CC BY
25
ВЕСТНИК
8/2013.
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
УДК 514.18
А.А. Тепляков, Д.А. Ваванов
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В НЕЛИНЕЙЧАТЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Рассмотрено построение каркаса образующих нелинейчатых поверхностей 4-го порядка преобразованием образующих линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма.
Построение образующих нелинейчатых поверхностей осуществляется преобразованием плоских полей.
Ключевые слова: поверхности, образующие, линейчатые поверхности, нелинейчатые поверхности, каркас поверхностей, плоскость параллелизма, алгебраические кривые.
В современном строительстве для получения средних поверхностей оболочек применяются нелинейчатые поверхности высших порядков, которые конструируются различными способами.
Рассмотрим построение чертежа непрерывного каркаса образующих нелинейчатых поверхностей, состоящих из кривых 4-го порядка, преобразованием образующих линейчатых поверхностей и, в частности, с плоскостью параллелизма.
Построение образующих нелинейчатых поверхностей осуществим преобразованием двух совмещенных плоских полей (рис., а).
С
А
Зх
а
7
г
ж
у
б
Построение образующих нелинейчатых поверхностей
164
© Тепляков А.А., Ваванов Д.А., 2013
Инженерная геометрия и компьютерная графика
VESTNIK
MGSU
Плоское поле, с заданным отрезком АВ — образующей линейчатой поверхности, включает в себя пучок вертикальных прямых с несобственным центром Бда , который преобразуется в пучок прямых другого поля с собственным центром 5 = В при двойной прямой/, пересекающей АВ в точке А. Пучок дуг окружностей с центрами С... на/ пересекая соответственные прямые пучков 5 да и переводит точки 1'. отрезка прямой АВ = 8 одного поля в однозначно соответствующие точки 1. отрезка кривой А — 1 — В = S другого поля [1—2].
Преобразование пучков двух плоских полей представим в виде
Яда П С ^ Б П С. (1)
Порядок алгебраической кривой, полученной точками пересечения соответственных линий двух пучков: пучка прямых Бкр и пучка дуг Сед, — определяется согласно [1].
В формуле
и = тр1 + щк,
где т, п — значность соответствия; р, q — порядок пучков; I, к — порядок пучка. Следовательно, порядок и кривой А — 1 — в = Я будет
и = 1 -1 • 2 +1 • 2-1 = 4.
Допустим, что имеем линейчатую поверхность с плоскостью параллелизма ХОХ и направляющими кривыми А - В - ¥ и В - Е - L в виде
|х = /(у); |^ = Ф(у);
V = 0; Iх = 0;
описываемую уравнением
Хф( у) + / (у) + у( у) = 0. (2)
Построим комплексный чертеж А2 — ¥2 — 32 —12 и А3 — ¥3 — 33 —13 отсека нелинейчатой поверхности с образующими кривыми 4-го порядка (см. рис., б).
Профильную проекцию А3 13 В3 контурной кривой поверхности найдем преобразованием проекции В3 А3 ее прямолинейной образующей с помощью (1) при двойной прямой/ (см. рис., б).
Профильные проекции В 23 Е3.., промежуточных кривых первого семейства каркаса построим аналогично кривой А3 —13 — В3 преобразованием пучка Б3да в Б3да с пропорциональным пучку Б3да распределением прямых и пучка прямых Б3 = В3 в соответственный пучок Б3 = Е3 при двойной прямой
/ [3].
Точка 23 кривой В3 — 23 — Е3 ..., соответственная 13 кривой А3 —13 — В3,
определяется на пересечении пучка дуг окружностей с центрами С3 ... на /3 и пучка прямых Б3 = Е3. В таком же порядке строится кривая ¥3 — 33 — Ь3, соответственная кривой В3 — 23 — Е3 [4, 5].
Соединив проекции 13 - 23 - 33 и 12 - 22 - 32 точек кривыми, получим комплексный чертеж отсека нелинейчатой поверхности с образующими кривыми 4-го порядка.
Проекции 43 — 53 и 42 — 52 точек определяют второе семейство линии каркаса поверхности. На практике наносится более плотный каркас кривых [6].
Если для определенности кривые х = /(у)иг = ф(у) принять соответственно за окружность и параболу
ВЕСТНИК 8/2013
8/2013
х2'
х = 4 a - y2; z = a - y2; z = 0; и x = 0, то (2) будет иметь вид
'■(a -y2) = [(a -y2)-z]2, (3)
представляющее прямой цилиндроид [7, 8].
Преобразованием образующих прямого цилиндроида с помощью (1) можно получить нелинейчатую поверхность порядка 8«, распавшуюся на две поверхности 4n.
Аналогично можно преобразовать в нелинейчатые поверхности коноид, а также поверхность косого клина [9].
Форму контурной образующей кривой 4-го порядка можно изменять, приняв за двойную линию полей плоскую кривую [10].
Рассмотренная конструкция двух плоских полей (1) позволяет преобразовать образующие нелинейчатых поверхностей — кривые порядка n в 4«, что расширяет образование срединных поверхностей оболочек высоких порядков.
Библиографический список
1. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия. М. : Изд-во АСВ, 2007. С. 14.
2. Hunt B. The Geometry of Some Special Arithmetic Quotiens. New York: SpringerVerlag, 1996, 97 p.
3. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М. : Едиториал, 2010. 78 с.
4. Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики. М., 2010.
36 с.
5. ГлаголевН.А. Проективная геометрия. М.-Л., 1963. C. 114.
6. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. 6-е изд. М. : Едиториал, 2012.
96 c.
7. Ефанов А.М., Ковалевский В.П. Теория механизмов и машин. Оренбург : ОГУ, 2004. 152 с.
8. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике. М. : Оникс, 2012. 149 с.
9. Знаменская О.В., Работин В.В. Дифференциальная геометрия и топология. Красноярск : СФУ, 2007. 121 с.
10. Choe J., Ghomi M., and Ritore M. Total positive curvature of hypersurfaces with convex boundary. J. Differential Geom., 2006, 131 p.
Поступила в редакцию в июле 2013 г.
Об авторах: Тепляков Александр Аврамович — доцент кафедры начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-83, [email protected];
Ваванов Дмитрий Алексеевич — старший преподаватель кафедры начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-83, [email protected].
Для цитирования: Тепляков А.А., Ваванов Д.А. Преобразование некоторых линейчатых поверхностей в нелинейчатые высших порядков // Вестник МГСУ 2013. № 8. С. 164—167.
166
ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2013. № 8
Инженерная геометрия и компьютерная графика
VESTNIK
MGSU
A.A. Teplyakov, D.A. Vavanov
TRANSFORMATION OF PARTICULAR RULED SURFACES INTO NON-RULED SURFACES OF HIGHER ORDERS
In the present-day civil engineering, non-ruled surfaces of higher orders, designed in various ways, are applied to design median surfaces of building envelopes.
Let's consider the process of drawing a continuous framework of non-ruled surfaces consisting of the 4th order curves, using the method of transformation of ruled surfaces.
The authors consider the construction of a framework, which constitutes non-ruled surfaces of the 4th order and conversion of the shape of the ruled surfaces. These surfaces are constructed through transformation of the two plane fields. By transforming the constituents of the cylindroid using this method, a non-ruled surface of the 8n order can be obtained and split into the two surfaces of the 4n order. The same method can be applied to transform a conoid.
The above method of construction of the two plane fields may be used to transform the constituents of non-ruled surfaces, such as n-order curves, into 4n form median surfaces of high order enclosing structures.
Key words: surface, forming, ruled surfaces, ruled surfaces, frame surfaces, plane parallelism, algebraic curves.
References
1. Peklich V.A. Mnimaya nachertatel'naya geometriya [Imaginary Descriptive Geometry]. Moscow, 2007, 14 p.
2. Hunt B. The Geometry of Some Special Arithmetic Quotiens. New York, SpringerVerlag, 1996, 97 p.
3. Gil'bert D., Kon-Fossen S. Naglyadnaya geometriya [Visual Geometry]. Moscow, 2010, 78 p.
4. Buzeman G., Kelli P. Proektivnaya geometriya i proektivnye metriki [Projective Geometry and Projective Metrics]. Moscow, 2010, 36 p.
5. Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. Moscow, 1963, 114 p.
6. Artobolevskiy I.I. Teoriya mekhanizmov i mashin [Theory of Mechanisms and Machines]. Moscow, 2012, 96 p.
7. Efanov A.M., Kovalevskiy V.P. Teoriya mekhanizmovi mashin [Theory of Mechanisms and Machines]. Orenburg, OGU Publ., 2004, 152 p.
8. Artobolevskiy I.I. Mekhanizmy v sovremennoy tekhnike [Mechanisms in Modern Engineering]. Moscow, Oniks Publ., 2012, 149 p.
9. Znamenskaya O.V., Rabotin V.V. Differentsial'naya geometriya i topologiya [Differential Geometry and Topology]. Krasnoyarsk, 2007, 121 p.
10. Choe J., Ghomi M., Ritore M. Total Positive Curvature of Hypersurfaces with Convex Boundary. J. Differential Geom. 2006, 131 p.
About the authors: Teplyakov Aleksandr Avramovich — Associate Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-24-83;
Vavanov Dmitriy Alekseevich — Senior Lecturer, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-24-83.
For citation: Teplyakov A.A., Vavanov D.A. Preobrazovanie nekotorykh lineychatykh pover-khnostey v nelineychatye vysshikh poryadkov [Transformation of Particular Ruled Surfaces into Non-ruled Surfaces of Higher Orders]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State Unisversity of Civil Engineering]. 2013, no. 8, pp. 164—167.
