CC BY
101
УДК 681.32 Сизых Виктор Николаевич,
к.т.н., доцент, зав. лабораторией кафедры «Управление техническими системами», докторант-соискатель, ИрГУПС, тел. (3952)638364, e-mail: sizykh_vn@mail.ru
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ К СИСТЕМАМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ФЛОКЕ - ЛЯПУНОВА
V.N. Sizykh
PERIODICAL SYSTEMS PERFORMANCE TO THE CONSTANT COEFFICIENT ONES BASED ON FLOKER - LYAPUNOV THEORY
Аннотация. Рассматривается задача преобразования системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами к системе уравнений с постоянными коэффициентами. На основе теории Флоке - Ляпунова разработан новый практически реализуемый метод математического моделирования электромеханических и робототехнических систем.
Ключевые слова: периодическая система, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, интегральное уравнение Воль-терра второго рода, мехатронные системы.
Abstract. The performance of differential equations for periodical system to the system with constant coefficients problem is considered. Floker -Lyapunov theory based the new practically realized method of mathematical modeling for electromechanical and robot technical systems is suggested.
Keywords: periodic system, differential equations with constant factor, Voliterra integral equation of second type, mechatronic objects.
Общеизвестны трудности, связанные с преобразованием дифференциальных уравнений периодических систем, описывающих работу электрических машин (ЭМ) на несимметричную нагрузку (выпрямители, инверторы, циклоконверто-ры, импульсные преобразователи и др.), к системам с постоянными коэффициентами [1, 2] и с большими вычислительными затратами ЭВМ при их исследовании [3]. Поэтому разработка системных методов приведения для исследования ме-хатронных электромашинных вентильных систем на основе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами представляет собой актуальную и не до конца решенную задачу.
Постановка задачи исследования
Рассмотрим периодическую систему вида
х = Л(г) х + и(г), (1)
где X - п -мерный вектор состояния системы;
Л(г) = Л(г + Т) - квадратная матрица периодических коэффициентов размерности п х п с периодом Т;
и(г) - п -мерный вектор экстенсивных (контролируемых) внешних возмущений.
Фундаментальная матрица Ф(г), характеризующая реакцию системы (1) на ненулевые начальные условия и внешние возмущения, удовлетворяет квадратному матричному уравнению той же размерности, что и матрица Л(г) [3],
Ф (г) = А(г) Ф(г), (2)
где Ф(0) = I, I - единичная матрица размера п х п.
Решение уравнения (2) представим в экспоненциальном виде
0(t) = exp[J A(r)dr],
0
где экспонециал есть матричный ряд Тейлора
t
[J A(T)dT]m
(3)
exp
[J A(r)dr] = I + J A(r)dr +... -
- +... .
m!
0 0 Покажем, что решение (3) удовлетворяет матричному уравнению (2). Так как
d_ dt
t
[J A(r)dr] = A(t ):
то Ф (t ) = A(t )0(t).
0
0
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
ш
При выполнении условия A(t) = A(t + T) фундаментальная матрица системы (1) удовлетворяет тождеству
Ф{г + T) = Ф(^Ф(Т), (4)
где Ф(Т) = 0(t)t=T - матрица монодромии (мат-
рицант системы (1)).
Справедливость тождества проверяется непосредственной постановкой (4) в уравнение (2).
Требуется разработать конструктивный метод приведения периодических систем к системам с постоянной матрицей коэффициентов, обеспечивающий единственность их решения. При этом к периодической системе не применимы тензорные ортогональные преобразования симметричных форм (например, для трехфазных электрических машин тензор второго порядка Парка-Горева [1, 2]).
Теорема Флоке - Ляпунова и метод ее практической реализации на основе решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода
Основное положение классической теории систем с периодическими коэффициентами базируется на следующей теореме [4].
Теорема Флоке - Ляпунова: для уравнения (1) с периодической (периода T ) матрицей A(t) существует непрерывная неособая периодическая периода T , имеющая кусочно-непрерывную интегрируемую производную матрица преобразования
V(t) = Ф(0ехр[-В4 (5)
такая, что замена
* = V (t) y (6)
приводит матричное уравнение (1) к уравнению
— = By + u(t). dt
(7)
где и(г) = V 1(г)и(?) при начальных условиях у0 = V 1 (0)х0, В - матрица постоянных коэффициентов.
Доказательство теоремы приведено в работе [4].
Согласно этой теореме, фундаментальная матрица может быть выражена через неособую матрицу преобразования
Ф(?) = V (г )ехр[ Вг ]. (8)
В формуле (8) заменим г на ? + Т
Ф(г + Т) = Ф(г) ехр[ ВТ ]. (9)
Из сравнения формул (4) и (9) получим
Здесь постоянная матрица В не является строго определенной, так как значение натурального логарифма от матрицанта Ф(Т) многозначно [4]. Это означает, что решение системы (7) не единственно.
Выполним подстановку (6) в систему (1) с учетом уравнения (2). В результате получим квадратное матричное уравнение размерности п х п
V (г) = А(г )V (г) - V (г) В. (11)
Точное решение уравнения (11) в рамках ранее проведенных исследований найти не удается, так как одновременно неизвестны матрицы V (г) и В . Поэтому в работах [5, 6] матричное уравнение (11) представляется интегральным уравнением Вольтерра второго рода, решение которого ищется методом последовательных приближений Пикара с использованием условия периодичности матрицы V(г) : V(0) = V(Т) = О, О - нулевая матрица.
Матрицы V(г) и В через замену у = Ш записываются в виде абсолютно сходящихся отно-1/
сительно параметра рядов
1 1 m 1
v (у,—) = v (0,-)+Х (-)kvk (у),
О О k=1 о
1 m 1
B(—) = Х(-ГBk, k = 1,2,...; О Т~1 О
(12)
где
B = lln Ф(Т).
(10)
1
B1 = 1JA(p)dp ,
T 0
у
VX(Y) = J {A(p) - Bx}dp
1 Т
Вк+1 = -/{А(Р^к+х(р) - Vk+l(v)Bl -... - ^(р)Вк+1^р,
Т 0
у
Vk+l(у) = 1{А(<рЖк (р) - V,(р)В1 - Vk-l (р)В2 -...
0
- Vl(р) Вк - Вк+l}dр.
В работе [7] предложено обобщение подхода Еругина - Бреуса и показано, что матрица постоянных коэффициентов В в данном методе не является строго определенной. Этот факт согласуется с результатом (10) классической теории Флоке-Ляпунова.
Обобщенная теорема и метод ее практической реализации на основе разложения в матричный ряд Тейлора
Другой конструктивный подход к исследованию периодических систем общего вида дает следующее обобщение теоремы Флоке - Ляпунова.
0
иркутским государственный университет путей сообщения
в =
1
-1 Л(т)йт.
V (г) = Е-
({{Л(г) - В}ёт)
т=0
т!
Теорема: для уравнения (1) с периодической (периода Т) матрицей Л(г) существует непрерывная неособая периодическая периода Т, имеющая кусочно-непрерывную интегрируемую производную матрица преобразования
г
¥(г) = ехр[{(Л(г) - Б}йт], (13)
о
такая, что замена
X = V (г) У
приводит матричное уравнение (1) к уравнению — = Ву+и(г),
жг
где и(г) = V 1(г)и(?) при начальных условиях
1 т
у0 = V_1(0)х0, В = — | Л(т)йт - матрица посто-
Т 0
янных коэффициентов.
Доказательство теоремы. Из сравнения формул (4) и (9) имеем
Ф(Т) = ехр[ ВТ ]. (14)
С другой стороны, из (3) при г = Т матри-цант системы (1) записывается в виде
Т
Ф(Т) = ехр[ | Л(т)Жт]. (15)
0
Из сравнения показателей экспоненциалов в формулах (14) и (15) получаем однозначно определяемую матрицу постоянных коэффициентов приведенной системы (7)
V (г) = I + |{Л(г) - В]ёт. (18)
0
Выполняя замену аг = у, получим
V (/,-) = I + -Г{Л(р) - В}Ж р.
О (0
Последняя формула и уравнение (16) совпадают с первым приближением метода Еругина-Бреуса [5, 6], являющего частным случаем алгоритма [7] при нулевом приближении экспоненциалов.
Отметим, что предлагаемый метод приведения периодических систем общего вида к системам дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов не имеет недостатка метода Еругина - Бреуса, связанного с плохой сходимостью рядов (12) в области низких частот а . Поэтому отпадает необходимость рассмотрения большого числа членов степенного ряда (12) с вытекающими трудностями при определении кратных интегралов для вычисления матриц V(г) и Б. Метод справедлив при а = уаг.
Пример
Уравнения многофазной синхронной ЭМ с возбуждением от высококоэрцитивных постоянных магнитов, работающей на нулевую (однопо-лупериодную) схему выпрямления и активно-индуктивную нагрузку, имеют вид [7]
жи
(16)
Путем подстановки (3) в уравнение (5) находим точную матрицу преобразования (13).
Д о к а з а т е л ь с т в о з а в е р ш е н о.
Дифференцирование формулы (13) как сложной функции по частям позволяет получить квадратное матричное уравнение (11), то есть формулы (13), (16) определяют единственно точное решение данного уравнения. Однако при численных расчетах с применением ПЭВМ выражение (13) необходимо разложить в матричный ряд Тейлора
(17)
то есть вычислять данную матрицу с определенной степенью точности.
Пренебрегая членами с т = 2, 3,..., запишем
(Ь + КЬиК1 = -(Я + КЯ^К1 + —)IV + ^ -^ , аг аг
где Я, Ь - матрица параметров фаз ЭМ размерности т х т ; Я, Ьн - параметры активно-индуктивной нагрузки; , иу - векторы токов и напряжений вентилей (диодов, тиристоров, транзисторов) размерности т х 1; К = [11..1]т - фундаментальная матрица контуров (в данном случае вектор размерности т х 1); ем - вектор гармонических э.д.с. источника (постоянного магнита) размерности тх1 .
Основным допущением при составлении упрощенных математических моделей (ММ) вентильной ЭМ является представление вентилей идеальными ключами (состояние вентиля: «замкнут - разомкнут»). При этом расчет переходных процессов сводится к последовательному анализу ряда линейных схем замещения вентильной ЭМ.
Если известны алгоритм управления ключами и топология схем замещения, то для каждой схемы замещения можно составить систему дифференциальных уравнений (ДУ) минимального
т
0
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
ш
порядка (по числу проводящих вентилей) и затем решать ее до того момента времени, пока состояние одного из вентилей не изменится. «Склеивание» решений ДУ, соответствующих различным межкоммутационным интервалам, осуществляется путем припасовывания. Такой подход назван методом переменной структуры, а сами системы -ло гико -динамическими.
При числе фаз ЭМ т = 3 межкоммутацион-2ж
ный интервал Т = . Тогда при мгновенной
коммутации вентилей достаточно выделить три интервала постоянства схем замещения вентильной ЭМ.
Согласно предложенному методу приведения, порядок расчета трехфазной вентильной ЭМ сводится к следующему:
1. На каждом интервале повторяемости определяются матрицы Вк, V, к = 1, 2, 3 . Например,
2п
на первом интервале (к = 1, 0 <ю* ) вычисленные по формулам (16), (18) матрицы преобразования и постоянных коэффициентов имеют вид
1 Т 1
В = 11 A(mт)d (ют) = -—{1п
1-"~2/ 21
^ + ^ л/Ю2-^)2
х аг)};
10 +12
V =
// + /2 со8(ю(2Т + *¡))
/0 + /2 соя
\ + Д
г{ага£ (.
/О + /2
X (Ю(Т1 +-!±))) - а( -0—2 £Н^))} - ВТ, /0 = /о + Ц, 2 V ¿п + Ц 2
где /0, /2 - коэффициенты связей в матрице индуктивности.
2. Решается на ПЭВМ при к = 1 дифференциальное уравнение
^ = В1у1+У;1п1 dt
с шагом численного интегрирования Т. при начальных условиях у1 (0) = у10.
3. Находится значение тока в фазе 1
А = ЪУг.
4. Определяется напряжение на активно-индуктивной нагрузке
т di1 п . "-1 =1■ +^
5. Пп. 2-4 повторяются для к = 2,3 при припасовывании начальных условий
У2(0) = Ух(2р), Уз(0) =
Через период процедура вычислений повторяется.
Длина шага интегрирования Т внутри интервала непрерывности может быть выбрана достаточно большой. Если длина шага совпадает с интервалом неизменного состава открытых вентилей (у = к), то реккурентное отношение для
преобразования V становится разностным уравнением, которое решается аналитически.
Таким образом, предлагаемый метод приведения позволяет:
1. Получить точные матрицы преобразования и постоянных коэффициентов, то есть тем самым обеспечить единственность решения систем с периодическими коэффициентами общего вида. Однако найти точные значения переменных состояния периодической системы без вычислительных погрешностей при обратных преобразованиях (6) удается только при симметрии фаз статорной обмотки и в случае симметричной нагрузки многофазной ЭМ.
2. Исследовать на ПЭВМ любые несимметричные режимы мехатронной электромашинной вентильной системы большой размерности на основе квазианалитических решений дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов.
Метод применим в других областях науки, где используются периодические системы общего вида: в биологии (например, исследование популяций «хищник - жертва» по интегральным уравнениям Вольтерра), в медицине (например, уравнение Матье, описывающее работу желудочков сердца), в аэрокосмических исследованиях (например, динамика движения экраноплана [8] при малых отстояниях от водной поверхности в условиях ветро-волновых возмущений).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трещев И.И. Методы исследования машин переменного тока. - Л. : Энергия, 1969. - 262 с.
2. Лупкин В.М. Теория несимметричных переходных процессов синхронной машины. - Л. : Наука, 1986. -197 с.
3. Сизых В.Н. К исследованию уравнений вентильного генератора на жесткость. - М. : ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1989. - С. 90-101.
4. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэф-
х
X
иркутским государственный университет путей сообщения
фициентами и их приложения. - М. : Наука, 1982. - 7. 375 с.
5. Еругин Н.П. Приводимые системы. - М. : Труды МИАН им. В.А. Стеклова. - 1946. - №12. - 142 с.
6. Бреус К.А. Об одном классе линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициен- 8. тами // Укр. матем. журнал. - 1960. - Т. 12. - № 4. -
С. 25-32.
Сизых В.Н. Метод моделирования синхронного генератора на основе решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода // Научно-методические материалы по электрификации летательных аппаратов. - Харьков : ХВВАИУ, 1987. - С. 104-114. Суржик В.В. Определение зон устойчивости конструктивных схем экранопланов // «Полет». - 2010. -Вып. 2. - С. 28-32.
УДК 62.53 Ешенко Анатолий Андреевич,
к.т.н., профессор кафедры «Электропривод и электрический транспорт» ИрГТУ,
тел. (3952) 405-128, e-mail: eshenkoaa@yandex.ru
ЧАСТИЧНЫЙ СИНТЕЗ УПРАВЛЯЮЩИХ УСТРОЙСТВ ДВУСВЯЗНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО УСЛОВИЯМ АВТОНОМНОГО УПРАВЛЕНИЯ
A.A. Eshenko
PARTIAL SYNTHESIS OF ACTUATION DEVICES OF TWO-COHERENT AUTOMATIC SYSTEMS ON OFF-LINE CONTROL CONDITIONS
Аннотация. Рассматриваются вопросы синтеза корректирующих перекрестных связей двусвязных автоматических систем с прямыми и обратными естественными связями в объекте.
Ключевые слова: синтез, двумерные системы, автономность.
Abstract. Questions of synthesis of correcting cross communications of two-coherent automatic systems with direct and return natural communications in object are considered.
Keywords: synthesis, two-dimensional systems, autonomy.
Задача синтеза многосвязных систем заключается в нахождении структуры и настроек многосвязного управляющего устройства, состоящего из регуляторов сепаратных контуров и перекрестных корректирующих взаимных связей между отдельными каналами.
Учитывая, что на практике чаще всего структура и параметры основных регуляторов сепаратных контуров являются заданными (или определенными), требуется найти остальные пара-
метры структуры управляющего устройства, обеспечивающее заданное (в том или ином смысле) протекание процессов регулирования.
Существенное улучшение качества работы системы можно получить, применяя методы компенсации возмущающих воздействий путем введения искусственных взаимных связей. Возможно реализовать большое число вариантов наложения таких компенсирующих компаундирующих связей [1, 2].
Большое распространение на практике получили двусвязные системы. Рассмотрим применение предлагаемой методики синтеза корректирующих перекрестных связей на базе двусвязных систем автоматического управления.
Сведем структурные схемы реализации компенсирующих перекрестных связей в автономных двусвязных системах к комбинации вариантов, приведенных на рис. 1. Первые четыре из них составлены для двусвязных систем, объекты которых имеют прямые естественные перекрестные связи, вторые четыре с обратными естественными связями.
