CC BY
33
Инженерная геометрия и компьютерная графика
УЕБТЫНС
мвви
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
УДК 744:62
А.А. Тепляков, Д.А. Ваванов
ФГБОУВПО «МГСУ»
КОНСТРУИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ДВУМЯ СЕМЕЙСТВАМИ СВЕТОВЫХ ЛИНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СФЕРЫ
Рассмотрено конструирование поверхностей с двумя семействами световых линий при помощи топологических преобразований сферы.
Преобразование точек части сферы соответственно точкам конструируемой поверхности осуществляется вместе с пространством из трех взаимно перпендикулярных пучков плоскостей, а также пучков радиальных плоскостей.
Описанный способ конструирования поверхности с каркасом световых линий дает возможность строить поверхности, отвечающие эстетическим требованиям.
Ключевые слова: плоские кривые, контурные кривые, световые линии, световые точки, образующие линии поверхности, сфера.
Световой каркас поверхностей, отвечающих эстетическим требованиям, конструируется различными способами, которые можно свести к построению каркаса пропорциональных и конгруэнтных кривых [1, 2].
Рассмотрим построение непрерывных поверхностей с двумя семействами световых линий топологическим преобразованием сферы в поверхность того же топологического класса. Известно, что сфера имеет множество радиальных конгруэнтных окружностей, являющихся световыми линиями касания обвертывающих ее лучевых цилиндров вращения [3].
Предположим, что заданы фронтальные и профильные проекции плоских кривых АВ, АС, и ВС контура поверхности, соответственные проекциям дуг окружностей АВ, ЛС и ВС части сферы. Проекции АВ и ВС кривых поверхностей имеют световые точки Т и L касания световых лучей выбранного направления. В точках А, В и С контура поверхности проведены касательные плоскости а, у и в (рисунок).
Преобразование точек части сферы в соответственные точки конструируемой поверхности осуществим вместе с пространством из трех взаимно перпендикулярных пучков плоскостей а'..., Р'..., у'..., соответственно параллельных координатным Z0У, Z0X и Х0У (3), а также пучков радиальных плоскостей г. с носителями на осях X и У. Горизонтальные у. и радиальные г... плоскости пучков сохраняются неизменными, а фронтальные Р'... и профильные а'. преобразуются в параллельные с увеличением расстояния между ними при неизменных плоскостях Z0X и Z0Y. Включение радиальных пучков плоскостей обусловлено построением радиальных окружностей сферы, преобразуемых в световые линии поверхности (при помощи сдвига) [4, 5].
Вначале установим взаимно однозначное и непрерывное соответствие точек контурных кривых АВ и ВС поверхности с точками дуг окружностей А'В и ВС сферы, применив аппарат центрального проецирования (рисунок).
© Тепляков А.А., Ваванов Д.А., 2013
149
ВЕСТНИК
МГСУ-
9/2013
Построение непрерывных поверхностей с двумя семействами световых линий топологическим преобразованием сферы в поверхность того же топологического класса
Через точки пересечения следов а2 и Р3 плоскостей с прямыми т и п проведем прямые, пересекающие следы z2 и z3 плоскостей в точках и Р, принятых за центры проецирования. Точки пересечения следов а' и Р3 плоскостей с прямыми, проведенными из центров 5 и Р, соединим кривыми 5 и р с точками пересечения следов z2 и z3 плоскостей с прямыми т и п. Форма линий 5 и Р выбирается в зависимости от контуров поверхности [6]. Если линия р будет прямой, то можно получить поверхность с пропорциональными кривыми каркаса [7].
На рисунке показано преобразование точки В проекции А'2В2 дуги окружности сферы в точку В2 контурной кривой А2В2 поверхности проецированием точки 1 пересечения следа профильной плоскости а2, инцидентного В с кривой 5 на прямую т из центра 5. Точка В, соответственная В, будет на пересечении следа В2Е2 преобразованной профильной плоскости со следом у2 горизонтальной, инцидентной В. Также преобразуем точку ¿3 пересечения следа г3 радиальной плоскости с дугой В3С3 сферы в точку ¿3 контурной кривой В3С3 поверхности путем проецирования точки пересечения следа фронтальной плоскости, инцидентного ¿3, с кривой р на прямую п из центра Р (на рисунке точка ¿3 не является световой) [8, 9].
Приняв кривую ВС за образующую поверхности, а кривые АВ и АС за направляющие, положение любой точки поверхности можно определить в полярных координатах величиной х, длиной отрезка г3 и величиной угла ф. В этом случае поверхность образуется концом радиуса-вектора г переменной величины, вращающимся вокруг оси х, с одновременным поступательным движением вдоль оси при Ах ^ 0.
Преобразование образующей линии поверхности в линии каркаса является изотопным, а сконструированная поверхность будет топологически эквивалентной части сферы [10].
150
КБИ 1997-0935. Vestnik MGSU. 2013. № 9
Инженерная геометрия и компьютерная графика
VESTNIK
MGSU
Для построения первой световой линии AL/A2 L2/ поверхности переведем световую точку L/L3L2 кривой BC в точку L'jЕ\,E2j пересечения горизонтальной плоскости, инцидентной L, с плоскостью дуги окружности BC сферы. Тогда радиальная плоскость с носителем на оси x, инцидентная L", пересекает сферу по дуге AL"jA3L, A2L2j, а плоскость ее промежуточного сечения D E ' — в точке F '/F3', F2'/.
На рисунке проекция F3 промежуточной световой точки F линии AL поверхности, соответствующей точке F' дуги A 'L' сферы, получена на пересечении следов преобразованной фронтальной плоскости с радиальной, инцидентных F3, проецированием из центра P. Проекция F2 точки F получена на пересечении следов преобразованной профильной плоскости с горизонтальной, инцидентных соответственно F}2 и F3 проецированием из центра S.
Построение второй световой линии CT/C2 T2/ поверхности аналогично построению построению первой, но носителем пучка радиальных плоскостей служит ось Y.
Форму контура поверхности можно изменять, в определенных границах, при сохранении ее заданных параметров.
Библиографический список
1. Полежаев Ю.О., Борисова А.Ю. Линейные вариации моделирования свойств эллиптичности // Вестник МГСУ 2012. № 8. С. 34—38.
2. Гильберт Д. Основания геометрии. С. 81. Режим доступа: http://ilib.mccme.ru/ djvu/geometry/osn_geom.htm. Дата обращения: 02.11.2012.
3. Alexander S., Ghomi M. The convex hull property and topology of hypersurfaces with nonnegative curvature // Adv. Math. 2003. С. 327.
4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М., 2010. С. 102.
5. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия. М., 2007. С. 114.
6. Alexander S., Ghomi M. The convex hull property of noncompact hypersurfaces with positive curvature // Amer. J. Math. 2004. С. 216.
7. Ekholm T. Regular homotopy and total curvature. I. Circle immersions into surfaces // Algebr. Geom. Topol. 2006. С. 461. Режим доступа: http://www.maths.tcd.ie/EMIS/jour-nals/AGT/ftp/main/2006/agt-06-16.pdf. Дата обращения: 26.06.2013.
8. Ekholm T. Regular homotopy and total curvature. II. Sphere immersions into 3-space // Algebr. Geom. Topol. 2006. С. 493. Режим доступа: http://www.maths.tcd.ie/EMIS/jour-nals/AGT/ftp/main/2006/agt-06-17.pdf. Дата обращения: 26.06.2013.
9. Соболев Н.А. Общая теория изображений. М., 2004. С. 173.
10. Eliashberg Y., Mishachev N. Introduction to the h-principle // Graduate Studies in Mathematics. Providence, RI. 2002. Vol. 48. P. 247.
Поступила в редакцию в июле 2013 г.
Об авторах: Тепляков Александр Аврамович—доцент кафедры начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected], 8(499)183-24-83;
Ваванов Дмитрий Алексеевич — старший преподаватель кафедры начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected], 8(499)183-24-83.
Для цитирования: ТепляковА.А., ВавановД.А. Конструирование поверхностей с двумя семействами световых линий при помощи топологических преобразований сферы // Вестник МГСУ. 2013. № 9. С. 149—152.
Engineering geometry and computer graphics
151
ВЕСТНИК 9/2013
9/2013
A.A. Teplyakov, D.A. Vavanov
USING TOPOLOGICAL TRANSFORMATIONS OF THE SPHERE TO DESIGN SURFACES HAVING TWO FAMILIES OF LIGHT LINES
The authors discuss construction of surfaces having two families of light lines using topological transformations of the sphere.
The light framework of surfaces, meeting esthetic requirements, is designed in various ways, which can be reduced to the design of a framework of proportional and congruent curves.
Topological transformation of the sphere into a surface of the same topological class is considered as a method for design of continuous surfaces having two families of light lines.
Transformation of points of the constructed surface is performed together with the space of three mutually perpendicular beam planes, as well as beams of radial planes.
This method, employed for the construction of the frame surface and light lines, may be used to generate aesthetically attractive surfaces. The shape of the contour surface can be varied within certain limits, although it maintains its pre-set parameters.
Key words: plane curves, contour curves, light lines, points of light, surface line, sphere.
References
1. Polezhaev Yu.O., Borisova A.Yu. Lineynye variatsii modelirovaniya svoystv elliptich-nosti [Modeling the Properties of Ellipticity: Linear Variations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 8, pp. 34—38.
2. Gil'bert D. Osnovaniya geometrii [Fundamentals of Geometry]. Available at: http://ilib. mccme.ru/djvu/geometry/osn_geom.htm. Date of access: 2.11.2012.
3. Alexander S., Ghomi M. The Convex Hull Property and Topology of Hypersurfaces with Nonnegative Curvature. Adv. Math. 2003, p. 327.
4. Gil'bert D., Kon-Fossen S. Naglyadnaya geometriya [Visual Geometry]. Moscow, 2010, p. 102.
5. Peklich V.A. Mnimaya nachertatel'naya geometriya [Imaginary Descriptive Geometry]. Moscow, 2007, p. 114.
6. Alexander S., Ghomi M. The Convex Hull Property of Noncompact Hypersurfaces with Positive Curvature. Amer. J. Math. 2004, p. 216.
7. Ekholm T. Regular Homotopy and Total Curvature. I. Circle Immersions into Surfaces. Algebr. Geom. Topol. 2006, p. 461. Available at: http://www.maths.tcd.ie/EMIS/journals/AGT/ ftp/main/2006/agt-06-16.pdf. Date of access: 26.06.2013.
8. Ekholm T. Regular Homotopy and Total Curvature. II. Sphere Immersions into 3-space. Algebr. Geom. Topol. 2006, p. 493. Available at: http://www.maths.tcd.ie/EMIS/journals/AGT/ ftp/main/2006/agt-06-17.pdf. Date of access: 26.06.2013.
9. Sobolev N.A. Obshchaya teoriya izobrazheniy [General Theory of Images]. Moscow, 2004, p. 173.
10. Eliashberg Y., Mishachev N. Introduction to the h-principle. Graduate Studies in Mathematics. Providence, RI. 2002, vol. 48, p. 247.
About the authors: Teplyakov Aleksandr Avramovich — Associate Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@ mgsu.ru; +7(499)183-24-83;
Vavanov Dmitriy Alekseevich — Senior Lecturer, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7(499)183-24-83.
For citation: Teplyakov A.A., Vavanov D.A. Konstruirovanie poverkhnostey s dvumya semeystvami svetovykh liniy pri pomoshchi topologicheskikh preobrazovaniy sfery [Using To-pological Transformations of the Sphere to Design Surfaces Having Two Families of Light Lines]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 9, pp. 149—152.
152
ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2013. № 9
