CC BY
45
УДК 517.926.4 В. С. Ермолин
Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 2
ИНВАРИАНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПЕРВОМ МЕТОДЕ ЛЯПУНОВА
Санкт-Петербургский государственный университет,
199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация
Работа содержит развитие теоретических основ первого метода Ляпунова. На основе анализа соотношений между характеристичными числами функциональных матриц, их строк, столбцов и определителей дается описание семейства инвариантных преобразований линейных систем дифференциальных уравнений. В п. 1 приводятся как известные, так и новые соотношения, связывающие характеристичные числа функциональных матриц. Эти соотношения используются для доказательства утверждений, которые делаются в других пунктах. В п. 2 описывается семейство абсолютно правильных матриц, которое служит базой для формирования инвариантных преобразований правильных систем. Показывается, что матрицы Ляпунова принадлежат данному семейству. Приводятся примеры матриц из указанного семейства, не являющиеся матрицами Ляпунова. В п. 3 анализируются свойства матриц, правильных по столбцам, и матриц, правильных по строкам. Доказываются теоремы об их связи с абсолютно правильными матрицами. В п. 4 вводится понятие инвариантного преобразования. Устанавливается, что свойство правильности системы эквивалентно тому, чтобы существовала нормальная фундаментальная матрица, правильная по столбцам. Такое свойство позволило перенести на правильные системы результаты исследований п. 3. В частности, доказывается теорема о структуре нормальной фундаментальной матрицы правильной системы, позволяющей решать вопросы, связанные с приводимостью исходной правильной системы к системе уравнений с постоянными коэффициентами при помощи инвариантных преобразований. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: первый метод Ляпунова, инвариантные преобразования, характеристичные числа, правильные системы, преобразование Ляпунова, абсолютно правильная матрица, нормальная фундаментальная система, приводимые системы.
V. S. Ermolin
INVARIANT TRANSFORMATIONS IN THE FIRST METHOD OF LYAPUNOV
St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russia Federation
The article describes the development of theoretical bases of the first method of Lyapunov. A family of invariant transformations of linear systems of differential equations is shown. These transformations allow constructing new variable systems of differential equations that have the same characteristics (characteristic numbers of functions, property of correctness) with the original equations. The structure and properties of coefficient matrixes of these transformations are examined in detail. The research is based on the properties of characteristic numbers of functional matrixes. The class of nonsingular square matrixes is identified. The basis for inclusion of any matrix in this class is considered to be the equality to zero of the sum of characteristic numbers of the matrix and of the inverse matrix. Such matrixes are called absolutely correct. The connection between characteristic number of absolutely correct matrix and its determinant is found. It is proved that the characteristic numbers of rows and columns of such matrix are the same and their values are the same as its characteristic number. Invariant transformations are linear transformations with matrixes of coefficients that belong to the class of absolutely correct matrixes with characteristic number equal to zero. The examples of
Ермолин Владислав Степанович — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: vse40@mail.ru
Ermolin Vladislav Stepanovich — candidate of physical and mathematical sciences, reader; e-mail: vse40@mail.ru
such matrixes are given. It is shown that Lyapunov transformations belong to the constructed family of invariant transformations. The concepts of matrixes correct by columns and matrixes correct by rows are introduced. It is shown that absolutely correct matrixes are correct both by columns and by rows. A theorem is proved according to which a necessary and sufficient condition for matrix correctness by columns or by rows is its possibility to be presented in the form of a product of two matrixes. One of these matrixes should be absolutely correct and the other should be diagonal exponential. In such representation the matrix correct by columns has absolutely correct matrix as its first multiplier and an exponential matrix as its second multiplier. While considering matrix correct by rows, these multipliers are placed in the reverse order. Moreover, it is proved that if the matrix is correct by columns, the inverse matrix will be correct by rows. The connection of characteristic numbers of columns and rows of the inverse matrix is established. With the use of matrix correctness by columns a definition of correctness of the linear differential equation system is introduced. It is shown that the definition is similar to Lyapunov's classical definition of system correctness. It allows transferring results that were received for matrixes correct by columns to the correct systems of equations. In particular, it allows identifying the structure of a normal fundamental matrix of equation system and extending a class of reducible systems via the use of the described invariant transformations. Bibliogr. 4.
Keywords: Lyapunov's first method, invariant transformations, characteristic numbers, correct systems, Lyapunov transformation, absolutely correct matrix, normal fundamental system, reducible systems.
1. Свойства характеристичных чисел матриц. Следуя А. М. Ляпунову, будем рассматривать функции f (t), вещественные или комплексные, непрерывные при t ^ 0. В работе [1] А. М. Ляпунов дал понятие характеристичного числа функции и доказал основные свойства. В настоящей статье будем руководствоваться этим понятием в отличие от понятия характеристического показателя в [2]. Ниже рассматриваются матрицы X(t) размерности (n х m) с вещественными или комплексными элементами, заданными и непрерывными при t ^ 0. Характеристичным числом матрицы X(t) называют наименьшее из характеристичных чисел ее элементов. Далее обозначаем характеристичные числа функций и функциональных матриц x[ ].
Введем обозначения: Xj - j-й столбец матрицы X(t); x'i - г-тая строка матрицы X(t); Xj = x[xj], Xi = xXi] - характеристичные числа j-го столбца и г-й строки матрицы X(t). Соответственно S и S' обозначают суммы S = Xj и S' = Xj=i Xj,
а Ax = det X(t) - определитель матрицы X(t), если X(t) - квадратная матрица. По определению,
X[X(t)] = min x[xj] = min xX]
j = 1,m i=1,n
Через XT обозначаем транспонированную матрицу, через X(t) - комплексно-сопряженную, а через X*(t) - эрмитово-сопряженную матрицу X(t).
В [2] указаны связи характеристических показателей прямоугольных матриц с характеристическими показателями нормы матрицы; связь характеристических показателей слагаемых, если X(t) является суммой матриц; связь характеристических показателей сомножителей, когда X(t) представлена в виде произведения матриц. Эти свойства очевидным образом переписываются в терминах характеристичных чисел.
Будем рассматривать неособые квадратные матрицы X(t) размером (n х n). 1. Справедливы следующие неравенства:
X[^x] > Xj + x[^j] > S > nx[X], (1)
x[Ax] > X + x[^i] > S' > nx[X]. (2)
Здесь А'у - вектор-строка, составленная из алгебраических дополнений к элементам 2-го столбца матрицы X(Ь); А^(Ь) - вектор-столбец, составленный из алгебраических дополнений к элементам г-й строки матрицы X (Ь).
Неравенства (1) и (2) доказываются применением свойств характеристичных чисел суммы и произведения функций к определителю матрицы X (Ь). В них г и 2 могут принимать любые значения от 1 до п.
2. Установим соотношения, связывающие х[Х(Ь)] и х[Х-1(Ь)]. Справедливы неравенства
х[Х] + Х1Х-1] < -(х[Ах] + хЬгЧ) < 0, (3)
п Ах
(п - 1)х[Х] + < XIX-1] < - х[Ах]). (4)
Ах п — 1
Действительно, из (1) следует х[Х] ^ Применяя это неравенство к матрице
X-1(Ь) и суммируя с ним полученное для х[Х-1] соотношение, получим неравенство (3). Докажем левое неравенство в соотношении (4). Обозначим у^ (Ь) - 2-тую
строку матрицы XТогда Уj(t) = д^.^ • По свойствам характеристичных чисел можем записать
хЫ > хЩШ + х[-^щ], 3 = Т^-
Очевидно, х[А(Ь)] > Я — А^ = Х1 + ... + А3-1 + А^ + ... + Ап > (п — 1)х[X]. Поэтому для строки 2 матрицы X-1(Ь), которая имеет характеристичное число, совпадающее с XX-1(Ь)], неравенство для х[уз] примет вид
хШ = х!^1] >(п- 1)Х[Х] +
Ах
Этим установили справедливость левого неравенства (4). Правое неравенство в (4) получим применением левого неравенства к матрице X-1(Ь).
2. Абсолютно правильные матрицы и их свойства. Пусть X(Ь) = Ъ(Ь)У(Ь), где Ь(€) - квадратная неособая матрица размерности (п х п), а X(Ь) и У(Ь) - прямоугольные матрицы размерности (п х т). Укажем условия, при которых хX] =
х[Ц + х[У ].
Теорема 1. Если
х[Ь] + х[Ь-1]=0, (5)
то
хX ] = х[Ц+х[У ]. (6)
Доказательство. Из общего свойства характеристичного числа произведения матриц имеем хX] ^ хИ + х[У]. Применяя это свойство к произведению L-1(Ь)X(Ь) = У(Ь), получим х[У] ^ х[X] + х[Ъ-1]. Отсюда и из предшествующего неравенства приходим к неравенствам
х[У]+х[Ь] < хХ] < х[У] — х[ъ-1],
из которых с учетом (5) следует (6). Аналогично доказывается равенство (6) для матриц X, У размерностей (т х п) и неособой (п х п) матрицы Ъ, связанных соотношением X(Ь) = У(Ь)Ъ(Ь), если Ъ(Ь) удовлетворяет условию (5).
Теорема 2. Для того чтобы матрица Ь(€) удовлетворяла соотношению (5), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
пх[Ь] = хДь ], (7)
х[Аь]+х1-^}=0 (8)
Дь
либо условие
х[Ь] + -х1-^}= 0. (9)
п Дь
Прежде чем доказывать теорему, докажем следующую лемму.
Лемма 1. Из равенств (7), (8) следует равенство (9), и наоборот, из (9) вытекают (7), (8).
Покажем, что (7), (8) эквивалентны условию (9). Итак, пусть верны условия (7), (8). Из них следует формула хЩ = = — а эт0 означает, что (9)
тоже выполняется. Обратно, пусть дано условие (9). Тогда (7) и (8) также будут справедливы. Действительно, из (9) имеем пх[Ь] = — Отсюда и из общего
свойства (1) можем записать
Х[Аь] > пХ[Ц = (Ю)
Дь
Поскольку любая функция Дь(^) удовлетворяет неравенству
х[Дь]+х[-Ь <0, (И)
Дь
то из (10) и (11) делаем заключение о справедливости равенства (8), а вместе с ним и условия (7). Лемма 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Необходимость. Пусть равенство (5) выполняется. Тогда из неравенств (3) получаем (8). Для того чтобы доказать (7), воспользуемся правым неравенством (4)
х[Ь-1]^^—(х[Ц-х[Аь]). п — 1
С учетом (5) и (8) приводим его к виду
о = х[Ь-1] + Х[Ц < —Ц-(пхИ - х[Аь]).
п — 1
Отсюда вытекает (7), так как, согласно (1), имеем пх[И] ^ х[Дь]. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть дано равенство (9). Как следует из леммы 1, оно равносильно условиям (7), (8). Преобразуем неравенства (4) и запишем их для суммы хИ + хИ-1]:
пх[Ц + Х1~!-} < Х^1} + Х[Ц < —Ц-(пх[Ь] - х[Аь]). Дь п — 1
Правое неравенство в силу (1) приобретает форму х[И-1] + х[И] ^ 0, а левое, согласно (9), принимает вид 0 ^ х[И-1] + х[И]. Ясно, что условие (5) есть следствие этих двух неравенств. Теорема доказана.
Aj = А',-=-x[AL] =--х[—], j=l,n.
Следствие 1. Для того чтобы x[L(t)] + x[L-1(t)] = 0, необходимо и достаточно, чтобы характеристичные числа всех столбцов и всех строк матрицы L(t) совпадали с числом
xim] = (12)
Доказательство. Достаточность очевидна, так как характеристичное число матрицы L(t), вычисляемое по формуле (12), удовлетворяет условию (9) из теоремы 2, что влечет за собой равенство (5), согласно утверждению теоремы 2. Необходимость будет доказана, если в предположении, что (5) - это истина, сможем вывести равенства
1 ГЛ ! 1 г 1
"X AL =--X д-j
n n AL
Здесь Xj и Xj обозначают характеристичное число j-го столбца и j-й строки матрицы L(t) соответственно. При доказательстве необходимости в теореме 2 показано, что при условии (5) выполняются равенства
х[Ь] = -х[Аь] = --х[^~].
n n Al
Воспользуемся ими и применим оценки (1), (2) к матрице L(t). Будем иметь
n n
S = Е Xj = x[Al] = nx[L(t)], S' = £ Xj = x[Al] = nx[L(t)]. j=i j=i
По-другому эти соотношения представляются так:
nn
S - x[Al] = Y.X - x[L(t)]) =0, S' - x[Al] =Y.X - x[L(t)]) = 0. j=i j=i
Согласно определению характеристичного числа матрицы L(t), для всех j = 1, п имеют место неравенства Xj ^ x[L(t)] и Xj ^ x[L(t)]. Следовательно, равенства нулю в указанных соотношениях возможны только при Xj - x[L(t)] =0 и Xj - x[L(t)] =0 для всех j = 1, п. Таким образом, установили, что характеристичные числа всех столбцов и всех строк матрицы L(t) должны совпадать с числом x[L(t)], которое, в свою очередь, определяется формулой (12). Следствие 1 доказано.
Введем понятие абсолютно правильной матрицы L(t). Такой матрицей будем называть неособую квадратную (n х n) матрицу L(t) с вещественными или комплексными элементами при t ^ 0, непрерывно дифференцируемую. Характеристичные числа строк и столбцов матрицы имеют конечные значения, а характеристичные числа x[L(t)] и x[L-1(t)] связаны равенством (5).
Обозначим Lp - семейство абсолютно правильных матриц L(t) и отметим их основные свойства.
Свойство 1. Чтобы L(t) е Lp ^^ x[L(t)]+ x[L-1(t)] = 0. Свойство 2. хШ\ = ЫДь] = =
Свойство 3. Если L(t) е Lp, то характеристичные числа всех столбцов и всех строк матрицы L(t) совпадают с числом x[L(t)].
Свойство 4. Если L(t) е Lp, то L-1(t), LT(t), L(t), L*(t) также являются абсолютно правильными. Здесь LT(t) - транспонированная матрица, L(t) - комплексно-сопряженная, а L*(t) - эрмитово-сопряженная.
Свойство 5. Если Ь(Ь) - неособая матрица размерности (п х п) и матрица Ь(Ь) связана с Ьэ(Ь) соотношением Ь(Ь) = Ь1(Ь)Ьэ(Ь), в котором € Ьр, то для того
чтобы Ь(Ь) € Ьр ^^ Ьэ(Ь) € Ьр. При этом будет выполняться равенство
х[Ь(Ь)] = х[Ь1(ь)] + х[Ь2(ь)].
Свойство 6. Если р(Ь) - функция, удовлетворяющая соотношению Ляпунова [1, с. 29] хИ*)}+х[^щ] = 0 и Ь{1) = ф)^), где Ьг{1) € Ьр, то Ь{1) € Ьр.
Свойство 7. Пусть Ь(Ь) € Ьр, а X(Ь) и У(Ь) - прямоугольные матрицы соответствующих размерностей, для которых определены произведения
а) У(Ь) = Ь(Ь)Х(Ь)
либо
б) У(г) = х{г)Ь{г),
и пусть Хг, Уг (г = 1, то) обозначают столбцы матриц X и У в случае а) и х^, у[ (г = 1, то) - их строки в случае б). Тогда выполняется равенство хР'Ч = + х[Х] и
для всех г = 1, то будем иметь
а) хЫ = Х[Ь(Ь)}+ хЫ,
б) хЫ]= Х[Ь(Ь)]+ х№.
Свойства 1-4 вытекают непосредственно из утверждений теоремы 2, следствия 1 и понятия абсолютно правильной матрицы. Свойства 5-7 легко проверяются на основе утверждений теоремы 1 и результатов, полученных в ходе доказательства следствия 1.
Примерами абсолютно правильных матриц могут служить матрицы Ляпунова. В этом легко убедиться, поскольку матрицы Ляпунова Ь(Ь) в силу их ограниченности обладают характеристичным числом
хИ = -^] = о.
Тем самым они удовлетворяют условию (12) следствия 1 к теореме 2.
Примеры абсолютно правильных матриц, не являющихся матрицами Ляпунова:
щ = (■ Ф), =
\1+42' 1+42/ V Ь 1 )
Очевидно, матрица Ь(Ь) ограниченная и непрерывно дифференцируемая. Определитель ее также ограничен Дь(£) = с1е1= 3^72, но он не отделен от нуля при Ь ^ Следовательно, матрица Ь(Ь) не является матрицей Ляпунова. Для нее
имеют место равенства
х[Щ] = о, = о, = = х[ь-1т = о.
Из них заключаем, что хИ = ~^[д^)] = 0, и матрица абсолютно правильная. Матрица Ь-1(Ь) дает пример неограниченной абсолютно правильной матрицы.
3. Матрицы, правильные по столбцам, и их связь с абсолютно правильными матрицами.
Определение 1. Неособую (п х п) матрицу X(Ь) будем называть правильной по столбцам, если
= х[^х ], (13)
х[Ах]+х[4~]=0. (14)
Ах
Здесь Я обозначает сумму характеристичных чисел столбцов матрицы X (Ь), а Ах = det X(Ь) - ее определитель.
Легко показать, что (13), (14) эквивалентны условию
& + х[ ] = 0- (15)
Ах
Примечание. Если в (13), (14) и в (15) заменить Я на Я', где Я' - сумма характеристичных чисел строк матрицы X(Ь), то при выполнении измененных условий (13), (14) или (15) матрица X(Ь) называется правильной по строкам.
Введем обозначения: А^ = х[хг{р)], -М = г = 1,п; х- г-й столбец,
х'() - г-тая строка матрицы X(Ь).
Аналогично для матрицы У(Ь) = X-1(Ь) обозначим ^ = х[Уг(£)], = х[у1(Ь)], г = 1,п; уг{€) - г-й столбец, у[{Ь) - г-тая строка матрицы У{€).
Теорема 3. Для того чтобы матрица X(Ь) была правильной по столбцам, необходимо и достаточно, чтобы для любого г = 1,п выполнялись равенства
Ъ + ^ =0. (16)
Доказательство. Необходимость. Пусть X(€) - правильная по столбцам. Тогда, согласно определению 1, выполняются равенства (13), (14). Поскольку Ах(Ь) удовлетворяет условию (14), а = ^(г)' т0
¿ = хШ)]=хШ)]+х[-^1 г = ТЯ (17)
Ах
Здесь А'() - вектор-строка, составленная из алгебраических дополнений к элементам г-го столбца матрицы X(Ь).
В п. 2 показана оценка ^ 5* —А^ для V « = 1, п. С учетом ее и соотношений
Ах = А'1(г)хг(г), х[Ах] > х[А'г(г)] + х[хг(Ь)}, X = хХШ можем записать
- Аг < х\К] < х[Дх] - X для V г = 1, п.
Заменив Я правой частью (13), придем к равенствам
х[К\ = х[Дх] - К для V г = 1, п.
Подставляя в (17) и учитывая (14), получим формулу (16) для V г = 1,п.
Достаточность. Пусть выполняются соотношения (16) для любого г = 1, п. В силу неравенства (1) и неравенства (2), записанного для строк матрицы У (Ь), имеем
п
х[Ах] ^ X = Я, (18)
г=1
(19)
=1
Просуммируем равенства (16). Результатом будет
Я = -Е ^ (20)
г=1
Складывая неравенства (18) и (19) и принимая во внимание общее неравенство О ^ + справедливое для любой функции Ax(t), получим 0 ^ +
Ji 0. Этим доказано выполнение соотношения (14) в определении 1. Из него с учетом неравенств (18)—(20) приходим к соотношениям S ^ — х[з~] = х[Дх] ^ S и к условию (13) из определения 1. Теорема доказана.
Следствие 1. Для того чтобы матрица X(t) была правильной по столбцам, необходимо и достаточно, чтобы обратная матрица была правильной по строкам.
Следствие 2. Для того чтобы матрица X(t) была правильной по строкам, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения Х[ + ^ = 0, г= 1, п. Пусть Amax - наибольшее из характеристичных чисел столбцов матрицы X(t). Теорема 4. Если матрица X(t) является правильной по столбцам, то Amax =
-х[х-1].
Доказательство. Из теоремы 3 для правильной по столбцам матрицы X(t) имеем = — Aj для V « = 1, п. Поэтому
X[X-1] = min {/j} = min {-Aj} = - max {Aj} = -Amax.
j=1,n i=1,n i=1,n
Теорема доказана.
Связь правильных по столбцам и абсолютно правильных матриц устанавливает Теорема 5. Для того чтобы матрица X(t) была правильной по столбцам, необходимо и достаточно, чтобы существовали абсолютно правильная матрица L(t) и постоянная диагональная матрица
B = diag {b1,..., bn}
такие, что матрицу X(t) можно представить в виде
X (t) = L(t)exp(Bt). (21)
Доказательство. Необходимость. Пусть X(t) - матрица, правильная по столбцам. Покажем существование матриц L(t) и B.
Пусть Aj = x[xj(t)], где Xj(t) - j-й столбец матрицы X(t). Согласно определению 1, имеем
n 1
j=1 Ах
Возьмем произвольное вещественное число / и введем в рассмотрение матрицу
L(t)= X (t)exp(-Bt), (22)
где B = diag {/ - A1, / - A2,..., / - An}. Обозначим lj(t) - j-й столбец матрицы L(t), j = 1 , п. Тогда lj(t) = Xj(t)exp[(Xj — /x)i], j = 1,п. Поскольку
x[exp(Aj - /)t] = -x[exp(-(Aj - /)t)] = / - Aj,
то x[lj(t)] = x[xj] + x[exp(Aj - /)t] = Aj + / - Aj = /.
Таким образом, характеристичные числа всех столбцов матрицы L(t) одинаковы и равны Очевидно,
nn
Al = Ах JJ exp(Aj - /)t = Ax exp(^ Aj - n/)t,
j=1 j=1
1
дГ
д
х
exp(n/v Xj Sl = E x[lj n
j=1
3 = 1
Из этих соотношений находим
= + x[exp(SL - Sx)t] = + SX-SL.
Дь Дх Дх
Поскольку X(t) - правильная по столбцам, то х[д~] + = 0. Поэтому =
—Sl = —п/л. Отсюда x[L] = /х = — Согласно следствию 1 из теоремы 2, это
означает, что L(t) - абсолютно правильная.
В завершение доказательства необходимости легко построить представление (21) матрицы X(t) из формулы (22).
Достаточность. Пусть существуют матрицы L(t) и B, о которых говорится в теореме 5, такие, что матрица X(t) определяется через них по формуле (21). Надо показать, что X(t) есть правильная по столбцам. По-прежнему обозначаем lj (t) -j-й столбец матрицы L(t), j = 1 , п. Из (21) имеем Xj(t) = lj(t) exp(bjt), где bj - постоянная, j = 1, п. Обозначим через /х характеристичное число матрицы L(t). Тогда Xj = x[xj (t)] = v — bj. Отсюда bj = ц — Xj. Следовательно,
Sx = ^2 Xj = nV — E bj = Sl — E bj ■
j=1 j=1 j=1
(23)
Так как
n 1 1 n
Дх = Дь exp Y^ ьзЪ Д— = д- exP(" E
j=1 x ь j=1
x[exp ^ bj t] + x[exp(—^2 bj t)] = 0,
j=1
j=1
то
П 1 .. 'П
х[Ах] = х[Дь] - МдЧ = х[дЧ + $>• (24)
3=1 3=1
Суммируя равенства (24), приходим к следующему выражению:
Х[Ах] + = х[Дь] + х[4~]-Ах Дь
Так как х[Аь]+х[з^] = 0, то оно совпадает с условием (14) в определении 1 правильности матрицы X(I) по столбцам. Поскольку х[Дь] = вь, то из равенств (23) и (24) получаем х[Дх] = — ^"=1 = Бх, т. е. справедливо условие (13) в определении 1 правильности X(€) по столбцам. Теорема доказана.
Следствие 1. Для того чтобы матрица X^) была правильной по строкам, необходимо и достаточно, чтобы существовали абсолютно правильная матрица Ь(€) и постоянная диагональная матрица В такие, что матрицу X ^) можно представить в виде X^) = ехр(В^Ь^).
Замечание. Как следует из доказательства теоремы 5 и из формулы (21), элемент Ьз матрицы В связан с характеристичным числом столбца Х3 матрицы X(I) и характеристичным числом матрицы Ъ(Ь) соотношением Ьз = х[Ц — Х3.
и
Абсолютно правильные матрицы Щ(Ь) определяются с точностью до множителя ехр(рЬ), который может быть отнесен к диагональной матрице ехр(ВЬ). Поэтому при разложении матрицы X(Ь), правильной по столбцам, на множители Щ(Ь) и ехр(ВЬ) можно говорить о существовании пары матриц Щ(Ь) и В, положив в основу ее разложения абсолютно правильную матрицу с хЩ(Ь)] = 0. В таком случае элементы матрицы В будут совпадать с характеристичными числами соответствующих столбцов матрицы X(Ь). Аналогичное замечание можно сделать для матриц X(Ь), правильных по строкам.
4. Инвариантные преобразования и их связь с правильными системами.
Пусть задана система дифференциальных уравнений
X = Р (Ь)х, (25)
где Р(Ь) - вещественная, непрерывная, ограниченная матрица при Ь ^ 0. Будем рассматривать линейные преобразования
X = Ь(г)у, (26)
в которых Щ(Ь) - абсолютно правильная матрица с характеристичным числом ¡л = хЩ] = 0, непрерывно дифференцируемая при Ь > 0. Преобразование (26) будем называть инвариантным, если оно приводит систему дифференциальных уравнений (25) к системе с ограниченными коэффициентами
У = В(Ь)у, (27)
здесь
В(г) = ь-1(1)[Р(г)Ь(г) - ь(г)]. (28)
Из свойств матрицы Щ(Ь) и преобразования (26) вытекает, что если у(Ь) - решение системы (27) и х(Ь) определяется по у(Ь) соотношением (26), то х(Ь) будет решением системы (25), и наоборот. Характеристичные числа указанных решений совпадают. Преобразование (26) не меняет характеристичных чисел системы (25), а потому системы (25) и (27) имеют одинаковые характеристичные числа.
Нормальные фундаментальные системы решений X(Ь) уравнений (25) и У(Ь) уравнений (27) связаны соотношением X(Ь) = Ь(Ь)У(Ь).
Определение 2. Система (25) называется правильной, если существует фундаментальная матрица этой системы, являющаяся правильной по столбцам.
Такое определение правильности эквивалентно определению правильности системы дифференциальных уравнений, данному А. М. Ляпуновым [1]. Действительно, согласно Ляпунову, система (25) называется правильной, если выполнены условия
а) 5 = х[ехр(/8рР(т)йт)],
о
б) х[ехр(/ БрР(т)в.т)] + х[ехр(-} ВрР(т)в.т)] = 0.
оо Здесь 5 - сумма характеристичных чисел решений, входящих в нормальную фундаментальную матрицу.
Для любой фундаментальной матрицы линейной системы дифференциальных уравнений справедлива формула Остроградского-Лиувилля [2]
Дх = det X(Ь) = det X(0) ехр М БрР(т)йт I . (29)
Если система (25) - правильная по Ляпунову, то существует нормальная фундаментальная матрица X(£), удовлетворяющая условиям а) и б). Ее определитель задается формулой (29). Подстановка правой части (29) в условия а) и б) приводит их к виду (13), (14). Это означает, что система (25) - правильная по определению 2.
Рассмотрим обратную ситуацию. Пусть система (25) является правильной по определению 2. Следовательно, существует фундаментальная матрица X(£), удовлетворяющая условиям (13), (14) из определения 1 правильности по столбцам. У нее сумма характеристичных чисел совпадает с суммой характеристичных чисел любых фундаментальных матриц системы (25), поскольку, согласно условию (13) и равенству (29), имеем
Потому X(Ь) является нормальной фундаментальной матрицей. Для нее справедливо условие а) из определения Ляпунова правильности системы, а из равенств (14) и (30) делаем заключение о выполнении условия б). Эквивалентность двух определений правильности системы (25) доказана.
Из свойств абсолютно правильной матрицы Щ(Ь) вытекает, что правильность системы не нарушается преобразованием (26), т. е. из правильности (25) следует правильность системы (27), и наоборот. Такими же свойствами обладает преобразование Ляпунова вида (26), в котором Щ(Ь) есть матрица Ляпунова, т. е. матрица, ограниченная при Ь ^ 0 вместе со своей производной, и определитель ее отделен от нуля при
В отличие от преобразования Ляпунова в инвариантном преобразовании (26) матрица Ь(Ь) может быть и неограниченной. В его определении требуется только, чтобы Щ(Ь) была неособой и выполнялись условия х[Щ(Ь)] = 0, х[Щ + хЩ-1] =0, а матрица (28) была ограниченной.
Определение 2 правильности системы (25) позволяет перенести свойства матриц, правильных по столбцам, доказанные в п. 3, на правильные системы дифференциальных уравнений. Например, используя теорему 3, можно дать другое доказательство необходимости в теореме Перрона [4] о правильности системы (25) и ей сопряженной, а также видоизменить формулировку этой теоремы.
Теорема Перрона. Для того чтобы система (25) была правильной, необходимо и достаточно, чтобы существовали фундаментальная матрица X(Ь) данной системы и фундаментальная матрица У(Ь) сопряженной системы, для которых выполнялись бы следующие соотношения: Xi + ^ = 0, г = 1,п, где А^ и ^ - характеристичные числа г-го столбца матрицы X(Ь) и У(Ь) соответственно.
Действительно, если система (25) правильная, то, по определению 2, она имеет фундаментальную матрицу X(Ь), правильную по столбцам. Поскольку матрица У(Ь) = X*-1(Ь) является фундаментальной для сопряженной системы, то из теоремы 3 и следствия 1 к ней вытекает, что для матриц X(Ь) и У(Ь) справедливы соотношения (16) при всех г = 1, п.
Сопряженная система будет правильной, так как она имеет фундаментальную матрицу У (Ь) = X*-1(Ь) - правильную по столбцам. При этом характеристичное число г-го столбца матрицы У (Ь) совпадает с характеристичным числом г-й строки матрицы X-1(Ь), которое в соотношении (16) обозначено через ц[. Этим доказана необходимость в теореме Перрона, причем установлено, что если X(Ь) - нормальная фундаментальная система решений для системы (25), то X*-1(Ь) будет нормальной для
сопряженной системы. Характеристичные числа i-х столбцов матрицы X(t) и X*-1(t) удовлетворяют соотношению (16). Установим связь правильных систем с инвариантными преобразованиями (26).
Теорема 6. Если существует непрерывно дифференцируемая абсолютно правильная матрица L(t) с x[L] =0 и такая, что преобразование (26) с этой матрицей приводит систему (25) к системе (27) с постоянной матрицей B, то система (25) - правильная.
Доказательство. Поскольку, согласно условиям теоремы, B есть постоянная матрица, то она ограничена. А тогда (26) - инвариантное преобразование. Из правильности системы (27) и инвариантности обратного преобразования вытекает правильность системы (25).
Теорема 7. Для того чтобы система (25) была правильной, необходимо и достаточно, чтобы существовала фундаментальная матрица X(t) этой системы, представимая в виде
X(t) = L(t)diag{exp(-Ait),..., exp(-A„t)}, (31)
где x[L] = 0, Ai,...,An - вещественные постоянные; L(t) - абсолютно правильная непрерывно дифференцируемая матрица.
Доказательство. Необходимость. Пусть система (25) является правильной. По определению 2, существует фундаментальная матрица X(t), правильная по столбцам. Как следует из теоремы 5, такая матрица представима в виде (21). Положим ц = 0. Тогда (21) примет вид (31), где L(t) - абсолютно правильная матрица, причем x[L(t)] = 0. Из (31) заключаем, что L(t) будет непрерывно дифференцируемой, поскольку X(t) и exp(-Ajt) непрерывно дифференцируемы. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть существует фундаментальная матрица X(t), предста-вимая в виде (31). Как отмечено в замечании к теореме 5, характеристичные числа столбцов этой матрицы совпадают с Aj (г = 1, п).
По теореме 5 матрица X(t) будет правильной по столбцам. А из определения 2 и его эквивалентности определению Ляпунова правильности системы дифференциальных уравнений вытекает правильность системы (25). Теорема 7 доказана.
Из теоремы 7 можно сделать заключение о приводимости правильных систем к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью инвариантного преобразования (26). Она является аналогом теоремы Н. П. Еругина [3] о приводимости линейных систем преобразованием Ляпунова.
Литература
1. Ляпунов А. М. Собр. соч.: в 6 т. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. Т. II. 473 с.
2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости: учеб. пособие. 3-е изд. СПб.: Изд-во Лань, 2008. 480 с.
3. Еругин Н. П. Приводимые системы // Труды Матем. ин-та АН СССР. 1946. Т. XIII.
4. Perron O. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme // Mathem. Zeitschrift. 1930. Vol. 31. P. 748-766.
References
1. Lyapunov А. M. Sobraniye sochineniy: v 6 t. (Collected Works: in 6 vol.) Moscow; Leningrad: Izd-vo AN SSSR, 1956, vol. II, 473 p.
2. Demidovich B. P. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoichivosti (Lectures on the mathematical theory of stability). Ucheb. posobie, 3-е izd. St.-Petersburg: Lan', 2008, 480 p.
3. Erugin N. P. Privodimye sistemy (Reducible systems). Trudy Matem. in-ta АЫ SSSR, 1946, vol. XIII.
4. Perron O. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme. Mathem. Zeitschrift, 1930, vol. 31, pp. 748-766.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 19 декабря 2013 г.
