Приближенная математическая модель жидкого и твердого состояния сплава Текст научной статьи по специальности «Физика»

fusal accumulation of multichannel part strategy with the reconstruction of the following dependence from the time past start of the operation.

Key words: rotor machine, bottling, corking, safety, composition, transport rotor, technological rotor, analytic model, refusal, reconstruction.

Prejs Vladimir Viktorovich, Dr. Sci. Tech., the prof., the chief of the cathedra, preys @ klax. tula. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Semenov Dmitry Nikolaevich, post graduate, mr nekto x@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 669.18

ПРИБЛИЖЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЖИДКОГО И ТВЕРДОГО СОСТОЯНИЯ СПЛАВА

Приведена «<гибридная» модель с помощью, которой можно характеризовать процессы, происходящие в жидком состоянии при фазовых переходах. Установлена возможность регулирования этими процессами при использовании внешнего возмущения.

Ключевые слова: компонентный сплав, кристаллическая решетка, межатомное взаимодействие, физико-механические характеристики, внутренняя энергия, внешняя энергия.

Разработка теории, описывающей поведение атомов и свойства жидкостей в широком температурном интервале, основывается на применении закономерностей статической физики. Все остальные теории жидкого состояния (кинематическая, некоторые термодинамические и др.)

Пусть имеется m компонентный сплав из N атомов, причем на компонент а приходится Ыа атомов, а атомы этого компонента могут размещаться в узлах решетки (г°) с вероятностью Ра (г) и в междоузлиях (г°)

с вероятностью Ра (г°). Число междоузлий определяется из решетки Браво [1]. Приняты следующие условия:

гут быть только компоненты а'(а' = 1,...,т'), а в междоузлиях (г°) только а0(а0 = 1,..., т0). Тогда должны выполняться условия

А.И. Вальтер, А.А. Демидов

Еа' Ра' Р) = Ыа'; Еао р) = (3)

Ра'^^О; М^О. (4)

Если концентрацию компонентов обозначить, как

Са' = —К Сао = —, (5)

а — а —

то при отсутствии упорядочения должно выполняться одно или оба условия

Ра (^Ь^', РаОр) = СаО'

В некоторых случаях на всех Ы' узлах Ра'(г') принимают п' различных значений Р£^О(/0 = 1, (п', п0 « Ы). Тогда Ра' (г0) и Рао (г"0) описывают п' подрешеток на узлах и п0 на междоузлиях. Значения Ра' - это вероятность заполнения узлов У - ой подрешетки атомами ти/' /О

па а'. Величины Ра' и Рао характеризуют состояния дальнего порядка, как на узлах, так и на междоузлиях сплава. Ограничиваясь только дальним порядком, можно определить их в первом приближении через потенциал,

действующий на атом а в (г0)

-"аРЬХХ^ (г0 -0Р-+ (Р) +

+ (г::0 - г+0) Рао (ггг0). (6)

Внутренняя энергия сплава определяется, как [3]

^ЛУУУУ ^ (? - г+) Ра(г)Ра+ (г[) -

■ -I-

-^ЕгЕ^ЕаЕ^о Уаа+ (? - -*+0) Ра(г)Ра+ (г+0). (7)

Здесь 1^а' (г0 - г+) и Уаа+ (г*' - г+) - взятые с обратным знаком энергии

взаимодействия соответствующего атома в точках г и г+, а также г и г+. Это параметры. Которые необходимо определить экспериментально. Свободная энергия

Р = -^ЕгЕ^Е(гЕаа+К1а+ (г - """0)Ра(г)Ра+(г+) +

+^ЕгЕаРа№Ра(":а (8)

где & - постоянная Больцмана, Т - температура сплава.

Условия (2) позволяют выразить свободную энергию при помощи

Ра'(г'), относящихся к (ш' - 1) компонентам и Рао (г"0) - относящихся к

(ш' - 1) компонентам. Учитывая выражения (5) при помощи множителей

Лагранжа и преобразуем выражение для определения свободной энергии (8). Получим:

Р= ^а'а'+ (г - Ра'^Ра'+М) ~

-~21:То1гОЯаоГаО (^ - Г+°) РаО^Ра°+(^) --^ЪТЗ Т-о ^а'аО (? )РаО ЮРаО Ю - Тг'Та'^а' -

Ра'(?) - Т^Т'аО(Р-аО - ^то) Ра'(?)РаО (?) +

+ кТТрТа'Ра'(?) 1пРа'(г°) + кТ Т^оТаО Ра' (?) ЬРа'(?) + + кТТтоТаОРаО (г*) 1ПР'О (?*) +

+кТ ^ [[1 - Т'О РаО Р)] 1П [1 - Т'О РаО (?°°)

(9)

где

р0 = -/ Nа'\Уа'т' + Уа'то - Утот' - Ут'т' - Vа' + -

аО

2

-Т'аОNаО[VаОт' + Уаото - Утото - Утот' - ^ао + ^то] -2М'(Ут'т' +

+Утот') -2^0(Утото + УтотО-

Здесь отождествление узлов, равно как и междоузлий позволяет записать

Уаа'+ (Г-К)= Уаа'+ и ТгЯ Уаа'+ (Г-К) = Уаа'+ •

Тогда получим:

^а'а'+ (О <) = Уа'а'+ (?-<)- Ут'а'+ (?-?)--Уа'т' (? - К) + Ут'т' (?-К);

^а'аО (О;ГГО) = Уа'ао (^- Уа'тО (7-^) +

+ Ут'то (Р-^)-Ут'ао (?

^аОа+ (^ = УаОа+ (^ -Щ - УтОаЯ (^-?) -

-Уаото (ГГО-ГГО) + УтОтЯ (^ - (10)

Из условия минимальности энергии F при совершении возможной работы после приравнивания нулю первых вариаций F по Ра'(т') и Рао(г°) получим систему уравнений т° + т' - 2 для нахождения Ра'(т')

и Рао(?):

_ / м

= ^ [Vа' - Ит' + То' Та'+ ™а'а'+ (^ ?) Ра'+ (<) +

+ 2гО+ГаО+Ма'аО+ (^^РаЯ (^)];

94

1п

Ра'{?

2<>+Ра'+(?)

1п

"^ао^ао(^) +

/

= ^^ [^а0 ^а? (^ ^а? (^ +

г0 а?

^а?^?^^?^)]. (11)

Преобразуем уравнения (11) таким образом, чтобы определить Ра'(г') и Ра0 (г0) соответственно:

Ра'^ = [1 - ^а'^а?^ I1 + ЙТ [Да' - Дш' +

+ Е?' ^а'а? (^ ?) ^а? (?) + + Х? ^а'а? (^ ^ ^а? (^Р

> (й°) =

1- I Ра?В

а?*а0

(1 +

г ЙТ

I"1 (12)

Да0 - Дш0 + + 1г0 1а? ^а? ^ :+0) Ра? (г+0) +

+ 1г?Еа?^а0а?(::0;::0)^а?(::;)

Полученные уравнения позволяют найти искомые вероятности Ра(г). Температура фазового перехода 2-го рода есть точка ветвления. Для проведения анализа уравнений (12) проведем их линеаризацию. Для этого заменим Ра(г) = Са + 5Ра(г) в уравнениях (12) и разложим в ряд по 5Ра(г)

с сохранением членов первого порядка по 5Ра(г). Тогда получим:

= 1 Сш'Са' *

рг Сш' + ^а' г

11 ^а'а? (^ ?) ^а? (?) + Ц ^а'а? (^ ^а?

" г? а?

--—Еа' И

СшГ1С«' а? а?

¿Р^) =

г' а?

(13)

1 Сш0^а0

РГ Сш0 + Са0

г' а?

г? а?

--— ^Ра0 р).

а? а? V У

(14)

На основании проведенных преобразований сформируем линейную систему однородных уравнений

^аЧ (*№+(*) + Я^а^^Ю — 0;

+ Я,+ *а'а+ (fc^+W — 0, (15)

где ^(fc) = ^(fc) = Яро ^ ЯРа+й0;

^а'а+ = 1 + |^а'а+ " (^ [-¿* (^ " ^

¿а'а+(*) = -^Я:0^а'а+ (^ ^ «Ф [-¿fc^ - ?)]; ^а+Ю = -^^а'а? (^ ^ е*Р - í0)];

-^а'а+ = 1 + ^аЧ - (^ Í) [^ (^ - Í)].

Здесь fc волновой вектор, лежащий в первой зоне решетки Бриллю-

эна [2], построенной на векторах г' и г". Условие существования не нулевых решений системы (15) следующее:

^ detj ^ааД^ОН — 0, ^ (16)

где ^аа+ (fc° — Яа' 5аа' Ла'а+(/:" + ^о 5ааО^Оа+(fc°

Отсюда имеем температуры соответствующие ш' + ш0 - 2 корням. Это те, при которых теряется устойчивость расположения атомов в узлах и междоузлиях относительно образования упорядоченного расположения атомов с вектором fc.

Для определения температуры фазового перехода к упорядоченному состоянию надо определить свободную энергию F. Для равновесного случая с точностью до квадратичных по 5Ра(г') членов представляется в виде

Р — Р +у£аЙ+:£кРаа+^)5Ра(ВД+(Ю, (17)

1 1

где

Раа+ (fc) — ^ а' 5аа'^а'а+ "^о 5аао^аоа+(^ а a и а+ могут

принимать значения от 1 до ш' + ш0 - 2.

det II Раа+WII — (Cm')-'-1(Cmo)-0-1 det || Яаа+^Н- (18)

Ортогональным преобразованием

5Ру'^) = Я^уа^а^) (19)

приведем выражение (17) к сумме квадратов. При этом Ay(fc), коэффициенты при [5Ру(&)] в преобразованной квадратичной форме является собственным значением Раа+(Л0 и находятся, как корни характеристического уравнения

р(г) = 0, р(у) = det II Яаа+Cfc) - ЯСЛ)5аа+||. (20)

Корни Ay(fc) функции температуры и состава сплава. В устойчивом неупорядоченном состоянии Ay(fc) > 0. Равенство Аао(&) — 0 является условием потери устойчивости неупорядоченного состояния относительно

появления упорядоченного расположения атомов, которые характеризуются величиной 6Руо(к°).

В многокомпонентных сплавах при любом к0 существуют т' + т0 — 2 значения температуры, при любой из которых неупорядоченное состояние неустойчиво. Введем Т0 - температуру абсолютной потери устойчивости неупорядоченного состояния, которая определяется равенством нулю наименьшего из собственных значений Раа+(к0), т.е. при

Т = То ЛГо(ко) = 0 и _ =0. (21)

В зависимости от Ла/а+(к) и Ваоа+(к) в выражении (15) возможно несколько типов упорядоченного расположения атомов решетки. Число структур определено не только уравнениями (12), но и тем, что у т' + т0 — 2 значений. В случае фазового перехода 2-го рода Т0 является температурой фазового перехода.

Ортогональное преобразование (19) может быть использовано для введения параметров дальнего порядка в сплаве. Так как величины 6Ру/(к) образуют ортонормированную систему функций, то возможно сделать следующее разложение

Ра(г) = Са + 1к е™ ЖЪаУ1 8Р'(к) = Са + 1к е™&(к) (22) Здесь величины &(к) пропорциональные 6Р](к), в первом приближении можно считать величинами дальнего порядка. Число параметров дальнего порядка, необходимых для описания упорядочения сплава, равно числу различающихся параметров в преобразованной квадратичной форме, входящей в выражение

Р = Ро+^^Л] (к)[8Р}(к)]\ (23)

В качестве примера рассмотрим бинарный сплав замещения А-В, содержащий внедренные атомы С (т' = 2 т0 = 2). Уравнение для нахождения Т0 примет вид

АлА(к0)ВсС(к0) — ААС(к0)ВАС(к0) = 0.

Если пренебречь влияние энергии взаимодействия атомов сплава с независимым междоузлием в решетке, т.е., когда УАо(к0,) = Уво(к0,) = УСо(к'1) = 0, то получим, что

(кТ)2 — кТ[Усс(к1)Сс(1 — Со) — ШАв(к1)СА(1 — Са)] — СаСв(1 — Са)(1 — —СвШАМ) — Увс(ко)]2 — Усс(к1^Ав(к1)} = 0.

Отсюда получим

кТо = \{Усс(к1)Сс(1 — Со)—ШАв(к1)СА(1 — СА) +

+

N

[Усс(к!)Сс(1 — Со) — ШАв(к1)СА(1 — СА)]2 +. +4СаСВ(1 — СА)(1 — Св)[УАс(к1)—Увс(к1)]2

Этот результат применим к описанию упорядочения на узлах и на междоузлиях сплава произвольной решетки, и позволяет учесть дальний характер взаимодействия в сплавах.

Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

Я2 - Я

* -л4с ТОЯ4с(ВД = о*

При Я = о, получим, что Я = ^44 (&0) + ^^ЯссТО] > 0.

Если кристаллическая решетка (г0] имеет форму ГЦК, а {г0} - тет-

раэдрические междоузлия в ней, то уравнения равновесия определяются в виде:

Ра(г') = _^

{1 + ехр ± [дв - Дл + Х;? Ив (Я' X г+)Р4(г+) + Х;? [^с (г/ ХТ^) -

-V (т^Xтт:°)] Рс (г+0)]}; РсСЮ =

{1 + ехр^ [-дв - Х^ Усс(Я0 X г+0)Рс(Г+0) + Х^ [^с4 (г,0 ХТ^) -

-Усв (^Х^Р^)]}"1. или введя х1 и х2 - параметры дальнего порядка, поучим

Рл^') = С4 + Х ехр[-1^0У^'] Х1; Рс(г0) = Сс + Х ехр[-1&0Уг0] Х2. Разработка модели жидко-твердого состояния сплава позволяет провести исследования целого ряда характеристик жидкого состояния сплава, связывая их со структурными и физико-механическими свойствами металла в твердом состоянии.

Список литературы

1. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. М.: Мир, 1988. 608 с.

2. Мартин Дж, Доэрти Р. Стабильность микроструктуры металлических систем. Пер. с англ.// Под ред. В. Н. Быкова. М.: Атомиздат, 1986. 280 с.

3. Евдокимов Е.Г., Баранов А. А., Вальтер А.И. Тула: ТулГУ, 2004.

192 с.

Вальтер Александр Игоревич, д-р техн. наук, проф., уаЫег.а1ех@гатЫег.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Демидов Антон Алексеевич, аспирант, уаЫег.а1ех@гатЫег.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет

APPROXIMATE MATHEMATICAL MODEL OF LIQUID AND SOLID ALLOY

A.I. Walter, A.A. Demidov

Is a "hybrid" model with the help of which you can characterize processes occurring in the liquid state at phase transitions. The possibility of regulation of these processes when using an external disturbance.

Key words: component alloy, crystal lattice, mezatomnoe interaction, physical and mechanical properties, internal energy, external energy.

Walter Alexander Igorevich, Dr. techn. Professor, valter.alex@ rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University

Demidov Anton Alekseevich, post graduate, valter.alex@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.892.1

МЕТОД КОНТРОЛЯ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ПРОЦЕССЫ ОКИСЛЕНИЯ СИНТЕТИЧЕСКИХ МОТОРНЫХ МАСЕЛ

Б.И. Ковальский, Е.Г. Кравцова, Ю.Н. Безбородов, М.А. Лысая

Представлены результаты влияния температуры на процессы окисления синтетических моторных масел с применением фотометрического метода. Установлен процесс коагуляции продуктов окисления, вызывающих дифракцию светового потока и уменьшение коэффициента поглощения светового потока, а также получена линейную зависимость скорости окисления в начальный период окисления.

Ключевые слова: процесс окисления, коэффициенты поглощения светового потока и термоокислительной стабильности, летучесть, потенциальный ресурс, скорость окисления.

В первой и второй частях настоящей работы приведены результаты исследования термоокислительной стабильности минерального моторного масла Mobil 10W-40 SC/C и частично синтетического Mobil 10W-40 SJ/CH в температурном диапазоне от 170 до 200°С. В данной работе приведены результаты исследования синтетических моторных масел Mobil 5W-40 SJ/CF и Mobil 0W-40 SJ/CF. Масла являются универсальными и всесезон-ными. Методика исследования аналогична той, которая применялась при испытании минерального и частично синтетического масел.

На рис.1 а и 1 б представлены зависимости коэффициента поглощения светового потока Кп от времени и температуры окисления синтетических моторных масел в температурном интервале от 170 до 200°С.