Роль математической логики в формировании математической культуры студентов вузов Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Педагогика

УДК 378

кандидат педагогических наук, доцент Алмазова Татьяна Александровна

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Калужский государственный университет имени К. Э. Циолковского» (г. Калуга); кандидат педагогических наук, доцент Трунтаева Татьяна Ивановна

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Калужский государственный университет имени К. Э. Циолковского» (г. Калуга)

РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ В ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ

СТУДЕНТОВ ВУЗОВ

Аннотация. В статье рассматривается содержательный аспект формирования логической грамотности, как составляющей математической культуры, в процессе изучения математической логики в вузе. В статье предложены типовые тренировочные упражнения по курсу математической логики, нацеленные на формирование компонентов логической грамотности. Эти задачи могут применяться в учебном процессе по математике со студентами вузов любых направлений подготовки.

Ключевые слова: математическая логика, образование в вузе, логическая грамотность, математическая культура, упражнения по математической логике.

Annotation. The article discusses the substantive aspect of the formation of logical literacy, as a component of mathematical culture, in the process of studying mathematical logic at university. The article proposed typical training exercises in the course of mathematical logic aimed at the formation of the components of logical literacy. These tasks can be applied in the educational process in mathematics with students of universities of any training directions.

Keywords: mathematical logic, education at university, logical literacy, mathematical culture, exercises in mathematical logic.

Введение. Переход на трехуровневое (бакалавриат, магистратура, аспирантура) высшее образование обусловил необходимость пересмотра целей подготовки в вузе в соотнесении с тем или иным уровнем получаемого образования.

Структура целей, реализующая компетентностный подход в вузе, имеет общекультурную, общепрофессиональную и профессиональную компоненты, для каждой из которых определяются подлежащие формированию компетенции, причем общекультурные компетенции нее привязаны к той или иной предметной области.

Учебно-воспитательная работа по формированию математической культуры человека имеет огромное значение для развития его мышления, расширения кругозора, и в русле реализации общекультурной целевой составляющей обучения в вузе может проводиться со студентами любых направлений подготовки, в том числе и гуманитарных.

Проектирование содержания математической подготовки студентов вузов непрофильных специальностей, нацеленной, главным образом, на формирование математической культуры, очевидно, подчиняется требованию обеспечения доступности применяемого математического аппарата и его применимости к решению практических задач. Также в проектировании содержания математической подготовки студентов вузов непрофильных специальностей необходимо учитывать формируемые компоненты математической культуры, сформированность которых подтверждают умение структурировать информацию, анализировать, сравнивать, обобщать, умение выделить в тексте математическое содержание, формализовать это содержание, построить абстрактную модель, наполнить заданную структуру или модель содержанием в соответствии с заданной интерпретацией и др.

В проектировании содержания математической подготовки на основе предметной области математической логики все эти требования можно выполнить. Кроме того владение аппаратом математической логики на уровне его применения для решения практических задач может свидетельствовать о логической грамотности человека, которая также является компонентом математической культуры.

Поэтому целью статьи является определение содержания учебного курса математической логики для студентов вузов, нацеленного на формирование логической грамотности, и описание типовых тренировочных упражнений, позволяющих усвоить аппарат математической логики на уровне его применения для решения практических задач.

Поставленная цель реализуется в выполнении следующих задач:

- определить аппарат математической логики, который может быть интересным студентам непрофильных направлений подготовки и который можно адаптировать для таких студентов;

- описать компоненты логической грамотности, формируемые в процессе работы по курсу «Математическая логика» для студентов, в том числе, непрофильных направлений подготовки;

- рассмотреть типовые тренировочные упражнения практического характера по курсу математической логики, выполнение которых способствует формированию компонентов математической культуры.

Изложение основного материала статьи. К элементам содержания предметной области «Математическая логика», интересным студентам непрофильных специальностей и применимым для решения практических задач, следует отнести такие основные понятия математической логики как логические связки и кванторы, равносильные предложения, понятие о непротиворечивости предложений и понятие о логическом выводе, а также методы установления равносильности тех или иных предложений, непротиворечивости предложений, методы установления правильности логического вывода. Эти понятия и методы полезно знать любому человеку, поскольку они дают теоретическую основу для решения вопросов о логичности того или иного рассуждения.

Перечисленные понятия и методы изучались в курсе математики со студентами гуманитарных направлений подготовки в Калужском государственном университете им. К.Э. Циолковского, и были первично адаптированы для данной аудитории, затем методика изучения этих понятий и методов

корректировалась и уточнялась. В результате можно сформулировать следующие методические рекомендации по изучению элементов математической логики.

1. Логические связки «отрицание» и «и» следует ввести как основные и с их помощью определить остальные логические связки «или», «следование», «равносильность» через перечисление выполнимых и невыполнимых случаев. Например, определение связки «следование»: для предложения «из А следует В»

—+

Б ) выполнимыми являются случаи: «А и В» «не А и В» ГЛлВ 1 «не А и не В»

^ Л/1Й I, а случай «А и не В» ^ А. '•Ъ ) - невыполнимый. Определение логической связки «отрицание» следует дать наряду с законом исключенного третьего, определение логической связки «следование» - наряду с законами «Истина - из чего угодно», «Из лжи - все что угодно». Рассказать студентам о стандартных формулировках в математическом тексте предложений с логическими связками «следование» и «равносильность»:

- «из А следует В», «Если А, то В», «Для А необходимо В», «Для В достаточно А», «Все элементы со свойством А обладают свойством В» для связки «следование»;

- «А равносильно В», «А тогда и только тогда, когда В», «Для А необходимо и достаточно В» для связки «равносильность».

После описанного способа введения логических связок ознакомить студентов с определениями логических связок с помощью таблиц истинности.

2. Понятию непротиворечивости условий дать качественное определение: условия непротиворечивы определение

' ' условия вместе выполняются. Содержание понятий о равносильности рассуждений, о

логическом выводе сначала продемонстрировать на задачах, решаемых способом анализа, а затем после разъяснения способа синтеза (с помощью таблицы истинности) решения задач на проверку равносильности рассуждений, правильности логического вывода дать формальные определения этих понятий.

3. При введении кванторов уделять существенное внимание формальной структуре предложений с кванторами, записывать логическую структуру одного и того же предложения как с помощью логики предикатов, так и с помощью только логики предложений (по возможности), то есть показывать разные варианты формализации одного и того же предложения.

Например, формализуем предложение «Все розы красивые».

Выделим структурные компоненты «Быть розой» - обозначим А, «Быть красивой» - обозначим В. Получим формулу предложения: А^В.

Можем на множестве роз задать предикат «х красивая» - обозначим В(х). Получим формулу предложения Ух В(х).

Можем на множестве цветов задать предикаты «х роза» - обозначим А(х), «х красивая» = В(х). Получим формулу предложения Ух (А(х)^В(х)).

Другой пример: формализуем предложение «Есть честные коты».

Выделим структурные компоненты «Быть котом» - обозначим А, «Быть честным» - обозначим В. Получим формулу предложения: АлВ.

Можем на множестве котов задать предикат «х честный» - обозначим В(х). Получим формулу предложения Зх В(х).

Можем на множестве животных задать предикаты «х кот» - обозначим А(х), «х честный» = В(х). Получим формулу предложения Зх (А(х)лВ(х)).

Процесс изучения перечисленных элементов математической логики нацелен на формирование компонентов логической грамотности, связанных с пониманием логической структуры предложения, знанием содержания логических связок, типовых формулировок предложений с логическими связками, кванторами, знанием законов логики, умением установить, является ли одно из условий логической причиной или логическим следствием другого условия, применять законы логики, проверить правильность логического вывода, непротиворечивость условий, равносильность рассуждений, сформулировать отрицание предложения. Также изучение элементов области знания «Математическая логика» способствует формированию умений структурировать информацию, выделять математическое содержание в тексте, учит быть аккуратными в формулировании предложений, а именно, обращать внимание на смысловую нагрузку тех или иных слов в предложении, в том числе, слов, несущих логическую нагрузку, проверять правильность логической структуры предложения, рассуждения, что является частью математической культуры человека. Кроме того, изучение математической логики в данном объеме необходимо студентам профильных специальностей для подготовки к изучению математики на уровне бакалавриата.

Как известно, упражнения, задачи являются основными средствами обучения математики. Далее охарактеризованы типовые упражнения и задачи, нацеленные на формирование перечисленных компонентов логической грамотности, математической культуры.

1. Упражнения на анализ предложений с логическими связками в стандартной формулировке.

Например, проанализируйте предложение «Если тебе хорошо, то и мне хорошо» с помощью

определения логической связки «следование».

Решение. Логическая структура предложения имеет вид:

«тебе хорошо ^ мне хорошо». По определению логической связки «следование» невыполнимым является только один случай «Тебе хорошо и мне плохо».

2. Упражнения на определение наличия логической причинно-следственной связи между условиями.

Например, определите, есть ли логическая причинно-следственная связь между условиями «Я думаю»,

«Я живу». Если есть, укажите условие, являющееся причиной.

Решение. Рассмотрим 4 случая:

1) я думаю и живу;

2) я думаю и не живу;

3) я не думаю и живу;

4) я не думаю и не живу.

Все случаи кроме 2-го можно считать выполнимыми. Так как только один невыполнимый случай, то логическая причинно-следственная связь существует.

Соотносим этот случай с определением логической связки «следование» и видим, что логической причиной является условие «Я думаю».

3. Сюжетные задачи на логический вывод.

Например. Все бармаглоты любят хрюкотать. Все хрюмзики, которые не любят хрюкотать, являются бармаглотами. Каждый не бармаглот является хрюмзиком. Обязательно ли тогда все любят хрюкотать?

Решение. Перечислим 8 случаев:

1) бармаглот и хрюмзик и любит хрюкотать;

2) бармаглот и хрюмзик и не любит хрюкотать;

3) бармаглот и не хрюмзик и любит хрюкотать;

4) бармаглот и не хрюмзик и не любит хрюкотать;

5) не бармаглот и хрюмзик и любит хрюкотать;

6) не бармаглот и хрюмзик и не любит хрюкотать;

7) не бармаглот и не хрюмзик и любит хрюкотать;

8) не бармаглот и не хрюмзик и не любит хрюкотать.

По условию «Все бармаглоты любят хрюкотать» не подходят случаи, в которых бармаглоты не любят хрюкотать, то есть случаи 2 и 4.

Условию «Все хрюмзики, которые не любят хрюкотать, являются бармаглотами» не удовлетворяет случай 6.

Условие «Каждый не бармаглот является хрюмзиком» исключает случай «не бармаглот и не хрюмзик», то есть случаи 7 и 8.

На оставшихся случаях 1, 3 и 5 выполняется условие «любят хрюкотать».

Значит, логический вывод верен.

Замечание. Сюжетная задача на логический вывод также может быть решена с помощью таблицы истинности, с помощью правил логического вывода.

Приведенное решение доводит до понимания студентов суть понятия «логический вывод»: условие, являющееся следствием, должно выполняться на всех случаях, которые выполнимы при соблюдении всех условий, входящих в причину.

4. Задачи на доказательство законов логики и правил логического вывода.

Доказательство можно проводить способом анализа, описанным в примере для задачи 2 или способом синтеза, то есть с помощью таблиц истинности и с применением формального определения равносильных

определение

предложений (Формулы А и В равносильны ^-^ формула Л В тождественно истинная),

определение

формального определения логического вывода (Логический вывод А ► 3 верен ^ * формула

является тождественно истинной).

Студентам для доказательства следует предложить законы логики и правила логического вывода, которые широко используются на практике.

Например:

5. Задачи практической направленности на применение законов логики и правил логического вывода. Примеры.

С помощью закона логики (.Л и ~

предложению «Если не по желанию, то по принуждению». Ответ: «Если не по принуждению, то по желанию».

сформулируйте предложение, равносильное

сформулируйте рассуждение,

С помощью закона логики ±? * £?), '{Л ■►

утверждающее равносильность условий «Хочешь», «Можешь».

Ответ: «Если хочешь, то можешь. Если не хочешь, то не можешь». 6. Практические логические задачи.

Например. Условие, противоречит следствию. Обязательно ли это условие противоречит причине? Решение задачи сводится к проверке справедливости логического вывода

. Вывод верен. Значит, обязательно.

Например. Для доказательства логического вывода проверили, выполняются ли причина и следствие вместе. Получили, что выполняются, и посчитали, что логический вывод доказан. Правильно ли поступили?

Решение задачи сводится к проверке справедливости логического вывода (А/\В } ^^ ~~^ 5 ). Вывод верен. Значит, поступили правильно.

Например. В решении задачи на определение справедливости логического вывода проверили, выполняются ли причина и следствие вместе. Получили, что не выполняются, и посчитали, что логический вывод не верен. Правильно ли поступили?

Решение задачи сводится к проверке справедливости логического вывода (¿\лВ } ВУ

Вывод неверен. (Может быть, что /1^0, а Значит, поступили неправильно.

7. Задачи на формулирование отрицаний предложений.

Например, сформулировать утвердительное предложение, равносильное предложению «Неверно, что есть ключ, который открывает любую дверь».

В выполнении подобных заданий желательно записывать формулу предложения, иначе студенты испытывают затруднения в понимании логической структуры предложения.

8. Задачи на выяснение непротиворечивости условий.

Например: противоречивы ли условия «Ни один бармаглот не является хрюмзиком. Некоторые хрюмзики являются бармаглотами».

Решение: «Ни один бармаглот не является хрюмзиком» **" «Все бармаглоты не являются хрюмзиками», что исключает случай «Бармаглот и не хрюмзик». Случай «Хрюмзик и бармаглот не исключен». Значит, условия непротиворечивы.

Типовые задачи по математической логике, описанные в статье, применялись в учебном процессе по математике со студентами, как гуманитарных направлений подготовки, так и со студентами по специальностям, связанным с математикой, в Калужском государственном университете им. К.Э. Циолковского. Студенты проявляли интерес к предлагавшимся задачам и к теоретической основе их решения. Решения задач и изучавшийся теоретический материал были доступны для понимания. Большинство студентов в результате обучения научились осмысленно решать аналогичные задачи, а значит, усвоили основные понятия математической логики и научились их применять в решении практических задач.

Выводы. Описанные в статье типы задач по математической логике имеют практическую направленность. Владение понятиями и методами математической логики, которые применяются для решения этих задач, свидетельствует о логической грамотности человека, определенном уровне математической культуры. Кроме того владение этими понятиями и методами необходимо студентам, будущая профессиональная деятельность которых связана с математикой, для продолжения математического образования в вузе, а именно для понимания математического языка, логики построения теории и др. Задачи с практическим содержанием, как правило, вызывают у студентов интерес к изучаемому материалу и тем самым способствуют стимулированию и поддержанию положительной мотивации учения и познавательной активности. Сказочная фабула некоторых задач вызывает у студентов улыбку, создает комфортную атмосферу на занятии, что помогает преодолеть психологический барьер у студентов не профильных направлений подготовки к восприятию математики, и вместе с этим не затеняет изучаемые понятия и применяемый аппарат математической логики.

Литература:

1. Гончаров С.С., Дроботун Б.Н. О роли математической логики в образовании по математическим направлениям / С.С. Гончаров, Б.Н. Дроботун // Вестник Новосибирского гос. ун-та. Серия: Математика, механика, информатика. - 2008. - Т.8. - №1. - С. 15-25.

2. Игошин В.И. Профессионально-ориентированные методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов учителей математики в педвузах: автореф. дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02 / В.И. Игошин - Саратов, 2002.

3. Маслова О.А. Методика обучения будущих учителей математики работе со структурой математических утверждений (на примере дисциплины «Математическая логика»): автореф. дис. . канд. пед. наук: 13.00.02 / О.А. Маслова. - Волгоград, 2015.

4. Мирзоев М.С. Реализация модели формирования математической культуры будущего учителя информатики при обучении математической логике / М.С. Мирзоев // Наука и школа. - 2012. - №2. - С. 56-59.

5. Сергеева И.Е. Формирование логической грамотности математической речи студентов педвуза при изучении вводного курса математики: автореф. дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / И.Е. Сергеева. - М., 2011.

6. Тимофеева И.Л., Сергеева И.Е. Комплекс логико-ориентированных задач как средство формирования логической грамотности будущих учителей математики / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева // Ярославский педагогический вестник. - 2010. - Т.1. - №1. - С.69-72.

Педагогика

УДК 378.147

доцент кафедры иностранных языков, кандидат педагогических наук Антоненко Елена Рашитовна

Краснодарское высшее военное училище имени генерала армии С. М. Штеменко (г. Краснодар)

МЕТОДИКА И ПРАКТИКА РАЗВИТИЯ ЛЕКСИКО-ГРАММАТИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ НЕПОДГОТОВЛЕННОЙ УСТНОЙ РЕЧИ ПРИ ОБУЧЕНИИ ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ КУРСАНТОВ НЕЯЗЫКОВОГО ВОЕННОГО ВУЗА

Аннотация. В статье раскрывается актуальность проблемы совершенствования и развития лексико-грамматических механизмов неподготовленной устной речи на иностранном языке курсантов неязыкового военного вуза. Рассматривается опыт применения опорно-подставочных таблиц, направленных на закрепление в памяти обучающихся лексики, грамматически правильных словарных структур при построении предложений и ситуативно обусловленных связных монологических и диалогических высказываний.

Ключевые слова: лексико-грамматические механизмы, устная речь, совершенствование навыков, построение предложений, опорно-подстановочные таблицы, речевые ситуации.

Annotation. The article reveals the urgency of the problem of improvement and development of lexical and grammatical mechanisms of unprepared oral speech in a foreign language of cadets of non-linguistic military University. Describes the experience of application support-support of tables to solidify in-memory studying vocabulary, grammatically correct vocabulary structures when constructing sentences and situational coherent monologue and dialogue speech.

Keywords: lexical and grammatical mechanisms, oral speech, improvement of skills, construction of sentences, support and substitution tables, speech situations.

Введение. В настоящее время в условиях сложившейся геополитической ситуации, постоянной модернизации вооружения стран противников, Армейских международных игр и совместных учений с союзниками, профессионально-ориентированное обучение английскому языку, как языку международного общения, приобрело особую актуальность.

На первый план выходит задача формирования поликультурной личности военного специалиста, владеющего иностранным языком не только на уровне понимания, но и свободного общения.

Этим подходом обусловлен выбор тематических областей заданий Международной олимпиады курсантов образовательных организаций высшего образования (по иностранному языку): современный мир и межгосударственные отношения в печатных и телевизионных СМИ; международное сотрудничество в области укрепления безопасности в мире, контроля над вооружениями, противодействия международной преступности и терроризму и т.д.

Во время олимпиады курсанты должны были продемонстрировать разносторонние умения: написание эссе, поддержание беседы на английском языке на общественно-политические темы, а также работу в совместной группе с целью ведения переговоров на иностранном языке и поиска взаимовыгодных решений.

В связи с тем, что обучение иностранному языку в нашем военном учебном заведении носит профессионально-ориентированную направленность, совершенно отличающуюся от тематики Олимпиады, а на подготовку к ней отводится ограниченное количество часов, то перед преподавателями кафедры иностранных языков стоит задача постоянного совершенствования известных и поиск наиболее рациональных методов развития речевых умений курсантов.

Как известно, речевые навыки формируются поэтапно:

I этап - формирование лексико-грамматических навыков устной речи;

II этап - совершенствование лексико - грамматических навыков устной речи; III этап - развитие умений неподготовленной устной речи.

Механизм речи формируется правильно, если преподаватель в процессе обучения придерживается этого порядка. Недостатки в обучении на каждом из этапов могут привести к тому, что обучающиеся будут испытывать сложности, включаясь в неподготовленную речь, или вся речь будет сводиться к зазубриванию известного текста.

В методической литературе лексико-грамматические навыки рассматриваются с различных точек зрения:

- способность сочетать лексические единицы друг с другом и включать элементы речевых образцов в речь (В.А. Бухбиндер);

- компонент речевого навыка и самостоятельный элементарный навык(Р.К. Миньяр-Белоручев);

- адекватность выбора и сочетание лексических единиц в зависимости от ситуации (А.Н. Щукин);

- способность мгновенно вызывать из долговременной памяти эталон слова в зависимости от конкретной речевой задачи, а также включать его в речевую цепь (Е.Н. Соловова).

Изложение основного материала статьи. В нашей работе мы придерживались точки зрения Е. И. Пассова, описывающего лексический навык как синтезированное действие по выбору лексической единицы адекватно замыслу и ее правильному сочетанию с другими, совершаемое в навыковых параметрах, обеспечивающее ситуативное использование данной лексической единицы и служащее одним из условий речевой деятельности [4].

Для правильного формирования лексико-грамматических навыков методисты рекомендуют систему упражнений, направленных на многократное повторение изучаемых лексических единиц. Все усилия должны быть сосредоточены на создание речевых шаблонов. В большом количестве следует выполнять подстановочные, конструктивные, трансформационные упражнения: «Заполните пропуски в ...», «Уточните значения...», «Замените...», «Составьте...», «Подберите...», «Расширьте.», «Сократите.», «Преобразуйте.», «Разверните.», т.д. [2].

Цель, которую преподаватель ставит перед собой при выполнении вышеназванных упражнений, -добиться перевода лексических единиц в оперативную память обучающихся. В итоге, они, как ожидается, должны продемонстрировать умение использования ключевого слова с другой лексической единицей, его