МОДИФИКАЦИЯ СИГНАЛЬНОЙ КОНСТРУКЦИИ С ТРИДЦАТИ ДВУХ ПОЗИЦИОННОЙ КВАДРАТУРНОЙ АМПЛИТУДНОЙ МАНИПУЛЯЦИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

MEANS OF COMMUNICATION EQUIPMENT. Iss. 4 (144). 2018

B.И. Бобровский

доктор технических наук, доцент, ПАО «Интелтех»

C.С. Латыпова

ФГАОУ ВО «СПбПУ»

МОДИФИКАЦИЯ СИГНАЛЬНОЙ КОНСТРУКЦИИ С ТРИДЦАТИ ДВУХ ПОЗИЦИОННОЙ КВАДРАТУРНОЙ АМПЛИТУДНОЙ МАНИПУЛЯЦИЕЙ

АННОТАЦИЯ. В данной работе представлен способ формирования тридцати двух позиционной квадратурной амплитудной манипуляции (КАМ-32) повышенной помехоустойчивости на основе максимизации минимального евклидового расстояния между точками сигнальной конструкции (СК) [1]. Приведены точные формулы вероятности ошибки на бит и представлен сравнительный анализ потенциальной помехоустойчивости традиционной «квадратной» СК КАМ-32 и оптимизированной по критерию максимума минимального евклидового расстояния — «круглой» СК КАМ-32 в модифицированном манипуляционном коде (МК), близком к МК Грея.

В работе показано, что оптимизация СК КАМ-32 способствует повышению эффективности ее применения и позволяет снизить требования к отношению сигнал/шум более чем на 1 дБ.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: квадратурная амплитудная манипуляция, помехоустойчивость, сигнальная конструкция, манипуляционный код.

Способ построения СК «круглой» КАМ

На рисунке 1 показано исходное расположение сигнальных точек, соответствующее традиционному способу формирования сигнальной конструкции квадратурной амплитудной манипуляции, и их смещение при применении способа формирования «круглой» КАМ-32 [1, 2].

Предложенный способ оптимизации СК КАМ-32 не зависит от применяемого МК и может быть использован для любого МК. На рис. 1 представлен модифицированный МК Грея. Применение МК Грея для тридцати двух позиционной СК КАМ невозможно, в связи с этим применяется модифицированный МК Грея, при котором двоичный код не всех, но большинства соседних сигнальных точек отличается в одном бите. Порядок следования битов справа налево, он является обратным для номеров информационных

-1

битов, манипулирующих синфазную и исх и ква-

- Q

дратурную иисх составляющие, т. е. первый бит

слева является пятым информационным битом, второй — четвертым информационным битом и т. д. Точками на рис. 1 показаны положения

сигнальных точек исходной КАМ конструкции. Пунктирными окружностями на рис. 1 обозначены положения сигнальных точек оптимизированной (далее «круглой») КАМ-32. Стрелками с треугольными указателями показываются направления перемещения сигнальных точек традиционной КАМ-32 в сигнальную конструкцию «круглой» КАМ-32. Стрелками с заостренными указателями обозначены вектора сигнальных точек. Начало и конец каждого такого вектора обозначены большими латинскими буквами.

В результате оптимизации по критерию максимума минимального евклидового расстояния между сигнальными точками получена СК «круглой» КАМ-32 в модифицированном МК Грея, показанная на рис. 2. Положения сигнальных точек определяются манипуляцией векторов Ыа = ЯИисх, иь = ¿Ыисх, Ыс = СЫисх, Ud = йЫксх

, Ые = еЫисх, Ыf = f и исх, Ыg = gЫисх. На рис. 2 если

данные вектора откладываются на синфазной оси, -1 -1 -1

то они обозначаются Ыа , Ыь , Ыс и так далее. Если

-Q ^ -Q

на квадратурной оси — то Ыа , Ыь , Ыс и так далее.

Рис. 1. Исходное расположение сигнальных точек, соответствующее традиционному способу формирования сигнальной конструкции квадратурной амплитудной манипуляции, и их смещение при применении предлагаемого способа

Рис. 2. Сигнальная конструкция «круглой» КАМ-32 (оптимизированная по критерию максимума минимального евклидового расстояния между сигнальными точками)

MEaANS О Fi COMMUNICATION EQUIPMENT. Iss. 4 (144). 2018

Коэффициенты a, b, c, d, e, f, gполучены в [1]:

(1)

3

а = л/1 + | * 1.36603;

c =

1

1 +VT

«0,41421;

(2)

b = 42-a2 = /1 * 0.36603 ;

2 (tgyb + a) + ^(tgyb + a)2 - 4 (tgy2 +1))8sin ^ + a2 + b2

2 (tgy2 +1)

1 1 1 =4 ii

4 r4=0 r,=0

(3)

P 3[ош / Г3 = 0] =

F | - %(0,Г4,r5)^Äb2 |-

-f((T - щ (0, Г4, ^JVh2 1+

Y'ffi z2

^ ^YF((-Г-(0,Г4,r,) |>b2 |dz

, (8г)

1 1 1 =2 i I

2 r4=0 r, =0

2,877 + У2,8772 - 4 -1,039-1,464 = 2 6 ; (4) 2-1,039 , '

d = e - tg11,250 = 2,096 - tg11,25 = 0,417; (5)

f ^(d2 + e2)/(«2Д + 1) = ,/^^ = 1,777; (6)

g = f - tg33,750 = 1,777 - tg33,75° = 1,187; (7)

Расчет потенциальной помехоустойчивости СК традиционной («квадратной»)КАМ-32

2 E

Пусть hb А—^ — отношение сигнал/шум, N 0

числено равное отношению максимальной энергии СК КАМ-32 к односторонней спектральной плотности белого шума, а прием осуществляется по критерию минимум вероятности ошибки на групповой символ (min Pe). Тогда в канале с постоянными параметрами и белым шумом-вероятность ошибки на бит традиционной КАМ-32 в модифицированном МКГрея можно представить формулами (8)[3].

Ртр[ош] =

= 5 (2Ртр2[ош] + РтрэОш] + Ртр4[ош] + Ртр5[ош]),(8а)

Ртр2[ош] =1 I I I F((Г3,Г4,г5)^) ,(8б)

8 Г3 =0 r4 =0 r5 =0 v '

РрэМ = 2 ([ош / r3 = 0] + Р^ош / Г3 = 1]),(8в)

Р 3[ош /r3 = 1] =

F11-32- Щ(1,r4,r5)^К 2

J ^ 2 F(R- т1 (1,r4,r5) У^ь 2 IdZ

, (8д)

Ртр4[ош] = 2 (Ртр4[ош / r4 = 0] + Ртр4[ош / ^ = 1]),(8е)

Ртр4[0Ш / r4 = 0] =

=4 Ii Ii

4 r,=0 r5 =0

F| | -2-mQ(r3,0,2 I--F11-2-mQ(r3,0,r5) Whb2 I +

3 J e 2 F - mQ (r3,0, 2 | d z

, (8ж)

1 1 1 = 1 II II

2 r3 =0 r. =0

Ртр4[ош /r4 = 1] =

F ||y - mQ (r„1, r5) У hb 2

fK2

Le"2 F((T-mQ(r3,1,r5) |dz

, (8з)

Рр 5 [ош] =

2(Ртр5иош r5 = + Ртр5 ош r5 = )

(8и)

Ртр5[ош / r5 = 0] =

1 1 1 :-/rI II

V2^ r3 =0r4 =0

0 -z_

J e 2

F((r„rA,0)Jhb2 )-

- F

w

у-ml(r3,r4,0) WKb2

d z

(8к)

р 5[ош / г5 =1] =

1 1 1 ^^ I

■\12к г3 =0 г4 =0

г( | 3-т1 г4,1) |>/ьь

- Г (-Ш, (Гз, ) ^ г + , (8л)

+ \ е 2 Гс((-3-т,(гз,г4,1) 2 ]dг

где

тг

(г3'Г4'Г5) = 1((Гэ.Г4,Г5 )• кХ1) - (9а)

7

I

I=0

4Ё

Со( (( Г3> Г4> Г5 ) =

К =

^1,5,5,1,1,1,1,1 3 3 3 3 3

кУ =

5 11 5 111 1

з, ,з,з,, ,3,3

Ртр2[ош], Ртр3[ош], РТр4[ош]и Р^ош] — вероятности ошибок соответственно второго, третьего, четвертого и пятого битов в СК КАМ-32*;

Pтр3[ош / г3 = 0] и Pтр3[ош / г3 = 1] — вероятности

ошибок третьего бита в СК КАМ-32 при условии, что передавались соответственно г3 = 0 и г3 = 1; Pтр4[ош / г4 = 0] и Pтр4[ош / г4 = 1] — вероятности ошибок четвертого бита в СК КАМ-32 при условии, что передавались соответственно г4 = 0 и г4 = 1; Pтр5[ош/г5 = 0] и

Pтр5[ош / г5 = 1] — вероятности ошибок пятого

бита в СК КАМ-32 при условии, что передавались соответственно г5 = 0 и г5 = 1;

1 __

Г(х) = ^= Г e 2 С —

нормированное к математическое ожидание проекции СТ с координатами Г = {0,1}г2 = {0,1} г3г4г5) на синфазную ось; Е — энергия СТ с координатами (1 0 0 0 0) в традиционное СК КАМ-32;

интеграл Лапласа;

тд ^ ^ Г5) = 1 ( ( ^ Г4,Г5 )• кП ) — (9б)

7

I

I=0

нормированное к математическое ожидание проекции СТ с координатами (г1 = {0,1} г2 = {0,1} г3г4г5) на квадратурную ось;

Г3 Ф 1)(Г4 Ф 1)(Г5 Ф1), I = 0

Г3 Ф0)(Г4 Ф 1)(Г5 Ф1), I = 1

Г3 Ф 1)(Г4 Ф0)(Г5 Ф1), I = 2

Г3 Ф 0)(Г4 Ф 0)(Г5 Ф1), I = 3 (9в)

Г3 Ф 1)(Г4 Ф 1)(Г5 Ф0), I = 4

Г3 Ф0)(Г4 Ф 1)(Г5 Ф0), I = 5

Г3 Ф 1)(Г4 Ф0)(Г5 Ф0), I = 6 г3 Ф0)(Г4 Ф0)(Г5 Ф0), 1 = 7

1 ^ __ Fc(x) = ^= I"e 2 Л —

л/2П X

(10а)

(10б)

дополнение интеграла Лапласа до единицы.

График вероятности ошибки на бит при модифицированном МК Грея в зависимости от

максимального отношения сигнал/шум представлены на рис. 3.

Расчет потенциальной помехоустойчивости СК «круглой» КАМ-32

Прием СК КАМ-32 повышенной помехоустойчивости предусматривает компенсационные алгоритмы, в соответствии с которыми правило оценивания двоичных символов записывается в виде [3]:

х Ф у — сложение двоичных чисел х и у по модулю два;

где

г * = гей {у - g },

, ч [1, х ^ 0 гесцх) = <

10, х < 0

(11)

(12)

(9г)

функция принятия решения,

г* 4 (Г1, г2,..., гк)т — вектор информационных

параметров сигналов;

g 4 (?1, &,.",§к)т, 4 &<у)=й[(У1,У2,...,Ук)]** — вектор оптимальных границ областей принятия

* В виду симметрии СК КАМ-32 вероятности ошибок первого и второго битов равны.

** В случае отсутствия необходимости конкретизации числа детектируемых сигналов будем употреблять обозначение ГОИП, а также вектора откликов корреляторов без верхнего индекса: gi, у.

2

I

х

2

МЕАА ОШ соммишелткж ЕСДЯРМЕШ: Iss. 4 (144). 2018

Рис. 3. График вероятности ошибки на бит в зависимости от максимального отношения сигнал/шум к^ при модифицированном МК Грея

решений (ГОПР); у А (у1,у2,...,ук)т — вектор откликов корреляторов (вектор наблюдений), где у,. А (у,£г.); = ЦЩГЧ , г = 1...К—

нормированный 1-й двоичный цифровой сигнал.

Как следует из формального представления в компенсационном виде алгоритма, основной задачей является формирование вектора ГОПР

g [3].

На рис. 4—6 представлены ГОПР первого gl, вт°р°го g2, третьего gз0в; gзlн, gзlв), четвер-

того (g40н, g40в; g41н, g41в) и пятого g5в) битов

СК КАМ-32 при модифицированном МК Грея. Очевидно, что границы, разделяющие области принятия решения по первому и второму битам,

-1

лежат на осях, соответствующих синфазной иисх

и квадратурной и исх составляющим (см. рис.4—

6). Границы, разделяющие области принятия решения по третьему, четвертому и пятому битам, как видно из рис. 4—6, представляют собой линейно-ломанные линии.

Групповой сигнал СК КАМ-32 представим в виде:

(г, t) = т0(г)4Ё • sQ(/) + т1 (г)4Ё • sI(t), (13)

где г А (Г1, г2, г3, г4) — групповой символ; SQ(t) и sI(t) — исходные, не манипулированные син-

фазная и квадратурная составляющие группового сигнала СК КАМ-32; Е — энергия синфазной (или квадратурной) составляющей группового сигнала при передаче г = (г = 0, г2 = 0, г3 = 0, г4 = 0,

г5 = 0); mQ(t) и т(р) — манипуляционные коэффициенты соответственно синфазной и квадратурной составляющих;

На рис. 4—6 использованы обозначения: gзoн, gзoв, gзlн и gзlв — нижние и верхние границы областей принятия решения при детектировании третьего бита;

g40н, g40в, g4lн и g4lв — нижние и верхние границы областей принятия решения при детектировании четвертого бита;

g5н и g5в — соответственно нижняя и верхняя границы областей принятия решения при детектировании пятого бита.

Вследствие симметричного расположения сигнальных точек СК КАМ-32 при модифицированном МК Грея вероятность ошибки первого бита равна вероятности ошибки второго бита. Тогда справедлива запись:

Рк [ош] =

и \ (14)

= - (2Рк2 [ош] + Рк3 [ош] + Рк4 [ош] + Рк5 [ош]),

где Рк2[ош], Рк3[ош], Рк4[ош] и Рк5[ош] — вероятности ошибок соответственно второго, третьего, четвертого и пятого битов в СК КАМ-32.

Рис. 4. Границы областей принятия решения «круглой» СК КАМ-32 с модифицированным МК Грея при детектировании третьего бита

Рис. 5. Границы областей принятия решения «круглой» СК КАМ-32 с модифицированным МК Грея при детектировании четвертого бита

МЕАП ОБ СОММИШСАПОМ ЕСДЯРМЕШ: Iss. 4 (144). 2018

Рис. 6. Границы областей принятия решения «круглой» СК КАМ-32 с модифицированным МК Грея при детектировании пятого бита

Учитывая симметрию СК КАМ-32 в модифицированном МК Грея, при расчете вероятности ошибки достаточно ограничится четырьмя точками, лежащими в одном из квадрантов двумерной системы координат. Без ограничения общности при расчете вероятности ошибки второго бита выберем точки, соответствующие информационным параметрам

где

г = (г1 = 0,г2 = 0,г3,г4,г5),

Г3 = 0,1; г4 = 0,1; г5 = 0,1

где

г = (г1 = 0,г2 = 0,г3 = 0,г4,г5),

г4 = 0,1; г5 = 0,1.

г = (г = 0,г2 = 0,г3,г4 = 0,г5),

где

г3 = 0,1; г5 = 0,1. (15в)

И при расчете вероятности ошибки пятого бита выберем точки, соответствующие информационным параметрам

где

г = (г1 = 0,г2 = 0,г3,г4,г5 = 0),

Г3 = 0,1; г4 = 0,1.

(15г)

(15а)

А при расчете вероятности ошибки третьего бита выберем точки, соответствующие информационным параметрам

(15б)

Аналогично при расчете вероятности ошибки четвертого бита выберем точки, соответствующие информационным параметрам

Учитывая (15а), в соответствии с (14), вероятность ошибки второго бита при модифицированном МК Грея определяется выражением (16).

Рк2[ОШ] = 1 X X X F(-^(Г3,Г4,^^,(16)

8 г3 =0 г4 =0 г5 =0 ^ '

гдеmQ(г3,г4,г5) определяется выражением (9б), при этом ^ = (,gДе,1,а,Ь,с)Г ; а, Ь,с, d, е, f

и g определяются (1)—(7) соответственно;

2 Е

ИЬ А—^ — отношение сигнал/шум, числено

N г.

равное отношению максимальной энергии СК КАМ-32 к односторонней спектральной плотности белого шума; F(x) — определяется (10а).

Вероятность ошибки третьего бита при условии, что передавался r3 = 0, исходя из особенностей расположения областей принятия решения, отличается от вероятности ошибки третьего бита при условии, что передавался r3 = 1. Поэтому при рав-

ных либо неизвестных априорных вероятностях передачи третьего бита справедлива запись:

Рк3[ош] = 2(Р(ш//3 = 0] + Рк3[ош/г, = 1]) .(17)

Учитывая (15б), условные вероятности ошибок третьего бита при г3 = 0 и г3 = 1 определяются соответственно выражениями (18) и (19).

i i Z Z

4 л/2п r4 =0 Г5 =0

d z +

+2-

Ркз[ош / r, = 0] =

F (g31в (z + mQ (0, Г4, r5 ) - mj (0, r4, r5 )^/h~2 ) -

-F (g 31н (z + mQ (0, r4, r5 ) - mT (0, rA, r5 )<Jhb

и z 2

J efFc (g30н(z + mQ(0, r4, r5 )^/h~2) - mj (0, r4, Гз^/hb 2) Id z -

-и

и z2

- J e"^ fFc (g30в(z + mQ(0, ^, ^ ) - mT (0, ^, r5)^)) z

(18)

Рк3[ош / r3 = 1] =

1 i Z Z

2 л/2п г4 =0 Г5 =0

J

d z +

F (g 30н( z + mQ (1, r4, r5 ) - mI (1, r4, r5)ffi) -

-F (g31в (z + mQ (1, r4, r5 ),Jhbb^) - mj (1, r4, r5 )Jh~b

и z 2

J efFc (g30в(z + mQ(1, rA, r5) ^) - mT (1, r4, r5 ^hb 2 ) Id z

(19)

где т1 (г3, г4,г5) определяется выражением (9а), при этом kx =(g,f,е,d,1,Ь,а,с) ; mQ(г3,г4,г5) определяется выражением (9б), при этом ky =(,g,d,е,1,а,Ь,с) ; а, Ь,с, d, е, f и g определяются (1)-(7) соответственно; g30н(г), g31н(г) и g30в(г), g31в(г) — соответственно нижние

и верхние ГОПР СК КАМ-32 для третьего бита

2 Е

в модифицированном МК Грея; }1Ь Д-^ — от-

_ N0

ношение сигнал/шум, числено равное отноше-

нию максимальной энергии СК КАМ-32 к односторонней спектральной плотности белого шума; F(x) — определяется (10а), Fc(x) — определяется (10б).

Описанный выше способ определения вероятности ошибки третьего бита справедлив для определения вероятностей ошибок четвертого и пятого битов. Формулы для их определения представлены ниже:

Pк4[ош] =

2 ([ош / r4 = 0] + Pк4[OШ / r4 = 1]),

(20)

МЕАП ОБ СОММИШСАПОМ ЕСДЛРМЕШ: Iss. 4 (144). 2018

1 1 Е Е

4 г3 =0 г5 =0

от г

т

Рк4[ош / г4 = 0] = Ж (^ 41в( г + ^ (Гэ,0, г,)^/1) - ^ (г„0, г,)^/1 )--Ж (41н( г + т1 (г„0, г,)^"7) - mQ (г„0, г,)^

с! г +

11 Е Е

2 г3 =0 г5 =0

Г

+2- | 2 IЖ((г + ^^(Гз,0,г,),/Н,2)-тв(г„0,2 )г

•ОТ

Рк4[ош / г4 = 1] = г 2 _ _

] е" Т ( Ее (g 41в( г + т1 (Гз,1, г,)^/1) - mQ (г,)^/"2 )) г -

ю г 2

] е" ^ Г Же (g 40в( г + ^^ (г„1, г,)^2) - та (гъ,1, г,)^ )) г

(21)

(22)

11^ Е

4 \/2П к =0 г, =0

Рк 5 [ОШ] = 2 ( , [ОШ / г, = 0] + Рк 5 [ОШ / г, = 1]) ,(23) Рк,[ОШ / г, = 0] =

Ж (g5в (г + т (гз, г4, ^^ ) - Ид (гз, г4, 0)у[ьЬ1) -

-Ж (g 5н (г + т1 (гз, г4, 0)^/^) - mQ (г,, г4, 0)^Н~2

Рк,[ОШ / г, = 1] =

ОТ г

Т

]

! г

(24)

11 Е Е

2 л/2п гз =0 г4 =0

от г 2 _ _

] е"Т ( Ж (g 5н( г + т1 (гз, гА,1)^) - т0 (гъ, гА,1)^ )) г

(25)

На рис. 7 представлены графики вероятности ошибки на бит «круглой» КАМ-з2 при модифицированном МК Грея в зависимости от максимального отношения сигнал/шум Н6 . Пунктирной и штрих-пунктирной линиями показаны графики зависимости соответственно второго (первого), третьего, четвертого и пятого битов.

МК Грея в зависимости от максимального

отношения сигнал/шум Н^

Сравнительный анализ потенциальной помехоустойчивости «круглой» КАМ-32

На рис. 8 представлены графики вероятности ошибки на бит СК традиционной («квадратной») и «круглой» КАМ-з2 при модифицированном МК Грея в зависимости от максимального отношения сигнал/шум Н^.

Из графиков на рис. 8 видно, что традиционная СК КАМ-з2 в модифицированном МК Грея обладает меньшей потенциальной помехоустойчивостью по сравнению с «круглой» КАМ-з2 при

любом отношении сигнал/шум /б.

В таблице 1 использованы следующие обозначения: Ртр[ош] — требуемая вероятность ошибки; АН2 — запас мощности, необходимый для достижения Ртр[ош] при сравнении СК традиционной («квадратной») и «круглой» КАМ-з2 в модифицированном МК Грея.

На рис. 9 представлен график зависимости запаса мощности АН от требуемой вероятности ошибки на бит Ртр[ош] в соответствии с таблицей 1.

При анализе энергетических характеристик традиционной («квадратной») и «круглой» КАМ-з2 видно, что применение СК «круглой» КАМ-з2 позволяет снизить требования к отношению

Рис. 8. Графики зависимости вероятности ошибки на бит СК традиционной («квадратной») и «круглой» КАМ-32 при модифицированном МК Грея от максимального отношения сигнал/шум

Рис. 7. Графики вероятности ошибки на бит «круглой» КАМ-32 при модифицированном

Таблица 1

Сравнительный анализ запаса мощности при использовании СК традиционной («квадратной») и «круглой» КАМ-32 при модифицированном МК Грея

^тр[ош]

10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10

Дй2(дБ) 0.59 0.47 0.384 0.34 0.31 0.295 0.287 0.285 0.283 0.28

МЕАП ОШ СОММиШСАПОМ ЕСДЯРМЕШ: Iss. 4 (144). 2018

Рис. 9. График зависимости запаса мощности от требуемой вероятности ошибки на бит

сигнал/шум на входе приемного устройства не менее, чем на 0,2 дБ при требуемых значениях вероятности ошибки на бит 10-10 и больше.

Таким образом, оптимизированная тридцати двух позиционная сигнальная конструкция

на основе квадратурной амплитудной манипуляции позволяет повысить помехоустойчивость относительно традиционной для всех значений отношения сигнал/шум Н]2, при этом выигрыш составляет до 0,6 дБ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахметзянова Н. Н., Бобровский В. И. и др. Способ и устройство формирования сигналов квадратурной амплитудной манипуляции. Патент РФ №2486681 от 27.06.2013г.

2. Бобровский В. И., Бураченко Д. Л. Тимошин И. В. Потенциальная помехоустойчивость оптимального приема СК КАМ-16, синтезированных по

критерию минимума вероятности ошибки на бит при двух манипуляционных кодах — натуральном и Грея. Системы связи. Анализ. Синтез. Управление. Выпуск 7 / Под ред. В.П. Постюшкова. — СПб.: Тема, 2001. — 128 с., С.119-128.

3. Бобровский В. И. Многопользовательское детектирование / Под ред. Д. Л. Бураченко. — Ульяновск.: «Вектор-С», 2007. 348 с.