CC BY
8
Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2023.
№ 76. С. 11-17.
Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 2023. 76. pp. 11-17.
Научная статья УДК 164.3
doi: 10.17223/1998863Х/76/2
ПОЗНАВАЕМОСТЬ В ГИБРИДНОЙ ЭПИСТЕМИЧЕСКОЙ
ЛОГИКЕ
Евгений Васильевич Борисов
Институт философии и права СО РАН, Новосибирск, Россия, [email protected]
Аннотация. Формализация понятия познаваемости в эпистемической логике остается открытой проблемой. Проиетти предложил формализацию этого понятия в гибридной бимодальной логике первого порядка. Цель данной статьи имеет критический характер: я показываю, что понятие познаваемости, предложенное Проиетти, применимо только к немодальным пропозициям, поскольку в применении к модальным пропозициям оно дает контринтуитивные результаты.
Ключевые слова: познаваемость, эпистемическая логика, гибридная логика, de re, de dicto.
Для цитирования: Борисов Е.В. Познаваемость в гибридной эпистемической логике // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2023. № 76. С. 11-17. doi: 10.17223/1998863Х/76/2
Original article
KNOWABILITY IN TERMS OF HYBRID EPISTEMIC LOGIC
Evgeny V. Borisov
Institute of Philosophy and Law of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, Russian Federation, [email protected]
Abstract. The formalization of the notion of knowability in terms of epistemic logic is a serious problem even if a satisfactory formalization of knowledge is available. This has been clearly demonstrated, in particular, by the Fitch paradox. Recently, Carlo Proietti suggested a formalization of knowability in terms of a first-order hybrid epistemic logic (FHL). In the paper, I examine a slightly simplified version of FHL (the simplification does not affect the outcomes) that contains, in addition to the standard first-order modal vocabulary, a set of state variables (ranging, given a model, over possible worlds), two hybrid sentential operators js. and @s, and a term operator s:_ (in all the three hybrid operators s is a state variable). In FHL, the knowability of a proposition ф is expressed by a formula in which all terms and quantifiers occurring in ф are interpreted (given a model) de re, that is, with respect to the actual world. For instance, the knowability of (3x)P(x, a), where a is an individual constant, is expressed by \s.0\rK0\q.@,,(3x)@l(F(s:x, s:a)). If we evaluate the latter formula with respect to a possible world w, we interpret both (3x) and a with respect to w, that is, de re. I show that this approach yields intuitively correct results only when applied to nonmodal propositions, that is, propositions without alethic or epistemic modal operators. It does not work, however, when applied to propositions containing an individual constant or a quantifier in the scope of a modal operator. For instance, 0(3x)P(x) says, with respect to a possible world w, that in a possible world u that is alethically accessible from w, there is an object with the property P. It follows that the knowability of this proposition at w means that the quantifier should range over the domain of u, not w. But the formal representation of knowability suggested by Proietti makes the quantifier range over the domain of w, which makes it counter-intuitive. This shows that Proietti's approach provides just a partial solution to the problem.
© Е.В. Борисов, 2023
Keywords: knowability, Fitch paradox, epistemic logic, hybrid logic, de re, de dicto
For citation: Borisov, E.V. (2023) Knowability in terms of hybrid epistemic logic. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sotsiologiya. Politologiya - Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 76. pp. 11-17. (In Russian). doi: 10.17223/1998863Х/76/2
Введение
Понятие познаваемости представляет особую трудность для формализации средствами эпистемической логики: даже если мы нашли удовлетворительную формальную репрезентацию знания в эпистемической логике, мы сталкиваемся с новыми проблемами при попытке формализовать понятие познаваемости. Это показывает, в частности, парадокс Фитча, впервые сформулированный в [1] (см. обзор современных подходов к его решению в [24]). Карло Проиетти предложил формализацию понятия познаваемости в гибридной бимодальной логике первого порядка, которую он называл «first order hybrid modal logic», FHL1 [5]. Цель данной статьи имеет критический характер: я показываю, что понятие познаваемости, предложенное Проиетти, применимо только к немодальным пропозициям, поскольку в применении к модальным пропозициям оно дает контринтуитивные результаты. Ниже изложены синтаксис и семантика FHL, представлена формализация понятия познаваемости в FHL и показано, что эта формализация неприменима к модальным пропозициям.
Синтаксис и семантика FHL
Алфавит FHL содержит алфавит стандартной бимодальной логики, включающей алетическую и эпистемическую модальность, а также некоторые символы, специфические для гибридной логики. В алфавит стандартной бимодальной логики входят следующие категории символов: бесконечное счетное множество индивидных переменных (x, y, ...), бесконечное счетное множество индивидных констант (a, b, ...), бесконечное счетное множество и-местных предикатов для любого натурального n > 0 (P, Q, ...), логические союзы ~ и &, оператор возможности 0, эпистемический оператор K, квантор 3, скобки. (Другие логические связки и операторы могут быть добавлены посредством стандартных определений.) Символы языка FHL, характерные для гибридной логики, таковы: 1) бесконечное счетное множество переменных для возможных миров (s, t, ...), 2) сентенциональные операторы js. и @s,
2
где s - переменная для возможных миров .
Синтаксис и семантика FHL задаются следующими дефинициями. Терм FHL рекурсивно определяется следующим образом: x | a | s:t,
где x — индивидная переменная, a — индивидная константа, s - переменная для возможных миров, t — терм.
Формула FHL определяется следующим образом:
1 В [6] я предложил близкую по формальным характеристикам логику, основанную на гибридной логике Коцурека [7], и исследовал возможность ее использования для формализации понятия познаваемости.
2 Все перечисленные множества символов попарно не пересекаются.
P(ti, ..., tn) | s | ~ф | ф&у | Оф | Кф | |5.ф | @,ф | (Зх)ф,
где P - п-местный предикат (п - натуральное число и п > 0), t1, ..., tn - термы,
1
х - индивидная переменная, 5 - переменная для возможных миров .
Модель FHL. Модель FHL - это упорядоченная пятерка М = Я, Е, Б, 1>, где G - это непустое множество (множество возможных миров); Я - отношение алетической достижимости; Е - эпистемическое отношение достижимости (Я и Е суть бинарные отношения на G, при этом Я - это отношение эквивалентности, а Е рефлексивно); Б - доменная функция, назначающая каждому возможному миру непустое множество (домен); I - интерпретация констант и предикатов. I определяется следующим образом: пусть Б(М) - это объединение доменов всех возможных миров; тогда I отображает индивидные константы и возможные миры на элементы Б(М), а п-местные предикаты и возможные миры - на п-местные отношения на Б(М)п
Оценка переменных в модели. Оценка переменных в модели Я, Е, Б, 1> -это функция, отображающая множество индивидных переменных на Б(М), а множество переменных для возможных миров - на G.
Вариант оценки переменных. Пусть g - оценка переменных в модели М = Я, Е, Б, 1>, х - индивидная переменная, 5 - переменная для возможных миров, в 6 Б, w 6 G. Тогда g[elx\ - это оценка переменных в М, отображающая х на в, а все переменные, отличные от х, на g(x). Аналогично для g[wl5\.
Денотация в модели. Пусть М = <G, Я, Е, Б, 1> - модель, w - возможный мир в М, а g - оценка переменных в М. Тогда денотат терма t в М для w при g обозначается как w) и определяется следующим образом: 1) если t - индивидная переменная, то w) = g(t); 2) если t - индивидная константа, то
w) = w); 3) если t = 5:и, где 5 - переменная для возможных миров, а и - терм, то w) = 1(и, g(s)).
Истина в модели. Пусть М = Я, Е, Б, 1> - модель, w - возможный мир в М, а g - оценка переменных в М. Тогда истинность относительно М, w и g обозначается как || и определяется следующим образом:
М, w, g || Р(:ь ., :п) е.т.е. (если и только если) < w), ., Ig(tn, w)> е
1(Р, w);
М, w, g - 5 е.т.е. w = g(5);
М, w, g - ~ф е.т.е. неверно, что М, w, g || ф;
М, w, g - ф&у е.т.е. М, w, g || ф и М, w, g || у;
М, w, g - Оф е.т.е. М, и, g | - ф для некоторого и, такого что wRu;
М, w, g - Кф е.т.е. М, и, g | ф для каждого и, такого что wEu;
М, w, g - |5.ф е.т.е. М, w, g[wl5] || ф;
М, w, g - @5ф е.т.е. М, g(5), g || ф;
М, w, g - (Зх)ф е.т.е. М, и, g[elx] || ф для некоторого в 6 Б^).
1 Здесь описана версия Е^, упрощенная в следующих трех аспектах. 1) У Проиетти язык Е^ содержит функциональные термы, которые я здесь игнорирую. 2) Проиетти включает в язык Е^ номиналы - характерные для гибридной логики атомарные формулы, каждая из которых интерпретируется как истинная в одном и только одном возможном мире. Номиналы я тоже игнорирую. 3) Оператор аскрипции знания у Проиетти индексирован термом, т.е. выглядит как К Интуитивно К:ф означает, что денотат : знает, что ф. Используемую здесь упрощенную версию Е^ можно рассматривать как логику знания для одного агента. Перечисленные упрощения несущественны для дальнейшего: они позволяют сократить рассуждения, но не влияют на результат статьи.
Формализация понятия познаваемости в FHL
Чтобы формализовать понятие познаваемости в FHL, Проиетти определяет функцию перевода для негибридных формул, т.е. формул без гибридных операторов и термов вида s:t. Функция перевода - функция от негибридных формул к формулам - определяется относительно двух переменных для возможных миров. Обозначим функцию перевода для переменных 5 и r как ф, r]. Эта функция определяется рекурсивно следующим образом:
1. ф, r](P(ti, ..., tn)) = P(s:ti, ..., s:tn);
2. ф, r]( ф) = ~ ф, г](ф);
3. ф, г](ф&у) = ф, г](ф) & ф, r](y);
4. ф, г]((3х)ф) = @х(3х)@гф, ?](ф);
5. ф, г](0ф) = Ojq^[s, д](ф), где q — новая переменная для возможных миров;
6. ф, г](Кф) = K|q.o[s, q](ф).
Используя функцию перевода, Проиетти формализует тезис о познаваемости пропозиции ф следующим образом:
(Пф) js.0jr.Ka[s, г](ф)1.
Поясним мотивацию этого определения функции перевода и ее использования в (Пф) на двух примерах.
Пример 1. Рассмотрим пропозицию P(a), где P — одноместный предикат, a — индивидная константа. Тезис о познаваемости этой пропозиции в мире w гласит, что в некотором возможном мире, алетически достижимом из w, известно, что денотат а в w имеет свойство P. Или более детально: существует мир и, алетически достижимый из w, такой что во всех мирах, эпистемически достижимых из и, денотат а в w имеет свойство P. Здесь важно, что мы приписываем денотату a в w некоторое свойство в мирах, отличных от w. Эти истинностные условия можно выразить квазиформулой 0KP(aw), где aw - квазитерм, отсылающий к актуальному денотату а, т.е. к денотату а в w. Гибридный язык FHL позволяет вместо квазитерма aw использовать официальный терм s:a (вместе с оператором js., помещенным вне области действия ◊ и К): указанные истинностные условия имеет формула js.OKP(s.a). Эта формула эквивалентна js.Ojr.KP(s:a), поскольку в последней в области действия jr. нет ни одного вхождения r. При этом P(s:a) - это ф, r](P(a)). Таким образом, js.Ojr.KP(s:a), т.е. js.0jr.Ko[s, r]P(a), адекватно отображает тезис о познаваемости P(a), как и должно быть в свете (Пф). Этот пример показывает мотивацию первого пункта определения функции перевода: он позволяет «привязать» все термы рассматриваемой формулы к актуальному миру (т.е. к миру, в котором мы начинаем процесс истинностной оценки формулы), тем самым обеспечивая всем термам интерпретацию de re.
Пример 2. Тезис о познаваемости пропозиции (3x)P(x) в w гласит, что в некотором мире и, алетически достижимом из w, известно, что все объекты из домена w имеют свойство P. Опять же: начиная процесс эвалюации в w, мы интерпретируем квантор относительно эпистемических альтернатив и,
1 Данные здесь определение а и формулировка (Пф) несколько отличаются от оригинальных. Это обусловлено тем, что я, как отмечено выше, использую упрощенную версию FHL. В частности, у Проиетти оператор К индексирован термами, что отражается в шестом пункте определения а и в (Пф).
однако мы хотим, чтобы квантор пробегал по домену w. Выразим эти условия квазиформулой ОК(Зх)и, Р(х), где квазиквантор (Зх)„, пробегает по домену актуального мира независимо от того, относительно какого мира мы его интерпретируем. Эти истинностные условия выражает формула FHL |5.О|г.К@5(Зх)@гР(х). При оценке этой формулы в w происходит следующее: 1) [5. ассоциирует 5 с миром w, 2) О переносит нас в некоторый мир и, алети-чески достижимый из w, 3) [г. ассоциирует г с и, 4) К переносит нас в эпи-стемические альтернативы и, 5) @5 возвращает нас в w, 6) будучи в w, мы интерпретируем (Зх) на домене w, после чего 7) @5 возвращает нас в и, где мы оцениваем Р(х). В итоге мы получаем истинностные условия, которые хотели получить. Поскольку @5(Зх)@гР(х) эквавалентна @5(Зх)@гР(5:х), а последняя -это о[5, г]((Зх)Р(х)), тезис о познаваемости (Зх)Р(х) выражается формулой |5.О[г.Ко[5, г]((Зх)Р(х)), как и должно быть в свете (Пф). Это иллюстрирует мотивацию четвертого пункта определения функции перевода: он позволяет интерпретировать все кванторы, встречающиеся в ф, в актуальном мире, тем самым обеспечивая кванторам, как и термам, интерпретацию de ге.
Итак, смысл данной формализации познаваемости состоит том, что все термы и кванторы, фигурирующие в ф, в (Пф) получают интерпретацию de ге. Это обеспечивает интуитивно привлекательную репрезентацию познаваемости немодальных пропозиций, т.е. пропозиций, выражаемых формулами, не содержащими оператора возможности и оператора аскрипции знания.
Мое возражение против (Пф) состоит в том, что эта формализация познаваемости дает контринтуитивный результат применительно к модальным пропозициям. Рассмотрим, например, пропозицию, выражаемую формулой
О(Зх)Р(х). (1)
По определению функции перевода
ф, г\(О(Зх)Р(х)) = О[д.@5(Зх)@д(Р(5:х)). (2)
Применяя (Пф) к (1) с учетом (2), мы получаем следующую формализацию тезиса о познаваемости (1):
|5.О|г.КО|д.@5(Зх)@9(Р(5:х)). (3)
Однако истинностные условия (3) не совпадают с интуитивными истинностными условиями (1). В самом деле: (1) говорит, что в одном из возможных миров, достижимых из действительного, существует объект, имеющий свойство Р. Высказывая пропозиции, которые формализуются как (1), мы часто не предполагаем, что объект, о котором идет речь, существует в актуальном мире. Например, если бы мы высказали предположение «Кант мог бы иметь детей», мы утверждали бы, что в некотором возможном мире существует индивид, являющийся ребенком Канта, но при этом мы не предполагали бы, что этот индивид существует и в действительном мире, поскольку мы знаем, что в действительности у Канта детей не было. Еще один пример: говоря «однажды кто-то пробежит 100 м за 9 с», мы предполагаем, что тот, кто это сделает, будет существовать в будущем, но допускаем, что он еще не родился, т.е. сейчас еще не существует. (В этом примере оператор возможности имеет темпоральную интерпретацию, т.е. прочитывается как «однажды в будущем».) В обоих примерах квантор существования пробегает по области возможного мира, в который нас - при истинностной оценке (1) - переносит оператор возможности, т.е. в обоих примерах квантор имеет интерпретацию
de dicto. Однако нетрудно убедиться в том, что в (3) он имеет интерпретацию de re, т.е. пробегает по области действительного мира.
Аналогично дело обстоит с модальными пропозициями, содержащими индивидную константу, если она должна интерпретироваться de dicto. Рассмотрим, например, пропозицию ◊P(a). Пусть константа a является формальным эквивалентом определенной дескрипции «чемпион мира по шахматам», P означает «быть бразильцем», а оператор возможности имеет темпоральную интерпретацию. Говоря «однажды чемпионом мира по шахматам станет бразилец», мы не утверждаем, что нынешний чемпион мира по шахматам является бразильцем: мы это говорим о будущем чемпионе. Таким образом, интуитивный смысл данной пропозиции требует интерпретировать константу de dicto. Однако (Пф) представляет ее познаваемость формулой js.0jr.K0jg.(P(s:a)), в которой, как нетрудно проверить по определению истины, константа интерпретируется de re, т.е. относительно текущего момента.
Эти примеры показывают, что предложенная Проиетти формализация познаваемости интуитивно корректна только к немодальным пропозициям;
применительно к модальным пропозициям она дает контринтуитивные ре-
i
зультаты .
Заключение
Проиетти попытался дать единообразную формализацию познаваемости для всех пропозиций. Однако, как было показано в статье, его формализация применима только к немодальным пропозициям. Это обусловлено тем, что (Пф) предполагает интерпретацию de re для всех термов и кванторов, содержащихся в ф. Поэтому если интуитивный смысл ф требует, чтобы тезис о познаваемости этой пропозиции содержал интерпретацию de dicto для некоторых термов или кванторов в ф, предложенная Проиетти формализация познаваемости оказывается некорректной. Это показывает, что проблема интуитивно адекватной логической репрезентации понятия познаваемости остается открытой. На мой взгляд, эта проблема может быть решена на основе двух формализаций познаваемости - для модальных и немодальных пропозиций. В [8] я предложил формализацию понятия познаваемости, которая подходит для большинства модальных пропозиций, в том числе для приведенных выше контрпримеров для (Пф). Возможно, комбинация этой формализации и (Пф) могла бы оказаться продуктивной. Однако такого рода комплексные решения сопряжены с серьезными техническими трудностями, поэтому их исследование представляет собой отдельную задачу.
Список источников
1. Fitch F. A Logical Analysis of Some Value Concepts // Journal of Symbolic Logic. 1963. Vol. 28. P. 113-118.
2. Kvanvig J. The Knowability Paradox. Oxford : Clarendon Press, 2006.
3. FaraM. Knowability and the Capacity to Know // Synthese. 2010. № 173. Р. 53-73.
4. Brogaard B., Salerno J. Fitch's Paradox of Knowability // The Stanford Encyclopedia of Philosophy: https://plato.stanford.edu/entries/fitch-paradox. 2019.
1 Говоря «модальные пропозиции», я игнорирую пропозиции, содержащие модальный оператор, но эквивалентные немодальным пропозициям. Примером такой пропозиции является Р(а) & (Оф ^ ^ Оф), эквивалентная Р(а).
5. Proietti C. The Fitch-Church Paradox and First Order Modal Logic // Erkenntnis. 2016. Vol. 81. P. 87-104.
6. Борисов Е.В. Парадокс Фитча в свете гибридной логики // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2022. № 70. С. 39-47. doi: 10.17223/1998863X/70/3
7. Kocurek A. W. The problem of cross-world predication // Journal of Philosophical Logic. 2016. Vol. 45, № 6. P. 697-742.
8. Borisov E.V. Knowability without rigidity // Filosofija. Sociologija. 2021. Vol. 32, № 3. P. 194-202.
References
1. Fitch, F. (1963) A Logical Analysis of Some Value Concepts. Journal of Symbolic Logic. 28. pp. 113-118.
2. Kvanvig, J. (2006) The Knowability Paradox. Oxford: Clarendon Press.
3. Fara, M. (2010) Knowability and the Capacity to Know. Synthese. 173. pp. 53-73. DOI: 10.1007/s11229-009-9676-8
4. Brogaard, B. & Salerno, J. (2019) Fitch's Paradox of Knowability. In: Zalta, E.N. & Nodel-man, U. (eds) The Stanford Encyclopedia of Philosophy. [Online] Available from: https://plato.stanford.edu/entries/fitch-paradox
5. Proietti, C. (2016) The Fitch-Church Paradox and First Order Modal Logic. Erkenntnis. 81. pp. 87-104. DOI: 10.1007/s10670-015-9730-5
6. Borisov, E.V. (2022) Fitch's Paradox in Light of Hybrid Logic. Vestnik Tomskogo gosudar-stvennogo universiteta. Filosofiya. Sociologiya. Politologiya - Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 70. pp. 39-47. (In Russian). DOI: 10.17223/1998863X/70/3
7. Kocurek, A.W. (2016) The problem of cross-world predication. Journal of Philosophical Logic. 45(6). pp. 697-742. DOI: 10.1007/s10992-015-9389-z
8. Borisov, E.V. (2021) Knowability without rigidity. Filosofija. Sociologija. 32(3). pp. 194202. DOI: 10.6001/fil-soc.v32i3.4491
Сведения об авторе:
Борисов Е.В. - доктор философских наук, доцент, главный научный сотрудник Института философии и права СО РАН (Новосибирск, Россия). E-mail: [email protected]
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Information about the author:
Borisov E.V. - Dr. Sci. (Philosophy), docent, chief researcher, Institute of Philosophy and Law of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (Novosibirsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
The author declares no conflicts of interests.
Статья поступила в редакцию 15.10.2023; одобрена после рецензирования 20.11.2023; принята к публикации 13.12.2023
The article was submitted 15.10.2023; approved after reviewing 20.11.2023; accepted for publication 13.12.2023
