Приближение средними Зигмунда - Рисса в p-вариационной метрике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Отправляясь от этой леммы, мы повторяем схему доказательства теоремы о сходимости (3) в [1], заменяя всюду условие (2) условием (4), и приходим к теореме:

Теорема. При р(£) Е С:[0,1], р(£) = 0 для сходимости (3) необходимо и достаточно, чтобы и Е М.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270) и гранта Президента РФ (проект, ПШ-ЩЗ.2010.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А. А., Хромова Г. В. Приближение непрерывных функций е интегральными граничными условиями // Современные методы теории функций и смежные вопросы : материалы Воронежской зимней школы, Воронеж, 25 янв, - 4 февр, 2011 г, Воронеж : Издательеко-полиграфичеекий центр Воронежского университета, 2011, С. 345.

УДК 517.518

Т. С. Чикина

ПРИБЛИЖЕНИЕ СРЕДНИМИ ЗИГМУНДА — РИССА В р-ВАРИАЦИОННОЙ МЕТРИКЕ

Пусть 1 < р < го, /(ж) — измеримая, ограниченная, 2п—периодическая функция и £ = {ж0 < ж < ... < хп = ж0 + 2п} - разбиение периода.

п

Введем р-вариационную сумму кР(/) = (Х^ I/— /(ж«—1 )|р)1/р, и р-ва-

5 1=1

риационные модули непрерывности [1J:

i(/,¿) = sup кр(/), |£| = max (ж, - x¿-i),

^ i (/,£) = sup 1 (Ah-1/(ж), h), k E N, k ^ 2.

p 0<h^<5 p

Здесь Ah/(ж) = X^=0(—1)k-i(!D / (ж + ¿^.Пространство Cp функций /,

удовлетворяющих равенству lim ¡x>i i(/, £) = 0, является банаховым с

p

нормой ||/||cp = max(||/i(/, 2п)), где ||/||то = sup |/(ж)|. Если

p p xeR

/(ж) имеет ряд Фурье а0/2 + ^°=1(ai cos ¿ж + b, sin ¿ж), то

(/)(ж) = а0/2 + ^(1 - ¿k/(n + 1)k)(a cos ¿ж + b, sin ¿ж)

i=i

назовем нормальными средними Зигмунда — Рисса порядка к. Легко видеть, что для tn Е Tn и четно го k Е N мы имеем | tn — Zk (tn)| =

= (n + 1)—k | tn^l, а при нечетном k Е N верно |tn — Zk (tn)| = (n + 1)—k It^l, где для tn = c0/2 + n=i(c< cos ix + di sin ix) сопряженный пол ином tn будет равен X^n=1(ci sin ix — di cos ix). Пусть Tn - пространство тригонометрических полиномов порядка не выше n En(f)с = inf ||/ — tn||cp-

tnETn

Лемма 1 [2]. Пусть 1 < р < то7 £п Е Тп. Тогда справедливо неравенство \\Ьп\\ср <

Лемма 2. (см. [1]). 1) Пусть 1 < р < то7 / Е Ср7 к Е N. Тогда,

ик< С5рик—1 (/,5)-

^ р

2) Пусть 1 < р < то7 г Е N и / 2п-периодическая функция такая, что /(г—^ абсолютно непрерывна, а /(г) Е ^[0, 2п]. Тогда, / Е Ср и

иг—1 (/,^) ^ \/(г)\р¿г—р-

3) Пусть 1 < р < то, / Е Ср. Тогда ик(/, 5) Е Жк-1/р ('т.е.

^к-1/р(/, ля) < (л + 1)к-1/р^к-1/р(/, 5), л > о;.

Теорема 1. Пусть 1 <р< то, к Е N. Тогда для, / Е Ср справедлива оценка

\\/ - (/)\\ср ^ Сик-1 (/, 1/п).

Доказательство. Разберем случай нечетного к. Пусть £п Е Тп таков, что \\/ — £п\\ср = Еп(/)ср- Известно, что ^П ограничен в пространстве Ср в силу своей сверточной природы. Имеем

\\/ — ^(/)\ср ^ \/ — ^п\ср + \\*п — ^(^п)\ср + Кк(1п) — ^(/)\\ср ^

^ (1 + Кк\\ср^ср)Еп(/)ср + С1(п + 1)—к\\*пк)\\ср) ^

^ С2Еп(/)ср + С1(п +1)—к\\iif)\ср).

Используя лемму 1, теорему М. Рисса о сопряженной функции в 1 < р < то [3, гл. 3, п. 3.11.1]), и неравенство С.М. Никольского — С. Б. Стечкина для тригонометрических полиномов [3, гл. 4, п. 4.8], находим, что

\*пк)\\ср ^ Сзп1/р\\*пк)\\р ^ С4П1/р\^пк)\р ^ С4П1/^-Пт>)кик(/, 1/пЬр.

р \2sin 2 у р

По прямой теореме приближения в Cp (см. [1]) верно неравенство

En(f)C ^ i(f, 1/n). Согласно лемме 2 и неравенству^,i(tn,£) ^

p p p

^ С6шк_ 1 (/, 5) [4] имеем

\\tn-Zl(гп)\\ар ^ С7(п+1)-к+1 пкп-рШк-1 (и,-)+С8^к-р(/,-) ^ С9^к-р(/,-) р р п р п р п

Для четного к доказательство аналогично без применения теоремы М. Рисса.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть 1 < р < / е Ср, тоиЦ

1 1 1

Шк-1 ),5) ^ Сшк_ 1 (/,5),

рр

гс^е С не зависит, от п, /, 5.

Доказательство. При 5 ^ 1/п имеем в силу теоремы 1

Шк_ 1 ), 5) ^ 1 (/,5) + 1 ) - /, 5) ^

^ 1 (/, 5) + 2к-1\\/ - Znk(/)\\с ^ 1 (/, 5) + 2к-1С1 1 (/, 1/п) ^

п V / 11 ср чк-1

^ (1 + 2к-1С1) Шк-р(/,5). (1)

При 5 < 1/п в силу леммы 2, неравенства С. М. Никольского — С. Б. Стечкина и неравенства (1) при 5 = 1/п получаем

Шк-рЙ(/),5) ^ 5к-р\\(Zn)(k)(/)\\р ^ С25к-рпкШк(Znk(/), 1/п)р ^

р

^ Сз(п5)к-рШк-р(Znk(/), 1/п) ^ С4(п5)к-рШк-1 (/, 1/п) ^ С5Шк-р(/,5).

р р р

(2)

Объединяя (1) и (2), доказываем теорему.

Замечание. Теорема 2 является аналогом, теоремы 1 из [4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Терехин А. П. Приближение функций ограниченной рвариации // Известия вузов. Сер. Математика. 1965. № 2. С. 171-187.

2. Терехин А. П. Интегральные свойства гладкости периодических функций ограниченной р-вариации // Математические заметки. 1967. Т. 2, 3. С. 289-300.

3. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М. : Физматгиз, 1960.

4. Волосивец С. С. Полиномы наилучшего приближения и соотношения между

р

веетия вузов. Сер. Математика. 1996. № 9. С. 21-26.