Приближение систем с последействием системами обыкновенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 3. Пусть выполнены все предположения леммы, а также соотношения

0 ^ p(t,a)a ^ (—х(0)-1 — 5)а2, 0 ^ д(^(('7 а), а е (—те, те),

да

где 5 > 0 любое сколь угодно малое число.

Тогда система (3) с f (t) = 0 абсолютно устойчива в указанном классе нелинейностей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

Буркин Игорь Михайлович Тульский государственный ун-т Россия, Тула e-mail: bim@klax.tula.ru

Поступила в редакцию 4 мая 2007 г.

ПРИБЛИЖЕНИЕ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ СИСТЕМАМИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1

© Т. С. Быкова

Рассматривается линейная система с последействием

x(t) = i dA(t,s)xt(s), t Е R = (—ж, ж), (1)

J —r

которую будем отождествлять с функцией A, ее задающей. Здесь запись xt означает функцию s — xt(s) = x(t + s) переменного s Е [-r, 0] со значениями в R”, r > 0, и функция A : R х [—г, 0] — M(n, R) удовлетворяет условиям, которые обеспечивают существование, единственность и непрерывную зависимость от начальных данных решения задачи Коши для системы (1).

В качестве пространства начальных функций рассматривается пространство S всех

, г 0 \ 1/2

непрерывных функций u : [—r, 0] — R” с ¿2-нормой ||u(-)||2 = ( / |u(s)|2ds) .

Всякое решение t -— x(t,u) системы (1), удовлетворяющее начальному условию x(t) =

= u(t) при t Е [—r, 0], порождает движение t — xt(-,u) = xt(u) в пространстве &,t ^ 0.

Для xt(u) определим L^-показатель Ляпунова k(u) = lim t—1 ln ||xt(u)||2, к(0) = —ж. Тогда

t

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №06-01-00258).

в- = {и Є в : к (и) = —те} образует линейное подпространство в в. Пусть в+ — прямое дополнение подпространства в- до пространства в.

Зафиксируем в в+ линейное подпространство §0 размерности р и построим движение і ^ ж*(80) = §0 пространства §0. Будем говорить, что это движение порождено сужением системы А на подпространство §0. Такое сужение обозначим (А, §0).

Наряду с системой (А, §0) рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

у = Б(і)у, і > 0, у Є М0 (2)

с непрерывной на полуоси М+ функцией і ^ Б (і). Будем далее отождествлять систему (2) с задающей ее матрицей Б и называть системой Б. По аналогии с подпространством §0, введем в рассмотрение линейное пространство М0 размерности р с базисом у1 (і),..., у0(і), образующим столбцы матрицы Коши У(і,т) системы Б при т = 0.

Пусть £(§0, М0) — пространство линейных операторов, действующих из §0 в М0 с нормой II • |ІЬ2^КР•

Определение. Функцию і ^ Ь(і) Є £(80, М0) будем называть обобщенным ляпу-новским преобразованием систем (А, §0) и Б, если: 1) функция і ^ Ь(і) непрерывна на М+; 2) при і ^ 0 оператор Ь(і) является гомеоморфизмом пространств §0 и М0 и 3) выполнено

неравенство 8ир(ЦЬ(і)Ц^2+ ||Ь-1(і) ||КР^2) < те.

*^0

Будем говорить также, что система (А, §0) приводима обобщенным ляпуновским преобразованием Ь к системе Б, или что системы (А, §0) и Б асимптотически подобны.

Теорема (см. [1,2]). Пусть §0 С Є+. Тогда:

а) найдется ортогональное (Ь*(і)Ь(і) = 10) обобщенное ляпуновское преобразование, приводящее систему (А, §0) к системе Б с непрерывной на М+, верхней треугольной матрицей Б (і);

б) если, кроме того, всякое решение системы (А, §0) «продолжаемо влево», то есть найдется константа а > 0 такая, что для каждого и Є §0, любого т Є [—г, 0] и всех

і Є М+ выполнено неравенство ||ж*+г(•, и)Ц2 ^ а||ж*(-,и)||2, то в множестве {Б} всех систем, асимптотически подобных системе (А, §0), найдется система Б с ограниченной на полуоси М+ верхней треугольной матрицей Б (і).

Следствие 1. Если ё1ш в+ = р и Ь — ляпуновское преобразование, приводящее систему (А, в+) к системе Б, то всякое движение ж*, порожденное решением системы А, представимо в виде суммы

ж* = Ь-1(і)у(і) + г* = и*У (0, і)у(і) + г*, (3)

где и* = и*(з) = (ж^).. .ж0(з)), жг*(в) = ж*(в,иг), в Є [—г, 0], и1,.. .,и0 — базис пространства в+, У (і,т) — матрица Коши системы (2), у(і) — решение системы Б, г (і) — такая функция, что Ііш і-11п ||г*(-)|І2 = —те.

Пусть в-^ = {и Є в : к(и) < л} и в+^ — прямое дополнение подпространства в-^ до пространства в.

Следствие 2. Если ёт в+^ = р и Ь — ляпуновское преобразование, приводящее систему (А, в+ц) к системе Б, то всякое движение ж*, порожденное решением системы А, представимо в виде (3), где у (і) — решение системы Б, г (і) — такая функция, что Ііш і-11п ||г*(0|І2 < л.

*^<Х>

ЛИТЕРАТУРА

1. Быкова Т.С., Тонкое Е.Л. Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Диффе-ренц. уравнения. 2003. Т. 39, № 6. С. 731-737.

2. Быкова Т.С., Тонкое Е.Л. Асимптотическая теория линейных систем с последействием // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2006. Вып. 2(36). С. 21-26.

Быкова Татьяна Сергеевна Ижевский государственный технический ун-т Россия, Ижевск e-mail: tsbkv@udm.net

Поступила в редакцию 4 мая 2007 г.

ЯДРО И РАВНОВЕСИЕ В МОДЕЛЯХ ОБМЕНА С ЭКСТЕРНАЛИЯМИ 1

© В. А. Васильев

Доклад посвящен анализу условий существования и коалиционной стабильности некоторых аналогов так называемого информационного равновесия в моделях экономического обмена с экстерналиями, изучавшегося в работах [1], [2].

Моделью экономического обмена с экстерналиями будем называть систему

E =< N, L, {Xi, wi, Ui}ieN >,

где N = {1,..., n} — множество участников, L = {1,..., 1} — множество продуктов, Xi С Rl — потребительское множество участника i £ N, а wi £ Rl и Ui : X R — его начальный запас продуктов и функция полезности, соответственно (здесь, как и всюду далее, X = ЛXi). Специфической чертой рассматриваемой модели является неавтономность функций Ui (в классических моделях обмена функция полезности каждого участника i определена лишь на его потребительском множестве Xi и, следовательно, «нечувствительна» к уровню потребления других экономических агентов). Известно, что наличие «экстерналий» (externalities) в потреблении приводит к потере Парето-оптимальности стандартных равновесных распределений и необходимости рассмотрения надлежащих модификаций вальра-совского равновесия, свободных от указанного недостатка. К таким модификациям относится и предложенное В.Л. Макаровым информационное равновесие, изучаемое в настоящей работе.

хРабота выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (проект №05-02-02005), программы Государственной поддержки ведущих научных школ (грант №4999.2006.6) и РФФИ (проект №07-06-00363).