CC BY
12Эллипсоид (2), задаваемый матрицей P-1, изображен на рисунке кривой 1. Кривой 3 показан "су-
премальный" эллипсоид (10) как внутренняя оценка области достижимости.
Автор приносит благодарность проф. В.В.Александрову за внимание, проявленное к работе, и
ценные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект №14-50-00029) и РФФИ (проект
№16-01-00683).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.
2. Alexandrov V. V., Bugrov D.I., Corona Morales G., Tikhonova K. V. Tent-method application for minmax stabilization and maxmin testing // IMA J. Math. Control and Inform. 2015. DOI: 10.1093/imamci/dnv028.
3. Sadovnichiy V.A., Alexandrov V.V., Lemak S.S., Bugrov D.I., Tikhonova K.V., Temoltzi Avila R. Robust stability, minimax stabilization and maximin testing in problems of semi-automatic control // Stud. Systems. Decision and Control. 2015. 30. 247-265.
4. Лемак С.С. К вопросу о формировании позиционных стратегий дифференциальной игры в методе экстремального прицеливания Н.Н. Красовского // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 6. 61-65.
5. Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.
6. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.
7. Kurzhanski A., Valui I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Basel: Birkhäuser, 1997.
8. Овсеевич А.И. Области достижимости управляемых систем, их свойства, аппроксимации и применения: Докт. дис. М., 1996.
9. Александров В.В., Александрова О.В., Приходько И.П., Темолтзи-Ауила Р. О синтезе автоколебаний // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. №3. 41-43.
Поступила в редакцию 09.12.2015
УДК 511
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ И ГРУППОВЫМ ПОСТУПЛЕНИЕМ ТРЕБОВАНИЙ
Е. А. Чернавская1
Рассматривается бесконечноканальная система массового обслуживания, в которой требования поступают группами случайного объема через случайные независимые одинаково распределенные интервалы времени. Число требований в группе и интервалы между их поступлениями могут быть зависимы. Предполагается, что функция распределения времени обслуживания является правильно меняющейся на бесконечности и такой, что время обслуживания имеет бесконечное среднее. Для числа требований в системе при соответствующих нормировках доказаны предельные теоремы.
Ключевые слова: бесконечноканальные системы обслуживания, времена обслуживания с тяжелым хвостом, распределение числа требований в системе, регенерирующий поток.
We consider an infinite-server queueing system where customers come by groups of random size at random i.d. intervals of time. The number of requests in a group and intervals between their arrivals can be dependent. We assume that service times have a regularly varying distribution
1 Чернавская Екатерина Александровна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
with infinite mean. We obtain limit theorems for the number of customers in the system and prove limit theorems under approariate normalizations.
Key words: infinite-server queuing system, service times with heavy-tailed distribution, distribution of the number of customers in the system, regenerative flow.
1. Введение. В 1951 г. в статье [1] была рассмотрена модель телефонной станции, в которой ни один звонок не был задержан или потерян из-за отсутствия оборудования. Эта модель является системой массового обслуживания типа M/G/ж.
В начале 1960-х гг. выходит серия работ, посвященных этим системам (см., например, [2-4]). В них приведены результаты, касающиеся распределения числа занятых приборов, а также доказано, что выходящий поток из системы M/G/ж является пуассоновским. Позже это направление получило развитие в [5-7].
Мы рассматриваем бесконечноканальную систему обслуживания, в которой требования поступают группами случайного объема через случайные независимые одинаково распределенные интервалы времени. Данная система является обобщением рассмотренной в [8] системы GI/G/ж, в которой требования поступали не группами, а по одному. Еще одно отличие нашей модели в том, что число требований в группе и интервалы между их поступлениями могут быть зависимы.
В настоящей работе получено предельное распределение числа требований, находящихся в системе в моменты поступления групп. Изучение такого процесса представляет интерес, поскольку его можно рассматривать как мажорирующий для q(t), где q(t) — число требований в аналогичной системе с регенерирующим входящим потоком в момент времени t [9].
2. Описание модели и формулировка основного результата. Пусть {£i}°=1 и {t-}°=1 — последовательности положительных независимых одинаково распределенных в каждой последова-
n
тельности случайных величин(н.о.р.с.в.). Обозначим 9n = ^ t-, во = 0, Eti = a.
i= 1
Рассмотрим бесконечноканальную систему обслуживания S, в которой требования поступают в моменты ei группами объема i ^ 1. Пусть F — ст-алгебра, порожденная случайными векторами Ti }=1.
Времена обслуживания заявок {щ, 1 ^ j ^ £i,i ^ 1} представляют собой последовательность н.о.р.с.в. с функцией распределения B(t), не зависящую от {Ci,Ti}°=1. Здесь щ — время обслуживания j-го требования в i-й группе. Таким образом, число требований в группах и интервалы между их поступлениями могут быть зависимы.
Обозначим B(t) = 1 — B(t). Предполагаем, что выполнено следующее условие: для функции B(t) имеет место асимптотика
— dt)
B(t)--у- при t ->■ оо, (1)
0 < ß < 1. Здесь L(t) — медленно меняющаяся функция при t ^ ж [10]. Пишем f (t) ~ g(t) при f (t)
t —> оо, если lim = 1.
Основное внимание в данной работе направлено на изучение процесса q(en), который представляет собой число требований, находящихся на обслуживании в момент времени вп. Сформулируем основной результат.
Теорема. Предположим, что выполнено (1) и Ет{ < ж, r > 2, E^f < ж. Тогда имеет место сходимость по распределению
q(en) - En d кГ(п
--¡=--^Л/ (0,1) при п —> оо,
VEn
где Еп =
3. Доказательство теоремы. Для величины q(en) справедливо представление
n f Hi
q(en) = Y. IE Zu (n) i= 1 \j = 1
где Zij (n) = I (n-ij > en — ei), I(A) — индикатор события A.
Для q(dn) введем производящую функцию
n it n
Фп(г) = Ez^ = ЕЦ [] Е (z^WIT") = ЕЦ (В{9п - 9г)г + В(9п - 9г))й . (2)
n
i=1j=1 i=1
Обозначим Мп = Y^ £,iB(9n ~ Oi)- Из (2) находим i= 1
Eq(9n) = EMn, Dq(9n) = EM.n + DM.n. Нам потребуется следующая
Лемма. В условиях теоремы имеют место утверждения:
1) А 0 при п ^ оо,
2) lim = 0.
ги- оо
Доказательство. Для любых положительных е и А определим для n ^ 0 функции -ßmin(^) = В (an + en^^j , Втах(п) = В (an - en^^j , BcntT(n) = В (an)
и события
Ащг(е) = jw : 19п — 9% — а(п — г)| > е(п — |, 1 ^ г ^ п;
Ai(e) = jw : 19i — аг\ > ei^^ |, i ^ 1.
Фиксируем любое число 0 < ф < 1. Из (1) с учетом свойств медленно меняющихся функций [10, гл. 1.5] при 1 ^ i ^ n — пф и n ^ ж несложно установить асимптотические соотношения
ßmax(« - ¿) - ßmin(n - l) ~ "Й^-( (1 - - (n - l)~'^ ) ^ - (1 + ~ (п ~ i) ~ ^ ^ ^
aß(п — i)ß \\ a / V a
aß(n — i)ß a
(3)
где C
_ 2eß
-5+T'
a
Опираясь на (3), оценим Mn — EMn и EMn . 1. Для любого ö > 0 имеем
Р (|Мп - ЕМп\ > 5п= Р ( |Мп- ЕМп\ > 5-пf| Ащг(е) ) +
+ Р ( \Мп - ЕМп\ > 5-п^, IJ Ап4е) ] <
'n—n^ £
< Р ( Е - - Е№ ^ -°г)\> , П Än^e) ] +
i=1 1<i<n-n^
л \ ra_1
+ Р( Е \СгВ(9п-9г)-ЕСгВ(9п-9г)\>-п1^, f| Än4£)\+Y,P(Me))=ini2+l3-
i=n—пф+1 пф ) i=nф
Из работ [11, 12] следует, что в условиях теоремы ряд ^ P(Ai(е)) сходится, поэтому lim Щ = 0.
Асимптотики для РП и I, получаем, используя неравенство Чебышёва, а также следующие оценки:
rsj
(a) для 1 ^ г ^ п — п^ в случае, когда Вт-т(п — г) ^ В(6п — 9¿) ^ Втах(п — г), имеем
|&В(0п - Ог) - Е£гВ(вп - вг) | < + ЕСг) (втах(п -г)- вт1п(п - г)) + - Е^\Вт^{п - г);
(b) для 1 ^ г ^ п при любом х имеем
%Щеп -ег)-Е (£гв(вп - вг)) | < & + Е(г п.н. 2. Как в п. 1, получаем
п—пф п—пф п
ЕМп = ^ ЕСг СВ(0п ~ вг) - Всп^(п - г)) + Е& ^ Всп^(п - г) + ^ - вг) <
г=1 г=1 г=п—пф
п—пф п—1 п—пф
< ^ (Бтах(п - г) - 5т1п(гг - г)) + Е Р + ^ Е ~ + ^
=
i= 1 г=гаф i=1
'2 + Т3 + Т4
= Jn + Jn + + J4n
Оценка Jn сразу следует из (3). Слагаемое Jn оценивается аналогично Щ- Из определения Bcntr(n-i) следует, что
тп ri , п1-?
JО ~ Пп)-я-- при п —> сю.
{Enfl-P
Из перечисленных оценок в предположении, что 0 < ф < получаем утверждение леммы.
giQ )_E
Продолжим доказательство теоремы. Обозначим q*n = " . Учитывая (2), находим
п ? ■
Е{егз<\F} = П (l + (eVt - 1 )В(вп - 0,-)) '
3=1
Поскольку ln(1 + z) = z(1 + e(z)), где e(z) ^ |z| и |z| ^ 1/2 (см. [2]), выполняются равенства
n
ЫЕ{е*<\Г} = ^Cjln (l + (eVk - 1 )B(9n - 0,-)) - isy/K = j=1
= (eJk - l)J2(3B(en - 6,) (1+е((еЯ- 1 )В{вп - 0,-))) - is, j=1
Дальнейшие оценки следуют из представления
где
(is je е^ \ / js \ 2 ^—^^ _о
еVW,. — 1 ——= + —— J мп + (е^ш - ij (On ~ О,) = Щ + Щ.
v En n / -_л
n
3=1
Согласно лемме в условиях теоремы имеют место сходимости
Мп — Еп р Мп р
' 0 и —--> 1 при п —> оо.
л/Жг -Ei
n
2 3
Поскольку для любого х ^ 0 справедливо неравенство |егж — 1 — ix + ^ то
Для \1Щ\, используя оценку \егх — 1| ^ х, х ^ 0, а также монотонное убывание функции В , получаем, что найдется число по, такое, что при п ^ по п.н.
/ \ 2 п п
V
Из последнего неравенства и леммы следует, что Кп — 0 при п — то.
2 2
(* I Л Р —__/ * Л —_
е%Щп\Т) —> е~ 2 при п —> то, поэтому Е [егв9п) —>■ е~ 2 при
п — то. Это завершает доказательство теоремы.
Автор приносит глубокую благодарность проф. Л. Г. Афанасьевой и к.ф.-м.н. Е. Е. Баштовой за постановку задачи, постоянное внимание и ценные замечания, существенным образом способствовавшие написанию статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Riordan J. Telephone traffic time averages // Bell Labs Technic. J. 1951. 30, N 4. 1129-1144.
2. Takacs L. An introduction to queueing theory. N.Y.: Oxford Univ. Press, 1962.
3. Downton F. Congestion systems with incomplete service //J. Roy. Statist. Soc. Ser. B (Methodological). 1962. 24, N 1. 107-111.
4. Mirasol N.M. Letter to the editor — the output of an M/G/ж queueing system is Poisson // Oper. Res. 1963. 11, N 2. 282-284.
5. Daley D.J. Queueing output processes // Adv. Appl. Probab. 1976. 8, N 2. 395-415.
6. Borovkov A.A. Stochastic processes in queueing theory. N.Y.: Springer-Verlag, 1976.
7. White J.A., Schmidt J.W., Bennet G.K. Analysis of queueing systems. N.Y.: Academic Press, 1975.
8. Kaplan N. Limit theorems for a GI/G/ж Queue // Ann. Probab. 1975. 3, N 5. 780-789.
9. Afanasyeva L.G., Bashtova E.E. Coupling method for asymptotic analysis of queues with regenerative input and unreliable server // Queueing Systems. 2014. 76, N 2. 125-147.
10. Сенета Е., Шиганов И.С. Правильно меняющиеся функции / Пер. с англ. М.: Наука, 1985.
11. Нагаев С.В. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин со значениями в банаховом пространстве // Сиб. матем. журн. 1987. 28, № 4. 171-184.
12. Maurer A. A bound on the deviation probability for sums of non-negative random variables //J. Ineq. Pure and Appl. Math. 2003. 4, N 1. 15.
Поступила в редакцию 13.04.2016
УДК 532.6
ОБ ОРИЕНТАЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СДВИГОВОГО ТЕЧЕНИЯ НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА
А. Г. Калугин1
Рассматривается задача об устойчивости сдвигового течения слоя нематического жидкого кристалла. Исследуется случай, когда вектор ориентации сонаправлен с вектором скорости потока. Показано, что для такого течения при учете дивергентных слагаемых в энергии Франка и слабом сцеплении директора с границей возможны ориентационная неустойчивость, а также развитие периодических структур с волновым вектором, лежащим в плоскости потока перпендикулярно вектору скорости. Приведены оценки для параметров среды, при которых может существовать такая неустойчивость; получено выражение для периода возникающей периодической структуры.
Ключевые слова: нематические жидкие кристаллы, сдвиговые течения, дивергентные слагаемые, ориентационная неустойчивость.
The problem of instability of shear flow of a nematic liquid crystal layer is considered. The case when the director and the velocity vector are parallel is studied. It is shown that
1 Калугин Алексей Георгиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kalugin@mech. math. msu. su.
