CC BY
85
УДК 519.676: 681.51 Дата подачи статьи: 25.12.15
Б01: 10.15827/0236-235Х.115.192-197
ОБНАРУЖЕНИЕ НАРУШЕНИЙ ПРИ МНОГОМЕРНОМ СТАТИСТИЧЕСКОМ КОНТРОЛЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
(Работа выполнена в рамках задания Минобрнауки России № 2014/232 и гранта РФФИ № 15-48-02038)
В.Н. Клячкин, д.т.н., профессор, [email protected]; Ю.А. Кравцов, аспирант (Ульяновский государственный технический университет, ул. Северный Венец, 32, г. Ульяновск, 432027, Россия)
Статистический контроль многопараметрического технологического процесса основан на использовании карты Хотеллинга. Как правило, критерием нарушения стабильности процесса является выход точки за контрольную границу карты. При этом иногда некоторые нарушения процесса карта не обнаруживает. Для повышения эффективности многомерного статистического контроля предлагаются два подхода. Первый основан на использовании специальных структур на карте Хотеллинга: вероятность случайного появления такой структуры соизмерима с вероятностью ложной тревоги, поэтому ее наличие на карте свидетельствует о нарушении процесса. В качестве структур специального вида рассмотрены тренд, цикличность, резкие скачки, приближение множества точек к контрольной границе или к оси абсцисс. Второй подход базируется на применении предупреждающей границы: попадание нескольких точек подряд между предупреждающей и контрольной границами также свидетельствует о нарушении процесса. Разработана программа, реализующая соответствующие алгоритмы поиска. Исходные данные включают количество контролируемых параметров процесса, количество наблюдений в выборке, количество выборок, результаты измерений. В зависимости от степени коррелированности параметров их можно объединить в группы и строить карты для каждой группы. Рассмотрен численный пример: контроль десяти параметров - диаметров крышки датчика аэродинамических углов. С целью выявления реакции различных модификаций карты Хотеллинга на возможные нарушения были смоделированы три типа нарушений: смещение среднего уровня процесса по одному из показателей, тренд процесса по всему подмножеству показателей и увеличение рассеяния данных по одному из контролируемых показателей. Показано, что нарушения, которые «не видит» обычная карта Хотеллинга, обнаруживаются предложенными методами.
Ключевые слова: статистический контроль, карта Хотеллинга, диагностика нарушений, специальные структуры, предупреждающая граница.
Одним из направлений обеспечения качества продукции при серийном производстве является статистический контроль технологического процесса. При контроле независимых параметров исследуемого процесса стандарты предусматривают применение карт Шухарта и кумулятивных сумм. В случае контроля нескольких коррелированных параметров могут использоваться карты Хотеллинга и многомерных экспоненциально взвешенных скользящих средних, а также их модификации.
Многие работы зарубежных и отечественных авторов [1-3] рассматривают применение статистических методов для проведения контроля технологических процессов. Обнаружение нарушений процесса, как правило, проводится на основе выхода контролируемой статистики за заданные границы карты. Вместе с тем для одномерного контроля широко используются и другие критерии, в частности, поиск структур специального вида на карте Шухарта: если на карте имеет место структура (набор точек), вероятность появления которой близка к вероятности ложной тревоги, это свидетельствует о нарушении процесса.
Используются и карты с предупреждающими границами: попадание нескольких точек подряд между границами указывает на нарушение процесса. Современная компьютерная техника и ПО позволяют применить аналогичные подходы при многомерном статистическом контроле процесса.
Постановка задачи
Контролируются р параметров технологического процесса Х1, Х2, ..., Хр. Предполагается, что р-мерный параметр имеет многомерное нормальное распределение Х ~ ЖР(ц, Е) (ц - вектор средних, Е - ковариационная матрица). Результаты наблюдений анализируются с применением контрольной карты Хотеллинга [3-5]: для каждой /-й мгновенной выборки (/ = 1, ..., т) рассчитывается статистика:
Т2 = п( X, - Ц0)т 5-1( X, - Ц0), (1)
здесь X, - вектор средних в мгновенных выборках, X = ( хл, ..., х/р)т; ху - среднее значение в /-й мгновенной выборке по у-му показателю (У = 1, ..., р); Ц0 - вектор общих средних, ц = (ц 1, ...,
^ 1 т п
Цр)т, цу = — 2; (2)
тп I=1,=1
- оценка ковариационной матрицы Е; компоненты ковариационной матрицы, определяющие рассеяние показателей качества и степень тесноты их связи, оцениваются по формуле
1 т п
' = ——Т722(Х/,- ц )(хш - Цк), (3)
т(п -1) ,=1 ,=1 у, к = ^ .. р.
Положение контрольной границы карты Хотел-линга определяется по формуле
г 2 - р(т-1)(п -1)
Tkp = —-—-(р, тп - т - р + 1), (4)
тп - т - р +1
где а - уровень значимости (вероятность ложной тревоги); F\-а(h, k2) - квантиль F-распределения Фишера с числами степеней свободы в числителе Ь, в знаменателе
По аналогии с широко распространенными картами Шухарта процесс считается стабильным, если значения статистики (1) не превышают критическое значение (4): Шухартом было рекомендовано в качестве признаков вероятной разладки процесса рассматривать попадание точки, соответствующей контролируемому параметру, в область, находящуюся вне контрольных границ. На практике по мере расширения использования этих карт все чаще возникали случаи, когда все точки находились в зоне между контрольными границами, но по графику было видно, что процесс протекает нестабильно. Например, исследуемый процесс имеет явную тенденцию к росту или снижению, носит периодических характер, присутствует размещение множества последовательных точек по одну сторону от центральной линии и т.д. Вследствие этого возникла необходимость расширить перечень критериев, с помощью которых можно визуально оценить стабильность процесса. С этой целью было предложено выявлять структуры специального вида, или так называемые неслучайные структуры [6-8], то есть совокупности точек, вероятность образования которых сопоставима с вероятностью ложной тревоги (таких, появление которых при нормальном ходе процесса маловероятно).
Еще один подход для повышения эффективности контрольных карт может быть основан на использовании на карте предупреждающей границы. Для одномерных карт средних значений используется стандарт, предусматривающий возможность применения предупреждающей границы в трех вариантах принятия решения: процесс считается нестабильным, если в зоне между предупреждающей и контрольной границами находятся две, три или четыре точки подряд. Аналогичный подход возможен и при многомерном контроле [9].
Подсистема поиска специальных структур на карте Хотеллинга
Опыт использования контрольных карт Хотеллинга пока недостаточен, чтобы можно было четко сформулировать основные критерии нестабильности процесса. Тем не менее, очевидно, что некоторые из критериев, используемых для интерпретации карт Шухарта, применимы и для карты Хотеллинга. По аналогии с рекомендуемой стандартом методикой обнаружения структур специального вида, свидетельствующих о нарушении процесса, на карте Шухарта область между горизонтальной осью t на карте Хотеллинга и контрольной границей (Upper Control Limit) UCL = Tkp2 разделена на три зоны - А, В и С (рис. 1).
Существенный практический интерес может представлять анализ следующих структур специального вида, показанных на этом рисунке:
а) выход точки, соответствующей расчетному значению статистики Хотеллинга, за контрольную границу UCL;
б) тренд (сколько точек подряд на возрастание или на убывание в зависимости от количества контролируемых параметров могут рассматриваться как специальная структура, то есть вероятность появления такого количества точек соизмерима с вероятностью ложной тревоги);
в) приближение к оси абсцисс (зона С: в диапазоне до 1/3 ТКр2) (сколько точек, расположенных
Рис. 1. Структуры специального вида на карте Хотеллинга Fig. 1. А special form structure on the Hotelling 's chart
Таблица 1
Результаты расчета структур специального вида
Table 1
Calculation data for special form structures
Структура Количество контролируемых параметров
2 3 4 5 6 7 8
Тренд (кол-во точек) 6 6 6 6 7 7 7
Приближение к оси абсцисс (кол-во точек) - - 15 12 10 9 8
Приближение к контрольной границе (кол-во точек) 2 из 5 2 из 3 2 из 3 или 3 из 10 2 из 3 или 3 из 9 3 из 8 или 4 из 15 3 из 7 или 4 из 14 3 из 6 или 4 из 13
Резкие скачки, k 0, 75 0,75 0,70 0,70 0,70 0,70 0,65
Цикличность (кол-во точек) 8 9 9 9 9 10 10
подряд в этой зоне, в зависимости от количества контролируемых параметров могут рассматриваться как структура специального вида);
г) приближение к контрольной границе (зона А);
д) резкие скачки на карте - на величину кТ.кр2, (при каком k при заданном количестве контролируемых показателей р соответствующий скачок на карте может рассматриваться как специальная структура);
е) цикличность (сколько точек, расположенных в шахматном порядке, могут рассматриваться как структура специального вида).
Результаты расчета структур, свидетельствующих о возможном нарушении процесса [9], при контроле от двух до восьми параметров представлены в таблице 1.
Из данной таблицы следует, что, например, при контроле шести параметров в качестве структур специального вида могут рассматриваться тренд из 7 точек на карте Хотеллинга, или 10 точек подряд вблизи оси абсцисс, или 9 циклически расположенных точек и т.п.
Поиск соответствующих структур проводится с применением специальных алгоритмов. На рисунке 2 в качестве примера показана блок-схема алгоритма обнаружения приближения точки на карте Хотеллинга к оси абсцисс.
Подсистема построения карты с предупреждающей границей
Эффективность контрольных карт также может быть повышена путем использования предупреждающей границы, которое подразумевает разбиение области значений контролируемого параметра на три подобласти. Кроме обычных зон, характерных для стандартной карты Хотеллинга, при помощи предупреждающей границы выделяется дополнительная область для переходного состояния процесса (зона Ж). Расположение нескольких точек подряд (от 2 до 4) в этой области может свидетельствовать о возможном нарушении процесса.
Определим положение контрольной границы и^ и предупреждающей UWL таким образом,
чтобы попадание k точек подряд (к = 2, 3, 4) в область Ж свидетельствовало о наличии заданного
Рис. 2. Блок-схема алгоритма обнаружения приближения точки на карте Хотеллинга к оси абсцисс
Fig. 2. A flow chart of the approaching point detecting algorithm on the Hotelling 's chart to the x-axis
опасного смещения среднего уровня процесса. Результат решения этой задачи методами теории цепей Маркова представлен в таблице 2, где дано положение контрольной UCL и предупреждающей UWL границ карты в зависимости от количества контролируемых показателей р и количества точек k, расположение которых подряд между границами карты свидетельствует о нарушении процесса на уровне значимости а = 0,005, наиболее распространенном при многомерном контроле [9].
Таблица 2
Положение контрольной и предупреждающей границ при 2, 3 и 4 точках подряд между границами
Table 2
The location of a control and warning limit with 2, 3 and 4 points in a row between limits
Программа обнаружения нарушений процесса
Программа «Анализ специальных структур на карте Хотеллинга» (рис. 3) предназначена для диагностики нарушений при многомерном статистическом контроле технологического процесса. Исходные данные включают количество контролируемых параметров, количество наблюдений в выборке, количество выборок, результаты измерений. В зависимости от степени коррелированности
параметров их можно объединить в группы и строить карты для каждой группы.
Программа включает две подсистемы: для обнаружения структур специального вида на карте Хотеллинга; для построения карты с предупреждающей границей с поиском последовательности заданного числа точек, расположенных между предупреждающей и контрольной границами. Программа обеспечивает диагностику процесса путем выявления соответствующих нарушений.
Разработанный программный продукт имеет следующие характеристики: тип операционной системы - Windows XP и выше; среда разработки -C#; использованы стандартные библиотеки MS Visual Studio 2013; размер программы - 3,42 Мб.
Численный эксперимент
Осуществлялся контроль десяти параметров Х\, Х2,..., Хю - диаметры крышки датчика аэродинамических углов. Заданы допуски на изготовление:
Х = 11610,071 (Х1тш=П5,929 мм; Хтах=115,964 мм),
Х2 = 113+0-35 (Х2тт = 113 мм; Х2тах = 113,35 мм), Хз = 110е8 (Хзтт = 109,928 мм; Хтх = 109,982 мм) и т.п. Для контроля предполагалось использовать многомерную карту Хотеллинга. Основная задача - проследить, как реагирует эта карта на возможные нарушения процесса.
На этапе анализа отлаженного процесса через равные промежутки времени делались замеры одной крышки (контроль по индивидуальным наблюдениям: n = 1). По результатам контроля 30 крышек построена корреляционная матрица (на рис. 4 жирным шрифтом выделены значимые корреляции), из которой следует, что все множество параметров может быть разбито на три подмножества по наличию корреляций: 1) X, Хз, Хю; 2) Х2, Х4, Х5, Хз;
Количество параметров 2 точки 3 точки 4 точки
UCL UWL UCL UWL UCL UWL
2 12,39 5,70 13,29 3,60 14,10 2,55
3 14,89 7,44 15,35 5,12 15,60 3,87
4 17,82 8,84 18,29 6,31 18,63 5,95
5 19,48 10,52 20,79 7,70 21,19 7,64
6 21,77 11,79 22,69 8,87 23,00 8,79
7 23,74 13,27 24,58 10,15 24,98 9,91
8 25,72 14,74 26,26 11,43 26,83 10,83
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10
Х1 1,00000 -0,00025 0,87553 0,18678 0,10196 0,17610 -0,10134 -0,11754 -0,09513 0,81069
Х2 -0,00025 1,00000 -0,09148 0,54980 0,37185 0,55407 -0,23063 -0,27002 -0,25800 0,10967
Х3 0,87553 -0,09148 1,00000 0,18343 0,14762 0,19114 -0,09289 0,03120 0,00991 0,69853
Х4 0,18678 0,54980 0,18343 1,00000 0,81090 0,78474 -0,15765 -0,16410 -0,07633 0,20818
Х5 0,10196 0,37185 0,14762 0,81090 1,00000 0,77601 -0,06318 -0,02507 0,03892 0,13071
Х6 0,17610 0,55407 0,19114 0,78474 0,77601 1,00000 -0,17052 -0,25069 -0,00278 0,18427
Х7 -0,10134 -0,23063 -0,09289 -0,15765 -0,06318 -0,17052 1,00000 0,74280 0,61656 0,04218
Х8 -0,11754 -0,27002 0,03120 -0,16410 -0,02507 -0,25069 0,74280 1,00000 0,63250 -0,13864
Х9 -0,09513 -0,25800 0,00991 -0,07633 0,03892 -0,00278 0,61656 0,63250 1,00000 -0,07224
Х10 0,81069 0,10967 0,69853 0,20818 0,13071 0,18427 0,04218 -0,13864 -0,07224 1,00000
Рис. 4. Корреляционная матрица Fig. 4. Correlation matrix
3) Х7, Х8, Х9 (см. [2, 3]). По полученным данным были построены три карты Хотеллинга по каждому из рассматриваемых подмножеств: все три карты подтвердили стабильность процесса изготовления крышки. Основной целью этого этапа было определение положения контрольных границ карт для каждого подмножества параметров.
При последующем мониторинге процесса с помощью карт Хотеллинга с найденными на предыдущем этапе контрольными границами по результатам наблюдений за 60 деталями нарушений процесса обнаружено не было. При этом для диагностики возможных нарушений процесса были использованы как карты с предупреждающей границей [9], так и обычные карты Хотеллинга с анализом неслучайных структур [8].
С целью выявления реакции различных модификаций карты Хотеллинга на возможные нарушения были смоделированы три типа нарушений:
1) смещение среднего уровня процесса по одному из показателей (с 10-го наблюдения до 20-го все значения Х1 увеличивались на некоторую постоянную величину, задаваемую в долях от стандартного отклонения: Х\к =Х1>к + аст1; к = 10, 11, ..., 20);
2) тренд процесса по всему подмножеству показателей; для моделирования этого нарушения каждое из значений Х1, Х3, Х10, начиная с 10-го наблюдения, последовательно увеличивалось на некоторую величину, например, для Х3: Х'зд0 = = Хз,10 + 0,2стз, Х'з,ц = Хз,ц + 0,4ст3 и т.п.;
3) увеличение рассеяния данных по одному из контролируемых показателей.
Первое из этих нарушений (смещение среднего уровня процесса) было выявлено с помощью карты Хотеллинга с предупреждающей границей (рис. 5), второе (тренд), как и ожидалось, проявилось в виде тренда на обычной карте Хотеллинга, третье (увеличение рассеяния) проявилось сразу в виде трех неслучайных структур: цикличности, резкого скачка и приближения значений статистики Хотел-линга к оси абсцисс (рис. 6). Заметим, что ни одно из смоделированных нарушений не проявилось бы, если бы была использована стандартная методика оценки статистической управляемости процесса, при которой нарушением процесса считается выход статистики Хотеллинга за контрольную границу. Как видно из результатов проведенных испытаний, выходов за контрольную границу при заданных нарушениях процесса нет.
Рис. 5. Карта с предупреждающей границей обнаружила нарушение: точки 9-15 расположены между предупреждающей и контрольной границами
Fig. 5. A chart with warning limit has found violation: points 9-15 are located between warning and control limits
Рис. 6. Карта Хотеллинга обнаружила нарушение сразу по трем критериям
Fig. 6. The Hotelling 's chart has detected the breach on the three criteria at once
Итак, в работе предложена программа для интерпретации контрольных карт, реализующая методы, повышающие чувствительность многомерного контроля к возможным нарушениям технологического процесса. Результаты численного эксперимента на примере контроля десяти параметров датчика аэродинамических углов с использованием разработанного ПО свидетельствуют об эффективности этих методов.
Литература
1. Уилер Д., Чамберс Д. Статистическое управление процессами. Оптимизация бизнеса с использованием контрольных карт Шухарта. М.: Альпина Бизнес Букс, 2009. 409 с.
2. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С. Прикладная статистика // Классификация и снижение размерности. М.: Финансы и статистика, 1989. 607 с.
3. Montgomery D.C. Introduction to statistical quality control. NY: John Wiley and Sons, 2009, 754 р.
4. Ryan T.P. Statistical methods for quality improvement. NY, John Wiley and Sons, 2011, 687 р.
5. Bersimis S., Psarakis S., Panaretos J. Multivariate statistical process control charts: an overview. Quality and Reliability Eng. Intern., 2007, vol. 23, рр. 517-543.
6. Robert F., Marilyn K. Criteria for lack of control. Quality Management in Health Care, 2003, vol. 12, iss. 1, рр. 5-19.
7. Юнак Г.Л., Годлевский А.Н., Плотников А.Н. Об интерпретации серий на контрольных картах // Методы менеджмента качества. 2005. № 4. С. 41-48.
8. Клячкин В.Н., Кравцов Ю.А. Диагностика состояния объекта по наличию неслучайных структур на контрольной карте // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2013. № 5. С. 44-50.
9. Клячкин В.Н., Кравцов Ю.А. Повышение эффективности статистического контроля многопараметрического технологического процесса на основе карты Хотеллинга с предупреждающей границей // Автоматизация и современные технологии. 2013. № 10. С. 35-37.
DOI: 10.15827/0236-235X.115.192-197 Received 25.12.15
IRREGULARITIES IN MULTIVARIATE STATISTICAL CONTROL OF A TECHNOLOGICAL PROCESS
(Acknowledgements. Work has been done within the framework of the task of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation no. 2014/232 and the Russian Foundation for Basic Research grant no. 15-48-02038)
lKlyachkin V.N., Dr.Sc. (Engineering), Professor, [email protected]
1 Kravtsov Yu.A., Postgraduate Student
^Ulyanovsk State Technical University,
Severny Venec St. 32, Ulyanovsk, 432027, Russian Federation
Abstract. Statistical control of multiparameter technological process is based on using Hotelling's charts. Generally, a criterion for process stability violation is when a point exits a chart's control limit. Sometimes a card does not detect some violations of a process. The authors offer two approaches to improve the efficiency of multivariate statistical control. The first is based on using special structures on the Hotelling's chart. The probability of occurrence of such structure is commensurable with the probability of false alarm, so its presence on the chart reveals a violation of process. A trend, cyclicity, spikes, an approximation of a set of points to a control limit or to the X-axis is considered as a special type of structure.
The second approach is based on the warning limit. Several points between warning and control limits also constitute a violation of the process. The developed software package implements appropriate search algorithms. Source data include a number of controlled process parameters, a number of observations in a sample, a number of samples, measurement results. Depending on the degree of correlativeness of the parameters it is possible to combine them into groups and build charts for each group. As a numerical example, the authors examined 10 control parameters, which are aerodynamic angle sensor's cap diameters. In order to identify the reactions of Hotelling's charts various modifications on possible violations the authors modeled three types of violations: process middle-tier offset for one of the indicators, a process trend across a subset of indicators and scattering data increasing on any of the monitored targets. The article shows that violations which are not identified by the Hotelling's chart can be detected by the proposed methods.
Keywords: statistical control, Hotelling's chart, diagnosis of violation, special structures, the warning limit.
References
1. Wheeler D.J., Chambers D.S. Understanding Statistical Process Control. SPC Press, Knoxville, Tennessee, 2009, 409 p.
2. Ayvazyan S.A., Bukhshtaber V.M., Enyukov I.S. Prikladnaya statistika. Klassifikatsiya i snizhenie razmernosti [Applied Statistics. Classification and Reduction in Dimensionality]. Moscow, Finansy i statistika, 1989, 607 p. (in Russ.).
3. Montgomery D.C. Introduction to statistical quality control. NY, John Wiley and Sons Publ., 2009, 754 p.
4. Ryan T.P. Statistical methods for quality improvement. NY, John Wiley and Sons Publ., 2011, 687 p.
5. Bersimis S., Psarakis S., Panaretos J. Multivariate Statistical Process Control Charts: An Overview. Quality and reliability Engeneering Int. 2007, vol. 23, pp. 517-543.
6. Robert F., Marilyn K., Criteria for Lack of Control. Quality Management in Health Care. 2003, vol. 12, iss. 1, pp. 5-19.
7. Yunak G.L., Godlevsky A.N., Plotnikov A.N. On interpretation of series on control charts. Metody menedzhmenta kachestva [Quality management methods]. 2005, no. 4, pp. 41-48 (in Russ.).
8. Klyachkin V.N., Kravtsov Yu.A. Object's condition diagnostics using nonrandom structures on a control chart. Pribory i sistemy. Upravlenie, kontrol, diagnostika [Instruments and Systems: Monitoring, Control, and Diagnostics]. 2013, no. 5, pp. 44-50 (in Russ.).
9. Klyachkin V.N., Kravtsov Yu.A. Increase of efficiency of multivariable technological process statistical control on the basis of Hotelling's chart with a warning limit. Avtomatizatsiya i sovremennye tekhnologii [Automation and modern technologies]. 2013, no. 10, pp. 35-37 (in Russ.).
