Приближенне решение задачи о движени границы таяния льда в намороженном слое плавучего контейнера с древесной щепой Текст научной статьи по специальности «Физика»

БИОЭНЕРГЕТИКА И БИОТЕХНОЛОГИИ

4. Дьяконов, К.Ф. Сохранение прочности древесины при камерной сушке / К.Ф. Дьяконов // В сб. Сушка древесины. - Архангельск, 1968. -С. 56-71.

5. Александров, В.К. Влияние режимов сушки пиломатериалов на прочностные показатели и дальнейшее рациональное использование древесины: автореф. дисс. ... канд. наук / В.К. Александров. -Л., 1986.

6. Bekhta P., Niemz P. Effect of high temperature on change in colour, dimensional stability and mechanical properties of spruce wood// Holzforschung, 2003. - #57. - p. 539-546.

7. Скуратов, Н.В. Влияние камерной сушки на эксплуатационную прочность древесины / Н.В. Скуратов // Технология и оборудование для переработки древесины: сб науч. тр. МГУЛ. - 2000. - Вып. 312. - С. 34-38.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ГРАНИЦЫ ТАЯНИЯ ЛЬДА В НАМОРОЖЕННОМ СЛОЕ ПЛАВУЧЕГО КОНТЕЙНЕРА С дрЕвЕСНОЙ ЩЕПОЙ

А.Н. КОМЯКОВ, доц. каф. транспорта леса МГУЛ, канд. техн. наук

На кафедре транспорта леса МГУЛ разработана технология, которая позволяет создавать в условиях затопляемых плотбищ береговых складов большегрузные плавучие контейнеры (БПК) емкостью сотни и тысячи м3. Способ формирования и конструкция такого БПК защищены патентом (патент: RU 2153456 C1). Предлагаемая технология базируется на хорошо зарекомендовавшей себя и самой распространенной транспортно-технологической схеме с использованием зимней береговой сплотки. Контейнеры заполняются вблизи реки на затопляемом плотбище в период отрицательных температур и доставляются потребителю в период половодья.

Особенностью предлагаемой конструкции является наличие намороженного слоя измельченной древесины (щепы) по бортам и днищу контейнера. Намороженный слой выполняет ряд функций: обеспечивает форму контейнера, запас его плавучести и сохранность качества перевозимого груза. Необходимая толщина намороженного слоя зависит от интенсивности таяния льда в нем в период хранения и транспортировки до пункта назначения. Для изучения процесса таяния льда в контейнере с замороженной щепой на базе Щелковского учебно-опытного лесхоза МГУЛ был изготовлен опытный образец контейнера предлагаемой конструкции.

Исследования проводились в середине апреля в течение двух недель. С помощью встроенных в контейнер на разных расстояни-

akomyakov@mail.ru

ях от его поверхности трех термопар посуточно измерялась температура в соответствующих точках контейнера, который приближенно представлял собой параллепипед с размерами L = 3 м, В = 1 м и Н = 0,8 м и содержал лед и щепу с примерно равными объемными долями (в дальнейшем при оценках полагаем коэффициент полнодревесности р = 0,5). Термопары располагались вдоль оси симметрии, параллельной направлению В (ширине контейнера), на расстояниях от боковой поверхности КН b = 14 см, b2 = 28 см и b3 = 42 см. Приход границы таяния в эти точки (приход температурного фронта Т = 0оС) был зафиксирован в опытах соответственно на 7-е, 10-е и 15-е сутки. Измерялась, кроме того, температура окружающей среды, которая в указанный период имела устойчивую тенденцию к росту - примерно на 1 оС в сутки от 4 оС 10.04.00 до 19 оС 25.04.00; см. рисунок.

t, сутки

Рисунок. График движения границы таяния льда в контейнере с замороженной щепой

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2010

129

БИОЭНЕРГЕТИКА И БИОТЕХНОЛОГИИ

К сожалению, наличие только трех встроенных термопар не позволяет проследить картину движения границы таяния детально, что затрудняет сравнение результатов с теми, которые можно получить теоретически.

Построение теоретических моделей движения границы таяния - задача сама по себе весьма непростая. Известно, что задачи с движущимися границами (в нашем случае - границей таяния) одни из самых трудных в нестационарной теории теплопроводности [1-3] и точное аналитическое решение из них имеют буквально единицы - для наиболее простых геометрий опыта, а также начальных и граничных условий. В данном случае ситуация осложняется еще и тем, что мы имеем дело не с чистыми льдом и водой (далее мы всюду говорим только о той воде, которая образуется в результате таяния льда). На самом деле у нас имеются две дисперсные системы: «лед-щепа» и «вода-щепа». Хотя подобные системы изучаются довольно давно, до сих пор не существует абсолютно надежных методов расчета теплофизических параметров таких материалов (в частности, методов расчета коэффициентов теплопроводности). Существует большое число моделей дисперсных материалов и столь же большое число приближенных методов вычисления их эффективных коэффициентов теплопроводности X Имеется множество различных приближенных формул для Хэфф (см. [4]). Для производства нужных нам оценок мы ограничимся здесь лишь простейшей одномерной геометрией задачи Стефана [5] и одной из формул для Хфф - формулой Максвелла-Рэлея-Бургера [4]. В предыдущих работах одного из авторов [6,7] было показано, что сделанные в этом случае приближения оказываются вполне приемлемыми.

Рассмотрим одномерную задачу, когда температура зависит лишь от одной пространственной координаты, например х, и времени t. Пусть в начальный момент t = 0 имеется «ступенчатое» распределение температуры: начальная температура льда (полупространство х > 0) равна T < Tm = 0oC, а температура окружающей среды (область x<0) равна T0 > Tm = 0oC. В этом случае задача имеет точное аналитическое (стефановское) решение. В случае чистого льда (без щепы)

положение границы таяния как функцию от времени можно найти по формуле

b(t)=^Tt, (1)

где b(t = 0) = 0 есть начальное положение границы, а коэффициент в должен быть определен как решение трансцендентного уравнения [5]

в2

(T-Tm )exp(-f-)

____________4xi_

в2

Х2 (Tm ^ )eXP(-4k*

2

Ф.

(2)

Здесь X1 = Xw и X2 = X. - коэффициенты теплопроводности воды и льда, х1 = Xw = Xw / c = X / C p . и X = X = X / c = X / C p .- их коэффицинты температуропроводности, Cw и С, - удельные теплоемкости воды и льда, cw и с. - их теплоемкости на единицу объема, p и р, - плотности, q = р, qm- теплота плавления льда в расчете на единицу объема, qm - удельная скрытая теплота плавления льда, а 2 J

Ф( y)=-^=J exp(-t 2)dt Vn 0

так называемая функция (или интеграл) ошибок. Как показано в [7], в случае дисперсных систем «вода-щепа» и «лед-щепа», формула (1) и уравнение (2) остаются в силе, однако теплофизические параметры чистых воды и льда в (2) должны быть заменены эффективными их значениями. Эффективные теплоемкости смесей «лед-щепа» и «вода-щепа», а также эффективная скрытая теплота плавления системы «лед-щепа», отнесенные к единице объема, вычисляются сравнительно несложно по формулам

ci(P) = (1-Р) ^w + Р С (3)

C2(P) = (1-Р) Сг + Р С (4)

q(p) = (1-p)pI qm, (5)

где индекс «1» относится к системе «вода-щепа», а индекс «2» - к системе «лед-щепа».

Для вычисления эффективной теплопроводности систем используем формулу Максвелла-Рэлея -Бургера[4]

Х( р)=л

2+v-2 p(1-v) 2+v+p(1-v)

(6)

130

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2010

БИОЭНЕРГЕТИКА И БИОТЕХНОЛОГИИ

где v = X / Л < 1, где X - теплопроводность древесины, а Л - теплопроводность воды для системы «вода-щепа» (или теплопроводность льда для системы «лед-щепа»).

Положим

qm=3,3 105 Дж кг -1, Pw = 103 кг м -3, р. = 0,92 1 03 кг м -3, р = 0,8 кг м-3,

Cw=4,2 103 Дж кг -1К -1, C=2,10 103 Дж кг -1К -1, C = 1,6 103 Дж кг -1К -1,

X = 0,55 Вт м -1К -1, X. = 2,2 Вт м -1К -1,

X = 0,15 Вт м -1К -1,

тогда при р = 0,5 имеем Х1 = 0,38 Вт м -1К -1, Х2 = 0,99 Вт м -1К-1, х1 = 1,2 10-7 м2с-1, X = 6,0 10-7 м2с-1. Численное решение уравнения (2), приводит к очень маленьким значениям в, удовлетворяющим неравенствам

р<< 2^,2^/хГ. (7)

Это позволяет, вернувшись снова к уравнению (2) и учтя асимптотику функции ошибок для малых аргументов, записать (2) в приближенной форме

X1(T° Tm)^Iф, (8)

Р VnX2 2

Последнее уравнение уже не трансцендентное, а дробно-рациональное и имеет аналитическое решение

р_ X2(Tm-T.)

л/^хГq

+

+

f \ 2

X2 (Tm-T ) 1+ 2X1 (T0-Tm ) . (9)

V

^/пxГq ) q

Его можно записать в еще более простом приближенном виде

в

V

2X1 (Ti-Tm)

q

(10)

позволяющем без большой потери в точности (ошибка не более 15 %) делать быстрые оценки коэффициента в, а с ним - скорости движения границы таяния по формуле (1), не решая численно на компьютере трансцендентное уравнение Стефана [5].

Оценим смещение границы за 2 недели, положив в (10) T-T =10°C и X =0,4 Вт м-1К-1; тогда получаем b(t=2 недели)~28 см. Это весьма близко к полученному в опыте значению b3=42 см. Отличия вызваны не только приближенностью расчетов и экс-

периментальными ошибками. Имеется более важная причина недостаточно точного совпадения теории и эксперимента. Расчет проведен в предположении, что на границе х=0 с окружающей средой поддерживалась постоянная температура T0. В эксперименте, однако, мы не имели возможности фиксировать эту температуру. Реально она изменялась в среднем на 1 градус в сутки, что за две недели составило 15 градусов. Мы попытались учесть это, взяв в качестве T0-Tm среднее значение в 10°.

Имелись еще и колебания температуры в течение суток, которые не были учтены в теории и не фиксировались на опыте. Эти колебания могут быть довольно большими (до 10 градусов и более). Наши численные исследования показывают, однако, хотя колебания температуры в течение суток могут быть велики, но за большой промежуток времени их средний эффект оказывается незначительным (чередующиеся повышения и понижения температуры приводят, так сказать, к «самокомпенсации»). Наибольшее влияние на скорость таяния льда имеет более медленное нарастание среднесуточной температуры в период хранения и транспортировки.

Тем не менее, полученное нами согласие теории и эксперимента (фактически их расхождение составляет примерно 20 %) позволяет считать, что модель в целом правильно передает особенности процессов таяния льда в контейнерах с замороженной древесной щепой.

Полученные в опыте скорости таяния могут быть на практике значительно снижены применением дренажа (в опытном контейнере дренажная система не устанавливалась) для удаления воды из подтаявшей части намороженного слоя щепы или дополнительных теплоизолирующих слоев.

Библиографический список

1. Карташов, Э.М. и Любов Б.Я. // Изв. АН СССР, серия Энергетика и транспорт. - 1974. - № 6.-С. 83.

2. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории

теплопроводности твердых тел Э.М. Кар-

ташов. - М.: Высшая школа, 1985.

3. Любов, Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах / Б.Я. Любов. - М.: Наука, 1975.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2010

131