

к+1 к+2 у'(жо + Н) = у'(ж1) и и'(ж1) = Е'а*[у'], у(жо + Н) = у(ж1) и и(ж1) = ^'а*[у].

¿=о ¿=о

При этом погрешность приближенного значения производной и '(жо + Н) есть 0(Нк+2), а погрешность приближенного значения решения и (жо + Н) — 0(Нк+3).

Для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4), (5) коэффициенты Чебышева решения задачи Коши связаны с коэффициентами правой части системы

Ф(а) = / жо + аН, у(жо + аН)

следующим образом:

Н

а* [у(жо + аН) = - (а*_1[Ф] - а*+1[Ф]), г = 0, 2ао[у(жо + аН)] = уо + Н (а5[Ф] - 2а?[Ф]) + Н Е(-1)' (у+у - у^у) а*[Ф].

.7=2 Т + Т

Частичная сумма ряда

к+1

и (жо + аН) = Е' а* [у]Т** (а) ¿=о

представляет приближенное решение у(ж° + аН) задачи Коши (4), (5) на [ж°,ж° + Н]; в частности,

к+1

у(ж° + Н) = у(ж1) и и(ж1) = £/а*[у].

=°

Погрешность приближенного значения решения и(ж° + Н) есть 0(Нк+2).

Так как коэффициенты Чебышева а* [Ф] определяются с помощью приведенного выше итерационного процесса приближенно, то указанные здесь оценки погрешности решения и производной справедливы тогда, когда погрешности вычисления коэффициентов а*[Ф] имеют достаточный для

Н

7. Пример. Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

I ж + 1, 5 , х

у/ = у2 + -+== , у1(0) = 1,

ж+1

/ , ж + 0, 5

у2 = -у1 + , у2(0) = 0.

ж+1

Таблица 1

Количество нулей в погрешности е после десятичной запятой ^ для у1(Х) и у2(Х) 1— lg и)

No. X h Метод рядов Чебышева, к = 5 Метод Рунге-Кутта Метод Адамса Неявный метод Рунге-Кутта

классический

1 0.09 0.01 16 15 11 11 11 10 15 15

2 0.18 0.02 15 15 9 10 9 9 16 15

3 0.36 0.04 15 14 8 8 7 7 13 13

4 0.72 0.08 13 13 6 6 5 5 12 11

5 0.9 0.1 13 12 6 6 5 5 11 11

6 1.8 0.2 11 11 5 4 4 4 9 9

7 3.6 0.4 9 9 3 3 4 2 7 7

8 7.2 0.8 6 6 1 2 _ 5 4

9 9.0 1.0 5 5 1 1 _ 4 4

Точное решение системы содержит периодическую составляющую и возрастающую (или убывающую) составляющую (yi(x) = sin ж + \/ x + 1, y2(x) = cos ж — \/ ж + 1). Задача решалась описанным в статье методом рядов Чебышева на интервале [0,X]. При этом задавалось разбиение интервала на девять частичных сегментов длиной h, и на каждом сегменте решение представлялось в виде частичной суммы ряда Чебышева. Вычисления проводились с 16 значащими цифрами. Различные значения X, h и к, а также абсолютная погрешность е (т.е. [— lg |е|]) приближенных значений обеих компонент yi (X) и У2(Х), вычисленных в конце интервала, приведены в табл. 1 и 2. В таблицах даны также результаты, полученные классическим методом Рунге-Кутта четвертого порядка, методом Адамса пятого порядка типа предиктор-корректор и

неявным трехстаднйным методом Рунге-Кутта шестого порядка с постоянным шагом, равным диаметру указанного разбиения интервала интегрирования. Прочерк в таблицах означает, что при указанных в них значениях Н либо не может быть получено приближение с удовлетворительной точностью, либо вычисленное значение вообще не имеет ни одной верной цифры.

Таблица 2

Количество нулей в погрешности е после десятичной запятой ^ |е|]^ для у\(Х) и у2(Х)

N0. X Н Метод рядов Чебышева, к = 30 Метод Рунге-Кутта Метод Адамса Неявный метод Рунге-Кутта

классический

10 17.0 2.0 14 15 0 0 _ 2 2

11 25.5 3.0 14 14 _ _ 0 1

12 34.0 4.0 13 15 _ _ 0 0

13 42.5 5.0 14 13 _ _ _

Н

рядков более высокую точность по сравнению с методами Рунге-Кутта и Адамса и обеспечивает

Н

справляются.

Список литературы

[1] Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961.

[2] Дзядык В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1988.

[3] Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука,

1983.

[4] Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972.

[5] Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1998.

[6] Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. М.: Физматгиз, 1962.

[7] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ, 2007.