Асимптотическая теория линейных систем с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917

© Т. С. Быкова, Е.Л. Тонков

tsbkv@udm.net, eltonkov@udm.ru

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ1

Ключевые слова: линейные системы с последействием, равномерная экспоненциальная устойчивость, показатели Ляпунова, ляпуновская приводимость, асимптотическое подобие.

Abstract. It is shown that linear system with aftereffect on each finitedimensional subspace of solutions with finite Lyapunov index is asimptoti-cally homothetic under natral assumptions to a system of ordinary differential equations. The problem of the uniform exponential stability of a system with aftereffect is studied.

Основной целью работы является выяснение условий, при которых сужение системы

на любое конечномерное подпространство существенных (то есть имеющих конечные показатели Ляпунова) решений асимптотически подобно некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченной матрицей коэффициентов. Здесь запись хг означает функцию в ^ хг(в) = х(Ь + в) переменного в € [—г, 0] со значениями в М”.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (грант № 06-01-00258) программы «Университеты России» (грант № 34125).

0

dA(t, s)xt(s), t Є R = (-то, то) (0.1)

—r

Кроме того, исследуется вопрос о грубости свойства равномерной экспоненциальной устойчивости системы (0.1).

Относительно системы (0.1) будем предполагать, что интеграл Стилтьеса рассматривается по переменной в при каждом фикси-ровенном Ь, г > 0 и функция А : М х [—г, 0] ^ М(п, М) удовлетворяет естественным условиям: функция (Ь, в) ^ А(Ь, в) ограничена в полосе М х [—г, 0], имеет ограниченную вариацию по в, функция Ь ^ А(Ь, 0) равномерно непрерывна на М, А(Ь, —г) = 0 и для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для всех |т| ^ 5 и

Го

всех Ь € М выполнено неравенство / |А(Ь+т,в) — А(Ь, в)| йв ^ е.

</ —Г

В дальнейшем систему (0.1) будем отождествлять с задающей ее функцией А, а пространство всех систем А, удовлетворяющих естественным условиям, обозначать А.

В качестве пространства начальных функций рассматривается пространство & всех непрерывных функций и : [—г, 0] ^ Мп

//*0 \ 1/2

либо с Ь2 -нормой ||и(-)||2 = ( / |и(в)|2йв) , либо с равно-

мерной нормой ||и||о = тах |и(Ь)| (в последнем случае & ста-

*е[—г,0]

новится банаховым пространством и совпадает с пространством С ([—г, 0], Мп)).

Всякое решение Ь ^ х(Ь,Ьо,и) системы (0.1), удовлетворяющее начальному условию х(Ь) = и(Ь — Ьо) при Ь € [Ьо — г,Ьо], порождает движение Ь ^ хг(-,Ьо,и) = хг(Ьо,и) в пространстве &, Ь ^ Ьо (при Ьо = 0 вместо хг(-, 0,и) пишем хг(и)). Таким образом, при всех Ьо ^ т ^ Ь имеет место равенство хг = X(Ь,т)хт, где X(Ь,т): & ^ & — оператор Коши системы (0.1).

§ 1. Теорема о приводимости [1]

Для хг (и) определим 1,2 -показатель Ляпунова

1п ||х*(и)||

Тогда множество &— = {и € & : к (и) = —то} образует линейное подпространство в &. Пусть &+ — прямое дополнение подпространства &— до пространства &, то есть & = &+ ф &—. Тогда если и € &+ и и = 0, то к(и) > —то.

Зафиксируем в &+ линейное подпространство размерности р и построим движение Ь ^ хг(§£) = пространства 8р|. Будем говорить, что это движение порождено сужением системы А на подпространство 8р|. Такое сужение обозначим (А, ).

Наряду с системой (А, ) рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

у = В(Ь)у, Ь ^ 0, у € МР (1.1)

с непрерывной на полуоси М+ матричной функцией Ь ^ В(Ь). Будем далее отождествлять систему (1.1) с задающей ее матрицей В и называть системой В. По аналогии с подпространством 8р, введем в рассмотрение линейное пространство Мр размерности р с базисом у1 (Ь),... ,уР(Ь), образующем столбцы матрицы Коши У (Ь, т) системы В при т = 0.

Пусть £(§Р, МР) — пространство линейных операторов, действующих из в Мр с нормой || ■ ||^2—КР.

Определение 1.1. Функцию Ь ^ Ь(Ь) € £(§Р, Мр?) будем называть обобщенным ляпуновским преобразованием систем (А, §Р) и В, если: 1) функция Ь ^ Ь(Ь) непрерывна на М+; 2) при Ь ^ 0 оператор Ь(Ь) является гомеоморфизмом пространств и Мр и 3) выполнено неравенство

зир( + 11Ь (ь)11кр —^2) < то.

г^о

Будем говорить также, что система ( А, ) приводима обобщенным ляпуновским преобразованием Ь к системе В, или что системы (А, §о) и В асимптотически подобны.

Теорема 1.1. Пусть С &+. Тогда

а) найдется ортогональное (Ь*(Ь)Ь(Ь) = 1р) обобщенное ляпу-новское преобразование, приводящее систему (А, §0) к системе В с непрерывной на М+, верхней треугольной матрицей В (Ь);

б) если, в дополнение к сказанному, всякое решение системы ( А, §0) «продолжаемо влево», то есть найдется константа а> 0 такая, что для каждого и € §0, любого т € [—г, 0] и всех Ь € М+ выполнено неравенство ||х£+т(-,и)||2 ^ аЦх^ (-,и)||2, то в множестве {В} всех систем, асимптотически подобных системе (А, §0), найдется система В с ограниченной на полуоси М+ верхней треугольной матрицей В (Ь)).

§2. Рекуррентные системы с последействием [1;2]

Определение 2.1. Функцию (Ь,в) ^ А(Ь,в) (или, что эквивалентно, систему А € А), будем называть рекуррентной (по переменной Ь), если для любых £ > 0 и Т > 0 множество

в а (£,Т) = {V € М : шах( |А(Ь + V, 0) — А(Ь, 0)| +

+ J |А(Ь + §,в) — А(Ь,в) dв^ ^ £}

относительно плотно на прямой М.

При каждом в € [—г, 0] сдвиг функции Ь ^ А(Ь, в) на константу т обозначим Ат (Ь,в)= А(Ь + т,в). Пусть далее, ^(А) — замыкание множества {Ат(Ь,в) : т € М} сдвигов функции А, понимаемое в следующем смысле: А € ^-(А) в том и только в том случае, если для некоторой последовательности {т^}? и любых £ > 0 и Т > 0 найдется такой номер го, что для всех г ^ го выполнено неравенство

шах^А^(Ь, 0) — А(Ь, 0)| + J |АЧ(Ь,в) — А(Ь,в)| dв^ ^ £.

Для каждой системы А € ^(А) полный набор Ь2 -показатель

Ляпунова системы (А, §0) обозначим Аі(А),..., Ар(А). Будем считать, что Аі(А) ^ ... ^ АР(А).

Теорема 2.1. Пусть §0 С Є+ , система А Є А рекуррент-на и для всех А Є ^-(А) и некоторой константы к > —то выполнено неравенство Аі(А) ^ к. Тогда найдутся система В с непрерывной и ограниченной на М верхней треугольной матрицей В(Ь) и обобщенное ляпуновское преобразование Ь, приводящее систему (А, §0) к системе В.

§3. Равномерная экспоненциальная устойчивость [2]

Определение 3.1. Будем говорить, что система А Є А С -'равномерно экспоненциально устойчива, если найдутся такие константы А > 0 и М> 0, что для всякого движения Ь ^ £*(•), порожденного системой А, для любого Ьо ^ 0 и всех Ь ^ Ьо выполнено неравенство

1Ы')||о < м\\xto(-)||оехр[-А(Ь — Ьо)].

Теорема 3.1. Система А Є А С -'равномерно экспоненциально устойчива в том и только том случае, если показатель Боля

<В0(А) = ТЇІГ 1пИХ(^т)11б^ е = С([-г,0],Мга),

і—т Ь — Т

системы А удовлетворяет неравенству Во (А) < 0.

Далее, пусть Ао — подпространство всех систем из А, для которых всякое решение с конечным показателем обладает свойством «продолжаемости влево».

Теорема 3.2. Свойство С -равномерной экспоненциальной устойчивости на пространстве Ао с метрикой

д(А, В) = 8ир("|А(Ь, 0) — В(Ь, 0)| +

является грубым свойством.

|А(Ь, 8) — В(Ь, в)| йв

о

— Г

Доказательство этой теоремы опирается на формулируемую ниже лемму, представляющую самостоятельный интерес.

Л е м м а 3.1. Показатель Боля системы А € Ао устойчив вверх: каждому е > 0 отвечает 5 > 0, что для любой системы А + В € Ао, где В удовлетворяет естественным условиям

и неравенству 8ир(|В(Ь, 0)| + г^о

неравенство Во (А + В) ^ Во (А) + е.

Если на пространстве А всех систем вида (0.1) определить метрику р равенством

р(А,В) = 8ир("|А(Ь, 0) — В(Ь, 0)| + уаг |А(Ь, з) — В(Ь^)^, (3.1)

*€К ^ «е[-г,о| )

то утверждения аналогичные выше сформулированным, останутся справедливыми без условия «продолжаемости влево», то есть на всем пространстве А.

Лемма 3.2. Показатель Боля системы А € А устойчив вверх, то есть каждому е > 0 отвечает такое 5 > 0, что для любого возмущения В(Ь,в), удовлетворяющего естественным условиям и неравенству эир уаг |В(Ь,в)1 ^ 5, имеет ме-

г^о «е[-г,о|

сто неравенство Во (А + В) ^ Во (А) + е.

Теорема 3.3. В пространстве А с метрикой р, определенной равенством (3.1), свойство С -равномерной экспоненциальной устойчивости, является грубым свойством.

Список литературы

1. Быкова Т. С., Тонков Е. Л. Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 6. С. 731-737.

2. Быкова Т. С., Тонков Е. Л. Приводимость линейной системы с последействием // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2005. Т. 11, № 1. С. 53-64.

I

/ |В(Ь,з)|^) ^ 5, имеет место

7 —V