CC BY
8
УДК 550.835
A.B.Давидов, В.А.Давыдов, Р.Н.Орлов
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ ЯДЕРНОФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИЙ ГРУППИРОВКИ ПОЛЕЗНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Физической величиной, регистрируемой в процессе ядерногеофизических измерений, обычно является частота сигналов на выходе детекторов ионизирующего излучения в интегральном или дифференциальном режиме амплитудной селекции, значения которой пропорциональны плотности потока излучения в определенных энергетических интервалах спектра излучения. Действительные значения измеряемой величины, как статистически распределенной по своей природе, могут быть определены только путем усреднения информации (актов регистрации ионизирующих частиц) по интервалам времени. Объем информации (зарегистрированное количество сигналов) определяет статистическую погрешность измерений, а временной интервал усреднения, обеспечивающий нормативную статистическую погрешность, производительность измерений. Для методов непрерывной регистрации информации во времени (или в пространстве) скользящее временное окно экспозиции измерений (с учетом скорости перемещения детектора) определяет также временную (пространственную) разрешающую способность интерпретации результатов измерений, при этом эффективность регистрации информации и производительность измерений обычно регламентированы условиями измерений и техническими средствами их исполнения. Типичный пример- каротаж скважин, где возможности увеличения интенсивности потоков информации ограничены параметрами эффективности регистрации и чувствительности детекторов, которые зависят от их размеров (объемов) и, в свою очередь, ограничены размерами скважинных приборов (диаметрами скважин).
Ниже рассматривается возможность повышения точности и производительности непрерывных ядернофизических измерений, для наглядности, применительно к условиям измерений в варианте скважинного гамма-опробования, хотя в такой же мере она может быть использована в авто- и аэрогамма-съемке, при радиометрическом обогащении руд, в рентге-норадиометрии и других методах ядерной геофизики.
В общем случае полезная (голевая) информация может присутствовать в нескольких энергетических интервалах спектра излучения. Рабочими интервалами измерений обычно считаются участки спектра, где полезная информация присутствует в "чистом" виде либо в смеси с помехами (фоном), значение которых может быть учтено при обработке результатов измерений. Так, например, при гамма-опробовании пород на содержание естественных радионуклидов (EPH) регистрируется излучение с энергией более 250-300 кэВ, представленное в основном первичными и однократно рассеянными квантами, плотность потока которых пропорциональна массовой доле EPH в породах. Плотность потока излучения в низкоэнергетическом интервале спектра (20-250 кэВ, в основном многократно рассеянное излучение) также зависит от .«лассовой доли EPH, но эта зависимость является параметрически связанной с эффективным атомным номером излучающе-поглощающей среды в области детектора, вариации которого по стволу скважины могут приводить к большой погрешности интерпретации результатов измерений. Между тем плотность потока полезной (относительно массовой доли EPH) информации в интервале 20-250 кэВ много выше, чем в интервале более 250 кэВ, особенно при регистрации излучения сцинтилляционными детекторами малых объемов, которые имеют повышенную чувствительность именно к низкоэнергетической части спектра излучения.
Задача статистической группировки информации в потоках сигналов в общей и наиболее простой форме может быть сформулирована следующим образом. Полезная информация присутствует в двух статистически независимых потоках сигналов (в двух неперекрывающихся интервалах спектра излучения). В первом потоке сигналов, условно- основном, полезная ин-
формация присутствует в "чистом" виде: плотность потока сигналов пропорциональна ог ляемой физической величине. Во втором потоке, условно-дополнительном, на полезную формацию наложено влияние дестабилизирующих факторов, значение которых неиз! При отсутствии дестабилизирующих факторов коэффициент корреляции средних знан плотностей потоков в этих двух потоках сигналов постоянен и близок к 1. Для снижения тистической погрешности измерений требуется осуществить извлечение полезной ин< ции из дополнительного потока сигналов и ее суммирование с основным потоком.
Обозначим потоки, а равно и частоты основного и дополнительного потоков а индексами пит (импульсов в секунду), связь потоков по частотам индексом х = ш Определению подлежит частота потока п. Значение х может изменяться за счет вл» дестабилизирующих факторов на поток шив общем случае представляет собой случг величину, распределенную по определенному закону с плотностью вероятностей Р(х), л матичсским ожиданием X. и дисперсией D„.
На основе теоремы Байеса [4,6] плотность вероятностей распределения частоты п измеренному за единичный интервал t числу отсчетов сигнала N определяется выраже)
[41:
PN(n) = Р(п) Pn(N)/P(N), (1)1
Pn(N) = (nt)N e"m/N!, (2)
P(N)= JPn(N) P(n) dn, (3)
где P(n)- априорная плотность вероятностей частоты n, Pn(N)- апостериорное распредй ние вероятностей числовых отсчетов N (закон Пуассона). Принимая в дальнейшем в качс искомой величины значение z=nt и подставляя (2) и (3) в (1), получаем:
P(z) = P(n) zN e-«/J P(n) zN e*r dn. (4)]
При неизвестном распределении Р(п) последнее принимается равномерно расп] ленным от 0 до оо, при этом из (4) следует.
z=Dt=N+l, . (5)
6t2 = Dt/z2= 1/(N+1). (6)
Измерения в потоке m позволяют дать оценку распределения Р(п). Так, если за тот же интервал времени t в допол1готельном потоке получен отсчет М, то можно записать:
РмМ= íx^-P(x)e-"dx. (7)1
(х) М! I
При равномерном распределении Р(х) от 0 до оо для отсчета М равновероятно любое значение z, т.е. эффект от измерений в потоке ш отсутствует. Однако по исходным условиям задачи в потоке m обязательно присутствие полезной информации, а, следовательно, и существование, как минимум, определенных границ распределения Р(х) от х„иП > 0 до х,^ << ос и среднего значения X по пространству измерений, при этом из выражения (7) следует, что наиболее вероятное значение z», "априорное" для потока п по измерениям в потоке ш, должно быть равно: •
Za= (М+1)/Х. (8)
При статистической независимости величин х и М относительная средняя квадратиче-ская погрешность определения z* по отсчету М:
502=5М2+5Х2. (9)
Отсюда дисперсия распределения значений z,:
Da= (DM-f (М+1)25х2)/Х2 = D(M)/X2. (10)
где значение дисперсии D^ = М+1 определяется статистикой отсчетов в потоке m при x=const, значение (М+1)25х2 = Dxm представляет собой дисперсию значений М за счет флюктуации величины х, а сумма D(M) = DM+Dxm опреде.\яет полную дисперсию отсчетов М в потоке ш.
Влияние Р(х) на форму распределения PM(z) сказывается в его "растягивании" по координате z, при этом решение интеграла (7) в первом приближении может быть представлено в виде:
Рм(г) « Ь е-Ч (И)
Для данного распределения (с учетом (8)):
Za=a/b. (12)
Dxa = a/b^, (13)
а = (M+l)z/(DaX2) = (M+122/D(M), (14)
Ь= (М+1)/(ЭаХ) = (M+1)X/D(M). (15)
Значение а в (14) принимается целочисленным. Выражение (11) может быть принято для распределения (4) в качестве априорного распределения вероятностей Р(п), при этом:
PN(z) = (Ы-1) ^V+W-in ' е-^О. (16)
Отсюда математическое ожидание и дисперсия z:
г= (Ы+а)/(Ы-1), • (17)
D¿= (N+a)/(b+l)2. • (18)
С использованием выражений (14) и (15):
NDM)+M+1)2 Рга *а
W+Di+DH) fc +D ) afe+D )' uy;
a za a za
p. = D(M) DHHH^f = Dm . (20)
[Ш +1)*+D H ) Г fe +D Г
3 Z Э
6г2 = 1/(N+(M+1)2/D(M)) = V(N+z,2/De). (21)
Сравнение выражений (19-21) и (5-6) позволяет дать оценку эффекта использования дополнительной информации.
1. При X => const имеет место 5Х => 0, Dim => Он дисперсия отсчетов в потоке ш определяется только статистикой потока:
D(M) ==> DM = M+lf z = (N+M+1)/(X+1),
6X2=> l/(N+M+l) <5^= 1/(N+1), (22)
k = 6N2/5t2= (N+(M-1)2/D(M)]/(N+1) =s> 1+M/(N+1), что соответствует определению z по двум измерениям и эффект использования дополнительной информации максимален. Так, при М> N иМ^ N в целом по пространству измерений: к 2 и погрешность измерений уменьшается в к,/Г2»1.4 раза.
2. В оби;ем случае Dxm * 0, при этом D(M) > Dm и положительный эффект снижается. В пределе: 6Х => со, D^ => ce, D(M) ж, к 1. z N при öz , т.е. положительный эффект полностью вырождается. Во всех остальных случаях k > 1 и 5Г < Отсюда следует, что при наличии полезной информации в дополнительном потоке сигналов положительный эффект в той или иной мере всегда имеет место.
3. Положительный эффект тем больше, чем больше значение x=m/n и меньше значения отсчетов N=nt и величина бх. Отметим, что положительный эффект увеличивается именно в тех случаях, когда особенно остро ощуирется недостаток информации: при малых значениях плотности потока излучения и/или экспозиции измерений.
Возможны два способа реализации изложенного зыше: непосредственно п процессе измерений методом статистической группировки потоков информации в реальном
масштабе времени (СГПИ) или методом статистической регуляризации полезной инс ции (СРПИ), зарегистрированной в виде временного (пространственного) распределе» параллельных массивах отсчетов.
Как следует из выражения (19), для практического использования информации дополнительных интервалов спектра излучения необходимо установить значение X и дис сию Э(М), причем, исходя из задания последней по выражению
Э(М) = Эм+М^х2, (23]
должно быть известно значение 5Х - относительной средней квадратической флюктуации чины х.
Применительно к СРПИ определение значений X и 6Х по зарегистрированным си вам данных не представляет затруднений как в целом по пространству измерений, так щ виде распределений в скользящем окне усреднения данных. Последнее эквивалентно при« нию Одп, 0 для текущей точки обработки данных по информации сс ближайших окрс< стей и позволяет производить максимальное извлечение полезной информации из доп< тельных потоков сигналов, если частотный спектр распределения величины х по прострг измерений много меньше частотного спектра полезного сигнала. Отметим, что информация распределении х также может иметь практическое значение (в частности, при опробовании с дополнительным потоком сигналов в низкоэнергетическом диапазоне спе> излучения- для оценки эффективного атомного номера горных пород).
Что касается аппаратных способов реализации СГПИ в реальном масштабе врем< то их сущность заключается в статистической (близкой к статистической) норм и рог выборке сигналов из дополнительного потока и их суммировании с основным потоком с» лов с заданием условий выборки по отношению частоты следования сигналов в потоках. Пс гая для непрерывного режима измерений М+1=М, перепишем выражение (19) в следую! виде:
2 = N + (М^Х-М)МХ/(МХ + 0(М)). (24)
Умножим левую и правую части выражения (24) на нормировочный коэффици« размножения выходного потока К=1+1*:
г= К-2= К+ЯЫ+(МХ-Ы)ШХ/(МХ+0(М)). (25)
Заменим поток выборкой сигналов из потока ш:
ЯЫ = РвМ, (26)
где Рв - вероятность выборки сигналов из потока т. Если вероятность выборки сигналов пс держи вать равной значению
РВ= К/Х, (27)
то при этом будет иметь место
М/Х-Ы = РвМ/Я-Ы => 0, (28)
и соответственно для выражения (25) имеем:
(М/Х-Ы)КМХ/(МХ+Э(М)) => 0, (29)
Ъ = Ы+РвМ => Ы+Ш. (30)
При статистической независимости величины х от частоты потоков пит приведенные выражения действительны при определении значения X как в целом по пространству измерений, так и для скользящих окон текущих значений по интервалам предшествующих измерений. Действительно и обратное заключение: если по определенному интервалу измерений выражение (28) обращается в нуль, то установленная вероятность выборки соответствует условию (27). На этом принципе может проводиться аппаратная реализация СГПИ с автоматической адаптацией к условиям измерений: управление процессом выборки импульсов из потока ш и направление их на суммирование с потоком п по сигналам обратной связи с устройства, следящего за обращением в нуль выражения (28).
Отметим особенности аппаратной реализации СГПИ с автоматической адаптацией пол условия измерений.
Значение вероятности выборки Рв не может быть больше 1. Отсюда из (26) следует, что для любых интервалов измерений должно выполняться условие М £ ЯЫ, а соответственно во всему пространству измерений Х{ ^ Я, чем и обуславливается выбор коэффициента Я. Значение коэффициента Я принципиально ограничивает степень положительного эффекта СГПИ (кош 1+11), в отличие от СРПИ, где такого ограничения не имеется.
Относительная статистическая погрешность измерений выходного потока Ъ соответствует выражению (21) при условии постоянного значения величины Рв, т.е. при установке значения Рв по среднему значению величины х в целом по пространству измерений. При автоматической адаптации под условия измерений значение вероятности Рв ЯХ^ = Я также является статистически флюктуирующей величиной с дисперсией распределения без учета изменений действительного значения х):
Е)р = Я2(п+ш)п/(гаЛ*), _ (31)
где Т- интервал усреднения информации при определении Х|. Соответственно, дисперсия и сг»едняя квадратическая погрешность текущих отсчетов Z:
Ог = Эы+РвОм+М^р = Ы-г РвМ+М2Ор, (32)
5Х2 = (Ы+РвМ+М2Ор)/(Ы+РвМ)2. (33)
Положительный эффект возрастает при увеличении значения Т:
к = К2/(К+Я2(п+т)СшТ). (34)
5ж2иш=» 1/(Ы+РвМ) приТ=5>оо. (35)
В общем случае, с учетом средней квадратической ошибки прогнозирования значений X; для текущих точек измерений в интервалах ^ по значениям X; в предшествующих интервалах при Т >
02= Ы+РвМ+М^Эр+Рв2^2). _ (36)
Формирование значения Рв на основе информации по средним значениям Xj интерзалов измерений, предшествующих текущим, определяет СГПИ как динамическую систему с соответствующей постоянной времени реакции на изменение условий измерений. Учитывая, что, во-первых, для любой точки пространства измерений должно выполняться условие т > пЛ. и, во-вторых, увеличение интервала Т приводит к возрастанию времени реакции на изменение условий измерений, значение Т целесообразно ограничивать величиной порядка (5т 10) значений текущих экспозиций. Чем меньше пространственная частота Найквиста распределения х по отношению к распределению п, тем большее значение Т допустимо.
Реализацию систем СГПИ может значительно облегчить чисто практическое ограничение целевой задачи: получение максимального положительного эффекта в экстремально неблагоприятных условиях производства измерений (при низких значениях регистрируемой плотности потока излучения, при высокой скорости измерений) с вырождением положительного эффекта по мере снижения статистической погрешности измерений в основном потоке. Так, например, если при скважинном гамли-опробовании статистическая погрешность измерений основного потока сигналов в зонах с повышенной интенсивностью излучения снижается до 2-3%, то ее дальнейшее уменьшение не имеет практического смысла, т.к. основная погрешность каротажной радиометрической аппаратуры обычно не превышает 5%.
Использование данного целевого ограничения позволяет применить формирование параметра Рв не в скользящем окне временного или пространственного усреднения информации, а по определенному зарегистрированному объему предшествующей информации, т.е. с автоматической вариацией интервала усреднения информации и постоянной регулирования Рв в зависимости от частоты потоков сигналов, при этом объем информации формирования Рв может задаваться с учетом характера вариаций величины X и допустимого значения динамической погрешности измерений.
Для реализации такой возможности преобразуем выражение (28) по интервалу усреднения I к виду:
Рвпи/Я-пН-<2 = (37)
Рв = пЯ/ш — (38)
q=>Q при t => ос,
где Q- срсд}{ий уровень смещения числового эквивалента сигнала обратной связи системы - автоматического регулирования вероятности выборки Р„ при котором обеспечивается полнение равенства (38), Ц- коэффициент пропорциональности преобразования цифр сигнала АРВ в сигнал Рв- Дифференциальное уравнение для системы АРВ:
dq/dt = n-mq/nR. (59)]
Решение дифференциального уравнения при начальных условиях t = 0 и q = (переходная функция АРВ):
q = nR(n/m) [l-exp<-^R>]. (40)
Рв = R(tVm) [l-exp^"mtVR^] = R(n/m) fl-exp^)]. (4!)|
Как видно из этих выражений, значение сигнала обратной связи АРВ пропорцис отношению (n/m) частот потоков, а постоянная времени АРВ т=цЯ/т прямо пропор: нальна значению коэффициента преобразования ц при обратной пропорциональности от чения частоты дополнительного потока ш, равно как и, с учетом (38), прямо пропорцис на текущему значению сигнала обратной связи q при обратной пропорциональности от чения частоты основного потока п. Первое полностью эквивалентно второму при (n/m) const и q=nRn/m => Q. В первом приближении, с использованием выражения (31) и э> валентности значения статистических флюктуации при Т«2т для скользящего прямоуго/ временного окна и окна интенсиметра с экспоненциальной переходной функцией, для сительных флюктуаций значения Р, получаем:
6р2= (n+m)/(2nRn)= (n+m)/(2qm). (42)
Выражение (42) действительно для прямого измерения 2т-интенсиметром отноше» (n/m) и является максимальной оценкой. Для более точной оценки следует учитывать, что в данном случае интенсиметр является устройством с отрицательной обратной связью по цеп* АРВ, что несколько уменьшает значение флюктуаций. Точная оценка может быть проведена с использованием формулы Кэмпбелла для дисперсии случайной величины x(t), образованной сложением импульсов пуассоновского потока [5], раздельно для потока п при m= const * потока m при rv= const, с последующим сложением квадратов относительного среднего квад-ратичеосого значения флюктуации. Так, для схемы, приведенной ниже, получено значение 6--*(R+l)m/(2^nR2).
При выбранном для пространства измерений значении коэффициента R й (m/n)rrjn с использованием выражения (42) параметры системы АРВ (коэффициент ц и среднее значение Q для средней по пространству величины отношения n/m) могут устанавливаться по» заданное значение допустилшх флюктуаций вероятности выборки сигналов Рц:
М (l+(m/n)Bm)/(2R5p2). (43)
В процессе измерений АРВ осуществляет непрерывную адаптацию под текущие условия измерений (пт => q, тт mR, Рв => q/ц) с регулированием текущего значения Pg по объему информации q=(n/m)nR=nt предшествующего интервала измерений путем соответствующего изменения постоянной времени интегрирования этой информации в зависимости от изменения частот потоков сигналов. При n/m => const последнее имеет абсолютный характер: 5р=> const, т (1/п+1/ш)/(25р2).
Следует отметить, что как для СГПИ, гак и для СРП И, применительно к скважи иному гамма-опробованию с извлечением дополнительной информации из низкоэнергетической части спектра условия достаточно точной реакции на изменения параметра Xj по стволу скважины являются весьма благоприятными, т.к. основной фактор вариации значений X - эффективный атомный номер среды, изменяется в небольшом диапазоне с низкой пространственной частотой вариаций, причем в зонах расположения активных пород, где требуется наиболее высокая точность интерпретации результатов измерений и возможны значительные изменения атомного номера пород, за счет узеличения плотностей потоков излучения постоянная времени АРВ будет существенно уменьшаться, а пространственная разрешающая спо-
янная времени АРВ будет существенно уменьшаться, а пространственная разрешающая способность измерений соответственно увеличиваться. Аналогичные условия характерны, как правило, и для других методов ядерной геофизики.
Рис. 1. Базовая функциональная схема СГПИ: 1 - реверсивный счетчик импульсов, 2 - блок формирования сигнала выборки импульсов, 3 - схема выборки импульсов, 4 - счетчик-делитель частоты на R, 5 - блок суммирования потоков илшульсов.
Базовая функциональная схема реализации СГПИ приведена на рис.1. Схема содержит реверсивный счетчик импульсов 1, на вход суммирования которого подаются импульсы основного потока п, а на вход вычитания- импульсы дополнительного потока ш, предварительно проходящие через схему выборки импульсов 3 и счетчик-делитель частоты следования импульсов 4 с коэффициентом пересчета R
Информация о состоянии счетчика 1 (сигнал q) с выходов счетчика подается на блок формирования сигнала выборки импульсов 3. В простейшем случае [11 этот блок может представлять собой пороговое устройство (по коду числа Q), открывающее схему 3, однако выборка в этом случае имеет характер, близкий к статистическому, только при достаточно малых различиях частоты потоков п и m/R (порядка n<m/R<1.3n). По мере роста отношения m/n независимость выборки от илшульсов потока п в такой схеме вырождается и требуются дополнительные устройства адаптации под текущие условия измерений [2,3]. В общем случае блок 3 выполняется в виде пересчетной схемы с регулируемым коэффициентом пересчета импульсов потока m в интервале 0<Рв<1 по значению кода q с выхода счетчика 1 (например, с использованием статистических пересчетных схем, выполненных в виде генератора случайных кодов со схемой формирования сигнала выборки очередного импульса из потока m путем сравнения на больше-меньше текущих кодов с выхода счетчика 1 и с выхода генератора кодов).
Импульсы основного потока п и импульсы выборки из потока т, частота которых равна Pßm=Rn, поступают на вход блока 5 суммирования потоков сигналов. Интенсивность потока импульсов на выходе блока 5 равна г=п+Рвт=(1+Я)п. Блок 5 может содержать пересчетную схему с коэффициентом K=(l+R), при этом выходной поток будет приводиться к масштабу основного потока п и появляется возможность синхронного переключения коэффициентов пересчета схем 4 и 5 под различные условия измерений, при этом установка оптимального значения коэффициента R может быть переведена в режим автоматической с управлением по текущему значению (в определенном интервале) информационного кода схемы 1. Альтернативное решение- подача на вход суммирования схемы 5 потока импульсов с выхода схемы 4, при этом частота потока z будет всегда в 2 раза больше потока п.
Попутно отметим, что при выводе информации q=nR(n/m) в цифровом коде со счетчика 1 данная схема может выполнять функции универсального цифрового интенсиметра: средней частоты импульсов (n-var, m-const от генератора тактовой частоты), среднего временного интервала между импульсами (m-var, n-const) и отношения частот n/m двух статистически распределенных потоков илшульсов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ал. СССР N 671531. Устройство радиометрических измерений плотности потока руюгцих частиц/А. В.Давыдов. - 1979.
2. Ал. СССР N 708810. Способ радиометрических измерений при каротаже с устройство для его осухцествления/А.В.Аавыдов. - 1979.
3. Ал. СССР N 717680. Устройство умножения интенсивности статистически рас го потока импульсов/А.В.Давидов. - 1979.
4. Голъдансхнй В.И., Куценхо АЛ., Подгорецкмй МИ. Статистика отсчетов при ре ции ядерных частиц.- М.: Физматтиз, 1959. - 412 с-
5. Григорьев Б.А. м др. Электронные методы ядерно-физического эксперимента. Энергоатомиэдат, 1988. - 336 с
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и ров.- М.: Наука, 1984. - 83: с
