Представление импликативной условной связи посредством объединения ее видов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Крымского федерального университета имени В. И. Вернадского Философия. Политология. Культурология. Том 2 (68). 2016. № 4. С. 137-142.

УДК: 164.1

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИМПЛИКАТИВНОЙ УСЛОВНОЙ СВЯЗИ ПОСРЕДСТВОМ ОБЪЕДИНЕНИЯ ЕЕ ВИДОВ

Николко В. Н.

Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского, г. Симферополь, Российская Федерация

E-mail: vnnikolko@mail.ru

Различаются импликация как двузначный, двуместный функтор а (ф, у), где ф, у - простые высказывания, и импликативно условная связь высказываний (ф—у). Импликация а(ф,у) не означает, что (ф—у); (ф—>у) только и если только а (ф, у) - тождественно истинное. Не всё, что говорится о а (ф, у), можно сказать относительно (ф—у). Например, а (ф, у) для любых высказываний равно (-ф v у), где - - отрицание, а v - дизъюнкция, в то время как (ф—у) не равно (-ф v у). Принимается система высказываний G, в которой вопрос о представлении функции (ф—у) через другие функции решен. При этом определяются значения для высказываний из G любой степени сложности Так, два высказывания ф (xi, Х2, ..., xn) и у (xi, Х2, ..., xn) G-множества определяются как формально независимые на М, если и только если для любых пакетов значений их аргументов (а1, а2, ., ап), где ai принадлежит М (для i от 1 до п), выражение (фу) может принимать только следующие значения истинности-ложности: или (11), или (10), или (01), или (00). Всего выделяются семь видов импликативной условной связи: ф _г^у, ф-з^у и т. д. фобъединение которых эквивалентно ф—у.

Ключевые слова: импликация, импликативная условная связь, виды импликативной условной связи, объединение видов И-условной связи.

Цель: Представить импликативную (И) условную связь посредством объединения ее видов.

Новизна: Выделяются семь видов импликативной условной связи.

К сожалению, мало встречается текстов, в которых воспроизводится точный смысл термина импликация, что, как пишет Переверзев В. Н. в [1, с. 52], «приводит к логическим ошибкам и различного рода парадоксам, в частности к парадоксам импликации».

Большинство определяют импликацию так, как это сделано Ю. А. Шихановичем: «Импликация высказываний А и В обозначается А—В и означает высказывание, ложное в том и только том случае, когда посылка А -истинна, и заключение В - ложно. Импликация А—В высказываний А и В означает то же, что высказывания "если А, то В", "из А следует В", "А влечёт В"» [2, с. 130]. Правильнее было бы определять импликацию как двуместный, двузначный функтор аз, действующий в множестве высказываний и преобразующий всякие два высказывания вида ф и у в некоторое третье высказывание аз (ф, у). Последнее ложно только в том случае, когда ф истинно, а у - ложно, и истинно во всех

остальных случаях (т. е. когда ф ложно, а у - истинно; когда ф и у оба истинны; когда ф, у оба ложны). В этом случае импликация не должна отождествляться с условной связью «если ... то...». Иными словами, импликация представляет собой двузначный, двуместный функтор аз (ф, у), который полностью определен таблицей истинности 1.

ф у а3 (ф, у) 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Очевидно, определение аз (ф, у) обеспечивает существование для любых двух высказываний А, В из области изменений ф, у некоторое С = аз (А, В); но столь же очевидно, что определение импликации не утверждает, что А, В при этом вступают в условную связь или находятся с необходимостью в ней, записываются в виде (А—В), читаются как «если А, то В». Для этого существует принцип введения условной связи, который гласит: для того, чтобы функции ф, у находились в условной связи, произносились как «если ф, то у», записывались (ф—у) необходимо и достаточно, чтобы ф, у были такими, что аз(ф, у) - тождественно истинная формула. Поэтому аз (ф, у) и (ф—у), хотя и являются высказываниями, но являются разными. Следует различать ф—у и аз (ф, у), и это различие состоит в том, что формула (ф—у) - тождественно истинная, а аз (ф, у) - не обязательно таковая. Все, что относится к определению аз (ф, у), не обязательно относится к определению (ф—у). Так, например, аз (ф, у) представимо через другие функции алгебры логики, в частности: (фЛу) = Dfl 1аз (ф, 1у)

(фVу) = Df2 аз (1ф, у), где 1 - знак отрицания формулы, стоящей после неё, а Л,У - знаки конъюнкции и дизъюнкции, соответственно; Df - знак (по определению). Можно также согласиться с Переверзевым В. Н. в том, что «точную логическую формализацию содержательного определения оператора аз(ф,у) обеспечивает следующее синтаксическое определение

аз (ф, у) = Dfз [(фЛу) V (1фЛу) V (1фЛ1у)]. При этом путем эквивалентных преобразований нетрудно показать, что определению Dfз эквивалентны два следующих коротких определения: аз (ф, у) = Df4 (^у),

аз (ф, у) = Df5 1(фЛ1у)» [2, с. 52]. Однако, и это очевидно, (ф—у) не определяется ни fз, ни ни f5, исключительно по одной причине: (ф—у) -тождественно истина, а аз(ф,у) - не обязательно таковая. Итак, (ф—>у) Ф Df4 (1фVу), или (ф—>у) Ф Df5 1(фЛ1у).

Констатируем: вопрос об определении высказывания (ф—у) посредством других функций алгебры логики пока не решен.

Ниже предлагается система высказываний G, в которой вопрос о представлении функции (ф—у) через другие функции решен. Доказывается следующая теорема:

если высказывания ф, у находятся в И-условной связи, то есть (ф—у) -тождественно истинное, то (ф—у)=Df[(ф —^ уЖф —^ уЖф —з^ у^

V (ф —^ у) V (ф —у) V (ф —^ у) V (ф у)], где V -

объединения; (ф у), i от 1 до 7 - виды импликативной условной связи.

Пусть имеется некоторое множество G высказываний, представляющих собой двузначные, п - местные функции f (х1, Х2, ..., Хп), аргументы которых Х1, Х2, ..., Хп-предметные или пропозициональные переменные, определены в множестве М общих имен или пропозиций так, что f (а1, а2, ..., ап) принадлежит М2 [0,1], если и только если а1 принадлежит М (для i от 1 до п).

Пусть, далее, в множестве G действуют три двузначных двуместных функтора а1 (конъюнкция), а2 (дизъюнкция), аз (импликация) и один двузначный, одноместный функтор - отрицание. а1,а2 и отрицание определяются так, как это сделано В. Н. Переверзевым в <1>. Определение аз дано выше.

Помимо высказываний в G множестве имеют место выражения, являющиеся строчками конечного числа разных высказываний. Например, если ф, у, f -высказывания G системы, то (ф у (ф f у), (f у ф) и т. д. - его выражения. Выражения могут быть однослоговыми, двуслоговыми и т. д. - п-слоговыми в зависимости от того, из какого числа высказываний они состоят. Каждое выражение имеет матрицу истинности из 0 и 1. Например, двуслоговое выражение [^ (Х1, Х2, ..., Хп) f2 (Х1, Х2, ..., Хп)] при подстановке отдельных пакетов значений переменных (х1, Х2, ..., Хп), таких, как (а1, а2, ..., ап), где а1 из М для 1 от 1 до п, получает соответствующие значения или (11), или (10), или (01), или (00). Каким бы ни было число возможных пакетов значений переменных (Х1, Х2, ..., Хп), число разных строчек таблицы истинности выражения (^2) не может быть больше четырех. Набор разных строчек значений (^2) будем называть таблицей истинности выражений (№).

Аналогично вычисляются таблицы трехслоговых и т. д. п-слоговых выражений G-множества.

Определение 1. Два высказывания ф (Х1, Х2, ..., Хп) и у (Х1, Х2, ..., Хп) G-множества формально независимы на М, если и только если для любых пакетов значений их аргументов (а1, а2, ..., ап), где а1 принадлежит М (для 1 от 1 до п), выражение (фу) может принимать только следующие значения истинности-ложности: или (11), или (10), или (01), или (00). Иными словами, - если и только если таблица истинности выражения (фу) имеет четыре разных строчки.

Определение 2. Высказывания ф (Х1, Х2, ..., Хп) и у (Х1, Х2, ..., Хп) - формально связаны на множестве М, если и только если таблица истинности выражения (фу) имеет не более трех разных строчек. Например, ф и у связаны, если (фу) имеет матрицы вида:

фу фу фу

11 10 10

0 1 0 1 0 0

0 0, или 1 1, или и т. д.

Если выражение состоит из трех высказываний - f2, fз, с одним и тем же набором аргументов, заданными в М, то f2, fз - формально независимы, если и только если таблица истинности выражения (flf2fз) имеет 2з=8 разных строчек. В противном случае f2, fзформально связаны.

Аналогично: если выражение состоит из т высказываний ^ (х1, ..., Хп), f2 (х1, ..., Хп), ... , fm (х1, ..., Хп), то f2, .. ,,£п формально независимы, если и только если таблица истинности выражения (^2...£п) имеет 2т разных строк; если же меньше, то f2, ..., £п формально связаны.

Определение 3. Если и только если выражение (^2) характеризуется матрицей Х из трех или менее разных строк, то f2 = Ф(^), где Ф - оператор, который полностью определен таблицей Х.

Нетрудно перебрать все возможные матрицы, состоящие из 0 и 1 для двух столбцов при числе разных строк, не больше трех. Таких матриц - 14, причем выделяются два класса матриц:

- не имеющих плохую строчку 10

- имеющих плохую строчку 10.

В первый класс входят семь таблиц:

11 11 01 11 11, 00, 01. 01 01, 00, 00, 00,

Назовем таблицы слева направо И-1 таблицей, И-2-таблицей и т. д., И-7-таблицей.

Семь таблиц, имеющих плохую строчку, таковы

10 10 10 10 01 10 10

01 11 01 00, 10, 11,

00, 00, 11

Пусть, далее, в множестве G действует принцип И (импликационной) условной связи в той форме, как он сформулирован выше, благодаря чему среди высказываний G-множества появляются высказывания вида ф—у, для которых аз (ф, у) - тождественно-истинны. Тогда в G множестве имеет место следующая ситуация: если ф и у - высказывания из G, такие, что у = Ф1(ф), где Ф1 - оператор, который полностью определяется таблицей 1:

ф у = Ф:(ф) , 1 1 0 1 0 0

то ф—>у - И-условно связаны.

Условную зависимость у от ф, задаваемую Ф1, будем называть И-1 условной связью; записывать в виде формулы ф —;—> у.

В самом деле, если ф, у - высказывания из G-множества, которые при любых наборах значений из М их пропозициональных или предметных переменных могут принимать только значение истинности-ложности из таблицы 1 фу аз (ф, у) 1 1 1 0 1 1 0 0, то 1, ,

то есть аз (ф, у) - тождественно истинная импликация, что является необходимым и достаточным условием:

- для И-условной связи ф и у;

- для ф —i—^ у быть видом И-условной связи;

- для у быть Ф1-функцией от ф.

Помимо И-1 условной связи высказываний типа ф —j—> у, существуют еще шесть видов И-условной связи, шесть видов условной связи «если ... то», шесть видов функций, аналогичных функции Ф1. С этой целью доказывается теорема 1: если высказывания ф, у G-множества функционно связаны и у = Ф^ф) так, что Ф1 полностью определяется таблицей номер i из ряда таблиц истинности без плохой строчки, а именно:

ф Ф2(ф)=у ф Фз(ф) ф Ф4(ф) ф Ф5(ф) ф Фб(ф) ф Ф7(ф) 1 1 (2), 0 1 (3), 1 1 (4), 1 1 (5), 0 0 (б), 0 1 (7), 0 1 0 0 0 0

то ф, у во всех шести случаях условно связаны, представляют собой виды И-условной связи, могут записываться в виде формул ф—— у (где 1 - от 2 до 7). Тогда ясно, что высказывание ft—>f2 определимо через перебор всех видов И-условной связи: для любых f2 из G-множества высказываний fi—fz тогда и только тогда, когда имеет место f1 1 f или f1 —2—^ f2, или f1 —3—>f2, или f1 4^ f2, или f1 —5—> f2, или f1—б—^ f2, или f1 —7—> f2, что эквивалентно (f1—f2)=Df[(f1 —— f2)V(f1 —— f2)V(f1 —— f2)V(f1 -J— f2)V(f1 —— f2)V(f1——f2)V V(f1 —7—> f2)], где Df - знак дефиниции, V - знак дизъюнкции

Список литературы

1. Логический словарь ДЕФОРТ (под ред. А. А. Ивина, В. Н. Переверзева, В. В. Петрова). - М.: Мысль, 1994. - 268 с.

2. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. Начальные понятия / Ю. А. Шиханович. -М.: Наука, 1965. - 370 с.

3. Николко В. Н. Об одном классе логических функций (функторах) // Ученые записки Крымского Федерального университета имени В. И. Вернадского. Философия. Политология. Культурология. -2015. - Том 1 (67) - №1. - С. 148-155.

Nikolko V. N. Presentation of Implicative Conditioned Connection by Uniting its Kinds // Scientific Notes of Crimea Federal V. I. Vernadsky University. Philosophy. Political science. Culturology. - 2016. -Vol. 2 (68). - № 4. - P. 137-142

There are differed implication as the two-digit, two-place functor а (ф, у), where ф, у - simple statements, and implicative conditional relationship (ф — у). The implication а (ф, у) does not mean that (ф—у); (ф—у) if and only if а (ф, у) is identically true. Not everything that is said about а (ф, у) can be said with respect to (ф — у). For example, а (ф, у) for any words anyway (-ф V у), where - isnegation and V is disjunction, while (ф — у) is not equal to (-ф V у). It is adapted the system G: suppose we have a set G of statements, which are double-digit, n - placed function f (X1, X2, ..., xn) where arguments X1, X2, ..., xnareindividual or propositional variables defined in a set of M as common names or propositions so that f (a1, a2, ..., an) belongs M2 [0.1] if and only if M belongs ai (for i from 1 to n).The question on the representation of the function (ф — у) is resolved through other functions on G.

It identifies the values for propositions from G of any degree of complexity. For example, two statements ф (x1, x2, ..., xn) and у (x1, x2, ..., xn) from G are defined as formally independent on M if and only if for all values of their arguments (a1, a2, ..., an), where ai belongs to M (for i from 1 to the n), the expression (фу) can only take on the following values of truth, falsity, either (11) or (10 ), or (01) or (00). Propositions ф (x1, x2,..., xn) and у (x1, x2, ..., xn) are formally linked onthe M-set, if and only if the truth table expression (фу) has no

HuKomo B. H.

more than three different lines.TotaUythere are revealed seven types implicative conditional relation: 9 y, 9 y, etc. 9 y, the union of which is equivalent to 9 ^ y.

Keywords: implication, implicative conditional connection, kinds of the implicative conditional connection, unitingkinds of I-implicative conditional connection.

References

1. Logicheskij slovar' DEFORT (pod red. A. A. Ivina, V. N. Pereverzeva, V. V. Petrova) [Logical Dictionary DEFORT]. Moscow, Mysl Publ., 1994., 268 p.

2. Shihanovich Yu. A. Vvedenie v sovremennuyu matematiku. Nachal'nye ponyatiya [Introduction to modern mathematics. Basic concepts]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 370 p.

3. Nikolko V. N. Ob odnom klasse logicheskih funkcij (funktorah) [On a class of logic functions (functors)]. Uchenye zapiski Krymskogo Federal'nogo universiteta imeni V. I. Vernadskogo [Scientific Notes of Crimea Federal V. I. Vernadsky University. Philosophy. Political sciences. Culturology]. 2015, Vol. 1 (67), no. 1, P.148-155.