Повышение точности оценки механического напряжения металла при магнитном контроле стального изделия методом регуляризации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ISSN 1998-4812

585

раздел ФИЗИКА

УДК 620.179.14

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНКИ МЕХАНИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕНИЯ МЕТАЛЛА ПРИ МАГНИТНОМ КОНТРОЛЕ СТАЛЬНОГО ИЗДЕЛИЯ МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

© Т. Р. Загидулин1, Р. В. Загидулин2*, А. Ф. Аминев3, К. О. Осипов3

1ООО «НТЦ «Спектр» Россия, Республика Башкортостан, 450077 г. Уфа, ул. Кирова, 89.

2Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

3ООО «Газпром Трансгаз Уфа» Россия, Республика Башкортостан, 450099 г. Уфа, ул. Сипайловская, 11.

Тел/факс: +7 (347) 234 02 12.

*Етай: [email protected]

Рассмотрен математический метод оценки механического напряжения металла по магнитным диагностическим параметрам на основе вариационного принципа. Получены аналитические выражения и оптимальные значения настроечных параметров, необходимых для получения устойчивых оценок механического напряжения.

Ключевые слова: механическое напряжение металла, признак классификации, функционал, стабилизатор, параметр регуляризации.

Введение

При контроле напряженно-деформированного состояния (НДС) металла в процессе технической диагностики стальных изделий и металлоконструкций наиболее широко применяются методы и технические средства, основанные на измерении структурно-чувствительных магнитных параметров металла [1-9].

Технические средства магнитного контроля НДС металла являются однопараметровыми приборами, так как основаны на измерении одного магнитного параметра металла. Для оценки механических напряжений стальных изделий и металлоконструкций на основе показаний технических средств используются эмпирические зависимости магнитных параметров от механического напряжения металла в одноосном НДС. Эти зависимости предварительно получают в результате механических испытаний стандартных образцов, изготовленных из соответствующих марок сталей.

Получаемые в результате оценки НДС металла обычно имеют значительную погрешность из-за влияния случайных помех, являются неустойчивыми, что характерно для однопараметровых методов контроля. Задача оценки механических напряжений металла стальных изделий и металлоконструкций на основе экспериментально измеренных структурно-чувствительных магнитных параметров является обратной физической задачей (для их решений присуща большая неустойчивость), которая относится к классу некорректных задач математической физики [10, 11].

Применение многопараметрового подхода для оценки НДС металла стальных изделий, основанный на комплексном применении разных магнитных параметров и технических средств магнитного контроля, позволяет несколько снизить погрешность

оценки механических напряжений металла, однако его практическая реализация связана с определенными сложностями уровне [12, 13].

Для оценки НДС металла стальных изделий и металлоконструкций можно использовать математический метод, основанный на вариационном принципе, который хорошо зарекомендовал себя при решении обратных задач вихретоковой дефектоскопии и дистанционной магнитометрии [14, 15].

Метод расчета

При решении задачи оценки НДС стальных изделий и металлоконструкций по напряженности поля остаточной намагниченности металла следует учесть два фактора:

- НДС металла описывается лишь одним признаком классификации - напряженностью поля остаточной намагниченности;

- характер зависимости признака классификации НДС металла от механического напряжения определяется соотношением магнитного и механического состояния металла.

Зависимость напряженности поля остаточной намагниченности металла деформированного стального изделия (остаточная намагниченность создается при установившемся НДС) от эффективного механического напряжения в плоском НДС металла описывается аналитическим выражением [16, 17]:

Н (а ,а )=Н 5 Г а , г х у г0 эф

0 5

где

эф

2 2

= 1о + о 2 пп о х у " х у

(1)

- «эффективное» механи-

ческое напряжение, Иг0 - напряженность поля остаточной намагниченности при отсутствии механических напряжений, - магнитострикция насыщения, - намагниченность насыщения, ц0 - магнитная

постоянная, N - размагничивающий фактор оста-точно намагниченного участка металла, п - коэффициент Пуассона.

Зависимость напряженности поля остаточной намагниченности металла деформируемого стального изделия (остаточная намагниченность создается лишь однократно до приложения нагрузки) от эффективного механического напряжения в плоском НДС описывается аналитическим выражением: н ,

Н (а ,а ) = -г х у

г0

1+-

1 Н . 5 г0

и Т¥ Н . М2 эф 0 И с0 5

(2)

где Нс0 - коэрцитивная сила металла при отсутствии механического напряжения, Т¥2 - топографическая функция от координат и линейных размеров оста-точно намагниченной области металла.

Для оценки механического напряжения металла стального изделия используем функционал, основанный на определении уклонения измеренных и расчетных величин признака классификации НДС металла [10, 11]:

VX(а)]= * Р([ахд^а,

(3)

где

^ д}

:[[Х(а) -Hr (а)]] 2

+ У [

!1Х(о)2 + q-

Ж(а)" да

- непрерывная функция от механического напряжения металла а, признака классификации НДС металла Х(а) и его первой производной, ц\>0, д2 >0 -постоянные коэффициенты, у - параметр регуляризации, ав - предел прочности металла [18].

Для дискретных признаков классификации

в функцио-

да )

нале (3) определяется следующим образом:

, , - [ лт I- п .(а III 2 _

да )

ЗХ(а)121

НДС металла Х(а) функция 0 ^ д

Х, ^ 1 = [[Х(а)-Пг1 (а)]] 2

(4)

+ У

9а

где Н - /-ое измеренное значение напряженности поля остаточной намагниченности металла.

Функция (4) является сглаживающим функционалом, который вводится в методе регуляризации, где первое слагаемое есть невязка между измеренными и расчетными значениями признака классификации НДС металла Х(а), второе слагаемое - стабилизатор [10, 11].

В функции (4) необходимо определить оптимальный параметр регуляризации у, который в точке минимума функционала (3) должен обеспечивать уклонение оценки механического напряжения металла относительно его точного значения, не превышающего заданного положительного числа 3>0, то есть, выполнение условия:

<8,

при

Х(а) - П

<е Х(а).

В функции (4) перейдем к относительной переменной - параметру механического напряжения металла а=а/ав (ав- предел прочности металла):

= [[Х(а) -П (а)]] 2 +

Р(К х, д)'

(5)

-у(а

^Х(а )2

+q.

ЗХ(а)"

да

В точке экстремума функционала (3) его вариация равна нулю: 3 V[х(а)] = 0.

Для выполнения этого равенства, подынтегральная функция функционала (3) должна удовлетворять уравнению Эйлера [19]:

- дХ д( а,Х,—) да

дХ

- дХ дF( а, Х,—) д да' .(6)

---=- =0

да дХ

д

да

Подставляя в уравнение (6) функцию (5), для параметра регуляризации

получаем неоднородное линейное дифференциальное уравнение 1 порядка: дХ(а) ду(а,е)

q2 ~д дТ:- , (7)

^ Х(а) у(а,е) - [Х(а) -Пг1 (а)]

= 0

где учтено, что для признака классификации НДС ) = 0.

металла д2Х(а)_

да2

Решение дифференциального уравнения (7) зависит от вида функциональной зависимости признака классификации Х(а). Для деформированного стального изделия (1) признак классификации НДС металла можно определить следующим образом: Х (а) = Нг (а)- Нг0 = с1 а,

где С1 - постоянный множитель.

Решением дифференциального уравнения (7) является выражение:

у (е, а) = —[ А ехр ( - е] , (8)

q

2

где А - постоянная интегрирования, ц=ц1/ц2,.

Параметр регуляризации (8) должен удовлетворять необходимым условиям:

а) должен быть положительным у(е, а) > 0;

¡=:ч 11т у(е, а) = 0

б) е ^ 0 .

Из условия а) следует, что значение постоянной интегрирования в формуле (8) должно удовлетворять неравенству:

2

А > е ехр (-

q а 2

-) = к е'

т

а -а

2

+

2

]

где к - постоянный множитель.

Тогда параметр регуляризации (8) определяется аналитическим выражением:

I \ £ q а2

Y(£ а) = — [ k exp ( ——) - 1] 2

(9)

где значение множителя

q а

kQ> £ exp (-

Определенный таким образом параметр регуляризации сглаживающего функционала (5) удовлетворяет необходимому условию б).

С учетом формул (5), (9) сглаживающий функционал для оценки НДС металла деформированного стального изделия принимает вид:

р(а)=[х(а) - Н 1 2 +

(10)

..2Л

+ £[

k0 exP

q а

2

- 1]

2 1

а 2 +-q

Область определения функционала (10) соответствует механическому напряжению металла, удовлетворяющего условию 0 < а < ав.

Сглаживающие функционалы (4), (5) применимы также для оценки НДС металла деформируемого стального изделия (2), если его признак классификации НДС металла определить следующим образом:

Н

Х(а) =

г0

/С- 1 = а' H (а) 2

(11)

где с2 - постоянный множитель. В этом случае сглаживающий функционал для оценки НДС металла деформируемого стального изделия принимает вид: Б(а)= [[х(а) - Н_]] 2 +

+ £ [

k0 exP (

г

( 2 ^ q а

~2

1]

(12)

c2([ а 2 +1)

Область определения функционала (12) соответствует механическому напряжению металла, удовлетворяющего условию 0 < а < аТ (аТ - предел текучести металла)

Следует заметить, что сглаживающие функционалы (10), (12) применимы для оценки механического напряжения металла и по другим магнитным параметрам, допускающим зависимость типа (11).

Оптимальное значение множителя к0 в сглаживающих функционалах (10), (12) определяется на основе численных экспериментов по поиску глобального минимума, при котором признаки классификации НДС металла возмущаются в заданном интервале погрешности измерения напряженности поля остаточной намагниченности е по формуле

Х(а) = Н (а)(1± е). г

Результаты и их обсуждение

На рис. 1 показана зависимость множителя к0 в сглаживающих функционалах (10), (12) от пара-

метра механического напряжения металла а, установленная в результате численных экспериментов для стали 09Г2С (относительная погрешность |е|< 0.2, предел прочности ав~ 450 МПа, е = 0.0855 мТл, С2 = 5.535) [7, 8].

1.4

1.3

1.2 -

1.1

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 а"а

Рис. 1. Зависимость множителя к0 от параметра механического напряжения металла.

Величина множителя к0 с увеличением механического напряжения металла монотонно уменьшается примерно по линейному закону, при этом разница между значениями к0, полученными для деформированного и деформируемого стального изделия является незначительной.

Нарис. 2 показаны зависимости параметров регуляризации от параметра механического напряжения металла для деформированного и деформируемого стального изделия в сглаживающих функционалах (10), (12).

У

/

3 / /

2 .. 1

Рис. 2. Зависимость параметра регуляризации сглаживающего функционала от параметра механического напряжения металла 1 - q = 0.3, 2-0.5, 3-1.

Видно, что с увеличением параметра механического напряжения металла параметр регуляризации сглаживающего функционала монотонно возрастает, при этом для малых величин относительного коэффициента q характер этой зависимости приближается к линейному.

c

На рис. 3 показаны зависимости величины сглаживающих функционалов (10), (12) от параметра механического напряжения металла, полученные при параметре регуляризации у(е,а) Ф 0 и при значении параметра у(е,а)=0, при измерении напряженности поля остаточной намагниченности металла с относительной погрешностью 20%.

F(a)

40

\ /

х /

\\ /

\

Рис.3. Зависимость сглаживающего функционала деформированного стального изделия от параметра механического напряжения металла 1 - у(е,а) Ф 0, 2 - у(е, а) = 0, 8 =20%.

Точка минимума сглаживающего функционала соответствует оцениваемому значению параметра механического напряжения металла, равного а* = 0.56 ед. (погрешность его оценки равна 0.1%) (кривая 1 на рис. 3). Точка минимума сглаживающего функционала без стабилизатора (параметр регуляризации у(е,а) = 0) соответствует значению параметра механического напряжения металла, равного а* = 0.67 ед. (погрешность его оценки составляет около 20%) (кривая 2 на рис. 3).

Видно, что минимизация сглаживающих функционалов (10), (12) позволяет существенно повысить точность оценки механического напряжения

металла при измерении напряженности поля остаточной намагниченности со значительной погрешностью.

В табл. 1, 2 приведены результаты оценки параметра механического напряжения металла а*, полученные путем минимизации функционала (10) с параметром регуляризации и без него (значение параметра у=0) в области упругой и пластической деформации стали 09Г2С.

При численных расчетах с минимизацией сглаживающего функционала относительная погрешность измерения напряженности поля остаточной намагниченности металла менялась в интервале е = ±20%, относительный параметр д=0.5. В сглаживающих функционалах (10), (12) бралась усредненная величина множителя к0 , при этом:

- в области упругой деформации металла (0< а < аТ) величина к0=1.2683;

- в области пластической деформации металла (ат<а< ав) ко = 1.105.

Из данных табл. 1 видно, что в интервале погрешности измерения напряженности поля остаточной намагниченности металла е=±20% наибольшая погрешность оценки механического напряжения металла, полученной на основе минимизации сглаживающего функционалов (10), (12) с оптимальными параметрами, не превышает 5%.

Наибольшая погрешность оценки механического напряжения металла, полученной на основе минимизации сглаживающего функционала без стабилизатора (параметр регуляризации 7=0), составляет 20% (табл. 2).

Выводы

1. Предложен метод оценки механического напряжения при магнитном контроле напряженно-деформированного состояния (НДС) металла по напряженности поля остаточной намагниченности, основанный на вариационном принципе.

2. Получены признаки классификации НДС металла для деформированного и деформируемого

Оценка параметра механического напряжения металла а*

(Y Ф 0)

Таблица 1

а, МПа 20 50 100 150 250 300 350 400

а а* 5а*, %

0.044 0.111 0.222 0.333 0.556

0.0434-0.0452 0.109-0.113 0.219-0.224 0.333-0.334 0.538-0.566 -2.3... +1.7 -1.9... +1.7 -1.4... +0.8 0.0... +0.2 -3.2... +1.9

0.667 0.778 0.89

0.665-0.668 0.764-0.812 0.856-0.91 -0.3. +0.2 -1.8. +4.4 -3.7. +4.6

Оценка параметра механического напряжения металла а* (у = 0)

Таблица 2

а, МПа 20 50 100 150 250 300 350 400

а 0.044 0.111 0.222 0.333 0.556 0.667 0.778 0.89

а* 0.0356-0.0533 0.089-0.133 0.178-0.267 0.267-0.4 0.444-0.667 0.533-0.8 0.622-0.933 0.711-1.07

5а*, % -20. +20 -20. +20 -20. +20 -20. +20 -20. +20 -20. +20 -20. +20 -20. +20

стального изделия, а также соответствующие аналитические выражения для параметров сглаживающих функционалов, которые обеспечивают получение устойчивых оценок механического напряжения при магнитном контроле НДС металла.

1.

ЛИТЕРАТУРА

Венгринович В. Л., Бусько В. Н., Цукерман В. Л. // Дефектоскопия. 1982. №9. С. 87-89.

2. Венгринович В. Л., Цукерман В. Л., Денкевич Ю. Б. // В мире НК. 2005. №5. С. 36-39.

3. Попов Б. Е., Левин Е. А., Котельников В. С. и др. // Безопасность труда в промышленности. 2001. №3. С. 25-30.

4. Безлюдько Г. Я., Мужицкий В. Ф., Ремезов В. Б. // Контроль. Диагностика. 2003. №6. С. 6-14.

5. Загидулин Р. В., Загидулин Т. Р., Прохоров В. М. // Контроль. Диагностика.2012. №5. С. 12-19.

6. Прохоров В. М., Онучин Б. А., Загидулин Р. В. // Экспозиция Нефть Газ. 2010. №4/Н (10). С. 44-48.

7. Загидулин Р. В., Загидулин Т. Р. // Контроль. Диагностика. 2011. №7. С. 12-16.

8. Загидулин Р. В., Загидулин Т. Р. // Контроль. Диагностика. 2011. №8. С. 14-20.

9. Бердник М. М., Александров Ю. В., Агиней Р. В. // Контроль. Диагностика. 2011. №1. С. 22-26.

10. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 432 с.

11. Василенко Г. И., Тараторин А. М. Восстановление изображений. М.: Радио и связь, 1986. 304 с.

12. Мужицкий В. Ф., Султанов М. Х., Загидулин Р. В., Макаров П. С. // Контроль. Диагностика. 2006. №8. С. 17-22.

13. Мужицкий В. Ф., Загидулин Р. В., Султанов М. Х., Макаров П. С. Измерительно - диагностический комплекс для оценки НДС элементов нефтепродуктопровода на основе магнитных диагностических признаков // Материалы 14 Международной конференции и выставки «Современные методы и средства неразрушающего контроля и технической диагностики», 16-20 октября 2006 года, Ялта. С. 57-59.

14. Загидулин Р. В., Загидулин Т. Р., Коннов В. В. и др. // Контроль. Диагностика. 2015. №1. С. 23-32.

15. Загидулин Р. В., Загидулин Т. Р., Коннов В. В. и др. // Контроль. Диагностика. 2015. №1. С. 13-24.

16. Загидулин Р. В., Загидулин Т. Р., Аминев А. Ф. // Нефтегазовое дело. 2016. т.14. №1. С. 225-233.

17. Загидулин Р. В., Загидулин Т. Р., Аминев А. Ф. // Нефтегазовое дело. 2016. т.14. №1. С. 234-243.

18. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1989. 624 с.

19. Андреева Е. А., Цирулева В. М. Вариационное исчисление и методы оптимизации. М.: Высшая школа, 2006. 583 с.

Поступила в редакцию 10.07.2016 г.

APPLICATION OF REGULARIZATION METHOD FOR IMPROVED MAGNETIC EVALUATION OF MECHANICAL STRAIN OF METAL PRODUCTS

© T. R. Zagidulin1, R. V. Zagidulin2*, A. F. Aminev3, K. O. Osipov3

1Spector

89 Kirov St., 450054 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

3Gazprom Transgaz Ufa 11 Sipailovskaya St., 450099 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 234 02 12.

*Email: [email protected]

Results obtained in evaluation of stress-strain state of metal products by one parameter have significant error caused by random factors and prone to fluctuations. A problem of metal strain evaluation on experimentally measured structure-sensitive magnetic parameters is inverse physical problem, which belongs to incorrect problems of mathematical physics. A mathematical method of description the evaluation of metal mechanical strain by magnetic means is based on variation principle (regularization method). As a sign of metal stress-strain state classification, the variation of residual magnetic field strength value measured above surface of metal is used. Metal stress-strain state evaluation is carrying by minimizing of smoothing functional. An optimal shape of regularization factor is found on empirical dependence of stressstrain state classification signs on mechanical strain in conditions of linear stress-strain state. It was found that stress-strain state evaluation of metal preloaded and metal under loading process could be carried out from one type of functional. In order to obtain stable evaluations of mechanical strain, we should find signs of metal stress-strain state classification. At the same time, the optimal values of general functional parameters remains constant.

Keywords: mechanical strain of metal, sign of stress-strain state classification, smoothing functional, stabilizer, regularization factor.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Vengrinovich V. L., Bus'ko V. N., Tsukerman V. L. Defektoskopiya. 1982. No. 9. Pp. 87-89.

2. Vengrinovich V. L., Tsukerman V. L., Denkevich Yu. B. V mire NK. 2005. No. 5. Pp. 36-39.

3. Popov B. E., Levin E. A., Kotel'nikov V. S. i dr. Bezopasnost' truda v promyshlennosti. 2001. No. 3. Pp. 25-30.

4. Bezlyud'ko G. Ya., Muzhitskii V. F., Remezov V. B. Kontrol'. Diagnostika. 2003. No. 6. Pp. 6-14.

5. Zagidulin R. V., Zagidulin T. R., Prokhorov V. M. Kontrol'. Diagnostika.2012. No. 5. Pp. 12-19.

6. Prokhorov V. M., Onuchin B. A., Zagidulin R. V. Ekspozitsiya Neft' Gaz. 2010. No. 4/N (10). Pp. 44-48.

7. Zagidulin R. V., Zagidulin T. R. Kontrol'. Diagnostika. 2011. No. 7. Pp. 12-16.

8. Zagidulin R. V., Zagidulin T. R. Kontrol'. Diagnostika. 2011. No. 8. Pp. 14-20.

9. Berdnik M. M., Aleksandrov Yu. V., Aginei R. V. Kontrol'. Diagnostika. 2011. No. 1. Pp. 22-26.

10. Arsenin V. Ya. Metody matematicheskoi fiziki i spetsial'nye funktsii [Methods of mathematical physics and special functions]. Moscow: Nauka, 1974.

11. Vasilenko G. I., Taratorin A. M. Vosstanovlenie izobrazhenii [Restoration of images]. Moscow: Radio i svyaz', 1986.

12. Muzhitskii V. F., Sultanov M. Kh., Zagidulin R. V., Makarov P. S. Kontrol'. Diagnostika. 2006. No. 8. Pp. 17-22.

13. Muzhitskii V. F., Zagidulin R. V., Sultanov M. Kh., Makarov P. S. Materialy 14 Mezhdunarodnoi konferentsii i vystavki «Sovremennye metody i sredstva nerazrushayushchego kontrolya i tekhnicheskoi diagnostiki», 16-20 oktyabrya 2006 goda, Yalta. Pp. 57-59.

14. Zagidulin R. V., Zagidulin T. R., Konnov V. V. i dr. Kontrol'. Diagnostika. 2015. No. 1. Pp. 23-32.

15. Zagidulin R. V., Zagidulin T. R., Konnov V. V. i dr. Kontrol'. Diagnostika. 2015. No. 1. Pp. 13-24.

16. Zagidulin R. V., Zagidulin T. R., Aminev A. F. Neftegazovoe delo. 2016. t.14. No. 1. Pp. 225-233.

17. Zagidulin R. V., Zagidulin T. R., Aminev A. F. Neftegazovoe delo. 2016. t.14. No. 1. Pp. 234-243.

18. Darkov A. V., Shpiro G. S. Soprotivlenie materialov [Mechanics of materials]. Moscow: Vysshaya shkola, 1989.

19. Andreeva E. A., Tsiruleva V. M. Variatsionnoe ischislenie i metody optimizatsii [Calculus of variations and optimization methods]. Moscow: Vysshaya shkola, 2006.

Received 10.07.2016.