CC BY
32
УДК 53.082.22
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РАБОТЫ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ И ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА МЕЖДУ СЛОЯМИ ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ В РЕЗЕРВУАРЕ
Е.Н. Абросимов, А.Л. Шестаков
THE ACCURACY IMPROVING OF THE METHOD OF MEASUREMENT OF THE DENSITIES AND THE INTERFACE BETWEEN LAYERS OF TWO-LAYER LIQUID IN THE TANK
E.N. Abrosimov, A.L. Shestakov
Предлагается алгоритм повышения точности работы метода измерения плотностей и положения границы раздела между слоями двухслойной жидкости, основанный на применении фильтрации Калмана. Приводятся результаты моделирования работы предлагаемого алгоритма.
Ключевые слова: измерение плотности, измерение уровня, определение положения границы между слоями, фильтр Калмана.
The article proposes an algorithm of accuracy improving of method of measuring densities of two-layer liquid and interface position between layers, based on application of Kalman filtering. Simulation results of the proposed algorithm are given.
Keywords: density measurement, level measurement, position estimation of interface between layers, the Kalman filter.
Введение
Задача измерения плотностей двухслойной жидкости и положения границы раздела между слоями является распространенной в различных практических приложениях.
В работе [1] предложен метод измерения плотностей и границы раздела между слоями двухслойной жидкости в резервуаре, главным достоинством которого является применение всего двух датчиков давления для измерения как плотностей слоев, так и положения границы раздела между слоями. Одним из недостатков предложенного способа является отсутствие фильтрации шумов применяемых датчиков давления.
В процессе измерения в данных с датчиков будет неизбежно присутствовать шум, вызванный различными факторами. Для того чтобы повысить точность измерения, предлагается использовать фильтрацию с помощью рекуррентного алгоритма, основанного на методе фильтра Калмана [2].
1. Начальные условия
Рассмотрим резервуар с двухслойной жидко-
Абросимов Евгений Николаевич — ассистент кафедры информационно-измерительной техники ЮУрГУ; abrosimov@init.susu.ac.ru
Шестаков Александр Леонидович - д-р техн. наук, профессор, ректор ЮУрГУ; admin@urc.ac.ru
стью, которая занимает весь объем резервуара. Примем, что начало координат находится в верхней граничной плоскости резервуара (рис. 1).
На резервуаре закреплены два датчика давления £>5 и £)2.Датчик давления £)2 расположен у дна резервуара, а датчик £>г находится на уровне некоторого среднего значения, относительно которого колеблется положение границы раздела между слоями.
Abrosimov Evgeniy Nikolaevich - assistant lecturer of the Equipment for information and measuring department of SUSU; abrosimov@init.susu.ac.ru
Shestakov Aleksandr Leonidovich - PhD, professor, rector of SUSU; admin@urc.ac.ru
За счет колебаний границы раздела между слоями датчик попеременно оказывается то в верхнем слое и будет измеряться плотность р1; то в нижнем слое и будет измеряться плотность р2.
На рис. 1 заштрихованная полоса обозначает интервал, в котором колеблется граница раздела между слоями. Согласно [1] плотности слоев и положение границы раздела будут определяться
следующими зависимостями:
„ _ ^1~^атм.
Рі —
Р2
внх _ Р2-Р1 .
дШг-НіУ
_ Р2ВН2~Р2+Рхт
(1)
(2)
(3)
115 Я(Р2-Р1)
Из анализа погрешностей [1] следует, что наибольшее влияние шум в данных с датчиков давления будет оказывать на погрешность определения плотностей слоев, в то время как точность определения положения границы раздела будет в большей степени зависеть от разности плотностей. В связи с этим возникает задача восстановления с максимальной точностью плотностей слоев рг и р2 по данным с датчиков давления и02.
Определим связи между переменными и запишем их в матричном виде:
Рг = дн1 ’ Р1 + Рагм;
Рг = д(Н2 - Ях) ■ р2 + дНх ■ рг + Р*™, отсюда
ЧР% - Р*ш = дНг ■ Рг + 0 • р2;
= дН1-р1+д(Н2-Н1)-р2;
днг о 1 грп дЩ я(Я2-Яа)Пр2Г
Эта матричная запись справедлива в условиях отсутствия шумов.
Г1
[р2
р
1 атм
(4)
2. Стохастические уравнения, описывающие
ход технологического процесса
Для использования фильтра Калмана необходимо описать технологический процесс в виде стохастических дифференциальных или разностных уравнений, которые дают представление о нормальном ходе процесса. Отклонение от нормального хода процесса принимается случайным и считается шумом процесса.
Будем считать, что типичное поведение параметров р! и р2 - медленное изменение, приближенно линейное во времени. Так как измерения
производятся один раз в единицу дискретного
времени к, наши уравнения естественно записать как разностные (дискретные), используя подход, предложенный в работе [3] для определения плотности и уровня однослойной жидкости:
\Ргл ~ Ргл-г = Др1 _ ~
]„ — Лп РгЛ+1 ~ ^Рг.к
1р1,гс+1 Ргл — &Рг
-Рг.к-г + Ш1 ,к’ (5)
(Рг,к ~ Р2,к-1 = ^Р2 _ _
]„ — а — Лп Р2Д+1 — ^Ргл
Ф2Л+1 92,к — &Р2
—Р2,*с—а + ш2,к- (6)
Здесь индекс к нумерует дискретные моменты времени; ш1к и а>2,к — шумы процесса. В отсутст-
вие этих шумов переменные рх и р2 зависели бы от к строго линейно. К шумам процесса отнесем все факторы, вызывающие отклонения хода изменения величин р2 и р2 от линейности. Поскольку характеристики этих шумов могут быть описаны лишь приближенно, примем, что шумы 0)1к и ш2,к имеют нормальное распределение с нулевыми математическими ожиданиями и среднеквадратичными отклонениями стр1, ор2 соответственно.
Уравнения для р1к и р2к - это два линейных разностных уравнения второго порядка. Стандартная схема фильтра Калмана предполагает запись их в виде матричного уравнения первого порядка. Для этого составим систему:
( Ргл+г = 2 ■ Рхх — Р1,к-1 + «1>к;
Рі,к — Рі,к ~ 0 ' Рі,к-1 + 0 • и>г,к'> Р2,к+1 = 2 • р2,к ~ р2,к—1 + ы2,к'> Рг,к — Р2,к ~ 0 ’ Р2,к + 0 ' ш2,к-Запишем ее в матричном виде:
(7)
Рг.к+г 2-10 0 ■ Рг,к
Рг,к 10 0 0 Ргл-г
Р2,к+г 0 0 2 -1 Рг ,к
Р2,к 0 0 10- Р2Д-1
+
+
«Н,*
О ш2 ,к О
Введем обозначения: Рі,к+1 Рі,к Р2,к+1 Р 2,к
X,
/с+1 —
времени к+1;
А =
•2 -1 0 0
1 0 0 0
0 0 2 -1
-0 0 1 0
(8)
вектор состояния в момент
матрица эволюции
вектора состояния Хк в отсутствие шумов; Рг,к
времени к\
=
Рі,к-1
Р2,к
Рг,к-1
«1 ,к О ш2,к О
вектор состояния в момент
- вектор шума процесса.
В результате система (7) в матричном виде запишется следующим образом:
X,
к+1
= А-Хк + }№ъ.
(9)
3. Уравнения, описывающие процесс измерения
Уравнение (9) - это уравнение процесса. Добавим к нему уравнение измерения, полученное из выражения (4) с использованием введенного вектора Хк и с учетом шумов измерения:
(Ргл - Ратм = дН1 • Р1 .к + 0 • Р1.Л-1 +
+0 ' р2,к + 0 ■ р2,к—1'
I Р2,к - Ратм = дНг ■ Ргл + 0 ■ Ргл-г +д(Н2 - Нг) ■ р2,к + 0 • ргл-1.
+
(10)
^1,к ^атм днг о о о
J*2,k ^аггм- £нг0д(н2 -Яі)о.
'Хи +
+
Ь?2,кУ
Введем следующие обозначения:
(П)
Ук =
рения;
С =
*1 ,к *атм
Р2,к ~ Рат
вектор результатов изме-
матрица наблю-
дНг О О О ЗНгО д(Н2-НО 0.
дения;
[VI *1
р ' I - вектор шума измерения.
В итоге система (10) в матричном виде запишется следующим образом:
Гк = С-Хк + Ук. (12)
В результате получим динамическую стохастическую систему:
ГХк+1=А-Хк + 1Ук;
c-xk + vk
(13)
4. Синтез фильтра Калмана
На первом этапе синтеза фильтра зададим начальные значения параметров вектора состояния Х0 и матрицы ковариации Р0.
Гр1,о1
Pi,о Рг.о Р2,0
(14)
- оценка вектора состояния в начальный момент времени.
Этот вектор СОСТОИТ ИЗ величин р10 и р2д). вычисленных согласно формулам (1) и (2) по данным датчиков давления в начальный (нулевой) момент времени, то есть
Pi,о Рг,о
____Pi,о Лп
9 Hi P2,0~P1,0
(15)
(16)
д(Нг-Н-0
Примем, что в начальный момент времени в резервуаре находились оба слоя жидкости, граница раздела хотя бы 1 раз перешла через верхний датчик давления.
Определимся с начальными значениями элементов ковариационной матрицы ошибок оценивания вектора состояния в начальный момент времени. В общем виде ковариационная матрица Р0 определяется выражением [2]:
Р0=М [(*„ - Х0)(Х0 - *0)Г], (17)
где Х0 - истинное значение вектора состояния в начальный момент времени. Элементами вектора Х0 — Х0 будут являться среднеквадратические отклонения погрешностей определения плотностей слоев в начальный момент времени. Тогда ковариационная матрица Р0 запишется в виде
0 0 0
Pi,о
о
о
о
Pi,о
о
о
Р2.0
о
о
о
.2
0 Р2,0
(18)
где Ор10 и 0р2 о~- априорные значения дисперсий плотностей в начальный момент времени.
С ростом числа итераций к матрица ковариации вектора состояния Рк быстро стабилизируется и перестает зависеть от своего начального значения.
Задав начальные значения, можно осуществить прогнозирование ожидаемых значений матриц фильтра Калмана. Прогнозируем вектор состояния Хк по Хк_1 и ковариационную матрицу Рк
по Рк-1-
Хк+1=А-Хк; (19)
Рк+г=А-Рк-АТ + <?, (20)
где Q - ковариационная матрица шума процесса, которая характеризует влияние шумов друг на друга, то есть характеризует отклонение процесса от линейности. Эта матрица определяется следующим образом:
Q = M[WkWkT] =
aPi,k 0 0 0
0 0 0 0
0 0 °Р2 л 0
. 0 0 0 0
(21)
где о;
Pl ,к
и о;
Р2 ,к
дисперсии погрешностей опре-
деления плотности слоев. Так как шумы процесса ш1к и ш2,кнезависимы, все недиагональные элементы матрицы Q равны нулю.
Следующим этапом синтеза фильтра является корректировка прогнозируемых значений. Для этого необходимо вычислить оптимальную матрицу усиления фильтра (коэффициент Калмана)[2]: ик = Рк ' Ст ■ [С ■ Рк ■ Ст + Я]-1, (22)
где К - ковариационная матрица шума измерения, которая характеризует влияние погрешностей датчиков давления друг на друга,
Я = м[укукт] = ^ 0
о
где о\ и 02
<*2
(23)
дисперсии погрешностей датчиков давления.
Обновим оценку для среднего значения вектора состояния по новым результатам измерения Ук:
Xk=Xk + Uk-[Yk-C-Xk]
(24)
и оценку для матрицы ковариации:
Рк=Рк-ик-С-Рк. (25)
В процессе работы фильтра с увеличением числа итераций к матрицы Рк и ик стабилизируются, что говорит о сходимости фильтра Калмана. Установившиеся значения этих матриц будут зависеть от матриц Я, () и А.
5. Численное моделирование работы
алгоритма и фильтра Калмана
Предложенный алгоритм повышения точности работы метода измерения плотностей слоев и границы раздела между слоями двухслойной жидкости был смоделирован в пакете Ма^аЬ 7.7.0 с начальными условиями:
- высота резервуара 500 см;
- первый датчик погружен на глубину 250 см;
- второй датчик погружен на глубину 350 см;
- граница раздела находится на глубине 250 см;
. Рь кг/м'
Рис. 2. Плотность верхнего слоя
Время
Рис. 3. Плотность р2 нижнего слоя
Время
Рис. 4. Положение границы раздела Яф между слоями
- плотность верхнего слоя 200 кг/м и остается постоянной;
- плотность нижнего слоя 1000 кг/м3 и за время моделирования уменьшается до 900 кг/м3;
- время моделирования 5000 с;
-предполагалось, что погрешности датчиков
представляют собой белый шум с амплитудой 2 % от предельного значения показания датчиков;
-положение границы раздела слоев задавалось выражением
Яф = 10(sin(0,003t) + 0,4cos(0,004t)), где /- время, с.
На рис. 2-4 представлены графики результатов моделирования, где сплошные линии - это заданные функции изменения параметров.
По результатам моделирования определили, что
- СКО плотности pj верхнего слоя сгр =1,59 kt/mj;
- СКО плотности pj верхнего слоя с использованием фильтра Калмана = 0,46 кг/м3;
- СКО плотности р2 нижнего слоя 0р2= 10,71 кг/м5;
- СКО плотности р2 нижнего слоя с исполь-
зованием фильтра Калмана сг£2 =2,97 кг/м3;
-СКО положения границы раздела он -
= 6,29 10“3 м;
-СКО положения границы раздела, рассчитанное по отфильтрованным плотностям рх и р2, =6,24 10"3 м.
Значения СКО 0Pl, aPz и аН[р рассчитывались по простому методу, предложенному в [1]. Для всех параметров смещение математического ожидания отсутствует.
Результаты проведенного моделирования показывают, что применение рекуррентного алгоритма, основанного на фильтре Калмана, приводит к существенному повышению точности измерения.
Заключение
Предложен алгоритм повышения точности работы метода измерения плотностей слоев и границы раздела между слоями двухслойной жидкости, основанный на применении фильтрации Калмана. Приведены результаты моделирования
предложенного алгоритма, которые подтверждают его работоспособность и более высокую точность по сравнению с расчетами этих параметров прямым методом.
Литература
1. Абросимов, Е.Н. Измерение плотностей и границы раздела между слоями двухслойной жидкости в резервуаре / Е.Н. Абросимов, А.Л. Шестаков // Статья в данном вестнике.
2. Браммер, К. Фильтр Качмана-Бьюси. Детерминированное наблюдение и стохастическая фильтрация /К. Браммер, Г. Зиффлинг. - М.: Наука, 1982.
3. Применение фильтра Катана в задаче измерения уровня и плотности жидкости с помощью двух датчиков давчения / О.Л. Ибряева, И.Г. Корепанов, А.С. Семенов, А.Л. Шестаков // Информационно-юмерительная техника. - 2007.
Поступила в редакцию 18 ноября 2010 г.
