CC BY
12
УДК 681.518.5
DOI 10.21685/2307-4205-2019-4-14
В. Н. Клячкин, И. Н. Карпунина, Ю. А. Кравцов, Д. С. Бубырь
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМА ХОТЕЛЛИНГА ПРИ ОЦЕНКЕ СТАБИЛЬНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОБЪЕКТА1
V. N. Klyachkin, I. N. Karpunina, U. A. Kravtsov, D. S. Bubir
IMPROVING THE EFFICIENCY OF THE HOTELLING ALGORITHM WHEN EVALUATING THE STABILITY OF AN OBJECT
Аннотация. Актуальность и цель. Функционирование сложной системы зависит от совокупности множества показателей. Для оценки стабильности функционирования объекта используются методы многомерного статистического контроля, позволяющие по характеру изменения статистических характеристик процесса спрогнозировать нарушение до того, как стабильность работы объекта будет нарушена. При наличии коррелированных показателей работы объекта стабильность его функционирования может быть проконтролирована с применением алгоритма Хотеллинга. Для повышения чувствительности этого алгоритма к возможным нарушениям процесса предложено два подхода. В первом предлагается поиск на карте Хотеллинга неслучайных структур, вероятность появления которых соизмерима с вероятностью ложной тревоги: наличие на карте такой структуры свидетельствует о нарушении стабильности. Второй подход использует предупреждающую границу на карте: попадание нескольких точек подряд между контрольной и предупреждающей границами также свидетельствует о нестабильности процесса. Оба подхода предполагают применение специального программного обеспечения для автоматизации поиска нарушений. Материалы и методы. При определении параметров неслучайных структур при многомерном контроле используются теоретико-вероятностные методы. Расчет положения предупреждающей и контрольной границ проводится с помощью марковских цепей, результаты аппроксимируются методами регрессионного анализа. Эффективность предложенных подходов оценивается по средней длине серий - количеству наблюдений от момента нарушения процесса функционирования объекта до момента обнаружения этого нарушения. Результаты. Применение предлагаемых подходов для повышения чувствительности алгоритма Хотеллинга к возможным нарушениям процесса обеспечивает скорейшее выявление нестабильности функционирования объекта.
Abstract. Background. The functioning of a complex system depends on the totality of many indicators. To assess the stability of the operation of an object, methods of multivariate statistical control are used, which allow the prediction of a violation by the nature of the change in the statistical characteristics of the process before the stability of the operation of the object is violated. If there are correlated indicators of the object's operation, the stability of its functioning can be controlled using the Hotelling algorithm. To increase the sensitivity of this algorithm to possible process violations, two approaches are proposed. The first proposes a search on the Hotelling chart for non-random structures whose probability of occurrence is commensurate with the probability of false alarm: the presence of such a structure on the map indicates a violation of stability. The second approach uses a warning boundary on the chart: hitting several points in a row between the control and warning boundaries also indicates the instability of the process. Both approaches involve the use of special software to automate the search for violations. Materials and methods. When determining the parameters of nonrandom structures in multivariate control, probabilistic methods are used. The position of the warning and control boundaries is calculated using Markov chains; the results are approximated by regression analysis methods. The effectiveness of the proposed approaches is estimated by the average run length - the number of observations from the moment of violation of the process of functioning of the object to the moment of detection of this violation. Results. The application of the proposed approaches to increase the sensitivity of the Hotelling algorithm to possible process disturbances ensures the fastest detection of the instability of the object's functioning.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Ульяновской области, проект 18-48-730001.
© Клячкин В. Н., Карпунина И. Н., Кравцов Ю. А., Бубырь Д. С., 2019
Ключевые слова: стабильность функционирования, контрольная карта, неслучайная структура, предупреждающая граница, средняя длина серий.
Keywords: stability of the functioning, control chart, non-random structures, warning limit, the average run length.
Постановка задачи
Нарушение стабильности функционирования технического объекта может привести к остановке работы системы и возникновению аварийной ситуации. Рассматривается объект, состояние которого определяется множеством р показателей Х1, Х2, ..., Хр, значения которых характеризуют функционирование объекта. Эти показатели регистрируются через определенные промежутки времени и образуют многомерный временной ряд [1].
Например, в системе водоочистки контролировались восемь физико-химических показателей качества очистки питьевой воды. В системе вибромониторинга гидроагрегата с помощью десяти датчиков контролировались биение вала и вибрация в различных точках гидроагрегата [2].
Для контроля независимых показателей процесса используются стандартные карты Шухарта [3]. При наличии коррелированных показателей применяются многомерные карты, основанные на алгоритме Хотеллинга [4-5]. Решение о том, какие карты использовать для оценки стабильности, принимается на основе оценки корреляций между параметрами и проверки их значимости. С этой целью на этапе стабильной работы объекта (этап анализа процесса) берется последовательность из т мгновенных выборок по п наблюдений в каждой (обучающая выборка), которая и используется для оценки степени взаимосвязи контролируемых параметров и определения характеристик используемых контрольных карт.
Не всегда применение алгоритма Хотеллинга для оценки стабильности функционирования объекта приводит к своевременному выявлению нарушений.
Цель исследования - разработка модификации алгоритма Хотеллинга, обеспечивающей повышение эффективности при оценке стабильности функционирования технического объекта.
Поиск неслучайных структур на карте Хотеллинга
При оценке стабильности среднего уровня многопараметрического процесса на основе алгоритма Хотеллинга используется следующее правило принятия решения: процесс считается стабильным, если значения статистики Хотеллинга Т2, найденные по результатам мониторинга процесса, не превышают критическое значение Т2кр. Графически это означает, что точки на контрольной карте Хотеллинга не выходят за контрольную границу Т2кр.
Например, при контроле качества очистки сточных вод при производстве печатных плат множественная корреляция значима (по критерию Стьюдента) между кислотно-щелочным балансом, содержанием железа и меди. На рис. 1 представлены результаты многомерного контроля этих трех коррелированных показателей: карта Хотеллинга построена в системе Statustica. Видно, что имеют место два выброса в 13-м и 18-м наблюдениях, свидетельствующих о нарушении стабильности процесса очистки.
Рис. 1. Карта Хотеллинга при при контроле качества очистки сточных вод при производстве печатных плат по трем показателям: кислотно-щелочному балансу, содержанию железа и меди
При известной ковариационной матрице процесса статистика Хотеллинга имеет хи-квадрат-распределение. В этом случае положение контрольной границы на заданном уровне значимости а определяется по таблицам квантилей этого распределения: Гкр2 = %21-а(р). Это условие (расчетное значение статистики Хотеллинга не превышает критического) является необходимым, но часто недостаточным для гарантии стабильности процесса.
Иногда на карте имеют место структуры особого вида, которые также могут свидетельствовать о нестабильности процесса: это неслучайные структуры, вероятность появления которых соизмерима с вероятностью ложной тревоги. Проверяется наличие неслучайного поведения процесса: выход контролируемой статистики за границу, наличие трендов, серий и т.п. Такой подход был использован при контроле стабильности технологического процесса [5-7]: очевидно, что его применение должно быть эффективно и при оценке стабильности функционирования технических объектов.
Из множества возможных неслучайных структур (кроме основной - выхода точки за контрольную границу) наибольший практический интерес могут представлять три:
- тренд (сколько точек, расположенных подряд по возрастанию или по убыванию, может рассматриваться как неслучайная структура);
- приближение к контрольной границе (сколько точек, расположенных в диапазоне от 2/3 Т2кр до Т2кр, может рассматриваться как неслучайная структура);
- резкие скачки на карте - на величину кТ2кр, к = 0,6 + 0,9 - при каком к при заданном количестве контролируемых показателей р соответствующий скачок на карте не является случайным.
Представляет интерес расчет вероятностей появления структур заданного вида на контрольной карте Хотеллинга: если эта вероятность имеет тот же порядок, что и заданный уровень значимости, то соответствующая структура не может считаться случайной, и ее появление на контрольной карте свидетельствует о нестабильности функционирования объекта.
Например, при расчете неслучайной структуры, связанной с приближением точек к контрольной
2
границе, определяется вероятность Р попадания статистики Хотеллинга Т в интервал от 3 Тк2 до Тр:
Р = P
i - Л Ткр
- T 2 < T2 < T 2
Q кр кр
V3 У -/3Ткр-
= J f (х, p)dx,
где /(х,р) - плотность распределения хи-квадрат. Вероятность того, что ровно г из п последовательных точек окажутся в заданном интервале, находится по формуле Бернулли
Рп (г) = СпРг (1 - Р)п-г,
где С - число сочетаний из г элементов по п.
Численный анализ этих соотношений показывает, что неслучайной структурой на уровне значимости а = 0,005 (обычно используемом в практических расчетах по алгоритму Хотеллинга - до-
2
пускается одна ложная тревога на 200 выборок) является наличие в зоне (3Т^р; Тр) двух из пяти по-
следовательных точек при контроле двух показателей, двух из трех точек - при контроле от трех до пяти показателей, и т.п.
Подобный вероятностный расчет показывает, что трендом, как неслучайной структурой, при контроле от двух до пяти показателей является наличие не менее шести последовательно возрастающих или убывающих точек.
Резким скачком на карте Хотеллинга может считаться скачок на 0,75 7\р при контроле двух или трех показателей, на 0,707\р при контроле от трех до шести показателей.
На рис. 2 в качестве примера приведена карта Хотеллинга, построенная по результатам мониторинга трех коррелированных показателей функционирования объекта. С точки зрения стандартного подхода объект функционирует стабильно: нет точек, выходящих за контрольную границу карты 7^кр = 17,27. Между тем наблюдения 10-16 выборок показывают наличие тренда (6 и более точек подряд по возрастанию), что свидетельствует о нестабильности процесса. Специальное программное обеспечение позволяет без труда находить на карте серии точек, представляющих собой неслучайную структуру в соответствии с предлагаемыми правилами обнаружения таких структур.
№ 4 (28), 2019
^jnjxj
Загрузить да 1
Показать данные |
1
3
В 1 группу
1 Рассчитать |
Во 2 группу 1
Рассчитать
В 3 групп/
Рассчитать \
(• 1 /
I \ J г-1 Г
UCL =17,27 Г 3 Г 4 / ; / \ и
\ / \ / N (
/ \ /
1 Ось ОХ | V -iE 1 1
Ось OY | 1 2 3 4 5 6 7 В S 10 11 12 13 14 15 16 17 1Е 19 20 21 22 ; !3 24 25 25 27 23 2S 30
Подсветить неслучайные с труктуры |
Выделить Название структуры Выход за границу П Тренд
□ Приближение к оси абсцисс
Приближение к контрольной г| —■
Рис. 2. Карта Хотеллинга при мониторинге процесса функционирования объекта: в выборках 10-16 имеет место тренд
Использование предупреждающей границы
Другим средством повышения эффективности контроля является использование предупреждающей границы. В карте с предупреждающей границей наряду с контрольной границей UCL (рис. 3) вводится дополнительно предупреждающая граница UWL. При этом область значений статистики Хотеллинга разбивается на три подмножества:
- при I2 < UWL - область А, в которой процесс стабилен;
- при UWL < I < UCL - область W, в которой процесс находится в «переходном» состоянии (в зависимости от того, как определяется положение предупреждающей границы, нахождение K точек подряд в этой области может свидетельствовать о нарушении процесса);
- при Т} > и^ - область С, в которой нарушается процесс.
Рис. 3. Карта Хотеллинга с предупреждающей границей: четыре точки подряд, соответствующие выборкам 912, лежат между контрольной и предупреждающей границами
Положение контрольной UCL и предупреждающей границ UWL оценивается таким образом, чтобы попадание заданного числа K точек подряд (K = -, 3, 4) в область W свидетельствует о наличии заранее заданного опасного смещения среднего уровня процесса.
При отсутствии смещения средняя длина серий - количество выборок от момента нарушения процесса до момента обнаружения этого нарушения - должна соответствовать заданному уровню значимости и быть достаточно большой величиной. При наличии смещения средняя длина серий определяет скорость реагирования карты на нарушение процесса и должна быть по возможности малой. При этом сигнал о необходимости внесения изменений в процесс должен подаваться в одном из двух случаев: при попадании контролируемой статистики в область С или при последовательном попадании K точек подряд в область W.
Процесс контроля рассматривается как поглощающая цепь Маркова. Решается численно оптимизационная задача, результаты которой могут быть аппроксимированы с помощью регрессионных соотношений (рис. 4,а-в), полученных для уровня значимости а = 0,005 при количестве точек, расположенных между границами подряд K = -, 3, 4. Из рисунка видно, что качество линейной аппроксимации, характеризующееся коэффициентом детерминации R- достаточно высокое. Расчеты проведены в электронных таблицах Excel.
В примере, показанном на рис. 3, контролировалось два показателя функционирования объекта. Рассмотрена ситуация, когда опасным считается попадание четырех точек подряд в зону W. В соответствии с формулами на рис. 3,в найдены положение верхней контрольной границы UCL и предупреждающей границы UWL. Наличие четырех точек подряд (с 9-й по 12-ю) между предупреждающей и контрольной границами свидетельствует о нарушении процесса (несмотря на то, что выхода за контрольную границу нет).
Оценка эффективности
Эффективность контрольной карты определяется чувствительностью к возможному нарушению процесса функционирования и оценивается количественно по средней длине серий [8-10]. Эта характеристика для различных вариантов карты Хотеллинга (обычной и с предупреждающей границей) определяется расчетом в зависимости от параметра нецентральности А-, характеризующего возможные нарушения процесса:
А- = п(ц - цо) T S- (ц - цс),
здесь (а - ц0) - вектор, характеризующий смещение среднего уровня ц0 процесса, n - объем выборки, S - оценка ковариационной матрицы.
Для оценки средней длины серий, связанной с неслучайными структурами на карте Хотеллинга, проводились статистические испытания. Генерировались выборки с вектором средних ц0 и ковариационной матрицей S, идентичные рассмотренным примерам; для этих выборок моделировались различные значения смещений среднего уровня процесса (обеспечивающие изменение параметра нецентральности А-) и определялась длина серий, усреднявшаяся по всем выборкам L(A).
На рис. 5 показаны соответствующие кривые при контроле двух и трех показателей функционирования объекта (по горизонтали отложены значения параметра А, по вертикали - средняя длина серий L(A)). Линии 1 и - построены с использованием аналитических зависимостей, линия 3 - по опытным точкам - результатам статистических испытаний.
Из рис. 5,а видно, что при контроле двух показателей, например, при А = - снижение средней длины серий на карте с учетом неслучайных структур с 10 до 4 выборок по сравнению с контролем обычной картой Хотеллинга (когда используется один критерий нарушения процесса - выход точки на карте за контрольную границу). При А = 3 эффективность неслучайных структур снижается и практически совпадает с эффективностью карты с предупреждающей границей, однако она все же выше, чем у обычной карты Хотеллинга.
При контроле трех показателей (рис. 5,6) снижение средней длины серий максимально при А = 1 при учете неслучайных структур. В диапазоне А = - ^ 3 более эффективна карта с предупреждающей границей; при А = 3 ее средняя длина серий практически совпадает с опытными данными
по эффективности неслучайных структур, но в 1,5 раза ниже средней длины серий обычной карты Хотеллинга.
а)
б)
в)
Рис. 4. Линии регрессии для оценки положения контрольной и предупреждающей границ на карте Хотеллинга (по горизонтали - количество контролируемых показателей, по вертикали - значение, определяющее
положение границы); K = 2 (а); K = 3 (б); K = 4 (в)
а)
б)
Рис. 5. Зависимость средней длины серий от параметра нецентральности при контроле двух (а) и трех (б) показателей: 1 - стандартная карта Хотеллинга; 2 - карта с предупреждающей границей при k = 4; 3 - карта с учетом неслучайных структур
Таким образом, применение предложенных методов контроля стабильности функционирования объекта повышает его эффективность по количеству наблюдений, необходимых для обнаружения нарушения в диапазоне наиболее важных для практики значений параметра нецентральности X = 1 ■ 3 в 1,3 - 2,8 раз.
Заключение
Для оценки стабильности функционирования технического объекта по результатам мониторинга его показателей при наличии их коррелированности может быть использован алгоритм Хотеллинга. Для повышения чувствительности этого алгоритма к возможным нарушениям процесса предложено два подхода.
В первом предлагается поиск на карте структур, вероятность появления которых соизмерима с вероятностью ложной тревоги: наличие на карте такой структуры свидетельствует о нарушении стабильности. Это как выход точки за контрольную границу, так и наличие тренда, приближение к контрольной границе, резкие скачки на карте Хотеллинга.
Второй подход использует предупреждающую границу на карте: попадание нескольких точек подряд между контрольной и предупреждающей границами также свидетельствует о нестабильности процесса.
Эффективность предложенных подходов подтверждена путем проведения расчетов и статистических испытаний по оценке средней длины серий - количеству наблюдений от момента нарушения процесса до момента его обнаружения с помощью рассматриваемых методов.
Библиографический список
1. Клячкин, В. Н. Статистические методы оценки стабильности функционирования технических систем / В. Н. Клячкин, И. Н. Карпунина // Надежность и качество сложных систем. - 2018. - № 2 (22). - С. 36-42.
2. Клячкин, В. Н. Прогнозирование состояния объекта с использованием систем временных рядов / В. Н. Клячкин, Ю. Е. Кувайскова, Д. С. Бубырь // Радиотехника. - 2015. - № 6. - С. 45-47.
3. Уиллер, Д. Статистическое управление процессами. Оптимизация бизнеса с использованием контрольных карт Шухарта : пер. с англ. / Д. Уиллер, Д. Чамберс. - Москва : Альпина Бизнес Букс, 2009. - 409 с.
4. Montgomery, D. C. Introduction to statistical quality control / D. C. Montgomery. - New York : John Wiley and Sons, 2009. - 754 р.
5. Клячкин, В. Н. Модели и методы статистического контроля многопараметрического технологического процесса / В. Н. Клячкин. - Москва : Физматлит, 2011. - 196 с.
6. Клячкин, В. Н. Оценка эффективности диагностики состояния объекта по наличию неслучайных структур на карте Хотеллинга / В. Н. Клячкин, Ю. А. Кравцов, Д. А. Жуков // Автоматизация процессов управления. - 2015. - № 1 (39). - С. 50-56.
7. Клячкин, В. Н. Идентификация режима статистического контроля многопараметрического технологического процесса / В. Н. Клячкин, А. Ю. Михеев // Автоматизация и современные технологии. - 2011. -№ 12. - С. 27-31.
8. Van Zyl, R. Phase I and phase II - control charts for the variance and generalized variance / R. Van Zyl, A. J. Van der Merwe // South African Statistical Journal. - 2016. - Vol. 50, iss. 1. - P. 65-80.
9. Bersimis, S. Multivariate Statistical Process Control Charts: An Overview / S. Bersimis, S. Psarakis, J. Panaretos // Quality and reliability Engeneering International. - 2007. - Vol. 23. - Р. 517-523.
10. Klyachkin, V. N. Multivariate Statistical Process Control by Individual Observations / V. N. Klyachkin, I. N. Karpunina // International Journal of Innovative Technology and Exploring Engineering (IJITEE). - 2019. -Vol. 8 (6S3). - P 590-593.
References
1. Klyachkin V. N., Karpunina I. N. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh system [Reliability and quality of complex systems]. 2018, no. 2 (22), pp. 36-42. [In Russian]
2. Klyachkin V. N., Kuvayskova Yu. E., Bubyr' D. S. Radiotekhnika [Radiotechnics]. 2015, no. 6, pp. 45-47. [In Russian]
3. Uiller D., Chambers D. Statisticheskoe upravlenie protsessami. Optimizatsiya biznesa s ispol'zovaniem kontrol'nykh kart Shukharta: per. s angl. [Statistical process management. Business optimization using Shewhart control cards: translation from English]. Moscow: Al'pina Biznes Buks, 2009, 409 p. [In Russian]
4. Montgomery D. C. Introduction to statistical quality control. New York: John Wiley and Sons, 2009, 754 p.
5. Klyachkin V. N. Modeli i metody statisticheskogo kontrolya mnogoparametricheskogo tekhnologicheskogo protsessa [Models and methods of statistical control of a multiparametric technological process]. Moscow: Fiz-matlit, 2011, 196 p. [In Russian]
6. Klyachkin V. N., Kravtsov Yu. A., Zhukov D. A. Avtomatizatsiya protsessov upravleniya [Automation of management processes]. 2015, no. 1 (39), pp. 50-56. [In Russian]
7. Klyachkin V. N., Mikheev A. Yu. Avtomatizatsiya i sovremennye tekhnologii [Automation and modern technologies]. 2011, no. 12, pp. 27-31. [In Russian]
8. Van Zyl R., Van der Merwe A. J. South African Statistical Journal. 2016, vol. 50, iss. 1, pp. 65-80.
9. Bersimis S., Psarakis S., Panaretos J. Quality and reliability Engeneering International. 2007, vol. 23, pp. 517523.
10. Klyachkin V. N., Karpunina I. N. International Journal of Innovative Technology and Exploring Engineering (IJITEE). 2019, vol. 8 (6S3), pp. 590-593.
Клячкин Владимир Николаевич
доктор технических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Ульяновский государственный технический университет
(432027, Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32) E-mail: v_kl@mail.ru
Карпунина Ирина Николаевна
кандидат технических наук, доцент, кафедра общепрофессиональных дисциплин, Ульяновский институт гражданской авиации (432071, Россия, г. Ульяновск, ул. Можайского, 8/8) E-mail: karpunina53l@yandex.ru
Кравцов Юрий Андреевич
кандидат технических наук, доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Ульяновский государственный технический университет
(432027, Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32) E-mail: ukravtsov@rambler.ru.
Бубырь Дмитрий Сергеевич
кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Ульяновское конструкторское бюро приборостроения
(432017, Россия, Ульяновск, ул. Крымова, 10) E-mail: bubir91@mail.ru
Klyachkin Vladimir Nikolaevich
doctor of technical sciences, professor, sub-department of applied mathematics and informatics, Ulyanovsk State Technical University (432027, 32 Severny Venec street, Ulyanovsk, Russia)
Karpunina Irina Nikolaevna
candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of general professional disciplines, Ulyanovsk Institute of Civil Aviation (432071, 8/8 Mozhaiskiy street, Ulyanovsk, Russia)
Kravtsov Yuriy Andreevich
candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of applied mathematics and informatics, Ulyanovsk State Technical University (432027, 32 Severny Venec street, Ulyanovsk, Russia)
Bubir Dmitry Sergeevich
candidate of technical sciences, senior researcher, Ulyanovsk Design Bureau of Instrumentation (432017, 10 Krymova street, Ulyanovsk, Russia)
Образец цитирования:
Клячкин, В. Н. Повышение эффективности алгоритма Хотеллинга при оценке стабильности функционирования объекта / В. Н. Клячкин, И. Н. Карпунина, Ю. А. Кравцов, Д. С. Бубырь // Надежность и качество сложных систем. - 2019. - № 4 (28). - С. 127-135. - DOI 10.21685/2307-4205-2019-4-14.
