CC BY
375. Таратута И.В. Эмоциональное состояние студентов как фактор успешности обучения в аграрном вузе // Проблемы современного педагогического образования. - 2018. - № 61-2. - С. 191-193.
6. Богданова Ю.З. О дигитализации университетского образования // В сборнике: Интеграция науки и практики для развития Агропромышленного комплекса. Сборник статей всероссийской научной конференции. - 2017. - С. 415-419.
7. Таратута И.В. Применение активных и интерактивных методов обучения иностранным языкам в аграрном университете // В сборнике: Сборник статей II всероссийской (национальной) научно-практической конференции "Современные научно-практические решения в АПК" Государственный аграрный университет Северного Зауралья. - Тюмень, 2018. - С. 283-286.
Педагогика
УДК 378
кандидат педагогических наук, доцент Трунтаева Татьяна Ивановна
Калужский государственный университет имени К.Э. Циолковского (г. Калуга); кандидат педагогических наук, доцент Никаноркина Наталия Владимировна
Калужский филиал Финансового университета при Правительстве РФ (г. Калуга)
ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Аннотация. В статье представлены сюжетные задачи по математической логике с практической направленностью. Определены виды этих задач и изложены методические рекомендации по их применению в учебном процессе по математике в вузе. Формулировки задач, методика работы над ними корректировались и дорабатывались в практике их применения в учебном процессе по математике в вузе, как со студентами гуманитарных направлений подготовки, так и со студентами, осваиваемая профессиональная деятельность которых предполагает применение знаний по математике, выходящих за рамки школьного курса математики.
Ключевые слова: практико-ориентированные задачи, практико-ориентированные задачи по математической логике, сюжетные задачи по математической логике, обучение математике в вузе.
Annotation. In the paper are described plot tasks in mathematical logic with a practical focus. Types of these tasks are determined and guidelines for their application in the educational process in mathematics at the university are set out. Formulations of these problems, teaching process with these problems were corrected and refined in the practice of their application in the educational process in mathematics at the university, both with students of the humanitarian areas of training, and with students whose professional activity assumes the use of knowledge in mathematics that goes beyond school mathematics course framework.
Keywords: practice-oriented tasks, practice-oriented tasks in mathematical logic, plot tasks in mathematical logic, teaching mathematics at a university.
Введение. Основным средством обучения математике являются задачи. Ф.В. Дмитриева [5] обращает внимание на то, что содержание обучения может быть включённым в структуру учебной деятельности учащихся только в форме задач. Л.Г. Деменкова и Е.В. Полицинский [4] отмечают, что умение решать задачи является, с одной стороны, необходимым профессиональным качеством, а с другой стороны, лучшим критерием оценки глубины изучения учебного материала. А также, что именно в процессе решения задач формируется универсальное научное мышление, которое может определить успешность любой деятельности, требующей творческого подхода.
Традиционно одним из способов стимулирования познавательного интереса обучаемых в учебном процессе по математике является применение практико-ориентированных задач.
На основе анализа педагогической литературы можно сделать вывод о том, что под практико-ориентированной задачей в обучении понимают
- задачи, реализующие профессиональную направленность обучения [3, 5, 7, 9];
- задачи прикладного характера, актуализирующие межпредметные связи [6, 11];
- задачи, нацеленные на формирование надпредметных умений и навыков [6, 8];
- задачи повседневной жизни, в решении которых нужно применить математический аппарат [4, 10, 11, 12].
Можно отметить, что все авторы подчеркивают нацеленность практико-ориентированных задач в учебном процессе по той или иной дисциплине на развитие познавательного интереса к изучению этой дисциплины, активизацию творческого потенциала студентов, сознательное усвоение учебного материала.
Применение практико-ориентированных задач в учебном процессе по математике позволяет преодолеть противоречие между теоретическим характером изложения учебного материала по математике и возможностью использования полученных знаний в осваиваемой профессиональной деятельности, в повседневной жизни, позволяет продемонстрировать ценность математических знаний через их практические приложения, что способствует созданию положительной мотивации в изучении математики.
Статья посвящена проблеме разработки практико-ориентированных задач для математической подготовки студентов вузов по курсу математической логики.
Изложение основного материала статьи. В курсе математической логики к практико-ориентированным задачам можно отнести следующие:
- задачи, демонстрирующие связи между схоластической логикой и математической логикой;
- задачи, решение которых разъясняет содержание понятий логики, применяемых в повседневной жизни;
- сюжетные задачи на проверку справедливости логического вывода, непротиворечивости условий;
- задачи на переформулирование предложений логически эквивалентыми, но с более простой логической структурой;
- задачи на проверку правильности записи определения математического понятия в виде логической формулы;
- задачи на получение теорем из других теорем по законам логики;
- проблемы логического характера;
- сюжетные задачи, решение которых включает получение логической формулы в дизъюнктивной нормальной форме, ее минимизацию;
- сюжетные задачи, которые можно формализовать как логические в виде разных логических формул;
- задачи, демонстрирующие разные общие методы доказательства законов логики, в том числе логики предикатов.
Перечисленные задачи относятся, главным образом, к практико-ориентированным задачам, нацеленным на формирование надпредметных умений и навыков, а также задачам повседневной жизни, в решении которых нужно применить математический аппарат.
Далее приведем примеры задач перечисленных видов. Комментарии по решению задач выделены курсивом.
В решении сюжетных задач на проверку справедливости логического вывода, на проверку непротиворечивости условий с помощью построения дедуктивного рассуждения демонстрируется применение схоластических правил, данных в виде формул математической логики.
Пример сюжетной задачи на проверку справедливости логического вывода (логический вывод верен). Ни один наблюдательный человек не является болтливым. Все легкомысленные люди болтливы. Обязательно ли тогда каждый наблюдательный человек не является легкомысленным?
Решение задачи с помощью дедуктивного рассуждения следующее.
Условие «Все легкомысленные люди болтливы» равносильно условию «Все не болтливые люди не легкомысленны» по закону А — В~В — А. Из условий «Все наблюдательные люди являются не болтливыми» и «Все не болтливые люди не легкомысленны» следует, что «Все наблюдательные люди являются не легкомысленными» по закону (А — В)л(В — С) — (А — С). То есть логический вывод верен.
Задача может быть решена с помощью алгебры логики: для этого нужно проверить тождественную истинность формулы (например, с помощью таблицы истинности), составленной по условию задачи. То есть
формулы (А — В)л(С — В) — (А — С), где А - наблюдательный, В - болтливый, С - легкомысленный.
Пример сюжетной задачи на проверку справедливости логического вывода (логический вывод неверен). Ни один наблюдательный человек не является болтливым. Все болтливые люди легкомысленны. Обязательно ли тогда каждый наблюдательный человек не является легкомысленным?
Для доказательства, что логический вывод неверен, достаточно привести пример, в котором условия выполняются, а заключение - нет.
Найти этот пример удобно через перечисление всех комбинаций свойств и удаление комбинаций, не удовлетворяющих условию задачи. Пример решения подобной задачи описан в работе [1].
Задача также может быть решена с помощью алгебры логики: для этого нужно убедиться, что формула, составленная по условию задачи, не является тождественно истинной. Действительно, формула
(А — В)л(В — С) — (А — С) (здесь А - наблюдательный, В - болтливый, С - легкомысленный) не является тождественно истинной.
Пример сюжетной задачи на проверку непротиворечивости условий: противоречивы ли предложения «Ни одна красная фигура не является круглой. Не все круглые фигуры не являются красными»?
Решение задачи с помощью дедуктивного рассуждения следующее.
Условие «Ни одна красная фигура не является круглой» исключает фигуры с набором свойств «красная и круглая». Условие «Не все круглые фигуры не являются красными» по закону логики. А — В~АлВ равносильно условию «Есть круглая и красная фигура». Поскольку первое условие исключает случай, который утверждает второе условие, то предложения противоречивы.
Задача может быть решена с помощью алгебры логики: для этого нужно проверить выполнимость формулы (например, с помощью таблицы истинности), составленной по условию задачи. То есть формулы
(А — В)л(В — А), где А - красная, В - круглая.
Также можно привести примеры задач, решение которых в рамках модели - логической формулы, составленной без применения кванторов, не приводит к верному результату. Например, такой задачей является следующая: противоречивы ли предложения «Не все пушистые барабашки крикливые. Не все крикливые барабашки пушистые»?
Логическая формула (А — В}л(В — А), где А = "барабашка пушистый", В = "барабашка крикливый", составленная по условию задачи, не является выполнимой, то есть данная модель задачи не приводит к верному решению. Поэтому эту модель необходимо уточнить с помощью кванторов.
Логическая формула Ух (А )х) — В )х) ) Л Ух (В (X) — А )х) ), где X е
множеству барабашек, А(х) = "х пушистый", В(х) = "х крикливый" является
выполнимой.
Данная задача также может быть решена с помощью схоластических правил. Предложение «Не все пушистые барабашки крикливые» равносильно предложению «Есть пушистый и некрикливый барабашка» по
закону логики А — В~ АлВ. Предложение «Не все крикливые барабашки пушистые» равносильно предложению «Есть крикливый и непушистый барабашка» по тому же закону. Поскольку выполнимые случаи есть, то предложения не противоречивы.
Задачи на доказательство справедливости логического вывода с помощью построения дедуктивного рассуждения, задачи на проверку непротиворечивости условий демонстрируют студентам содержание понятий, применяемых в повседневной жизни, а именно таких понятий как дедуктивное рассуждение, непротиворечивое рассуждение. К таким задачам также можно отнести задачи на проверку наличия логической причинно-следственной связи, как между математическими условиями, так и условиями, взятыми из внематематических областей. Такой задачей является следующая. Проверьте, является ли хронологическое следование, содержащееся в предложении «Если учился играть на скрипке, то умеешь играть на скрипке» логическим. Если не является, то поменяйте в предложении условия местами и проверьте для полученного предложения (Перед проверкой наличия логической причинно-следственной связи убедитесь в выполнении закона исключенного третьего для условий, участвующих в предложении).
Решение этой задачи содержит рассуждения
- для условий «учился играть на скрипке», «умею играть на скрипке» закон исключенного третьего можно считать выполненным, значит, правомерно применять определения логических связок к анализу предложения, содержащего данные условия;
- ситуация «учился играть на скрипке и не умею этого делать» возможно, поэтому в данном предложении нет логической причинно-следственной связи по определению связки «логическое следование»;
- составим предложение «Если умею играть на скрипке, то учился этому»; ситуация «умею играть на скрипке и не учился этому» невозможна», поэтому это предложение с логической причинно-следственной связью по определению связки «логическое следование».
Задачу «Противоречивы ли условия А — В и А — ß ?» можно отнести к проблемам логического характера. Данная задача вызвана типичными заблуждениями студентов в понятиях логики.
Далее приведем пример получения теоремы путем переформулирования другой теоремы по законам логики. Для этого рассмотрим две теоремы о предельном переходе в неравенстве.
Теорема 1.
lim /(х) < lim $(х) — /(х) < $(х) в некоторой окрестности Х0
X—X—
Теорема 2.
В некоторой окрестности Х0 /(х) > ^(х) — lim /(х) > lim $(х)
X—X—
Теорему 2 из теоремы 1 можно получить так.
1) По закону логики А — — Л преобразуем теорему 1:
/(х) > ^(х) — lim /(х) > lim g(x)
X—X—
2) Применяем закон логики (.Av B — С)~(Л — С) А (5 — С) к предложению
/(х) > ^(х) v /(х) = ^(х) — lim /(х) > lim g(x)
X—^Xg X—^Xg
и получаем /(х) > ^(х) — lim /(х) > lim $(х) .
X—X—
Представляют интерес задачи на запись определения математического понятия в виде формулы математической логики и проверку правильности этой формулы. Приведем пример такой задачи: запишите определение точной верхней границы множества в виде формулы математической логики и проверьте ее правильность, составив отрицание данного предложения по законам логики. Студентам гуманитарных направлений подготовки определение дается в готовом виде: определение
с = sup^ < > (Va а < с) а (V£ За а > с — е), где а £ Л и £ £ R+
К задачам на переформулирование предложений логически эквивалентыми, но с более простой логической структурой, помимо задач на формулирование отрицаний математических предложений можно отнести задачи на формулирование отрицаний внематематических предложений.
Например, такие задачи: сформулируйте предложение эквивалентное предложению «Неверно, что есть рассудительные и нетерпеливые люди», но имеющее более простую логическую структуру.
В качестве примера сюжетных задач, решение которых включает получение логической формулы в дизъюнктивной нормальной форме, ее минимизацию, можно привести следующую: найдите все значения х, удовлетворяющие условию (ответ дайте в виде объединения числовых промежутков)
гх > 5 [х < 0 гх > 7
ix < 3
x Ф 10 [ х = 12
Решение можно осуществить, преобразовав формулу
((х > 5)v (х < 0))л((х > 7)v (х < 3))л (х Ф 10) v (х = 12)
В результате преобразования по законам логики получаем
(х > 7)л(х Ф 10) v (х < 0)
Ответ записываем числовым промежутком
х е (-от, о) и (7,10) и (10,
В качестве примера задачи, демонстрирующей разные общие методы доказательства законов логики, кроме ранее приведенных сюжетных задач на проверку справедливости логического вывода, на проверку непротиворечивости условий, также приведем задачу на проверку равносильности предложений, содержащих кванторы.
Как известно, доказательство того, что равносильность предложений, содержащих кванторы, неверна, может заключаться в приведении примера, показывающего, что в некоторой интерпретации данная формула неверна. Также можно использовать способ, основывающийся на способе проверки равносильности предложений, не содержащих кванторы.
Приведем пример такой задачи: проверьте, равносильны ли предложения
VxP(x)^ ЗхР(х)~ЗхР(х).
Решение задачи указанным способом состоит в нахождении невыполнимых случаев для формулы Ал В~В, где А — VxP(x), В — ЗхР(х). Эти случаи удобно найти с помощью таблицы истинности. Здесь невыполнимый случай только один: А — 0 и В = 1. Анализируем его для исходных предложений: VxP(x) = 0 и ЗхР(х) = 1. Переведем предложения в истинные и получим: ЗхР(х) = 1 и ЗхР(х) = 1. Данные условия непротиворечивы, поэтому случай А — 0 и 5 = 1 не исключается, значит, равносильность неверна.
Практико-ориентированные задачи, примеры которых приведены в статье, применялись в учебном процессе по математической логике со студентами бакалавриата, обучающимися по направлению «Педагогическое образование», профиль «физика и математика», Калужского государственного университета имени К.Э. Циолковского, в обучении математике студентов гуманитарных направлений подготовки КГУ имени К.Э. Циолковского, в обучении математике студентов Калужского филиала Финансового университета при Правительстве РФ. В практике применения этих задач их условия и методика работы над ними дорабатывались и корректировались. В данной статье особенности методики работы с этими задачами изложены в виде комментариев по их решению.
Выводы. Представленные в статье практико-ориентированные задачи по математической логике могут применяться в учебном процессе по математике, в том числе, для студентов гуманитарных направлений подготовки с целью повышения познавательного интереса к изучению математики, усиления практической направленности изучения математики.
Следует отметить, что такие вопросы как запись определений математических понятий в виде формул математической логики и проверка их правильности, получение теорем из других теорем по законам логики возникают при изучении и других традиционных разделов курса математики в вузе (математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии, теории вероятностей, математической статистики и др.), поэтому элементы этого учебного материала могут рассматриваться в рамках соответствующих курсов.
В практике применения задач, примеры которых приведены в данной статье, можно было заметить, что большинство студентов проявляли интерес к этим задачам, в основном эти задачи были им доступны. Однако у студентов гуманитарных направлений подготовки возникали затруднения в решении задач на применение логического аппарата к задачам из других математических разделов, а также в решении задач на проверку правильности логического вывода, равносильности для формул с кванторами.
Содержательный и методический аспекты использования в учебном процессе по математике практико-ориентированных задач по математической логике также рассмотрены в работах [1, 2, 13, 14].
Литература
1. Алмазова Т.А., Трунтаева Т.И. Обучение математической логике в контексте гуманитаризации педагогического математического образования [Электрон. ресурс]. - Современные проблемы науки и образования. - 2019. - № 3. - C.80. - электрон. дан. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=38732429 Дата последнего обращения 27.10.2020.
2. Алмазова Т.А., Трунтаева Т.И. Роль математической логики в формировании математической культуры студентов вузов [Электрон. ресурс]. - Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. - Сборник научных трудов: - Ялта: РИО ГПА, 2018. - Вып.61. - Ч.4 - С.4-7. -электрон. дан. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=36809614 Дата последнего обращения 27.10.2020.
3. Вербицкий А.А. Контекстное обучение: понятие и содержание [Элетрон. ресурс] // Эксперимент инновации в школе. - №4. - 2009. - С.8-13. . - электрон. дан. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=15249144 Дата последнего обращения 18.11.2020.
4. Деменкова Л.Г., Полицинский Е.В. Использование практико-ориентированных задач в процессе обучения студентов технического вуза [Элетрон. ресурс] // Профессиональное образование в России и за
рубежом. - №3(15). - 2014. - С. 121-125. - электрон. дан. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=22321448 Дата последнего обращения 18.11.2020.
5. Дмитриева Ф.В. Формирование профессиональных компетенций у студентов СПО через внедрение в образовательный процесс практико-ориентированных задач [Элетрон. ресурс] // Вестник Северовосточного федерального университета им. М.К. Аммосова. - Том 9. - №3. - 2012. - С. 131-135. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=20340433 Дата последнего обращения 18.11.2020.
6. Дмух Г.Ю. Практико-ориентированные задачи как основа математического образования студентов [Элетрон. ресурс] // Обучение и воспитание: методика и практика. - №6. - 2013. - С. 122-125. - электрон. дан.
- URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=20355911 Дата последнего обращения 18.11.2020.
7. Казакова О.П. Практико-ориентированные задачи в подготовке преподавателей иностранного языка для специальных целей [Элетрон. ресурс] // Педагогическое образование в России. - №6. - 2014. - С. 109-111.
- электрон. дан. - URL: https://www.elibrary.m/item.asp?id=21805129 Дата последнего обращения 18.11.2020.
8. Кендиван О.Д. Практико-ориентированные учебные задачи по химии [Элетрон. ресурс] // Образование в современной школе. - №4. - 2009. - С. 13-18. - электрон. дан. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=17392379 Дата последнего обращения 18.11.2020.
9. Маслова Ю.А. Методическая значимость практико-ориентированных задач для подготовки бакалавра педагогического образования [Элетрон. ресурс] // Научное мнение. - №6-7. - 2016. - С. 150-153. -электрон. дан. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=26024404 Дата последнего обращения 18.11.2020.
10. Павленко С.А. Практико-ориентированные задачи как средство реализации принципа преемственности при обучении математике в условиях реализации ФГОС [Элетрон. ресурс] // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. - №12-5. - 2015. - С. 14-15. - электрон. дан. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=25375392 Дата последнего обращения 18.11.2020.
11. Павлова Л.В. Познавательные компетентностные задачи как средство формирования предметно-профессиональной компетентности будущего учителя математики [Элетрон. ресурс] // Известия РГПУ им. А.И. Герцена. - 2009. - № 113 - С. 169-174. - электрон. дан. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=12872062 Дата последнего обращения 18.11.2020.
12. Пирютко, О.Н., Берник В.И. Практико-ориентированные задачи в контексте изменения программ школьного курса математики [Текст] // Народная асвета. - 2015. - №11. - С. 18-21.
13. Трунтаева Т.И. Обучение математической логике студентов вузов гуманитарных направлений подготовки [Текст] // Continuum. Математика. Информатика. Образование: Изд-во Елецкого гос. ун-та им. И.А. Бунина. - 2020. - №1(17). - С. 44-50.
14. Трунтаева Т.И. Развитие дедуктивного мышления с помощью сюжетных логических задач [Текст] // Вестник Калужского университета. Калуга: Изд-во КГУ им. К.Э. Циолковского. - 2019. - №4. - С. 125-129.
Педагогика
УДК 378.2
преподаватель кафедры профессионального обучения и управления образовательными системами Уракова Екатерина Андреевна
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина» (Мининский университет) (г. Нижний Новгород); магистрант Гусев Евгений Николаевич
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина» (Мининский университет) (г. Нижний Новгород);
студент Гнездин Андрей Владимирович
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина» (Мининский университет) (г. Нижний Новгород)
ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ ПЕДАГОГОВ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ
Аннотация. В статье рассматривается актуальная проблема формирования профессиональных компетенций педагогов профессиональной подготовки. В современном обществе возрастает потребность в профессионально компетентных преподавателях профессиональной подготовки. Такие педагоги должны свободно владеть особенностями реализации технологий обучения. Раскрывается вопрос развития профессиональной компетентности современного педагога профессиональной подготовки.
Ключевые слова: профессиональное образование, подготовка педагогов, формирование компетенций, профессионале навыки, рынок труда, образование, компетентностный подход.
An^tatton. The article deals with the actual problem of the formation of professional competencies of teachers of professional training. In modern society, there is a growing need for professionally competent teachers of vocational training. Such teachers should be fluent in the peculiarities of the implementation of learning technologies. The article reveals the issue of development of professional competence of a modern teacher of professional training.
Keywords: vocational education, teacher training, competence formation, professional skills, labor market, education, competence-based approach.
Введение. В настоящее время в эпоху стремительного развития всей системы образования возрастает роль профессиональной подготовки педагогов. Это связано, в первую очередь, со способностью педагогов работать с большими объемами инновационных знаний. Профессиональная подготовка педагогов профессиональной подготовки способствует оптимальному процессу усвоения ими новых требований к образовательному процессу, инновационных технологий обучения, а также решению профессионально-педагогических задач.
