О проблеме существования точного показателя Ляпунова комплексных дифференциальных уравнений с действительным независимым переменным Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Aleksandrov A. Yu. Construction of Lyapunov's Functions for a Class of Nonlinear Systems / A. Yu. Aleksandrov, A. V. Platonov // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2006. Vol. 6, No. 1. P. 17 29.

4. Aleksandrov A. Yu. On the Asymptotic Stability of Switched Homogeneous Systems / A. Yu. Aleksandrov, A. A. Kosov, A. V. Platonov // Systems and Control Letters. 2012. Vol. 61. P. 127 133.

5. Boyd S. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory / S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan. Philadelphia : SIAM, 1994. 193 p.

6. Liberzon D. Basic Problems in Stability and Design of Switched Systems / D. Liberzon,

A. S. Morse // IEEE Control Systems Magazine. 1999. Vol. 19, No. 5. P. 59 70.

7. Rosier L. Homogeneous Lyapunov Function for Homogeneous Continuous Vector Field / L. Rosier // Systems and Control Letters. 1992. Vol. 19. P. 467 473.

8. Vassilyev S. N. Stability Analysis of Nonlinear Switched Systems via Reduction Method / S. N. Vassilyev, A. A. Kosov, A. I. Malikov // Preprints of the 18th IFAC World Congress. Milano, Italy. August 28. September 2, 2011. P. 5718 5723.

9. Zhai G. Disturbance Attenuation Properties of Time-controlled Switched Systems / G. Zhai,

B. Hu, K. Yasuda, A. N. Michel // J. of the Franklin Institute. 2001. Vol. 338. P. 765 779.

Поступила 11.01.2012.

УДК 517.9

О ПРОБЛЕМЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ТОЧНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА КОМПЛЕКСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ НЕЗАВИСИМЫМ ПЕРЕМЕННЫМ*

О. В. Дружинина, О. Н. Масина, А. А. Шестаков

В статье доказаны теоремы о существовании точного показателя Ляпунова для решения комплексной дифференциальной системы с действительным независимым переменным. Доказано существование ведущих координат, а также рассмотрены вопросы существования однократных и многократных точных показателей Ляпунова.

Введение. Статья является дальнейшим развитием исследования работ о существовании точных показателей Ляпунова решений обыкновенных комплексных систем дифференциальных уравнений с действительным независимым переменным [2; 8]. Вопросами, близкими к тематике настоящей статьи, занимались многие отечественные и зарубежные ученые, в том числе О. Перрон [10 — 12], И. Г. Петровский [13 — 14], В. В. Немыц-кий и В. В. Степанов [6], Ф. Хартман [7], В. В. Козлов [3], В. В. Козлов и С. Д. Фур-та [4], Ф. Хартман и А. Уинтнер [9], Б. Ф. Былов, Л. Э. Виноград, Д. М. Гроб-

ман и В. В. Немыцкий [1], В. М. Матросов, Л. Ю. Анапольский, С. Н. Васильев [5].

В данной статье установлено существование ведущих координат решений линейной комплексной дифференциальной системы при ее линейных возмущениях специального вида, а также рассмотрено существование однократных и многократных точных показателей Ляпунова. Методом решения указанных задач является метод редукции изучаемой обыкновенной дифференциальной системы к так называемым сопровождающей канонической форме некоторого индекса

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-00826-а).

© Дружинина О. В., Масина О. Н., Шестаков А. А., 2012

а и теоремы о ведущих координатах решений.

В разделе 1 дана постановка задачи. В разделе 2 рассмотрена сопровождающая каноническая форма индекса а. В разделе 3 доказано существование ведущих координат решений комплексных дифференциальных уравнений. В разделах 4 и 5 уточнена теорема о существовании точных показателей Ляпунова для линейного дифференциального уравнения высшего порядка.

Совокупность свойств правой части комплексного дифференциального уравнения

2 + Z(t, 2) с действительным незави-

¿=1

на множестве

= {Ы < 5,

к? < 5,

1, 2,

1, t > Т

12

2 + Z(t, 2).

2т Уп(т < п), 2п Ут, 21 y¿, ¿ = 1, 2, к, 1, ¿ ф т, п. Тогда изучаемое уравнение примет вид

(У

(1.2)

а

= X %уз + Z¿ (t'

уп,

Ут, •••), ¿ = 1> 2> (

(1.3)

где & = (I] )

матрица, полученная из мат-

(2 (

симым переменным назовем условием С, если комплексная матрица не равна тождественно нулю и если функция Z(t,z) есть непрерывная комплексная 1-мерная вектор-функция, то для решения z(t) изучаемого уравнения существует и выполнено неравенство

^ 21) - Z 22 ) < е^С^! - 2? |, х1, х2 е С1

рицы ^ = (Iц) путем элементарной операции !(т)'(и). При перенумерации (1.1) матрица & подвергается элементарной операции 1(т),(п). При неособом линейном преобразовании 2 = Кг, К = (щ ) &-система преобразуется в эквивалентную перенумерованную систему

(2 {

1

1¿ 2 ¿ + С Щ) 2 ) +

3 =1

+ Z¿(t, 21, к , 21) , ¿ = 1,

где

где числа 3 и Те зависят от заданного числа е > 0.

1. Постановка задачи. Рассмотрим комплексное дифференциальное изучаемое уравнение с действительным независимым переменным t:

^ а, 21, гй) = с к]?] & 21

(1.4)

I

i = 1,

1.

(1.1)

Элементарной операцией над матрицей ^ назовем одновременную перестановку двух строк и двух столбцов матрицы с теми же индексами [1]. Очевидна следующая лемма.

Лемма 1. Пусть ^ — матрица, полученная из матрицы ^ размеров (1 х 1) с помощью конечного числа элементарных операций!.. Тогда главные диагонали матриц & и состоящие из собственных значений ^1, к, совпадают с точностью до порядка следования этих значений и, следовательно, характеристические уравнения матриц & и & также совпадают.

Осуществим в изучаемом уравнении для индексов т и п следующую перенумерацию переменных ... , Zl:

Если выполнено условие С и если действительные части а^ собственных чисел 1 матрицы & перенумерованы так, что

а1 > а2 > . > а(, то решение z(t) # 0 уравнения (1.1) имеет точный показатель Ляпу-

1

1п X

Нт —^-

(1.5)

равный действительной части ар некоторого собственного значения матрицы &.

В настоящей статье это утверждение будет доказано для однократного и г-кратного (г > 1) точных показателей. В случае однократного точного показателя рассмотрен вопрос о существовании координаты zm(t) решения z(t) # 0 уравнения (1.1) такого, для которого существует точный показатель Ляпунова

lim

i^+ro

ln |zm(i)|

(1.6)

равный пределу (1.5). В случае г-кратного (г > 1) точного показателя рассмотрен вопрос о существовании точного показателя Ляпунова

s+r

ln I \zt(i)\ lim —s±1-

i^+ro i

di

удовлетво-

dt

■■L£z + Z(t, z),

обладающей следующими свойствами:

P. K =

P2. M ::= KLK, M ■

M1

M3

M2

мй

(1.7)

равного пределу (1.5), где а — число, фигурирующее в сопровождающей канонической форме индекса а.

Кроме того, в статье поставлена задача о существовании ведущих координат для решений уравнений (1.1), удовлетворяющих условию С. Поставленные задачи будут решены в следующих разделах.

2. Приведение уравнения (1.1) к сопровождающей канонической форме индекса а при условии С. В разделе будет рассмотрена каноническая форма уравнения (1.1), отличная от жордановой канонической формы и называемая нами сопровождающей канонической формой уравнения (1.1). Сопровождающая каноническая форма для матриц с кратными характеристическими числами является эффективной формой исследования точных показателей решений, так как жорданова форма имеет сложную трудно исследуемую форму в случае кратных характеристических чисел.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.1 (о приведении уравнения к сопровождающей канонической форме индекса а). Пусть задано дифференциаль-

dz

ное уравнение — = Lz + z),

P3. Ki, K4 — треугольные квадратные матрицы соответственно размеров (а х а) и (d — а, d - а), наддиагональные элементы которых равны нулю; K3 — нулевая прямоугольная матрица размеров (а, а); K2 — треугольная прямоугольная матрица размеров (а, а), поддиагональные элементы которой равны нулю.

P4. Mi и M4 — треугольные квадратные матрицы соответственно размеров (а х а), (d - а, d - а), поддиагональные элементы которых равны нулю; — нулевая прямоугольная матрица размеров а х (d - а); М3 — прямоугольная матрица размеров (d - а) х а.

P5. Главные диагональные элементы матрицы M представляют собственные значения li, I2, к, Id матрицы L с точностью до порядка.

Pg. Для произвольно малого числа m0 > 0 элементы m^ матрицы М удовлетворяют неравенствам < -щ,i, j = 1, 2, ..., d. Дифференциальную систему (2.2), обла-

дающую свойствами Pi

Jg, назовем сопро-

ряющее условию С. Пусть Я — постоянная матрица размеров (^ х d) с элементами I¿у и характеристическими числами

11, 12, к, Xd■ Тогда существуют перенуме-

рация Я* = (1ц) и матрица К размеров

Ы х d) с элементами k¿у такие, что при заданном натуральном числе а е {1, 2, ..., к, d - 1} линейное преобразование

z = КZ, detК * 0 (2.1)

переводит Я -систему к ее перенумерации

dz

вождающей канонической формой некоторого целого индекса а (или а-сопровождаю-щей канонической формой).

Доказательство. Рассмотрим сначала существование сопряженной канонической формы индекса а = 1. Матрицы К^ А4., соответствующие индексу а = 1, по-прежнему обозначим теми же самыми буквами. Тогда матричное соотношение

М = КЯ К, (2.3)

эквивалентно системе d2 алгебраических уравнений

d I

a=j

I kakaj

j-i

I kamaj + ^ij1 j,

a=i

(2.4)

i, j = 1, 2, ..., d

(2.2)

относительно искомых элементов k¿у при I > у и искомых элементов ту при I < у мат-

риц KK и М. Суммирование от единицы до нуля принято в (2.4) равным нулю.

В уравнениях (2.4) элементы kj при i < j равны нулю и (j = 1, 2, ..., d) являются собственными значениями в какой-нибудь заданной нумерации матрицы L.

Идея доказательства однозначной разрешимости системы d2 алгебраических уравнений (2.4) состоит в доказательстве однозначной разрешимости и эквивалентной этой системе совокупности, состоящей из систем d алгебраических уравнений, соответствующих одному и тому же фиксированному индексу

j е {1, 2, ..., d}. Эти системы последовательно с возрастанием индекса j однозначно разрешимы относительно входящих в системы неизвестных, что устанавливается методом индукции по j.

Случай j = 1. Система (2.4) при j = 1 относительно неизвестных кц, k2i, ..., k2¿ имеет вид:

(lil - 1i)kii+ ... + lid kdi = 0 ....................................... (2.5)

ldik11+ . +(ldd - Wkdi = 0-

Обозначим матрицу уравнений (2.5) через Г i и через Г(р) с вычеркнутым p-м столбцом. Имеется по крайней мере одна матрица

Г(р), ранг которой совпадает с рангом Г^

Необходимым и достаточным условием для разрешимости системы (2.5) относительно

kii Ф 0, k2i, ..., kdi является совпадение

рангов матриц i i и Г« Этого всегда можно

достигнуть с помощью элементарной операции.

Будем в дальнейшем считать числа kii ф 0, k2i, ..., kdi известными. В матрице Г все еще возможна элементарная операция 7(2)>(d), так как при этой операции ранг матрицы i 1 не изменяется.

Случай j = 2. Система (2.4) при j = 2 имеет вид:

-k11m12 + l12k22 + к +l1dkd2 = 0

-k21m12 + (l22 - ^2)k22 + +l2dkd2 = 0 (2.6)

-kdim12 + ld2k22 + . +(ldd - 12)kd2 = 0-Серия «Физико-математические науки»

Легко убедиться, что ранг матрицы

' к11 ¿12 к ¡ы Л

р2 .._ к21 ¡22 - ^2 ••• ¡2( (27)

чк(11 ¡(12 ••• ¡22 - 12,

системы (2.6) меньше числа d и определитель det Г2 равен нулю.

Пусть Г<р) — матрица, получаемая из

матриц Г2 вычеркиванием »-го столбца. Для разрешимости уравнений (2.6) относительно

искомых коэффициентов т^, к22, к32> •••, к, к(2 при к22 Ф 0 необходимо и достаточно, чтобы матрицы Г2 и г22) имели одинаковый ранг. Элементарной операцией можно

добиться, чтобы матрицы Г2 и г22) имели одинаковый ранг, и тогда система (2.6) будет разрешима при к22 Ф 0 относительно Щ2, к22, • ••, к(2. Будем в дальнейшем считать

числа Ж12, к22, • ••, к(2 известными. В матрице Г2 возможна элементарная операция. Предположим по индукции, что система

(2.4) разрешима до ] = п - 1 > 2 включительно: все кц и тц при ц < п - 1 известные числа и все кц ( < п - 1) не равны нулю. Тогда легко показывается, что система (2.4) будет разрешима и при ц = п - 1.

Система (2.4) при ц = п является системой d линейных уравнений с неизвестными

-т1( -т2( к, -тп-1,п, кп,п, кп+1,п, •••> к(п

с матрицей Гп.

Далее рассуждения такие же, как и при 1 = 1, 2.

Если т0 > 0 произвольно мало, то ту могут быть определены так, чтобы тц < то. Это утверждение следует из того, что кц и тц удовлетворяют только однородным линейным уравнениям. Утверждение теоремы для индекса а = 1 доказано. Докажем теперь существование сопровождающей канонической системы индекса а > 1. С этой целью в матричном соотношении (2.5) произведем следующие элементарные операции:

7(1),((-а+1) 7(2),((-а+2) 7(а),(Ю

7((+1),(1) 7((+2),(2) 7(Ю,«-а)

Тогда (2.3) будет иметь вид:

К- Ма, (2.8)

где матрицы в (2.8) обладают свойствами, описанными в теореме 2.1.

Соотношения (2.8) представляют совокупность й2 алгебраических уравнений, которые однозначно разрешимы. Возникающая из матрица перестановочна с матрицей

&. Для вновь образованной главной диагонали элементы 1^-а+1> к, к, 1^-а лишь представляются между собой, что означает, что имеют место свойства Р1— Р6. Теорема 2.1 доказана.

3. Существование ведущих координат. В этом разделе доказано существование ведущих координат уравнения (1.1) при условии С.

Теорема 3.1 (о скорости стремления к нулю координат решений при t ^ ). Пусть для комплексного уравнения (1.1) выполнены условия С и действительные части перенумерации таковы, что 04 > 02 > к

к > ай.

Пусть ас+1, к, аа+г является г-крат-ным точным показателем Ляпунова, таким, что

«а > «а+1 = к = ас+г > ас+г+1, а + г < d.

Тогда для функций вида

со^О ::=X zi(t) , со3(t) ::= X zi(t) ,

1 s+1 (3.1)

d „ d

ю4(t) ::= X zi(t)| , ®2(t) ::= X |z¿(t)|

О+Г+1 CT+1

существуют пределы Нш -

0, lim WW = 0,

d

ln 2 |Zi(s+1)(t)| lim -=

t^r t

= «о+1> «о+1 < «O.1 <s< d - 1

Так как уравнение (1.1) приведено к сопровождающей канонической форме индекса а, то m¿y = 0 при I < а и ] > а. Воспользуемся легко проверяемыми неравенствами

d $(о+1)

"Г zi dt

> 2ai Zi

(0+1)'

(3.4)

$(о+1) о $(о+1) - 2e $(о+1) d $(0+1)

Zi X Zi Zi X Zi

j=1 j=1

i = 1, 2, ..., о,

суммирование которых по i = 1, 2, ..., а приводит к неравенствам

dea -i

dt

1 > 2aCTw1 - 2dm0w1 - 2ds(w1 + W2). (3.5)

Так как о» < (»2 = «3 + Ю4 < 2соз, то

> 2аста>1 - 2^т0со1 - 8йе00з. (3.6) Кроме того, справедливы неравенства

< 2аа+1Юз + 2(^0 + ¿е)(ю 1 + «2) <

dcC i dt

dea 3

dt

< 2аст+1(й3 + 8(dm0 + de)CO3 или

С - Vs W3

dt

> (2as - 2dm0)co1 -

(3.7)

(3.2)

003 (0 Сз(^)

т. е. знаменатель 003(0 медленнее стремится к нулю при Ь ^ +а>, чем числитель сс>1(0 и со4 (t).

Доказательство. Пусть выполнено условие С и уравнение (1.1) имеет а-канони-ческую форму. Рассмотрим случай, когда

существует решение г^+^ЧО уравнения (1.1), такое, что

(3.3)

- [аст+1 + + 8(йто + йе )] л/ёсЬз.

Из оценки (3.7) следует, что существует число Т2 е (аа+1, аа), такое, что функция («1 - ею3) ехр - 2т2t стремится к нулю, так

что справедливо неравенство 001 < -у/есоз. Так как в конце концов выполнено неравенство 003 > 0 и число е < 0 произвольно, существует предел (3.2), т. е. функция 003 (£) медленнее стремится к нулю, чем функция ю^о.

Рассмотрим теперь случай а + г < Так как уравнение (1.1) является каноническим индекса а, то m¿ а+1 = ... = г^ 2 _1 = 0 при г > а + 2. Следовательно, при г > а + 1 справедлива оценка

1 1ь

$(а+1)

г,

2 < -(а+1) 2 < 2а,- г, +

+ 2т0

$(а+1)

[ Е

3 =1

-(а+1)

+ 2е г,

(а+1)

1 Е

3 =1

1

+ Е

3 =¿+1 -(а+1)

-(а+1)

] + (3.8)

суммируя которую при г > а + г + 1, ..., й, получим

< 2аа+г+1<и4 + 2йт0(со 1 + с) + + 2йе((Ь 1 + со з + со 4).

Так как < -ч/есо3 и ¿>1 + ¿>3 + ¿>4 < 4&3,

то

со'4 < 2аа+г+1С04 + 2dmo(^/sюз + Ю4) + 8dsю или

сс4 > 2аа+гсСз - 8й(т + е)ю3. Отсюда следует, что

•\/ёсо3 -

со 4

(2аа+г - 10йт0 -8й(е + ) -\/е х (П3 - (2аа+г+1 + 2йт0)®4.

Функция - а>4) ехр - в конце

концов монотонно возрастает, и в конце концов выполнено неравенство СО4 < -ч/ёсоз. Поэтому существует второй предел (3.3). Теорема 3.1 доказана.

Теорема 3.2 (о существовании ведущих координат). Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда

гк

(а+1)

Нт-

Е^ г-(а+1)

¿=а+1

= 0

(3.9)

для всех индексов к, кроме к > а + 1 и к > а + г, где г — кратность показателя

аа+1.

Доказательство. Утверждение (3.9) следует, если в (3.2) числитель заменить одним слагаемым, а знаменатель оставить прежним.

Теоремы 3.1 и 3.2 являются обобщением теорем И. Г. Петровского о ведущих координатах для действительной ¿-системы на комплексные дифференциальные уравнения

с действительным независимым переменным при условиях С. Отметим, что условие И. Г. Петровского включает гиперболичность матрицы А, в то время как при условиях С требуется лишь & / 0.

4. Существование однократного точного показателя Ляпунова. С помощью сопровождающей канонической системы индекса а здесь устанавливается существование координаты zm(t) решения z(t) уравнения (1.1), для которого существует предел (1.6), равный пределу (1.5).

Теорема 4.1 (о существовании точного показателя Ляпунова). Пусть для уравнения

(1.1) выполнено условие С и а1 > а2 > к

. > а^ Пусть решение г(р)(0 уравнения (1.1) сопряжено с однократным показателем

-р< а г

г = 1, к, d, г Ф р. Тогда существует по „ „ (р)

крайней мере одна координата гт решения

z(p)(t), которая отлична в конце концов от нуля и для которой предел

1п |гт(0|

Нт

(4.1)

равен действительной части ар собственного значения матрицы & .

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы 4.1. Предположим, что

(4.2)

аа+1 Фа;, г = 1, 2, ..., й, г Ф а + 1,0 < а < й - 1.

Будем предполагать, что уравнение (1.1) приведено к сопровождающей канонической форме индекса а причем а равно числу в (4.2). Тогда г = 1, где г — кратность показателя ар. По теореме 3.2 о ведущих координатах для каждого индекса / Фа + 1 существует предел

Нт -О— - 0, га+1 # 0.

г а+1

(4.3)

Линейное преобразование, приводящее уравнение (1.1) к сопровождающей канонической форме индекса а, имеет вид:

га+1 - ка+1,а+1г а+1,

и, следовательно, получим:

(4.4)

Zs+1 #0 И 1™

_ kÍ,a+1

= lim S

kij z j

к

t^œ zs+1 j=1 kCT+i>CT+i zs+1

(4.5)

, i _ 1, 2, ..., d.

0+1,0+1

Тогда из (4.5) получим:

к,

zm * 0 km,s+1 * 0 lim 4p- _ ^^ t^œ zm кт,ст+1

i _ 1, 2, k, d.

lim

t^œ

ln lZ(P) 1П |Zs+1

= «s+1-

Из (4.5) следует, что ln |z(p)|

lim -

: «o+1.

z¿

Z(P)

d

-ъ

, zj + Z(t, z) ij z(p) z(p) '

и в конце концов справедливо неравенство Z(t, z)

z(p)

lim t^y t^œ z(P)

Ъ kijm j,s+1 + ki,s+1 lim -

t ^œ

km,s

+1

ki,

i,s+1

km,s

^а+1-

+1

Справедливо следующее предложение. Теорема 5.1 (о существовании точного показателя Ляпунова, г > 1). Пусть: 1) для уравнения (1.1) выполнено условие С;

2) z(p)(t) ^ 0 — решение уравнения (1.1),

сопряженное с г-кратным (г > 1) точным показателем Тогда при подходящей нумерации для решения z(p)(t) существует предел

(4.6)

По теореме о ведущих координатах существует предел

ln Y |z(p)(t)| lim —s+1-

(5.1)

t^+œ

(4.7)

Так как z(f) #0, то из уравнения (1.1) получим:

равный действительной части ap собственного значения

Доказательство. Пусть выполнено условие C, и пусть ac+i < аа, 1 < а < d - 1. Будем предполагать, что L -система приведена к сопряженной канонической форме индекса а, причем число а то же самое,

что и в (5.1). Рассмотрим функции co¿(t), i = 1, 2, 3, 4, определенные в (3.1).

Так как c$1 < cc>2 и со 1 + ©2 > 0, то

1 „ „ 0 < ^ (®1 + w2) - w2 - w 1 + w2 и, следователь-

,. ln (И2

lim-2 _ 2as+1.

(5.2)

где 81 = уе > 0 — постоянная. В силу теоремы 3.1 все коэффициенты а+1 в канонической форме индекса а в случае 1-кратного точного показателя равны нулю. Поэтому

£

С помощью линейного преобразования

г

z¿ = £ к}-z/, г = а + 1, к, d (5.3)

} =а+1

переменные zа+l, к, Zd и г а+1, к, г й переходят друг в друга. Из (7.3) следуют ра-

d

ln Y |zi

lim i=0+1-

Î^œ t

d

= «а+1

(5.4)

Следовательно, существование предела (4.1) доказано.

5. Существование г-кратного точного показателя Ляпунова. С помощью сопряженной канонической системы индекса а > 1 в этом разделе устанавливается существование предела (1.7), равного пределу (1.5).

: «а+1-

ln Z \zi\

и lim i=CT+1—

i^œ t

Если все собственные значения имеют равную действительную часть, то утверждения

очевидны. Пусть теперь as+i, к, as+r —

г-кратный точный показатель Ляпунова, для которого ас > ас+1 = ... = ас+г > ас+г +4. Тогда имеем

СО3 + Ю4 = а>2>

¿¿О3 > 2аст+гС03 - 2(4гпо + ¿е)(ю2 + ¿3) >

> 2аст+гоСз -2(йтщ + ¿е)(оСз + ¿С4),

< 2аст+г+1004 + 2(Мт0 + ¿е)(а)1 + ¿02) <

Л

< 2аст+гсСз - 2й(то + е)(®з + со4).

Из предыдущих неравенств получаем:

¿(ю3—¿¿^ > 2аст+г - 8й(шо + е)сс>з -

Л

- 2аст+г+1 + 8 й(шпо + е)(й4.

Обозначим через Т1 число, принадлежащее промежутку (аст+г+1, аст+г). Тогда из последнего неравенства для достаточно малых значений то и е будем иметь

-3 4 > 2т1(соз - со4).

at

Поэтому функция (соз -со4)ехр(-2т10 монотонно возрастает. Убедимся, что эта функция неограниченно возрастает. Действительно, из неравенства

1 $ $

- ¿о 3 - ¿о 4 ^

———-> [- аст+г - 6¿(то + е )] ¿53 -

- [2 аст+г+1 + 6¿(то + е )] ш4

вытекает, что функция ^ 2 ©3 ©4 J exp( 2tt)

неограниченно возрастает. Поэтому имеем CÖ4 < CÖ3 и СО3 > 0. Из (5.2) и неравенств

0 < (соз + со4) = ©2 < 2®з < со2 следует

lim lnC3 = 2аст+1. (5.5)

t^m t

Так как в силу (5.3) переменные 2с+1> •••, га+г и zст+1, ..., zs+r переходят друг в друга, то из (5.5) получаем:

s+r 1/1 ln Z z(p)(t)

lim i=s+1-= as+1. (5.6)

t

Предположение охватывает все случаи, в которых предел меньше числа aj. Если же предел равен числу aj, то рассуждения аналогичны. Теорема 5.1 доказана.

Следствие 5.1. Пусть выполнены условия теоремы 5.1. Тогда предел (5.1) может существовать при всех возможных перенумерациях, а не только для некоторой перенумерации.

Справедливость следствия вытекает из рассмотрения уравнений dz^jdt = apzi (i = 1, 2 , ..., d ) , так как их решение = = ci exp ap t , Ci Ф 0 может быть подвергнуто любой перенумерации и для каждого r,

1 < r < d.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Былой Б. Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов, Л. Э. Виноград, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий. М. : Наука, 1966. 576 с.

2. Дружинина О. В. Об асимптотических свойствах решений обыкновенной дифференциальной системы в логарифмической шкале роста / О. В. Дружинина, А. А. Шестаков // ДАН. 2010. Т. 433, № 3. С. 299.

3. Козлов В. В. Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа Дирихле / В. В. Козлов // ПММ. 1986. Т. 50, вып. 6. С. 928 937.

4. Козлов В. В. О решениях систем дифференциальных уравнений с обобщенно-степенной асимптотикой / В. В. Козлов, С. Д. Фурта // Мат. заметки. 1995. Т. 58, вып. 12. С. 851 861.

5. Матросов В. М. Метод сравнения в математической теории систем / В. М. Матросов, Л. Ю. Анапольский, С. Н. Васильев. Новосибирск : Наука, 1980. 481 с.

6. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. 3-е изд., испр. М. : УРСС, 2004. 552 с.

7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М. : Мир, 1970. 720 с.

8. Шестаков А. А. Об асимптотическом поведении решений нелинейной системы дифференциальных уравнений / А. А. Шестаков, А. У. Пайвин // ДАН. 1948. Т. 58, № 5.

С. 495 498.

9. Hartman P. Asymptotic Integrations of linear Differential Equations / P. Hartman, A. Wintner // Amer. J. Math. 1955, 77. P. 45 87.

10. Perron O. Üeber lineare Differentialgleichungen, dei denen die unab-hangig Variable reel list, I und II / O. Perron // Journ. für die Reine und Ange-wandte Mathematik. 1913. Bd. 142. S. 254 270.

11. Perron O. Über stabilität und asymptotishen Verchalten der Integrate von Differentialgbichungs systemen / O. Perron // Math. Zeitschrift. 1929. Bd. 29. S. 129 160.

12. Perron O. Über eine Matrixtransformation / O. Perron // Math. Zeitschrift. 1930. Bd. 32. S. 465 473.

13. Petrowsky I. Üeber das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewhnlicher Differentialgleichungen in der Nähe eines singulären Punktes / I. Petrowsky // Мат. сб. 1934.

Т. 41. № 1. С. 107 155.

14. Petrowsky I. Nachtag zu meiner Arbeit «Über das Verhalten der Inte-gralkurven eines systems gewöhnlicher Differential gleichungen in der Nähe eines singulären Punktes» / I. Petrowsky // Мат. сб. 1935. Т. 42, № 3. С. 403.

Поступила 13.02.2012.

УДК 517.912

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСА О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ*

А. В. Зубов, О. А. Зубова, О. А. Иванова, К. А. Пешехонов

В статье приведен метод успешного построения указанной дифференциальной системы. Получен не только критерий существования периодических решений, но и методы построения этих решений, основанные на численном интегрировании указанной дифференциальной системы.

В настоящей статье изучаются свойства инвариантных множеств динамических периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика свертки фазового пространства в многомерный тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений, оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости таких множеств.

Постановка задачи. Сначала рассмот-

рим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

= Л (х1, ■■■, хк, гЪ ■■■, 2п-к),

2) = д}- (ХЪ ■■■, Ч, ■■■, ■■■, 2п-к) , (1) 5 = 1, ■■■, к, ) = 1, ■■■, п - к■

Условия существования и единственности решений системы (1) будем считать выполненными. Пусть правые части системы (1) являются периодическими функциями

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-000624).

© Зубов А. В., Зубова О. А., Иванова О. А., Пешехонов К. А., 2012