Приближенно келеровы многообразия постоянной голоморфной конгармонической кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

Шихаб Али Абдул-маджид

Московский педагогический государственный университет E-mail: [email protected]

ПРИБЛИЖЕННО КЕЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ ПОСТОЯННОЙ ГОЛОМОРФНОЙ КОНГАРМОНИЧЕСКОЙ КРИВИЗНЫ

В работе рассматриваются приближенно келеровы многообразия точечно постоянной кон-гармонично голоморфной кривизны. Доказано, что МК-многообразие является многообразием точечно постоянной конгармонично голоморфной кривизны с тогда и только тогда, когда на

„ — ~ad с ~ad _

пространстве присоединенной G-структуры Abc = ojc . Также показано, что точечное постоянство голоморфной конгармонической кривизны связного МК-многообразия размерности свыше четырех равносильно ее глобальному постоянству.

Ключевые слова: приближенно келеровы многообразия; тензор конгармоничной кривизны; пространство присоединенной G-структуры; тензор голоморфной конгармонической кривизны.

Пусть {2п} - почти эрмитово многообразие, Х(М) - модуль гладких векторных полей на многообразии М211.

В 2-грассманиане (т.е. совокупности всех двумерных площадок) АН-многообразия (М, g,J) естественно выделяются элементы, наиболее тесно связанные с АН-структурой, а именно, инвариантные относительно структурного эндоморфизма J.

Определение 1 [1, стр. 358]. Двумерная площадка о с Тт (м), тОМ, называется голоморфной, если Jm (о) = о.

Предложение 1 [1, стр. 358]. Двумерная площадка ос Тт (м \т е М, голоморфна тогда и только тогда, когда о = L(X,JX), где ХО Х(М) -некоторый вектор, L - символ взятия линейной оболочки.

Определение 2 [1, стр. 358-359]. Секционная кривизна почти эрмитова многообразия (М, ^ J) в направлении двумерной площадки ос Тт (М )т е М, называется голоморфной секционной кривизной в направлении (ненулевого) вектора ХО8 и обозначается Нт(Х). Таким образом,

Нт (X )=-

'Rm (X,JX )JX,X:

IIX 4

m e M,X e Tm (M). (1)

Если Hm(X) не зависит от выбора ос Tm (м) в каждой точке тОМ, многообразие М называ-

ется многообразием точечно постоянной голоморфной секционной кривизны.

Если Нт(Х) не зависит также от выбора точки т, многообразие М называется многообразием глобально постоянной голоморфной секционной кривизны.

Понятие голоморфной секционной кривизны (короче, Н5-) кривизны является одним из наиболее фундаментальных понятий в геометрии почти эрмитовых многообразий и изучалось многими авторами, среди которых отметим Ко-баяши [2], Либерман [3], А. Грея [4] и др. Наибольшие продвижения были получены для келе-ровых и приближенно келеровых многообразий. Кобаяши [2] доказал, что полное келерово многообразие положительной голоморфной секционной кривизны с необходимостью односвязно. А. Грей [5] получил обобщение этого результата для приближенно келеровых многообразий. Холи [6] и Игуса [7] получили полную классификацию полных односвязных келеровых многообразий размерности свыше двух постоянной голоморфной секционной кривизны:

Теорема 1 [1, стр. 359]. Всякое полное односвязное келерово многообразие размерности свыше двух постоянной голоморфной секционной кривизны с голоморфно изометрично одному из следующих многообразий:

1) При с>0 - комплексному проективному пространству СРП, снабженному стандартной эрмитовой метрикой << у >>= ¿э2, в каноническом атласе задаваемой соотношением

ds = —

с

2) При с=0 - комплексному евклидову пространству Сп, снабженному стандартной эрмитовой метрикой << у >>= ¿б 2, в каноническом атласе задаваемой соотношением

п

ds2 =£Сіа&а ;

а=1

3) При с<0 - комплексному гиперболичес-

кому пространству CDn, представляющему собой открытый единичный шар

Dn = j-,--,zn )є С'

£zaza < l[ , 0=1 І

снабженному стандартной эрмитовой метрикой << у >>= 2, в каноническом атласе открытого

подмногообразия DnМCn=R2n задаваемой соотношением

ds 2 =- 4

1 -S-Z-y tS.-dz-dz- yk.J'dz' )

(l-E„rt“ 1 '

c

Обобщением этого результата на приближенно келеровы многообразия получена независимо А.Греем [4] и В.Ф.Кириченко [10]. В работе [11] В.Ф.Кириченко получена (в сильно обобщенном виде) локальная версия этих результатов, из которых следует, что всякое келерово многообразие размерности свыше двух постоянной голоморфной секционной кривизны с локально голоморфно изометрич-но одному из трех типов многообразий, перечисленных в теореме 1, причем с необходимостью эта кривизна является глобально постоянной.

Заметим, что двумерное ориентированное риманово многообразие (M, g), очевидно, автоматически несет келерову структуру точечно постоянной голоморфной секционной кривизны [1, стр. 360].

Определение 3 [1, стр. 360]. Келерово многообразие (глобально) постоянной голоморфной секционной кривизны называется комплексной пространственной формой.

Приближенно келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны рассматривались многими авторами, среди них - А. Грей [5, 12, 13], Навейра А.М., Хервел-ла Л.М. [14], Сато И. [15], Саваки С. [16], Вата-набэ У., Такамацу К. [17], Кириченко В.Ф. [10, 18, 19]. Это была очень популярная тематика среди исследователей ЛЖ-многообразий до тех пор пока А. Греем [4] и В.Ф.Кириченко [10] не была получена полная классификация таких многообразий.

В [1] получен удобный критерий постоянства голоморфной секционной кривизны почти эрмитова многообразия.

Теорема. 2 [1, стр. 361]. Почти эрмитово многообразие (М, g,J) является многообразием постоянной Н5-кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры выполняется соотношение

^ , где Ъ£ = ЬаХ + 5^ - симметричная кронеккеровская дельта второго порядка.

Предложение 2 [1, стр. 380]. ^^-многообразие является многообразием точечно постоянной Ж-кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-струк-

туры = 25а? •

Теорема 3 [1, стр. 381]. Точечное постоянство голоморфной секционной кривизны связного ЛЖ-многообразия размерности свыше двух равносильно ее глобальному постоянству.

Другими способами этот факт доказали Навейра А.М., Хервелла Л.М. [14] и Саваки С. [16].

Кириченко В.Ф. получил полную классификацию ЛЖ-многообразий постоянной голоморфной кривизны:

Теорема 4 [1, стр. 385]. Всякое ЛЖ-многооб-разие постоянной голоморфной секционной кривизны либо является двумерным келеровым многообразием, либо локально голоморфно изометрично одному из следующих многообразий, снабженных канонической ЛЖ-структурой:

(1) Комплексному проективному пространству СРП;

(2) Комплексному евклидову пространству

Сп;

(3) Комплексному гиперболическому пространству CDn;

(4) Шестимерной сфере Б6.

В связи с этим естественно провести аналогичные исследования для другого алгебраического тензора кривизны - тензора конгармо-нической кривизны.

Определение 4. Голоморфной конгармони-ческой кривизной (короче, ИК-кривизной) НКт(Х) многообразия М в направлении ХО Х(М), Х№0, называется НК(Х), определяемая соотношением

К(,Ж,X,IX)= НКт(С|Х||4,УХ е X(М)

, ч (Кт (X, ]Х )Х, X) . ,

НКт(X)=Х ,, те М,X е Тт(М).

1X11

Определение 5. Почти эрмитово многообразие М2п называется многообразием точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны, если НКт(Х) не зависит от выбора ХО Х(М).

Определение 6. Почти эрмитово многообразие М2п точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны называется многообразием голоморфной конгармонической кривизны, если НК есть константа (т. е. НК

тт

не зависит от выбора точки тОМ).

Теорема 5. Почти эрмитово многообразие (М, g, J) является многообразием постоянной НК-кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры

Е

(a d) _ С

^ о ad _~°bc

{bc) 2

Доказательство. Пусть (M2n,J, g) - почти эрмитово многообразие. Согласно определения 6 имеем < K{X, JX)JX, X >= 4HK(X)|X||4. Расписывая это равенство на пространстве присоединенной С-структуры, получим:

< K(X, JX)JX, X >= gijKjm(JX J X1 (JX J X1 =

= -2KabcdXaXbXcXd + 4Kabci XaXbXcXd +

+ 2K?XaXbXcXd + 2K? XaXbXcXd -

bcd a b c pcd a b

j^a -y -y -y -y _ r?-a -y^Y^Y^vd

KbddX aXbXcX d KbcdX X X X .

В силу свойств симметрии тензора конгар-монической кривизны имеем:

Т^а V vb Vе vd Т^а V vb Vе vd

KbcdAaA X X ~~KbdcAaA X X ~

c^d

__ т>га V vb yc vd

_- KbcdAaA X X >

т. е. Kadc _ о. Аналогично, к* _ 0, Ka _ о

К~ы = 0, К= 0. Таким образом, на пространстве присоединенной С-структуры нКх) X4 = 4КЬ^ Хах»хсхй = 4К С другой стороны, на пространстве присоединенной С-структуры

11X14 = 4(хаха)хьхь)= 25ъасйХаХьХсХй .

Таким образом, М является многообразием постоянной НК-кривизны с тогда и только тогда, когда (4 К Х(Ьс) *- 28ьасй )хахьхсхс, = 0. В силу тождественности характера этого соотношения относительно X е X(М) заключаем, что

тг(а d) c ~ ad

К (bc) = ^ 5bc •

Пусть теперь (M2n, J, g) - ЛЖ-многообра-зие. Поскольку

bcd

с учетом кососимметричности структурного тензора и теоремы 5, имеем:

ad

ad bc .

Введем в рассмотрение чистый тензор A типа

2 2^

0 0

с компонентами

4ай лай 1 (?а суй , са суй , гйсуа , £й<уа\

ъс = Льс - 4X7—1) «5ЪЬс +5сьъ + 5ьЬс +5с^ь)

симметричный по любой паре верхних и нижних индексов. Тогда предыдущее равенство запишется в виде

(2)

4ай с И ай ъс = ^ 5Ьс .

Рассмотрим 4-форму

Н(Х,¥,г,^)= ЛЬс XbYcZaWd =

лай 1 {яа суй . о а ой . ой суа . ой суа \

- 4(н - 1))5ъ Лс +5сЬь + 5ь Ьс + 5с Ьь I

х XьYcZaWd; X, Y,Z,Wе X(М .

В силу (2) имеем, что И(, Х,Х,Х)= 0. Кроме того, форма И(,Х,Х,Х) обладает свойствами, которые легко доказываются:

1. Н( + X2, Y, Z,W) =

Ad -фЬ)(d+sasd+^bdSca+ä jjx

x(X! + X2 frzawd _

=\ ас -^Пгт)У ¿С+«сьй+«¿б:+«йьа )

х X^ЪYcZaWd +

4^ у б*+«аь*+«ьйьса+«сЧа )

хх2YcZaWd = H(X1,Y,Z,W)+ Н(Х2,У,Z,W ;

2. НХ, Y, ^ W) = Н(Х, X, ^ W) =

= НХ^Ж Z;

3. Н{Х^, ^ + Z2, w) =

= Н(ХX,Z,W)+ Н(^,Z1 & ;

4. нXх,Y,Z,W)=V—1 Н(х X,^ ;

5. н(х,х JZ,w)=-^í—1 н(х, X, ;

X, Y, Z,W е X(M .

Опираясь на приведенные свойства, докажем, что И{Х,У,2Ж)=0. Так как И(Х,Х,Х,Х)= 0, то И (Х+У, Х+У, Х+У, Х+У )= 0 .Отсюда,

2НХ, X, X, Y)+ Н(, X, У, Y)+

+ 2Н(Х, Y, X, X) 4НУ, Y, X, Т)+

+ 2Н(Х, Y, Y, Y)+ НУ, X X, X)+

+ 2H(X,Y, X,Y)= 0. (3)

Сделаем в (2) замену Х^-Х и складывая почленно полученный результат с (3), получим:

Н(X, X, Y Y)+ 4Н( Y, X, Y)+

+ Н(ХХ X, X )= 0. (4)

Сделаем в последнем равенстве замену Х^/Х, полученный результат сложим почленно с (4), тогда получим: И (Х,У,Х,У )= 0. С учетом этого равенства, равенство (4) примет вид: И (X, Х, У, У)+ И (У, У ,Х,Х) = 0, где сделаем замену Х^Х+Х. В результате чего имеем:

И^ХУ) И (Х,У,Х,2 )= 0. (5)

Произведем в (5) замену Х^/Х, тогда лПи{Х,2,У,У )- V—1И (Х,У,Х,2 )= 0, т. е.

И (Х, 2, У ,У)- И {У,У,Х,2 )= 0. Складывая после-

днее равенство с (5), получим: И (Х,2,У,У )= 0. В полученном равенстве сделаем замену У^У+W, тогда

И (Х, 2,У,У)+ 2И (Х, 2,У,Ж)+ И У, 2,Ж,Ж) = 0 , т. е. И (Х,2,У,Ж )=0. Отсюда заменой 2^-У получим требуемое, т. е. И(Х,У,2,Ж)= 0, УХ, У, 2, W е Х (М).

Итак, мы получили следующий результат Теорема. 6. ЛК-многообразие является многообразием точечно постоянной конгармонич-но голоморфной кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры

~а? _ с ~а?

АЬс = 2 Ьс

(6)

Продифференцируем внешним образом со-~ 1 ~

отношение (6): ?Аа? = ^ы^-с . Поскольку

се С“(М), ¿с(а точнее, й(п*с)= л*(йс))являет-ся горизонтальной формой, а значит,

¿с = са ®а + са юа. Тогда имеем:

¿К? =15а? У®к + скЩ ),т.е.

2

йАй - 4уЬ) У*5* + «(Б + «айБй + 5?йЗ“а )=

= 2 5«ьС У®к + ск®Ь) .Сучетом равенств:

1) йлаай=ат®,+ас®+ле +

, ¿а й п к лкй п а лакг\ й

+ Льк ес - Ас ек - ЛЬсек ;

2) йБь = й X + 3Бь )= АьСк®к + АьСк®11 +

X + 3Б) -( + збе, (7)

+ ч

где Аы = Ас[йк] = 0,

последнее равенство примет вид

(8)

41ЬЩ + АСЬ®1 + Акасй^ь + 4акЧк - ЛкСЧа - Лке* -{ + [ю + Уй + зб*) - (л/ + 3Б{ ) ]

4(и -1) 1

4(и -1) 1

4(и -1) 1

4(и -1)

{ь [[ + 4[ + (а^ + 3Ба е,7 - (а7 + 3Б{ ) ] {^са + Л$®ь + (а^ + 3Б_й ) - УХ + 3Б/ ) ]

{[лак®' + Л^Юк + X + 3Б? ) - (у/ + 3Б/ ) ]

= 2« «Ъс У®Н + Ск®Ь

т. е.

Ul - 4-^ (+sdb4i+sa4fh+stAi ) +

+ j Af - ( Af + + scaAf + sdc4f ) +

ad Ahc -

4(n -1)

^ad 1

A,h -

jhd Abc -

4(n -1) 1

4(n -1)

{ (( + 3Bhd {b (( + 3Bhd

)+Scd + 3Bha

) ( + 3Bha

{ ( + 3Bch )+Scd (Ah + 3Bh)}

eh +

Є* -

ea -

Ab? - 1

4(n -1)

& ( + 3Bh )+S" ( + 3Bbh )} _1 } ( + c^)

Поскольку

+ 3Bab ) _ 0,

5) ( + 3вЦ ) + 5* ((а + 3В) + 5* ( + 3вЬ)+5* (а? + 3В)

-5* ( + 3ВЦ) -5*(а? + 3ВЦ)-5* ( + 3В)) -5*( + 3Вьа) то, в силу (5), последнее равенство можно записать в виде:

4СІ -4^( + 5*4“ + 5)4%, + 5^4“*) + {А)* - ф3^+ 5Аа$ + 5)4^ + 5/)ак

, С ~ adr\h . ^ ~ adr\h С ~hdr\a С ~ahr\d 1 ~ ad і h „ ,-h

+ 2Shc ei + 2Sbh ec - 2Sbc eh -~Sbc eh _~°bc lc ®h + ch®

2

2

)

Так как 2 K‘e‘ + 2 «4‘ - 2 Sbceh - 2 _ 0 . то В Шлу «M ИЖШИОШОС™ баЖНЫХ

форм, имеем:

1) 4І-

2) A

'üdh

+ (/ + ScaAhfh + ScdAfh) _ ;

' 4(Ь) SaAf+sd а/+ScaAi+sd Ab/1) _ f Shf С .

(9)

Альтернируя по индексам с и А равенство (9:1) получим

1 (gd Aaf . cd Aaf ca ^df ca *df\ sard . sard sard sard

4(n -1) lSc Abflr + Sh Abfc -Sc Abfh-Sh Abfc) _ Sb Sc ch +Sc Sb cc -Sb Sh cc-Sh Sb cc ■

Свернем полученное равенство по парам индексов (а,Ь) и (с,?), получим:

ch _-

Aagh

Aag

Ch=~ 2(-1Aagh. Аналогично, из равенства (9:2) имеем:

(10)

(13)

ch _-

1 Aagh

2(-т-Т) ag

(11)

Аналогично, из равенства (9:2) получим:

п - 3 (п2 -і)

Сравнивая (10) и (11) получим:

А 2 -1)+ піпіі-і) 'І* = 0, т. е. 3(2 - 1)п - 2) С* =

V / „ а Г п - 3

n - 3

Свернем равенство (9:1) по парам индексов (а,Ь) и (с,?). Тогда после преобразований получим:

n - 3

ch _Т"2 Т\~ Aagh .

(n2 -1)

(12)

Отсюда, в частности, с = с* = 0.

И, таким образом, получена следующая Теорема 7. Точечное постоянство голоморфной конгармонической кривизны связного ЛЖ-многообразия размерности свыше четырех равносильно ее глобальному постоянству.

29.10.2010

1

+

+

Список литературы:

1. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М., МПГУ, 2003. - 495 с.

2. Kobayashi S. On compact Kahler manifolds with positive Ricci tensor. Ann. Math. 74 (1961), 570-574.

3. Liberman P. Sur les connexions hermitiennes. C. r. Acad. Sci. Paris 239, № 23 (1954), 1579-1581.

4. Gray A. Classification des varietes approximativement kahleriennes de courbure sectionelle holomorphe constante. C. r. Acad. Sci. Paris 279, № 22 (1974), 797-800.

5. Gray A. Nearly Kahler manifolds. J. Diff. Geom. 4, №3 (1970), 283-309.

6. Hawley N.S. Constant holomorphic curvature. Canad. J. Math. 1953, v.5, №1, 53-56.

7. Igusa J. On the structure of a certain class of Kahler varietes. Amer. J. Math. 1954, v.7, № 3, 669-678.

8. Ishii Y. On conharmonic transformations. Tensor, 7(2), 1957, 73-80.

9. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds, Tohoku Math. J. 28, №4 (1976), 601-612.

10. Кириченко В.Ф. К-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны. Математические заметки, 19, №5 (1976), 805-814.

11. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, II. Geometriae Dedicata, 52, 1994, 53-85.

12. Gray A. Nearly Kahler manifolds. J. Diff. Geom. 12, 1965, 273-277.

13. Gray A., Vanhecke L. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. Cac. Pestov. Math., v.104, №2, 1979, 170-179.

14. Naveira A.M., Hervella L.M. Shur’s theorem for nearly Kahler manifolds. Proc. Amer. Math. Soc., v.49, №2, 1975, 421-425.

15. Sato I. On special K-space on constant holomorphic sectional curvature. Tensor, v.24, 1972, 355-362.

16. Sawaki S., Watanabe Y., Sato. Notes on K-spaces of constant holomorphic sectional curvature. Kodai Math. Semin. Repts, v. 26, № 4, 1975, 438-445.

17. Watanabe Y., Takamatsu K. On a K-space of constant holomorphic sectional curvature. Kodai Math. Semin. Repts, v. 25, № 3, 1973, 297-306.

18. Кириченко В.Ф. К-алгебры и К-пространства постоянного типа с индефинитной метрикой. Математические заметки, т. 29, №2, 1981, 265-278.

19. Кириченко В.Ф. Некоторые типы К-пространств. Успехи математических наук, т. 30, № 3, 1975, 163-164.

Сведения об авторе: Шихаб Али Абдул-маджид, аспирант кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета 119571, Москва, пр. Вернадского, 88, корп.1, ком 803, e-mail: [email protected]

UDC 51

Shikhab Ali Abdul-Majid

Moscow state pedagogical university, [email protected]

APPROXIMATELY KAHLER MANIFOLD OF CONSTANT HOLOMORPHIC CONHARMONIC CURVATURE

The author considered approximately Kahler manifold of dotted-constant conharmonic holomorphic curvature. It is proved that NK-manifold is the variety of dotted constant holomorphic conharmonic curvature c if and only if on the space bound of G-structure. The author also shows that the dotted constancy of holomorphic conharmonic curvature of coherent NK-manifold of dimensions is over four amounts to its global consistency.

Key words: approximately Kahler manifold; conharmonic curvature tensor; space of bound G-structure; conharmonic holomorphic curvature tensor.

Bibliography:

1. Kirichenko V.F. Differential-geometrical structures on manifold. - М., MSPU, 2003. - 495 p.

2. Kobayashi S. On compact Kahler manifolds with positive Ricci tensor. Ann. Math. 74 (1961), 570-574.

3. 3.Liberman P. Sur les connexions hermitiennes. C. r. Acad. Sci. Paris 239, № 23 (1954), 1579-1581.

4. Gray A. Classification des varietes approximativement kahleriennes de courbure sectionelle holomorphe constante. C. r. Acad. Sci. Paris 279, № 22 (1974), 797-800.

5. Gray A. Nearly Kahler manifolds. J. Diff. Geom. 4, №3 (1970), 283-309.

6. Hawley N.S. Constant holomorphic curvature. Canad. J. Math. 1953, v.5, №1, 53-56.

7. Igusa J. On the structure of a certain class of Kahler varietes. Amer. J. Math. 1954, v.7, № 3, 669-678.

8. Ishii Y On conharmonic transformations. Tensor, 7(2), 1957, 73-80.

9. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds, Tohoku Math. J. 28, №4 (1976), 601-612.

10. Kirichenko V.F.K-space of constant holomorphic sectional curvature., Mathematical Notes 19, № 5 (1976), 805-814

11. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, II. Geometriae Dedicata, 52, 1994, 53-85.

12. Gray A. Nearly Kahler manifolds. J. Diff. Geom. 12, 1965, 273-277.

13. Gray A., Vanhecke L. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. Cac. Pestov. Math.,

v.104, №2, 1979, 170-179.

14. Naveira A.M., Hervella L.M. Shur’s theorem for nearly Kahler manifolds. Proc. Amer. Math. Soc., v.49, №2, 1975, 421-425.

15. Sato I. On special K-space on constant holomorphic sectional curvature. Tensor, v.24, 1972, 355-362.

16. Sawaki S., Watanabe Y, Sato. Notes on K-spaces of constant holomorphic sectional curvature. Kodai Math. Semin. Repts, v. 26, № 4, 1975, 438-445.

17. Watanabe Y, Takamatsu K. On a K-space of constant holomorphic sectional curvature. Kodai Math. Semin. Repts, v. 25, № 3, 1973, 297-306.

18. Kirichenko V.F K-algebra and K-spaces of constant type with indefinite metric. Mathematical Notes, V. 29, № 2, 1981, 265-278.

19. Kirichenko V.F. Some types of K-spaces. Advances of Mathematical Sciences, v. 30, № 3, 1975, 163-164.