CC BY
57
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА НЕКОТОРЫХ СРЕДСТВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЛОГИКИ
И. Л. Тимофеева
Аннотация. В статье автор анализирует некоторые логические и теоретико-множественные средства, используемые в курсе математического анализа Выявляются особенности этого использования, возникающие при этом проблемы, а также намечаются пути решения этих проблем.
Ключевые слова: математический анализ, логика, теория множеств.
Summary. In the article author analyzes some logical and set theory tools used in the course of mathematical analysis. She reveals features, problems and proposes the ways of solving these problems.
Keywords: mathematical analysis, logic, set theory.
В курсе математического анализа широко используются различные теоретико-множественные и логические средства. Рассмотрим некоторые из этих средств и отметим особенности их использования.
I. Сначала выявим особенности использования логических средств в курсе математического анализа.
1. Прежде всего, в курсе математического анализа широко используются средства формальных логических языков, а именно, применяются логические символы этих языков для записи математических предложений (в частности, теорем) и определений. Значение и необходимость использования этих средств в курсе математического анализа обусловлены тем, что именно в этом курсе математический язык особенно богат предложениями сложного логического строения с различными сочетаниями кванторных слов.
Запись математических предложений с помощью логических символов является краткой, наглядной и облегчает восприятие этих предложений. Более того, такая запись позволяет выявлять логическое строение изучаемых предложений, обеспечивает точность и однозначность понимания их смысла, не оставляет места неопределенности и разночтению, разумеется, при соблюдении норм (правил) использования логической символики. Только корректное применение логических символов способствует более глубокому пониманию смысла математических теорем и определений.
Корректное использование средств логических языков предполагает соблюдение синтаксических правил этих языков [1]. Нарушение этих правил в символических записях математических предложений ведет к искажению
241
242 *
с
логической структуры, а значит, и смысла записываемых предложений.
Досадной особенностью применения логических символов в практике преподавания математики в вузе, и чаще всего математического анализа, является пренебрежительное отношение к правилам использования логических символов, ведущее к некорректным записям предложений.
Рассмотрим примеры использования в курсе математического анализа логических символов для записи определений и возникающие при этом типичные ошибки.
Обратимся к определению отношения теоретико-множественного включения: «Говорят, что множество А является подмножеством множества В, и пишут А с В, если всякий элемент множества А является элементом множества В». Встречается такой вариант символической записи этого определения:
А с В < ^ > (Ух е А ^ х е В).
Сочетание символов (Ух е А ^ х е В), записанное справа от символа , не отвечает общепринятым синтаксическим нормам логического языка и поэтому не допускает никакого разумного прочтения и толкования. Вслед за квантором по какой-либо переменной должна идти только запись предложения, к которому квантор относится. Здесь же вслед за квантором общности по переменной х записано сочетание символов е А ^ х е В, которое не является записью никакого предложения, и никакое его начало не является такой записью. Попытка рассмотреть сочетание символов (Ух е А ^ х е В) как импликацию также не приводит к успеху, поскольку посылка импликации должна быть записью предложения, а со-
четание символов Ух е А таковым не является. Даже если воспринимать сочетание символов Ух е А как ограниченный квантор (см. [1-2]), то вслед за ним опять-таки должна идти запись предложения, но сочетание символов ^ х е В такой записью не является.
Приведем правильную символическую запись рассматриваемого определения:
А с В < def > Ух (х е А ^ х е В).
Рассмотрим еще один пример. Часто встречается следующая ошибочная запись определения предела функции в точке:
limf(x) = a < def > Уе>0 35>0 УxеD :
x^x0 J
0 < | x - x0 | < 5 выполняется | f(x) - a | < e,
в которой под символом двоеточия подразумевают слова «такого, что». Вместо слова «выполняется» иногда тоже ставят двоеточие, получая при этом еще более удивительную запись:
limf(x) = a < def > Уе>0 35>0 УхеБ,:
x *x0 f
0 < | x - x0 | < 5 : | f(x) - a | < e.
Символ двоеточия не должен использоваться в символической записи предложений для замены каких-либо слов, поскольку его нельзя однозначно ни прочитать, ни понять. Так, в последней символической записи двоеточие используется в разных смыслах. Логическое строение определяющего условия рассматриваемого определения в приведенных записях не отражено, поскольку неоднократно нарушены нормы использования логических символов.
Правильный вариант записи определения предела функции в точке таков:
lim f(x) = a < def > Ve > 0 35 > 0 VxeDj.(0 < | x - x0| < 5 i | f(x) - a| < e).
Именно последняя запись наглядно выявляет логическое строение этого определения (определяющего условия).
2. В курсе математического анализа используются также логические средства другого рода - дедуктивные средства: законы логической равносильности и правила вывода (методы доказательства), в соответствии с которыми строятся доказательства.
Часто доказательство какого-нибудь утверждения удобно свести к доказательству логически равносильного утверждения. Такой переход должен осуществляться в соответствии с законами логической равносильности, изучаемыми в педвузе позже, чем курс математического анализа, - на третьем году обучения в курсе математической логики. При изучении математического анализа (на первом и втором годах обучения) такое соответствие законам логики реализуется на основе логической интуиции.
Рассмотрим пример применения законов логической равносильности в курсе математического анализа.
Доказательство теоремы «Если в точке перегиба функции существует вторая производная, то она в этой точке равна нулю» сводится к доказательству следующего утверждения: «Если в какой-то точке вторая производная функции существует, но не равна нулю, то эта точка не является точкой перегиба этой функции» [3]. Здесь предложение заменяется логически равносильным ему предложением в соответствии со следующим законом:
(C & А) i B = (C & -В) i -А.
Отметим, что в этом случае и практически всегда в аналогичных случаях замена доказываемого предложения логически равносильным ему предложением происходит без каких-либо объяснений и ссылок на закон логики, в соответствии с которым эта замена произошла. Кроме того, не всегда фиксируются и используемые методы доказательства. Принято считать, что студенты понимают все логические переходы без каких-либо объяснений, на основе логической интуиции. Однако это предположение, к сожалению, не подтверждается многолетним опытом преподавания автора на математическом факультете одного из педвузов. Год от года все реже встречаются студенты, которые изначально обладают хорошей логической интуицией.
Законы логической равносильности и правила вывода изучаются в курсе математической логики [2]. Знание и понимание этих законов и правил (а также методов доказательства) позволяют студентам осознавать, на каком основании сделан тот или иной шаг доказательства, а также понимать суть ошибок, допускаемых в рассуждениях, 243 что особенно важно для будущих учителей математики. Поэтому считаем, что уже на первом курсе целесообразно ознакомить студентов с основными законами логики и наиболее важными методами доказательства (от противного, приведением к нелепости, разбором случаев).
3. Остановимся на одной из особенностей такого известного дедуктивного средства как метод доказательства от противного. Особенность этого метода заключается в том, что он служит одним из источников неэффективных доказательств теорем существования.
244
Многие доказательства теорем существования, то есть теорем вида «Существует объект, удовлетворяющий такому-то условию», в математическом анализе имеют неэффективный характер. Напомним, что эффективным доказательством теоремы такого вида называют доказательство, завершающееся построением объекта или, по крайней мере, способа получения этого объекта, а также доказательством того, что этот объект действительно удовлетворяет указанному условию. В противном случае доказательство теоремы существования называют неэффективным [там же].
Примерами теорем курса математического анализа, которые доказываются неэффективно (например, методом доказательства от противного), служат: теорема о существовании верхней и нижней границ непрерывной на отрезке функции; теорема о существовании наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции; теорема о существовании нуля непрерывной на отрезке функции, принимающей на его концах разные по знаку значения, и др. Доказательство этих теорем не завершается построением соответствующих объектов, а значит, не является эффективным.
К сожалению, преподаватели математического анализа обычно не обращают внимания на такую характеристику излагаемых доказательств как эффективность. В действительности, довольно легко объяснить студентам различие между эффективными и неэффективными доказательствами теорем существования. Если после такого объяснения регулярно отмечать, как доказана теорема существования - эффективно или нет, то это будет спо-
собствовать формированию конструктивного мышления студентов.
II. Перейдем к выявлению особенностей использования в курсе математического анализа средств теории множеств. Не будем останавливаться на использовании языка этой теории, поскольку это использование всеми осознается и значение языка теории множеств в математике всем известно. Рассмотрим другие, менее известные, но часто используемые средства теории множеств.
1. В математическом анализе широко используется так называемый принцип свертывания, позволяющий задавать множество с помощью точно описанного условия. Чтобы задать какое-либо множество, обычно пишут так: M = {х | Р(х)}, где Р(х) - некоторое условие. Задавая множество таким образом, по сути мы пользуемся принципом свертывания, который заключается в следующем: Пусть Р(х) - какое-нибудь условие. Считается существующим множество, состоящее из тех и только тех объектов, которые удовлетворяют условию Р(х). Символически принцип свертывания запишем так:
ЭM Ух (хеM ^ Р(х)).
Особенность использования принципа свертывания заключается в неосознанности этого использования. Действительно, сначала такой способ задания множества показывается преподавателем на примерах и не поясняется, на каком основании он используется. Затем, после многократного применения, использование этого средства входит в привычку. И только существенно позже, в курсе математической логики, студенты узнают, в чем заключается принцип свертывания и что используемый ими способ задания
множества опирается на этот принцип. Кроме того, студенты узнают, что его использование ведет к парадоксам в теории множеств. Например, этот принцип является причиной парадокса Рассела [2; 4]. Поэтому при построении аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля применяется ограниченный принцип свертывания, который позволяет избежать подобных парадоксов.
Ограниченный принцип свертывания получается из принципа свертывания добавлением к условию P(x) условия «х е Е», где Е - некоторое известное множество, существование которого обосновано надежными средствами. Символически ограниченный принцип свертывания запишем так:
ЗМУх (хеМ^ P(x) & хеЕ).
Заметим, что, задавая множество, мы часто пишем: М = {хеЕ | P(х)}, то есть используем именно ограниченный принцип свертывания.
Студенты, узнав, что принцип свертывания ведет к парадоксу Рассела, начинают понимать, насколько важно осознавать, какие средства используются в математике, правомерно ли использование тех или иных средств и каковы границы их использования. Однако кратко рассказать о принципе свертывания можно и в курсе математического анализа.
2. Другим теоретико-множественным средством, используемым в классическом математическом анализе, является абстракция актуальной бесконечности, согласно которой математические объекты рассматриваются как актуально завершенные и абсолютно статичные. Однако используется эта абстракция неявно и неосознанно, на основе классической теоретико-мно-
жественной интуиции, формируемой при традиционном обучении. Значительно позже, изучая проблемы оснований математики в курсе математической логики, студенты осознают сущность абстракции актуальной бесконечности и причины, по которым эту абстракцию критиковали многие известные математики. Более того, студенты узнают о новом для них подходе в математике - конструктивном, принципиально отличающимся от привычного для них теоретико-множественного подхода, и о том, что можно построить так называемую конструктивную математику, в которой вместо абстракции актуальной бесконечности принимаются абстракции потенциальной бесконечности и потенциальной осуществимости.
3. Теперь остановимся на следующем средстве теории множеств, используемом в доказательствах многих теорем математического анализа, - на аксиоме выбора. К теоремам, в доказательстве которых применяется аксиома выбора, относятся, например, теоремы об эквивалентности определений: точки прикосновения и предельной точки; предела функции в точке по Коши (на языке е-5) и по Гейне (в терминах пределов последовательностей); определенного интеграла на языке е-5 и в терминах пределов последовательностей интегральных сумм. Кроме того, к таким теоремам относятся теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности; теорема о нуле непрерывной на отрезке функции, принимающей на его концах разные по знаку значения; теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
245
246
Специфика использования этой аксиомы в курсе математического анализа состоит в том, что она обычно используется неявно и даже неосознанно. Факт применения аксиомы выбора в доказательствах теорем математического анализа не отмечается, само применение не выявляется. Позднее, в курсе математической логики, студенты узнают о парадоксальных результатах, полученных с помощью аксиомы выбора, а главное, узнают о независимости аксиомы выбора от остальных аксиом теории множеств и о невозможности обойтись без нее в доказательствах ряда известных математических теорем.
Сделаем следующие выводы.
Во-первых, в курсе математического анализа широко используются средства формальных логических языков. Однако далеко не всегда они используются с соблюдением соответствующих норм. Лишь корректное использование логических символов способствует однозначному и более глубокому пониманию записываемых с их помощью теорем и определений.
Во-вторых, многие логические и теоретико-множественные средства используются в математическом анализе неявно и неосознанно, на основе логической интуиции. Эти средства выявляются, точно описываются и изучаются в курсе математической ло-
гики, когда студенты уже приобрели немалый опыт доказательства и готовы к глубокому изучению тех средств, которые используют при доказательстве. Однако постепенно обучать студентов осознавать используемые при доказательстве средства (развивать дедуктивную рефлексию) целесообразно уже при изучении курса математического анализа, то есть на первом году обучения в вузе.
И, наконец, отметим, что разумное выявление логических и теоретико-множественных средств, используемых в курсе математического анализа, а также осознание студентами использования этих средств способствуют более глубокому усвоению содержания этого курса.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тимофеева И. Л. Некоторые замечания об использовании логической символики при обучении математике // Математика в школе. - 2005. - № 7. - С. 53-56.
2. Тимофеева И. Л. Математическая логика. Курс лекций: учебное пособие. - 2-е изд., перераб. - М.: КДУ, 2007. - 304 с.
3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Учебное пособие для студентов вузов: в 3 т. - Т. 1. - М.: Дрофа. - 2003. -704 с.
4. Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. - М.: УРСС, 2006.552 с. ■
