Ляпуновская приводимость системы с последствием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛЯПУНОВСКАЯ ПРИВОДИМОСТЬ СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© Т.С. Быкова (Ижевск)

Пусть М” - стандартное евклидово пространство размерности п, |ж| = \[х*х - норма в К™, М(п, К) - пространство вещественных (п х п)-матриц. Систему уравнений с последействием

x(t) = f dA(t,s)x(t + s), f 6 М = (—oo,oo)

J —r

будем отождествлять с функцией А, ее задающей. Здесь x{t) - правая производная x(t), интеграл Стилтьеса рассматривается по переменной s при каждом фиксировенном t. Будем предполагать, что г > 0 и функция А : R х [—г, 0] —> М(п,К) удовлетворяет условиям, которые обеспечивают существование, единственность и непрерывную зависимость от начальных данных решения задачи Коши. В качестве пространства начальных функций рассматривается пространство 6 непрерывных

О 1/2

функций х : Ш. —> R" с Е^-нормой ||ж(-)Ц2 = (/ |a;(s)|2ds)

— Г

Для непрерывной функции t —> x(t). определенной на интервале J С Ж, и любой точки t такой, что [t — r,t\ С J, запись xt(-) (или просто xt) означает функцию s -» xt(s) = x(t + s) переменного s € [—г,0] со значениями в К".

Для каждого и 6 6 определим показатель Ляпунова А (и) = lim f_1 In ||xt(-,u)||, A(0) = —00.

t—► 00

Легко проверить, что множество = {и 6 6 : А (и) = —оо} образует линейное подпространство в 6. Пусть б+ - прямое дополнение пространства 6“ до пространства 6. Тогда для всех ненулевых и£б+ выполнено неравенство А (и) > — оо.

Зафиксируем в б+ линейное подпространство §д размерности р. Для каждого t ^ 0 подпространство = X(i,0)§o (X(t, s) : 6 -> в - оператор Коши системы А) также имеет размерность р. Наряду с системой (A, §£) рассмотрим систему обыкновенных уравнений

у = B(t)y, t ^ 0, у G Мр

(отождествляемую с матрицей В, ее задающей) с непрерывной функцией t —> B(t) 6 М(р, К). По аналогии с подпространством §£, введем в рассмотрение линейное пространство размерности р с базисом у1 (t),... ,yp(t), образующим столбцы матрицы Коши Y(t, 0) системы В.

Пусть £(SJ?,M|) - пространство линейных операторов из Sf в К£ с нормой || • Це-до. Определение. Функцию t —> L(t.) £ £(§f, Щ) будем называть ляпуновским преобразованием систем (A, §q) и В, если при каждом t ^ 0 оператор L(t) является гомеоморфизмом пространств и Ef и выполнено неравенство supt^0(||L(f)||©_>RP + ||L_1(i)||RP_>©)a; < 00. Будем говорить также, что система {A, Sq) приводима ляпуновским преобразованием L к системе В, или что системы (А, §о) и В асимптотически эквивалентны.

Теорема. Пусть С б+. Тогда:

а) найдутся система В с непрерывной на R+ = [0, оо) матрицей B(t) и ляпуновское преобразование L, приводящее систему (A,§q) к системе В;

б) в множестве {В} всех систем, асимптотически эквивалентных системе (A,Sg), найдется система с непрерывной на R+, верхней треугольной матрицей B{t);

в) если в дополнение к сказанному всякое решение системы (А, §д) «продолжаемо влево», т.е. найдется константа а > 0, что для каждого и € §q, любого т £Е [—г*, 0] и всех t Е выполнено неравенство ||зд+г(',и)||2 ^ ск(-,гл)||г, тпо в множестве {В} всех систем, асимптотически

эквивалентных системе (A,Sg), найдется система В с ограниченной на полуоси М+ матрицей B(t) (и следовательно, с огрниченной на М+ верхней треугольной матрицей B{t)\

г) если A(t + T,s) — A(t,s) для всех (t,s) Є US x [—r, 0], то найдутся система В с вещественнозначной непрерывной Т-периодической матрицей B(t) и Т-периодическое по t ляпуновское преобразование L, приводящее (А,§д) к В.

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ В АЭРОУПРУГОСТИ

© В.И. Ванько (Москва)

Известные по литературным источникам условия аэродинамической (а/д) "неустойчивости" [1-3] выведены без строгого следования процедурам методов Ляпунова. Наиболее популярное (классическое) неравенство Глауэрта-Ден-Гартога:

С'у + сх< 0 (1)

(здесь Су, Сх - стационарные а/д коэффициенты подъемной силы и лобового сопротивления, штрихом сверху обозначаем производную по углу атаки) было получено как необходимое условие начала движений из состояния равновесия профиля с одной степенью свободы (авторотация - [1], галопирование - [2]).

Рассматривается плоскопараллельное движение профиля, перемещения которого стеснены вязкоупругими связями. Доказано, что любой скорости воздушного потока соответствует единственное положение равновесия профиля. Выведено достаточное условие неустойчивости равновесия по Ляпунову [4]:

Сх(С'у + Сх) + Су(Су-С'х)< 0. (2)

Неравенство (1) есть частный случай (2): оно получается как условие неустойчивости по Ляпунову при изучении одномерных перемещений профиля.

На основании результатов испытаний моделей в а/д трубе ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского показана адекватность условия (2) как для плохо- так и для хорошообтекаемых профилей. Причем для

последних неравенство (2) является достаточным условием отрыва потока от профиля, а неравен-

ство (1) - необходимым.

Полученное условие неустойчивости может быть использовано при проектировании конструкций, подверженных воздействию значительных аэро- или гидродинамических нагрузок [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Glauert Н. The rotations of aerofoil about a fixed axis // Great Britain Advisory Committee for aeronautics. Reports and Memoranda. March 1919, № 595. 9 p.

2. Den-Hartog I.P. Transmission line vibrations due to sleet // Transactions AIEE. 1932. V. 51. P. 1074-1076.

3. Келдыш M.B. Избр. труды: Механика. М.: Наука, 1985. 567 с.

4. Ванько В.И., Соколова Е.В. Об условиях аэродинамической неустойчивости положений равновесия профилей // Прикл. механика и техн. физика (ПМТФ). 1996. Т. 37. № 5. С. 29-34.

5. Руководство по расчету зданий и сооружений на действие ветра. М.: Стройиздат, 1978. 143 с.