ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ OFDM МОДЕМОВ НА ОСНОВЕ МОДИФИКАЦИИ СИГНАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПОДНЕСУЩИХ ГРУППОВОГО СИГНАЛА Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

B. И. Бобровский

доктор технических наук, доцент

ПАО «Информационные телекоммуникационные технологии»

C. С. Латыпова

ФГАОУ ВО «СПбПУ»

А. К. Скворцов

ПАО «Информационные телекоммуникационные технологии»

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ OFDM МОДЕМОВ НА ОСНОВЕ МОДИФИКАЦИИ СИГНАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПОДНЕСУЩИХ ГРУППОВОГО СИГНАЛА

АННОТАЦИЯ. В работе представлен способ повышения эффективности OFDM модемов на основе модификации сигнальных конструкций поднесущих группового сигнала, каждая из которых имеет шестнадцати позиционную квадратурную амплитудную манипуляцию (КАМ-16). В статье показано, что повышение эффективности поднесущих с КАМ-16 осуществляется на основе максимизации минимального евклидового расстояния между сигнальной конструкции (СК) [1, 2]. Приведены точные формулы вероятности ошибки на бит и представлен сравнительный анализ потенциальной помехоустойчивости традиционных «квадратной» СККАМ-16 и оптимизированной по критерию максимума минимального евклидового расстояния СК — «круглой» КАМ-16 в натуральном манипуляционном коде (МК) и МК Грея. В работе показано, что оптимизация СК КАМ-16 способствует повышению потенциальной помехоустойчивости ее приема и позволяет снизить требования к отношению сигнал/шум более чем на 1 дБ.

Способ построения СК «круглой» КАМ

На рис. 1 показано исходное расположение сигнальных точек, соответствующее традиционному способу формирования сигнальной конструкции квадратурной амплитудной манипуляции и их смещение при применении способа формирования «круглой» КАМ-16 [1, 2].

Предложенный способ оптимизации СК КАМ-16 не связан с применяемым МК. На рис. 1 в качестве примера представлен МК Грея, при котором двоичный код соседних сигнальных точек отличается в одном бите. Порядок следования битов слева направо соответствует номерам информационных битов, манипулирующих

синфазную иисх и квадратурную uiL составляющие, т. е. первый бит слева является первым информационным битом, второй — вторым информационным битом и т. д. Точками на рис. 1 показаны положения сигнальных точек исходной КАМ конструкции. Пунктирными окружностями на рис. 1 обозначены положения сиг-

нальных точек оптимизированной (далее «круглой») КАМ-16. Стрелочками с треугольными указателями показываются направления перемещения сигнальных точек традиционной КАМ-16 в сигнальную конструкцию «круглой» КАМ-16. Стрелочками с заостренными указателями обозначены вектора сигнальных точек. Начало и конец каждого такого вектора обозначены большими латинскими буквами.

На рисунке рис. 2 показана СК «круглой» КАМ-16 в МК Грея, полученная в результате оптимизации по критерию максимума минимального евклидового расстояния между сигнальными точками. Положения сигнальных точек определяется манипуляцией векторов

Ыа = аЫисх , ЫЬ = ЬЫисх , Ыс = СЫисх . На рис. 2 если данные вектора откладываются на синфазной

-I -I -1

оси, то они обозначаются Ыа , Ыь и Ыс . Если на

-Q -Q -Q

квадратурной оси — то ыа , ыь и ыс .

Значения коэффициентов а, Ь и с определяются в пределах, выбираемых при выполнении

Рис. 1. Исходное расположение сигнальных точек, соответствующее известному способу формирования сигнальной конструкции квадратурной амплитудной манипуляции и их смещение при применении предлагаемого способа

Рис. 2. Сигнальная конструкция «круглой» КАМ-16 (оптимизированная по критерию максимума минимального евклидового расстояния между сигнальными точками)

критерия максимума минимального евклидового расстояния между сигнальными точками [1, 2]:

а > 1; Ь > —; — < с < 3——, причем выбранные зна-

3 3 3

чения данных коэффициентов должны удовлетво-

2 2 4

рять одновременно условиям: (а -1) + (Ь -1) > —;

(а - с )2 + (Ь - с )2 > -; а2 +Ь2 < 2.

Коэффициенты a, b и c получены в [1]:

a = А Ц + 3 «1.36603

c =

1 + >/2 '

0,41421:

b = sj 2 - a2 =J1 « 0.36603. (3)

(1) (2)

1 ои »

Fc(x) = ,— [е 2 dt — дополнение интеграла

^ X

Лапласа до единицы.

Вероятность ошибки на бит традиционной КАМ-16 в МК Грея определяется формулами (5) [3].

РтрГ[ош] = 2(ртрГр1[ош] + РтрГр3[ош]), (5а)

РтрГр1[ош] = ^

С г

Fc

V v

L h 2 1 + Fc Uh

, (56)

трГр3

[ош] =

2(РтрГр3[ош / 's = 0] + РтрГр3[ош / Г3 = 1]) , (5в)

РтрГр3[ош / Г3 = 0] =

Потенциальная помехоустойчивость СК традиционной («квадратной») КАМ-16

2 E

Пусть hb — отношение сигнал/шум,

числено равное отношению максимальной энергии СК КАМ-16 к односторонней спектральной плотности белого шума, а прием осуществляется по критерию минимум вероятности ошибки на групповой символ (min Pe). Тогда в канале с постоянными параметрами и белым шумом вероятность ошибки на бит традиционной КАМ-16 в натуральном МК можно представить формулами (4) [3].

Ртр н[ош] = 2 ((рн1[ош] + Ртр н 3[ош]), (4а)

Ртрн1[ош] =1

с f Fc V v

3^/h 2 | + Fc (hb 2| |, (46)

Ртр н 3[ош] =

Fc| Ih,2 | + 3Fc|^Ih,2 |-2FcUh

, (4в)

где Ртрн1[ош] и Ртрн3[ош] — вероятности ошибок соответственно первого и третьего битов в СК КАМ-16 при натуральном МК*;

* В виду симметрии СК КАМ-16 при натуральном МК вероятности ошибок первого и третьего битов соответственно равны вероятностям ошибок второго и четвертого битов.

= Fc

I-Fc

-Ж

Ртр Гр 3 [ош / '3 = 1] = Fc () + Fc

(5г)

ЫК I, (5д)

где РтрГ1[ош] и РтрГ3[ош] — вероятности ошибок соответственно первого и третьего битов в СК КАМ-16 при МК Грея**; Р^ Г3[ош / г3 = 0] и РфГ3[ош / Г3 = 1] — вероятности ошибок третьего бита в СК КАМ-16 при условии, что передавались соответственно г3 = 0 и г3 = 1.

Графики вероятности ошибки на бит при натуральном МК и МК Грея в зависимости от максимального отношения сигнал/шум кб представлены на рис. 3.

Как видно из (4б) и (5б) и графиков на рис. 3, вероятности ошибок первого (второго) битов совпадают. Вероятность ошибки третьего (четвертого) битов при натуральном МК больше, чем при МК Грея.

Потенциальная помехоустойчивость СК «круглой» КАМ-16

Прием СК КАМ-16 повышенной помехоустойчивости предусматривает компенсационные алгоритмы, в соответствии с которыми правило оценивания двоичных символов записывается в виде [4]:

** В виду симметрии СК КАМ-16 при МК Грея вероятности ошибок первого и третьего битов соответственно равны вероятностям ошибок второго и четвертого битов.

2

1

Рис. 3. Графики вероятности ошибки на бит в зависимости от максимального отношения сигнал/шум И2 :

а — при натуральном МК; б — при МК Грея

г * = гей {у - g}

(6)

где

ге^(.х;) =

1,. > 0 0,. < 0

функция принятия решения,

(7)

г* Д D (г1, г2, ..., гк) т — вектор информационных параметров сигналов;

g Д (§1,«2, «к)т, & Д & (У)=& [(У1, У2, Ук)]* -вектор оптимальных границ областей принятия

решений (ГОПР); у Д (У1, у2, ..., ук)т — вектор откликов корреляторов (вектор наблюдений),

где у,- Д = (у, в,-); 8,- =)-1 ^, , = 1.. К — нормированный 1-й двоичный цифровой сигнал.

Как следует из формального представления в компенсационном виде алгоритма, основной задачей является формирование вектора ГОПР

g [4].

На рис. 4 представлены ГОПР третьего и четвертого битов СК КАМ-16 при МК Грея. Очевидно, что границы, разделяющие области принятия решения по первому и второму битам,

-1

лежат на осях, соответствующих синфазной «исх - Q

и квадратурной мисх составляющим (см. рис. 4). Границы, разделяющие области принятия решения по третьему и четвертому битам, как видно из рис. 4, представляют собой линейно-ломанные линии.

Групповой сигнал СК КАМ-16 представим в виде:

(г ) =

= mQ (г )4Ё ■ sQ (г) + тТ (г )4Ё ■ (г), (8)

где гД (Г1,г2,г3,г4) — групповой символ; SQ (¿) и •1 (г) —исходные, не манипулированные синфазная и квадратурная составляющие группового сигнала СК КАМ-16; Е — энергия синфазной (или квадратурной) составляющей группового сигнала при передаче г = (Г1 = 0, г2 = 0, г3 = 0, г4 = 0); mQ (г) и т1 (г) — манипуляционные коэффициенты соответственно синфазной и квадратурной составляющих;

Учитывая симметричное расположение сигнальных точек СК КАМ-16 при натуральном МК, вероятность ошибки первого бита равна вероятности ошибки второго бита, а вероятность ошибки третьего бита равна вероятности ошибки четвертого бита. Тогда справедлива запись:

рк Н[ош] = 2 (РкН1[ош] + РкН3 [ош]),

(9)

*В случае отсутствия необходимости конкретизации числа детектируемых сигналов будем употреблять обозначение ГОИП, а также вектора откликов корреляров без верхнего индекса: «,-, у.

где РкШ[ош] и РкН3[ош] — вероятности ошибок соответственно первого и третьего битов в СК КАМ-16 при натуральном МК.

Учитывая симметрию СК КАМ-16 при натуральном МК, при расчете вероятности ошибки достаточно ограничиться четырьмя точками, лежащими в одном из квадрантов двумерной системы координат. Без ограничения общности при расчете вероятности ошибки первого бита выберем точки, соответствующие информационным параметрам

Рис. 4. Границы областей принятия решения «круглой» КАМ-16 (на примере СК с МК Грея)

где

г = (г1 = 0, г2 = 0, г3, г4),

Г3 = 0,1; г4 = 0,1.

(10а)

' Г3 =0 г4 =0

где

отношение сигнал/шум, численно равное отношению максимальной энергии СК КАМ-16 к односторонней спектральной плотности бело-

А при расчете вероятности ошибки третьего бита выберем точки, соответствующие информационным параметрам

г = (Г1, г2 = 0, г3 = 0, г4),

где

г1 = 0,1 ; г4 = 0,1. (10б)

Учитывая (10а), в соответствии с (9), вероятность ошибки первого бита при натуральном МК определяется выражениями (11).

РкН1[ош] =

= 4 X X Ес( (Гз,Г4)^), (11а)

го шума; Вс(х) = Д— [е 2 dt — дополнение

^ X

теграла Лапласа до единицы. (11б)

Учитывая (10б), в соответствии с (9), вероятность ошибки третьего бита при натуральном МК определяется выражениями (12).

ин-

тТ(г3,г4) = (г3 Ф г4)[а• г3 + Ь• г4]+

+(г3 Ф г4 01) [с • г3 + (г3 Ф1) ];

г3 Ф г4 — сложение информационных параметров г3 и г4 по модулю два; а, Ь и с определяют-

2 Е

ся (1), (3) и (2) соответственно; кЬ —

РкН3[ош] = т

1 1

4 л/2Л'

X ]е

Г!=0 г4 =0 -те

где

Рс((гькь2 -gж(z + т(г1,г4^К2)) +

+Рс ( (г1,г4^ТкЬ1 - &(г + т1 (г1 ,г4~)^)

-Ре ( (г1,г4^ кь

(12а)

d г,

т1 (г1, г4) = (г1 Ф г4)[а • г1 + Ь • г4] +

+ (г Ф г4 Ф1) [с • г + (Г Ф1)], та 01,г4) = (гх Ф г4)[а • г4 + Ь • г ] + + 01Ф г4 Ф1) [с • г + 01Ф1)].

(12б)

(12в)

gн(z) и gв(z) — соответственно нижняя и верхняя ГОПР СК КАМ-16 в натуральном МК; ¥с (х) — определяется (11г).

2

г

На рис. 5 представлены графики вероятности ошибки на бит «круглой» КАМ-16 при натуральном МК в зависимости от максимального отношения сигнал/шум Иб. Пунктирной и штрих-пунктирной линиями показаны графики зависимости соответственно первого (второго) и третьего (четвертого) битов.

Для СК КАМ-16 в МК Грея также, как и при натуральном МК, имеет место симметричное расположение сигнальных точек. Поэтому вероятность ошибки первого бита равна вероятности ошибки второго бита, а вероятность ошибки третьего бита равна вероятности ошибки четвертого бита. Без снижения общности для выполнения расчетов выберем первый и четвертые биты:

РкГр[ош] = б (РкГр1[ош]

+ Р

к Гр 4

[ош]) (13)

где

РкГр1

[ош] =

111

= тЕ £ Рс К(г3,г4^/ИЬ'

4 г3 =0 г4 =0

ш1 (г3,г4) = (г3 Ф г4)[а• г3 + Ь• г4]+

(14)

+ (г3 Ф г4 01) [с • г3 + (г3 Ф1) ];

г3 Ф г4 — сложение информационных параметров г3 и г4 по модулю два; а, Ь и с определяют-

2 Е

ся (1), (3) и (2) соответственно; ИЬ Д-^ —

_ Nо

отношение сигнал/шум, численно равное отношению максимальной энергии СК КАМ-16 к односторонней спектральной плотности белого шума; ¥с (х) — определяется (11б).

А при расчете вероятности ошибки третьего бита СК КАМ-16 в МК Грея выберем точки, соответствующие информационным параметрам

где

г = (г1 = 0, г2 = 0, г3, г4), г3 = 0,1; г4 = 0,1.

(15)

где РкГр1[ош] и РкГр4[ош] — вероятности ошибок соответственно первого и четвертого битов в СК КАМ-16 при МК Грея.

Учитывая (13), вероятность ошибки первого бита определяется выражением

Вероятность ошибки четвертого бита при условии, что передавался г4 = 0, исходя из особенностей расположения областей принятия решения, отличается от вероятности ошибки четвертого бита при условии, что передавался г4 = 1. Поэтому при равных либо неизвестных априорных вероятностях передачи четвертого бита справедлива запись:

РкГр4[ош] =

= б (РкГр4[ош / г4 = 0] + РкГр4[ош / г4 = 1]) (16)

Рис. 5. Графики вероятности ошибки на бит «круглой» КАМ-16 при натуральном МК в зависимости от максимального отношения сигнал/шум Иб

Учитывая (15), условные вероятности ошибок четвертого бита при г4 = 0 и г4 = 1 определяются соответственно выражениями (17) и (18).

1 1

1 _ 1 ^2

г3 =0

где

Рк Гр 4[ош / г4 = 0] =

^ (Щ (гз _ + ^ (Г3 )] _ _[-с (т (гз _ £н(г + ^ (гз ))

т1 (г3) = аГзг3 + (г3 Ф 1), т0(г3) = ЬГзг3 + (г3 01).

d г

, (17)

Рк Гр 4 [ОШ / Г4 = 1] = -

1 1

1 ® х£ 1 е" 2

где

2^

А (в(г + щ (г,)^ _ т1 (гз ^л/^Ь^ >) + _Рс (т (гз _ &(г+та (гз ) |

d г

, (18)

тТ(гз) = а■ ЬГз (гз Фг4) + сГз (гз Фг4 Ф1);

т0 (гз) = Ь ■ аГз (гз Ф г4) + сГз (гз Ф г4 Ф1).

В (17) и (18) gн(z) и £в(г) — соответственно нижняя и верхняя ГОПРСК КАМ-16 в МК Грея; Fc (х) — определяется (11б).

Графики вероятности ошибки на бит «круглой» КАМ-16 в МК Грея в зависимости от максимального отношения сигнал/шум Иб представлены на рис. 6. Пунктирной и штрих-пунктирной линиями показаны графики зависимости соответственно первого (второго) и третьего (четвертого) битов.

Сравнительный анализ потенциальной помехоустойчивости «круглой» КАМ-16

На рис. 7 представлены графики вероятности ошибки на бит СК традиционной («квадратной») и «круглой» КАМ-16 при натуральном МК и МК Грея в зависимости от максимального отношения сигнал/шум Иб2. Пунктирной и сплошной линиями показаны графики зависимости соответственно традиционной и «круглой» СК КАМ-16.

Из данных графиков видно, что максимальной помехоустойчивостью обладает СК «круглой» КАМ-16 в МК Грея. Минимальную помехоустойчивость имеет СК традиционной КАМ-16 в натуральном МК. Из графиков на рис. 7 также видно, что в области малых отношений сигнал/шум 2

кб (приблизительно до 10 дБ) СК традиционной КАМ-16 в МК Грея обладает лучшей потенциальной помехоустойчивостью по сравнению с «круглой» в натуральном МК.

Рис. 6. Графики зависимости вероятности ошибки на бит «круглой» КАМ-16 в МК Грея

Рис. 7. Графики вероятности ошибки на бит СК традиционной ( «квадратной») и «круглой» КАМ-16 при натуральном МК и МК Грея в зависимости от максимального отношения сигнал/шум к2.

Таблица 1

Сравнительный анализ запаса мощности при использовании СК традиционной («квадратной») и «круглой» КАМ-16 при натуральном МК и МК Грея

Ртр [ош]

10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12

Л^Гр (дБ) 1,21 1,23 1,21 1,16 1,1 1,06 1,03 1 0,99 0,97 0,96 0,94

ЛН\ (дБ) 1,24 1,24 1,2 1,15 1,1 1,06 1,03 1 0,98 0,96 0,95 0,93

ЛЛ2тр (дБ) 1,23 0,42 0,25 0,17 0,13 0,11 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,05

ЛН\ (дБ) 1,2 0,41 0,25 0,18 0,13 0,11 0,09 0,08 0,08 0,07 0,07 0,06

В таблице 1 использованы следующие обозначения: Ртр [ош] — требуемая вероятность ошибки; Л^Гр — запас мощности, необходимый для достижения Ртр [ош] при сравнении СК традиционной («квадратной») и «круглой» КАМ-16 в МК Грея; Л^н — запас мощности, необходимый для достижения Ртр [ош] при сравнении СК традиционной («квадратной») и «круглой» КАМ-16 в натуральном МК; Л^^ — запас мощности, необходимый для достижения Ртр [ош] при сравнении СК традиционной КАМ-16 в натуральном МК и МК Грея; Л^к — запас мощности, необходимый для достижения Ртр [ош]

при сравнении СК «круглой» КАМ-16 в натуральном МК и МК Грея.

На рис. 8 представлены графики зависимости запаса мощности Лh от требуемой вероятности ошибки на бит Ртр [ош] в соответствии с таблицей 1.

Анализ энергетических характеристик традиционной («квадратной») и «круглой» КАМ-16 показывает, что применение СК «круглой» КАМ-16 позволяет снизить требования к отношению сигнал/шум на входе приемного устройства более, чем на 1 дБ, при требуемых значениях вероятности ошибки на бит 10-8 и больше. Энергетический

Рис. 8. Графики зависимости запаса мощности от требуемой вероятности

ошибки на бит

выигрыш при переходе от натурального МК к МК Грея превышает 1дБ при достаточно больших значениях требуемой вероятности ошибки на бит: 7Т0-2и больше. Данный энергетический выигрыш быстро снижается с уменьшением требований к вероятности ошибки и при требуемой вероятности ошибки на бит приблизительно 7Т0-6 составляет 0,1 дБ. В отличие от этого при переходе от СК традиционной («квадратной») к СК «кру-

глой» КАМ-16энергетический выигрыш снижается медленно. При требуемой вероятности ошибки на бит 7Т0-6 составляет более 1 дБ.

Таким образом, оптимизированная шестнад-цатипозиционная сигнальная конструкция на основе квадратурной амплитудной манипуляции позволяет существенно повысить помехоустой-чивовость относительно традиционной, при этом выигрыш составляет до 1,25 дБ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аверьянов А. В., Бобровский В. И. и др. Способ и устройство формирования сигналов КАМ. Патент РФ № 2246794 от 25.08.2011 г.

2. Аверьянов А. В., Бобровский В. И., Дормидонтов

А. А. Модернизация модемов сигналов КАМ-16. Сборник «Военная радиоэлектроника; опыт использования и проблемы, подготовка специалистов». Труды межвузовской НТК ВМА им. Н. Г. Кузнецова, 15-17 марта 2011 года. — СПб. ВМА, 2011.

3. Потенциальная помехоустойчивость оптималь-

ного приема СК КАМ-16, синтезированных по критерию минимума вероятности ошибки на бит при двух манипуляционных кодах — натуральном и Грея. Системы связи. Анализ. Синтез. Управление. Выпуск 7 / Под ред. В. П. Постюшкова. — СПб.: Тема, 2001. — 128 с., С. 119-128. Бобровский В. И., Бура-ченко Д. Л., Тимошин И. В.

4. Бобровский В. И. Многопользовательское детектирование / Под ред. Д. Л. Бураченко. Ульяновск.: «Вектор-С», 2007. 348 с.