Приближенная оценка минимального количества и оптимального расположения аэродромов для посадки маневрирующих гиперзвуковых летательных аппаратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЁНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Т о м IX

1 97 8

№ 5

УДК 629.782.015.087

ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА МИНИМАЛЬНОГО КОЛИЧЕСТВА И ОПТИМАЛЬНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ АЭРОДРОМОВ ДЛЯ ПОСАДКИ МАНЕВРИРУЮЩИХ ГИПЕРЗВУКОВЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Рассмотрена задача приближенной оценки минимального количества и оптимального расположения аэродромов для посадки гипер-звукового летательного аппарата с любой начальной скоростью из заданного диапазона. Получены условия оптимальности, на основе которых предложен простой геометрический способ построения оптимальной сети аэродромов в зависимости от предельных маневренных возможностей аппарата.

Пусть начальные значения параметров траектории полета гиперзвукового летательного аппарата (ГЛА) принадлежат некоторому многообразию {Н} и полностью определяются одним параметром, например, начальной скоростью У(;[^тт, Кгаах]. Требуется определить минимальное потребное число и оптимальное расположение аэродромов для посадки ГЛА при любых начальных значениях параметров траектории полета, принадлежащих {//}.

Предположим, что максимальное Ьтах и минимальное 1*т\п удаления ГЛА от заданной точки, характеризующие предельные маневренные возможности ГЛА, являются неубывающими функциями V, т. е.

Обозначим через V] максимальную начальную скорость, с которой ГЛА может совершить посадку на у-й аэродром (

^-тіп (У]) = £/> (2)

I*]—удаление у'-го аэродрома (фиг. 1).

Для того чтобы посадка ГЛА была возможна при любой начальной скорости УСІ^шіп, ^тах]. должны выполняться неравенства

А. С. Филатьев

£ІЇ1ІП (У2)

^•гаах ( ^-тах ( ^і)> если І^йах ^ ^2 У] 5* ^тіп-

(1)

(3)

а достаточное число аэродромов N определяется из условия:

N

^тах ( ^тах) ^-дг = 2 ( ^тах)1

/=1 где

^l^j = Lj — ^ о = 0.

Так как, согласно (2), (3), /.тах (у]-д — ^тт (V/-\)> то из (1), (4) следует,

что

Ы* — тШ N (5)

достигается при Д/./ = шах Д^ = 1шах (— 1Ш|П (К^) или, учитывая (1) —(4),

^ / = ^-шах ( ^—1) = ^тш (Уу);

^ЛГ* > ^тах>

^дг*_1 ^тах (см. фиг. 1).

Покажем, что при невыполнении условий (6) при определении расположения хотя бы одного аэродрома потребное число аэродромов N может только увеличиться. Пусть для ] < К

ЬК ф 1'К< }

где . * ' обозначены величины, определенные в соответствии с (6).

(6>

Фиг. 1

Согласно (2), (3), (6), (7) возможно только следующее соотношение между

Ьк и 1^:]

^к = ^т1п (Vк) <С. 1-к — Ьт\а (У%). (8)

Учитывая монотонность функции Ьт\а{У) (1), получаем из (8)

Ук<К- О)

Согласно (3),

Ь ^ ^тах ( ^к )>

но из (1), (9) следует, что

^-тах тах

поэтому

^ К-\-1 ^^шах к)- 0®)

Таким образом, если имеет место (8), то выполняется и неравенство (11). Аналогично можно показать, что из (11) следует

Неравенство (13) означает, что при размещении аэродромов по правилу, отличному от (6), общее число N аэродромов, полностью .обслуживающих" диапазон Кшах, строго больше Ы* — 1:

и, следовательно, N^-N*, что и требовалось доказать.

Отметим, что неравенство (14) — нестрогое, поэтому условия (6) являются в общем случае достаточными и, если Z,min (^шах) Ф LN*, то могут существовать способы размещения того же числа аэродромов N*, отличные от (6). Кроме того, процедура построения оптимальной сети аэродромов может производиться в соответствии с (6), но в .обратном' порядке, начиная с N*-го, для которого LN, = Lmin(Vrraax). Выписывая соотношения, аналогичные (7) — (14), можно показать, что и в этом случае обеспечивается минимальное потребное число аэродромов N*.

Если для любого Vmax] Lmix (V) Lmin(V), то величина N* всегда

конечна. В противном случае, если существует хотя бы одно значение V' £[Vmin, Vmax] такое, что Lmix(V') = imin(^'). т0 величина N* конечна только при выполнении условий: Z.max (У) = const в окрестности точки V' .слева" и Lm\n (V) = const в окрестности точки V' .справа*, иначе N* = эо. Проиллюстрируем полученные результаты на следующем примере. Для испытаний гиперзвукового летательного аппарата (ГЛА) осуществляется последовательный разгон его с помощью ракет-носителей до скоростей от V = Vmia до V = Кшах. После достижения заданной скорости y£[V’n,in, V^max] ГЛА отделяется от ракеты-носителя и самостоятельно планирует с последующей посадкой на аэродром. Требуется оценить минимальное количество и расположение аэродромов, необходимых для посадки такого ГЛА, считая, что указанный диапазон начальных скоростей Vmjn V Ушах проходится непрерывным образом. Для того чтобы связь между начальными значениями параметров траектории полета ГЛА и начальной скоростью V была однозначной, будем считать программу управления движением ракеты-носителя при разгоне ГЛА фиксированной и соответствующей программе гравитационного разворота, так что изменение начальной скорости V достигается за счет изменения продолжительности полета ракеты-носителя с ГЛА.

При определении предельных возможностей пассивного маневра ГЛА проводились расчеты максимальной дальности планирования Lmах (аэродинамическое качество К = /Стах, угол крена 7=0) и минимального удаления от точки старта Z<min (программа управления [1]). Аэродинамические характеристики ГЛА задавались в соответствии с данными работы [2].

Схема определения Lj и N* показана на фиг. 2, где V= VIVKp, VrKp —круговая скорость. Видно, что при Vmjn = 0,05 и Vmax = 0,8 потребное число аэродромов N* = 3. Использование на ГЛА двигательной установки, позволяющей увеличить дальность полета ГЛА на величину Д/,ду, приводит к существенному сокращению потребного числа аэродромов (фиг. 3). Резкое уменьшение потребного числа аэродромов N* при расширении (по дальности) области возможного маневра ГЛА связано с тем, что большая часть из Л^аэродромов .обслуживает" диапазон малых начальных скоростей полета V и расположена на относительно небольшом расстоянии друг от друга (см. фиг. 2).

(12)

(13)

N>N*— 1

(14)

При имеющихся трех аэродромах, расположенных в соответствии с (6), достаточно обеспечить дальность крейсерского полета ГЛА с двигательной установкой А£ду ~ 200 км. Дальнейшее увеличение А£ду оказывается малоэффективным. Так, для сокращения числа аэродромов до #*=1 необходимо иметь Д£дУ г 1500 км (фиг. 3). Как видно из фиг. 2, потребное число аэродромов

N* 6 A

V, ( :

2 \j

——— —— -

0 500 WOO dLaj/tUM

Фиг. 3

может быть также существенно сокращенб за счет увеличения минимальной начальной скорости Kjhin-

Автор благодарит В. П. Плохих за полезное обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ф и л а т ь е в А. С. Анализ оптимального закона управления возвращением гштерзвуковых летательных аппаратов. ,Ученые записки ЦАГИ*, т. 7, № 5, 1976. ;

< 2. Surber Т. Е., 0 1sen.D..C. Space shuttle orbtter aerodynamic

development. ,AIAA Paper*, N 74—991.

Рукопись поступила 20jX 1977 г.