ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТАВНЫМИ ДВУХТОЧЕЧНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЭРМИТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.95.5.003

ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТАВНЫМИ ДВУХТОЧЕЧНЫМИ

МНОГОЧЛЕНАМИ ЭРМИТА

Научная статья

Шустов В.В. *

ORCID: 0000-0002-2465-7475, ФГУП Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем, Москва, Россия

* Корреспондирующий автор (vshustov[at]gosniias.ru)

Аннотация

Рассмотрена задача приближения периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы представления этих многочленов, которые используют значения функции и ее производных в заданной точке. Указана связь двухточечных многочленов Эрмита и многочлена Тейлора применительно к представлению периодической функции. Приведена оценка приближения, выраженная через оценку производной соответствующего порядка. Указан достаточный признак сходимости последовательности составных двухточечных многочленов к периодической функции. Даны примеры разложения периодических функций с данными о погрешности и ее оценке.

Ключевые слова: периодические функции, двухточечный многочлен Эрмита, оценка погрешности приближения, сходимость последовательности двухточечных многочленов.

APPROXIMATION OF PERIODIC FUNCTIONS BY COMPOSITE TWO-POINT HERMITE POLYNOMIALS

Research article

Shustov V.V. *

ORCID: 0000-0002-2465-7475, State Research Institute of Aviation Systems, Moscow, Russia

* Corresponding author (vshustov[at]gosniias.ru)

Abstract

This paper deals with polynomial approximating a periodic functions by composite two-point Hermite polynomials. The final formulas of these polynomials, using the function values and its derivatives at a given point, are constructed. The relation of Taylor's polynomial and two-point polynomials with respect to representation of periodic function is specified. The estimation of proximity, expressed through the evaluation of the derivative of the corresponding order is given. A sufficient condition for the convergence of a sequence of two-point polynomials to a given periodic function is established. Examples are given in which periodic function is approximated by a sequence of two-point Hermite polynomials with data on an errors and its evaluation.

Keywords: periodic functions, two-point Hermite polynomial, approximation error estimate, convergence of two-point polynomials sequence.

Введение

Периодическими функциями называются функции, которые удовлетворяют условию fx)=fx+T), где период T > 0 [1, C. 9].

Для представления этих функции используются ряды Фурье. Теория этих рядов представлена в различных источниках, начиная от учебников курса математического анализа и теории функций [2], [3, C. 343], [4] и включая работы, в которых освещаются теоретические и практические аспекты использования этих рядов в курсе численных методов [5, C. 390], [6, C. 282], [7, C. 218].

В рядах Фурье применяются тригонометрические функции fx) = sin x и fx) = cos x. Для использования этих функций их необходимо вычислить, применяя многочлены Тейлора.

В настоящей работе предлагается использование составных многочленов для представления периодических функций.

Основные идеи и положения статьи анонсированы в докладе автора [14].

1. Постановка и решение задачи

Пусть периодическая функция fx), которая имеет период T, т.е.

fx) = fx+T), (1)

задана на интервале (-®<x<®) и имеет производные на этом промежутке.

Пусть также в некоторой точке x0 интервала (-<»,<») заданы значения функции fx), а также, ее производных до порядка m включительно:

f(7Ч*о) = f>(J = 0А-, m (2)

Требуется построить составной многочлен H(x), который определен на заданном интервале (-®<x<®). Многочлен H(x) должен удовлетворять также условиям (1) и (2).

Пусть £ - новая переменная, связанная с переменной х формулой:

Р = { ^ } (3)

в которой функция обозначает дробную часть своего аргумента, т.е 0 <|г}< 1 . Диапазон изменения переменной £ , таким образом, определен соотношением:

0 < р < 1 (4)

Преобразование (3) отображает неограниченный интервал задания функции на промежуток [0,1).

Так как заданная функция периодическая и для нее по условию (2) существуют производные до порядка т включительно, то эти производные должны быть периодическими функциями.

Запишем условия периодичности производных в виде соотношений:

/(1}(Хо + Т) = /о( 1>, ] = 0,1,..., т (5)

Задача аппроксимации периодической функции на бесконечном интервале преобразована в задачу приближения этой функции на отрезке [0,1] с условиями (2) и (5) на ее производные.

В качестве аппроксимирующей функции будем использовать двухточечный многочлен Эрмита, рассмотренный в [10] и [11] .

Такой приближающий многочлен Нт(£(х)), удовлетворяющий условиям (2) и (5), с использованием переменной определенной формулой (3), можно представить в виде [10, С. 1097]:

т /(])Т1 т-] т / О'Т 1 т-]

Нт Р) = (1 - Рт+1 £ /ЧгР* £а"тР + ^ Ё /Р - 1)1 £акт (1 - Р" ^

]=0 ]■ к=0 ]=0 ]■ к=0

где коэффициент акт выражается через биномиальный коэффициент скт (см. например, [12, С. 163]) как

к _ к т т+к'

Группируя слагаемые, входящие в правую часть формулы (6), получим компактную формулу для составного двухточечного многочлена Нт(£), построенного для периодической функции:

т / (1 )(ТР) 1

Нт (Р = £ 10 <Р]т (Р (7)

]=0 ]

где функции влияния р]т р) определены соотношением:

т-] т-3

Р Р) = (1 - Рт+1 £акрк + Г+1- Р -1)т £акт (1 - рк (8)

к=0 к=0

Из представления (7) наглядно видно, что двухточечный многочлен для периодической функции представляется в виде модифицированного многочлена Тейлора, построенного в заданной точке. Модификация состоит в том, что

каждый член многочлена Тейлора умножается на соответствующую функцию влияния Рт р) . Многочлен Нт(£) с использованием (7) и (8) может быть также записан в виде:

т / ( т )тт

Нт (р) = £ ^^ ^т р) (9)

т=0 т!

где координатные функции р) , являясь единственными сомножителями в (9), которые зависят от переменной представляются в виде:

т-т т-т

^т Р) = (1 - РГ1 Р £ акрк + Рт+1 Р -1)1 £акп (1 - Рк (10)

к=0 к=0

Связь функций влияния р]т (О) и координатных функций у/]т О)

в соответствии с (8) и (10) осуществляется

согласно соотношению:

У О) = 4(т О) С")

В таблице 1 представлены соотношения для многочлена Ит(§ при некоторых значениях т, полученные из формулы (9).

_Таблица 1 - Формулы для Ит(§_

Н о - /о

Н2 - /о + /о'(О -10О3 + 15О4 -605)Т+/-' (О -2О + 04)Т2

Н - / + /0'(О-35О4 + 84О5-70Об + 20О)Т + / (О2-5О4 + 6%5-2О6)Г2 +

г 111

+ /о" (О3 -5О4 + 9О5 -7О6 + 2О7)Г3

Н - /о + /о'О - 126О5 + 420О6 - 540О7 + 315О8 - 70^9)Г + / (О2 -14^5 + 28О - 20О7 + 5£8)Г2 +

/(4)

+ ^ (О -21О5 + 63О6 - 78О + 45О8-10О9)Г3 + ^ (О4 - 4О5 + 6О6 - 4О + О8)Г4

На рис. 1 для примера представлены зависимости функций 1//я' (£) .

[ 1 1.0 0.8

/=0

0.6

0.4

0.2 /=1 /=2 \ /=4

0.2 0.2 0.4 Х\0.6 /=3 0.8

Рис. 1 - Зависимость у (О) приу=0-4 и для т=4

На рис. 2 представлены эти же зависимости, выполненные с использованием логарифмической шкалы по оси ординат, и, соответственно, на рисунке показаны графики модуля этих функций, т.е. | у]т О) |.

0.2 0.4 0.6

Рис. 2 - Зависимость | \у]т (р) |

Из рисунка видно, что функции ^ (Р) при четных значениях ] принимают положительные значения и имеют

максимум в середине отрезка, который монотонно убывает с увеличением ]. Функции ^ (Р) при нечетных

значениях] до середины отрезка принимают положительные значения, обращаются в нуль в середине отрезка и имеют отрицательные значения во второй половине отрезка, при этом максимум модуля функции также монотонно убывает с увеличением /

2. Остаточный член и его оценка

Для определения погрешности представления периодической функции составным двухточечным многочленом необходимо определить остаточный член приближения и сделать его оценку. Вследствие выбора способа аппроксимации в виде составных многочленов, выраженного преобразованием (3), исследование остаточного члена приближения периодической функции на всей области может быть ограничено рассмотрением этого члена только на отрезке [х0, х0+Т].

Остаточный член г(х), определенный как разность между заданной периодической функцией и многочленом Н(х)

г(х) =Ах)-Щх)

согласно [10, С 173], можно записать в виде:

г( х) =

/ (2И+2)(^ „лт+1

(2т + 2)!

(х - х0)т+1(х - х0 -Т)

(12)

(13)

где ^ € (Хо, Хо + Т), т.е. п - некоторая внутренняя точка отрезка [х0, х0+Т].

С использованием переменной 4, определенной (3), остаточный член двухточечного представления согласно формуле (13), может быть записан в виде:

г( х(Р)) =

/(2"+2)(з)

(2т + 2)!

т+1 т'2т+2

^ т+1 ^^ ^ т+1 у

(14)

Для погрешности 5(х) представления многочлена Н(х), которая по определению равна модулю остаточного члена,

т.е.

в соответствии с (14) при 0<4< 1 можно записать:

*( х(Р))

5(х)=|г(х)|,

| Т (2т+2)(„)|

1 Т (Ч)|■¡: т+1 /1 е\т+1гГ2 т+2

(2т + 2)!

т +1 т +1 2

Пусть производная функции порядка 2т+2 на интервале (-<»,<») ограничена некоторой константой М2т+2 >0, т.е. считаем, что

| /(2т+2)(х) |< М2т+2, х е (—(16)

Тогда погрешность аппроксимации функции на отрезке может быть записана как

д(Р) <Л(£) (17)

где А(4) обозначена оценка локальной погрешности

Л(£) _ М2т+2 ¿т+1(1 — Р)т+1 Т2т+2 /18ч

^ (2т + 2)Г

Из того, что maxpm+1(l — ¿)m+i —-- (например, [10, с. 1098]), и из формулы (18) следует, что погрешность

o<l<i 4m+1

приближения функции 5(x) удовлетворяет соотношению S(p) < А , где оценка погрешности Д выражается соотношением

А — _M 2m+2_T 2m+2 (19)

4m+1(2m + 2)! ( )

Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема 1. Пусть периодическая функция fx) с периодом T определена на интервале (-ж<х<ж) и имеет достаточный набор производных на этом интервале. Пусть также в некоторой точке x0 интервала (-ж,ж) заданы значения функции fx) и ее производных до порядка m включительно:

f(J Ч^о) — f0( J), j — 0,1,..., m.

Тогда функция fx) может быть представлена в виде

f(x)=Hm(x)+rm(x), где

m f(j )Т J ' f 0 T ,„j .

Hm (P(X)) = S W (P) ,

j—0 J!

m—J m—J

wm (#)—(i—p)m+i p z cm+p—i) j z cm+k (i—

k—0 k—0

f (2m+2)(„)

rm (P( X)) — f—^ Г* (Л — i) m+i T 2m+2,

(2m + 2)!

P — X° \ и ^ (X0, X0 + T) .

Следствие. Пусть производная функции порядка 2т+2 на интервале (-<»,<») ограничена некоторой константой М2т+2>0, т.е. выполняется условие

| /(2т+2)(х)|< М2т+2, х е (—<ю, С») .

Тогда для погрешности 5(x) аппроксимации функции имеет место

№x)) <А,

где оценка погрешности А выражается соотношением

Д _ M2m+2 T 2m+2

4m+1(2m + 2)!

Действительно, эта формула для оценки погрешности А следует из (18) и из того, что

шах£Ж+1(1 -ат+1 .

о<1<1^ у 4т+1

Доказательство этой формулы приведено, например, в [10, С. 1098]. 3. Сходимость приближений функции

Если функция имеет неограниченное число производных, то для нее может быть построена последовательность приближающих ее многочленов.

Исследуем условия, при которых последовательность составных двухточечных многочленов Нт(х) сходится к функции /(х) при Ж ^ <Х>.

Из формулы (12) следует, что функцию _Дх) можно записать как:

Лх)=Ит(х) + Гт(х). (20)

Из представления (20) видно, чтобы последовательность двухточечных многочленов Hm(x) сходилась к функции fix), необходимо и достаточно, чтобы для всех x имело место (см. [13, C. 549])

lim rm (x) _ 0.

m—}от

При условии, когда рост производных ограничен некоторой показательной функцией их порядка, имеет место достаточный признак сходимости.

Теорема 2. Пусть периодическая функция fix) и все ее производные ограничены в совокупности на интервале (-да<х<да) показательной функцией их порядка j, т.е существуют такая постоянные M>0 и q>0, такие, что для всех X £ (—от, от) и всех j=0,1,... имеет место

| f (J)(x) |< MqJ (21)

Тогда на этом интервале функция f(x) представляется сходящейся последовательностью соответствующих ей составных двухточечных многочленов Hm(£(x)), т.е.

f (x) _ lim Hm (£(x)) (22)

m—от

или в соответствии с (9)

m f (j)tj

f (x) _ lim £ wI (4(x)),

m—OT J_0 J!

где функции и £(х) определены формулами (11) и (3), соответственно.

Доказательство. Заметим сначала, что для любого числа а (см., например, [13, С.551])

am

lim — _ 0 (23)

m—от m!

Для модуля остаточного члена |гт(х)| с использованием (16), (17) и с учетом (19) можно записать:

(4"(£ + 2). q)2"*2 ,24)

В силу (23) следует то, что

\2ш+2

"m^^ - о <25>

m^» (2m + 2)!

Кроме того, очевидно, имеет место

M Л

li^-^mrr - 0 (26)

m^» 4

Из оценки (24) в силу (25) и (26) следует, что

lim rm (X) = 0,

m^»

что и означает в соответствии с (20), что имеет место доказываемое утверждение (22) теоремы. 4. Результаты численных экспериментов

Пример 1. Как известно, функция fx) = sin x является периодической функцией, которая имеет период T=2n. Производные этой функции вычисляются по формуле: (см. например [13, C. 149]):

к

(sin X)(j) - sin (x + — j), j - 0,1,...

(27)

Подставляя эти соотношения в формулы, приведенные в таблице 1, получим выражения для Ит(£), которые представлены в таблице 2.

Таблица 2 - Выражения для многочлена Hm(Q

Но - 0

Hi - 2к(£-3£2 + 2£3)

Н - 2к(£-10£3 +15£4 - 6<f)

Н 3 - 2к(£ 35£4 + 84£5 70£6 + 20#7)-(2к) (#3-5#4 + 9£5-7£6 + 2£7)

Н 4 - 2к(£ -126£5 + 420£6 -540£7 + 315£8- 70£9) (2к) (£3-21£5 + 63£6 -7841 + 45£8 -10£9)

На рис. 3 приведены графики многочленов Hm(x), для m = 0,1,2,3,4. Здесь же для сравнения представлен график функции fx) = sin x, обозначенный пунктирной линией.

Рис. 3 - Приближение функции fx) = sin x

Из рисунка видно, что аппроксимирующие многочлены приближаются к данной функции при увеличении т. На рис. 4 показаны графики погрешности приближения 5(x), которая определена по формуле

5(x)=fx)-#m(x)|

(28)

для значений параметра т = 0-4.

0.1

0.01

0001

10

2 4 6 8 10

Рис. 4 - Погрешность приближения 5(x)

12

Из графиков, представленных на рисунке, видно, что погрешность 5(x) также является периодической функцией с те же периодом, что и заданная функция, обращается в ноль при xk=2nk, k=0, ±1,±2... и в данном случае монотонно уменьшается с возрастанием т.

В таблице 3 представлены в числовой форме значения многочлена Нт, его погрешности 5т и ее оценки Дт для значения x = л/2, при котором функция y = sin x принимает максимальное свое значение.

Таблица 3 - Значения многочлена Hm, его погрешности 5т и ее оценки Дт

s т Нт(п/2) 5т Дт

1 0 0.000000000000 1.00000000000 4.93480220054

3 1 0.589048622548 0.410951377452 4.05871212642

5 2 0.920388472731 0.079611527269 1.33526276885

7 3 0.991217827278 0.008782172722 0.23533063036

9 4 0.999377014126 0.000622985874 0.02580689139

11 5 0.999969215729 0.000030784271 0.00192957431

13 6 0.999998879582 0.000001120418 0.00010463810

15 7 0.999999968709 0.000000031291 0.00000430307

Из таблицы 3 видно, что при увеличении т значение многочлена Hm стремятся к точному значению функции y = sin х, погрешность 5m стремится к нулю и оценка погрешности Дт, ограничивая саму погрешность сверху, также стремится к нулю.

х.

4

0

Пример 2. Рассмотрим периодическую функцию вида fx) = sin 2x - cos x, которая также имеет период T=2n. Производные этой функции определяются соотношением:

ТС ТС

(sin 2х - cosх)( 1 1 = 21 sin (x + — j) - cos (x + — j), j = 0,1,....

Подставляя производные этой функции в формулы, представленные в табл. 2, получим соответствующие выражения для аппроксимирующих многочленов.

На рис. 5 представлены графики приближающих многочленов для т=2,4,6,8. При увеличении т аппроксимирующие многочлены также стремятся к заданной функции.

Рис. 5 - Приближение функции fx) = sin 2x - cos x

На рис. 6 показаны графики погрешности приближения 5(x), полученной по формуле (28) для различных значений параметра т.

Рис. 6 - Погрешность приближения 5(х)

Из представленных графиков видно, что погрешность приближения 5(х) имеет более сложный характер, но также стремится к нулю при возрастании т. Это объясняется выполнением достаточного условия теоремы 2 о сходимости последовательности аппроксимирующих многочленов.

Конфликт интересов Conflict of Interest

Не указан. None declared.

Список литературы / References

1. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа / Романовский П.И.. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. - 336 с.

2. Архипов Г.И.. Лекции по математическому анализу. / Архипов Г.И., Садовничий А.А., Чубариков В.Н.- М.: Высшая школа, 1999. - 695с.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. т. II. / Кудрявцев Л.Д.- М.: Высшая школа, 1981. - 584с.

4. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. / Колмогоров А.Н., Фомин С.В.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 624 с.

5. Березин И.С. Методы вычислений. Т. 1 / Березин И.С., Жидков Н.П. - М.: Физматлит, 1962.- 464 с.

6. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. / Хемминг Р.В. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. - 400 с.

7. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. / Ланцош К. - М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1961. - 524 с.

8. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа./ Микеладзе Ш.Е. М.: Гостехтеориздат, 1953. -528 с.

9. Воробьев Н.Н. Теория рядов / Воробьев Н.Н. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 406 с.

10. Шустов В.В. О приближении функций двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита / Шустов В.В. // ЖВММФ, 2015, № 7, С. 1091-1108.

11. Шустов В.В. Аппроксимация функций несимметричными двухточечными многочленами Эрмита и ее оптимизация / Шустов В.В. // ЖВММФ, 2015, № 12, С. 1999-2014.

12. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. СПб.: Изд. Лань, 2010 - 608 с.

13. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. 1./ Кудрявцев Л.Д. - М.: Высшая школа, 1970. - 592с.

14. Шустов В.В. О приближении периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита / Шустов В.В. // Современные методы теории функций и их приложения: материалы 18 Саратовской зимней математической школы / Саратовский гос. ун-т. - Саратов, 2016. - С. 338-341.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Romanovskii P. I. Ryady Fur'e. Teoriya polya. Analiticheskie i spetsial'nye funktsii. Preobrazovanie Laplasa [Fourier series. Field theory. Analytical and special functions. Laplace Transformation] / Romanovskii P. I. . Moscow, Nauka, 1980, 336 p. [in Russian].

2. Arkhipov G. I. Lektsii po matematicheskomu analizu [Lectures on mathematical analysis] / Arkhipov G. I., Sadovnichii A. A., Chubarikov V. N.. Moscow, Vysshaya shkola, 1999, 695 p. [in Russian].

3. Kudryavtsev L. D. Kurs matematicheskogo analiza [Course of mathematical analysis] / Kudryavtsev L. D. . Vol II. Moscow, Vysshaia shkola, 1981. 584 p. [in Russian].

4. Kolmogorov A. N. Elementy teorii funktsii i funktsional'nogo analiza [Elements of the theory of functions and functional analysis] / Kolmogorov A. N., Fomin S. V. . Moscow, Nauka , 1989, 624 p. [in Russian].

5. Berezin I. S. Computing Methods. / I. S. Berezin, N. P. Zhidkov. Vol. 1 - Pergamon: Oxford, 1965. - 464 P.

6. Hamming R.W. Numerical Methods for Scientists and Engineers. Mc Graw-Hill Book Company / Hamming R.W, Inc New York, 1962.

7. Lanczos K. Applied analysis / Lanczos K. . Prentice Hall, 1956.

8. Mikeladze Sh. E. Chislennye metody matematicheskogo analiza [Numerical methods of mathematical analysis] / Mikeladze Sh. E.. Moscow, Gostekhteorizdat, 1953. 528 p. [in Russian].

9. Vorob'ev N. N. Teoriya ryadov [The theory of series] / Vorob'ev N. N. Moscow, Nauka, 1986, 406 p. [in Russian].

10. Shustov V. V. Approximation of functions by two-point Hermite interpolating polynomials / V. V. Shustov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2015. - Vol. 55. - No 7. - P. 1077-1093. doi: 10/1134/S0965542515040156

11. Shustov V. V. Approximation of functions by asymmetric two-point Hermite polynomials and its optimization / V. V. Shustov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2015. - Vol. 55. - No 12. - P. 1960-1974. doi: 10/1134/S0965542515120155

12. Bronshtein I. N. Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashchikhsya vtuzov [Handbook of mathematics for engineers and technical colleges students] / Bronshtein I. N., Semendiaev K. A. St Peterburg, Izd. Lan', 2010, 608 p. [in Russian].

13. Kudriavtsev L. D. Matematicheskii analiz [Mathematical analysis] / Kudriavtsev L. D. . Vol. 1. Moscow, Vysshaia shkola, 1970, 592 p. [in Russian].

14. Shustov V. V. O priblizhenii periodicheskikh funktsii sostavnymi dvukhtochechnymi mnogochlenami Ermita [On the Approximation of Periodic Functions by Composite Two-Point Hermite Polynomials] / Shustov V. V. Sovremennye metody teorii funktsii i ikh prilozheniya : materialy Saratovskoi zimnei matemicheskoi shkoly. [Modern Methods of Function Theory and Aplication] : Proc. Saratov Winters School], Saratov, 2016, pp. 338-341 [in Russian].