CC BY
6
16. Одинцов Л.Г. Упрочнение и отделка деталей поверхностным пластическим деформированием. справочник. М.: Машиностроение, 1987. 328 с.
17. Поляк М.С. Технология упрочнения. Технологические методы упрочнения. Том 1. М.: Машиностроение, 1995. 832 с.
18. Поляк М.С. Технология упрочнения. Технологические методы упрочнения. Том 2. М.: Машиностроение, 1995. 832 с.
19. Смелянский В.М. Механика упрочнения деталей поверхностным пластическим деформированием. М.: Машиностроение, 2002. 300 с.
20. Папшев Д.Д. Отделочно-упрочняющая обработка поверхностным пластическим деформированием. М.: Машиностроение, 1978. 152 с.
Хачкинаян Амбарцум Ервандович, канд. техн. наук, доцент, ambarzum21@yandex.ru, Россия, Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет путей сообщения.
MATHEMATICAL MODELING OF THE PROCESS ROLLER ROLLING OF WELD METAL
A.E. Khachkinayan
A technique for theoretical calculation of technological parameters of surface plastic deformation of deposited metal by roller knurling in the process of deposition on cylindrical parts has been developed, taking into account existing calculation methods. Formulas are given for determining the depth of work hardening, the knurling force and the shape change of the deposited metal coating. The results of theoretical calculations give good agreement with the obtained experimental data.
Key words: weld metal, roller knurling, knurling force, work hardening depth, deposited metal shape change, hardening, plastic deformation.
Khachkinayan Ambarzum Ervandovich, сandidate of technical sciences, docent, ambarzum21@yandex.ru, Russia, Rostov-on-Don, Rostov State Transport University
УДК 621.785.5
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-490-495 ПОВРЕЖДАЕМОСТЬ И ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
Т.И. Дородных
На основе структурной теории микроповреждаемости и применении вероятностной модели механизма хрупкого микроразрушения (микроповреждаемости) определены параметры функции распределения микропрочности для поликристаллического материала (стали). Для определения эффективных модулей упругости с учетом образования микроповреждений в материале используется метод условных моментов. Микроповреждаемость рассматривается как процесс возникновения хаотично рассредоточенных по объему круговых микротрещин, концентрация которых увеличивается с увеличением нагрузки. Для прогрессирующей микроповреждаемости используется структурная модель накопления микротрещин Даниэльса.
Ключевые слова: микроповреждаемость, функция распределения микропрочности, статистический критерий прочности, эффективные постоянные материала.
Процессам повреждаемости и разрушения различных материалов посвящено множество работ, теоретических и экспериментальных с использованием различных подходов [1-3]. Модели, связанные с определенными представлениями о микроструктуре материала, где микроповреждаемость в материале представлена повреждаемостью структурных элементов в виде микротрещин или микропор [4,5]. Модели, определяющие разрушение через некоторые термодинамические параметры, которые вместе с напряжениями и деформациями удовлетворяют фундаментальным термодинамическим отношениям. И другие. Классический подход к исследованию разрушения материалов в виде формулировки феноменологических критериев прочности является обобщением данных макроэкспериментов и, как правило, не касается механизмов разрушения на микроуровне.
В работе используется структурно-вероятностный подход [6-8] к изучению микроразрушения. Классический подход и структурно-вероятностный связаны между собой, взаимно дополняя друг друга, с одной стороны, раскрытием механизма явления разрушения, с другой - возможностью определения параметров, описывающих явление микроразрушения, с использованием соответствующего конкретному материалу феноменологического критерия прочности.
490
Существуют различные подходы к моделированию связанного процесса микроповреждаемости и деформирования при нагружении тела. Структурно-вероятностный подход используется для описания механизма хрупкого разрушения поликристаллических материалов, как изотропных в макрообъеме, так и текстурированных. В данной работе этот подход применен для описания механизма хрупкого разрушения поликристаллических материалов изотропных в макрообъеме с использованием одного из вариантов структурной модели - модели Даниэльса. [9].
Повреждаемость материалов. Начало макроразрушения связано с достижением концентрацией микротрещин в объеме тела некоторого (критического) значения при заданном виде и уровне нагру-жения. Случайный (вероятностный) характер микроразрушений в микронеоднородном материале позволяет использовать статистический критерий прочности. Его суть заключается в отождествлении значения концентрации микродефектов, вызываемого рассматриваемым видом нагружения поликристаллического тела, с критическим значением концентрации микродефектов, которое для данного материала является причиной начала макроразрушения не зависимо от многокомпонентности и вида напряженного состояния. В качестве таких критических значений концентрации микротрещин, согласно имющихся экспериментальных данных, принимаются значения концентрации микродефектов, имеющих место при разрушении образцов материала при чистом растяжении, сжатии и сдвиге.
В качестве критерия разрушения микроэлементов материала принимается соотношение 1-й теории прочности
о33 >о, (1)
где о33 локальные истинные напряжения. Истинные напряжения о33 отличаются от условных о3'3 тем, что первые относятся к участкам поврежденной среды, а вторые относятся к участкам сплошной среды. Условные локальные напряжения о3'3 и средние напряжения ои, заданные в теле, связаны выражениями о3'3 = аиа3ка}1, где осъкаъ1 - направляющие косинусы локальной системы координат. о - случайная величина, обозначающая предельные значения истинного растягивающего или сжимающего нормального напряжения. В локальных системах координат 0' х1/ х^'оси 0' х3 направлены по нормали к поверхности случайно выбранного шара единичного радиуса.
В процессе деформации под действием истинных напряжений о33 каждый структурный
элемент растрескивается, в результате чего появляется плоский дефект эллиптической либо круговой формы с размерами порядка размеров структурных элементов. Для оценки степени поврежденности материала вводится численная характеристика в = N < V' >, где — количество микротрещин в еди-
4ж
ничном объеме, < V' >=-< а'Ь'2 > - средний объем частиц материала. Плотность микротрещин
3
р =в = п / N.. Для описания распределения механической микропрочности структурных элементов можно воспользоваться степенным законом с плотностью и интегральной функцией распределения вида
/ о)=
= йГ (о)=
( 1 \( ~ ~ \
йо
= о
о —1
V0™. — о У
о—о
V0,ni — 00. У
г (о) = (°°о
V0™i —Оог У
(2)
(3)
о - случайные значения пределов прочности структурных элементов отрыва при растяжении (( = 1) и сжатии (/' = 2) о0. , о ., о - минимальное и максимальное значения указанных величин и соответствующие коэффициенты рассеивания отрывной микропрочности.
В случае растягивающих истинных напряжений о33 структурные элементы разрушаются путем появления микротрещин с плоскостями, нормальными к направлению действия данных напряжений. В случае сжимающих условных напряжений микротрещины отрыва, образующиеся за счет различия коэффициентов Пуассона структурных элементов, ориентируются параллельно направлению о33. Число
разрушенных элементов п. из общего числа элементов N является случайной величиной, для которой справедлива схема независимых испытаний Бернулли. Вероятность испытаний в этой схеме для нашей задачи определяется функцией распределения Г (о). Тогда для сжимающих напряжений, т.к. разрушенные структурные элементы материала сопротивляются сжатию как сплошные, можно записать
о33 =ой (4)
Для растягивающих напряжений о33 имеем
о33 =о3/(1 — п / N), о „ °з (5)
33 1—г о)
Накопление микроповреждений в материале зависит от вида нагружения тела; многократность, скорость, продолжительность нагружения и т.д. С учетом изложенного выше концентрация микроповреждений в случайном сечении тела будет определяться выражением
Щ = Р I = (с33) =
( \с СГС01
(6)
Vе гп1 — с01.
При двух параметрическом распределении микро прочности (с0. = 0) интегральная функция распределения (3) будет иметь вид
Щ = Р г = (с33) =
С ^
с33
V С У
с
(7)
Статистический критерий разрушения, выраженный через меры поврежденности материала, определяется соотношением
Ъ (^33шах) ^Щет (г = 1,2), (8)
где Ъ (С33шах) = Щ - концентрация трещин в сечении, в котором нормальные локальные условные
напряжения достигают максимального значения, - критическое значение концентрации трещин.
Если до начала деформирования в материале существовала начальная микроповрежденность р , то функция распределения Ъ (с) будет определять относительную долю оставшихся в сечении
тела с относительной площадью (1 — р ) неразрушенных структурных элементов, в которых предел прочности равен или меньше некоторого значения с. Тогда, если в неразрушенной части сечения материала напряжения С33 > С, то функция Ъ(с33) будет определять относительное содержание разрушенных микроэлементов в оставшейся относительной части (1 — р ) и при статическом повышении условных локальных напряжений до значений с33 концентрация микроповреждений в случайном сечении тела достигнет величины, определяемой следующим выражением
Рг = Р0г + (1 — Рг)Ъ С33) = Р0г + (1 — Р г )С / С )Щ , * = 1,2. (9)
Если Р0г =0, то соотношения (8) с учетом (7) и (6) примут вид
Р1(1 — Р1)С1—1 = С33/С1)с (I0)
для растягивающих напряжений,
Р2 = (1 — Р2)(с33/с2)С2 (11)
для сжимающих напряжений.
Для решения задачи о напряженно-деформированном состоянии поликристаллического материала, изотропного в макрообъеме, необходимо иметь параметры распределения щ , С, входящие в выражение (5), тем самым определить повреждаемость р , а также найти эффективные упругие характеристики, входящие в выражение.
Определение параметров распределения. Параметры распределения щ , С находятся по экспериментальным данным различными методами, например, методом моментов [6]. Для этого необходимо знать среднее значение предела микропрочности Сг , дисперсию б; или коэффициент вариации
к.
с^=\сГ( (с)ёс=с с (12)
0 Щ +1
с
Б} = | (С—С/;)/; (с)йС =-Щ-С2 (*3)
0 (Щ+1)2(2 + щ)
где / (с) = щ(с с0г) ' - плотность функции распределения микро прочности при степенном законе (С —С0г)Щ
Щ (2 + а)
Тогда из выражений (12) - (14) следует
к = -1--(14)
ями (е„а ) имеют место соотношения
а, =_1 + а- = ^ а'- (- = ^ (15)
1 к * 1 - I-Т я
к VI + к} _к,
Структурные элементы имеют столь малые размеры, что прямое определение параметров из (15) невозможно, поэтому их определяют исходя из экспериментальных значений условных параметров макропрочности для выборки макрообразцов. Заметим, что коэффициенты вариации микропрочности структурных элементов (кристалликов) материала как относительные величины в условных и истинных напряжениях совпадают. Тогда параметры а в функциях распределения материала и структурных элементов будут совпадать. Для случая сжатия, т.е. (стг,- < 0,1 = 1,2,3) параметр а2 определяется из формул (15). При растяжении (стг, > 0,1 = 1,2,3) параметр а1 следует находить из выражения
а =а^1(1 + а)1/а1+1 (16)
Определение эффективных модулей. Для поликристаллического материала с разориентиро-ванными кристаллитами зависимость между напряжениями а^ и деформациями 5ар в произвольном
микрообъеме материала имеет вид
а =^jаp£аp, (17)
где тензор упругих постоянных Лцар является случайной функцией координат. В условиях однородного внешнего механического нагружения, между макроскопическими напряжениями (а^ и деформаци-
Ы)Л
а = %ар(«р), (18)
где Лцар - тензор эффективных упругих постоянных. Эффективные упругие постоянные определяются
на основе метода условных моментов, применимый и для матричных структур, и для поликристаллических.
Детально этот метод для поликристаллических структур изложен в работе [10]. В рамках данной работы рассматривается вариант, когда кристаллиты материала равномерно разориентированы по объему. Такой материал в макрообъеме будет изотропным и концентрация микроповреждений в любом случайном сечении материала будет равновероятной (одинаковой). Этот материал можно рассматривать как двухкомпонентный матричный композит с нулевой жесткостью включений, т.е. микроповреждений, моделируемых как микросферы. В случае ориентированных кристаллитов, применим алгоритм [11]. Эффективные модули объемного сжатия К * и сдвига ц в этом случае выражаются следующей зависимостью от микроповреждаемости р
К .= 4 Кц(1 _ р)2 (9 К + 8ц)ц(1 _ р)2 , (19)
4л + (3К _ 4л)р 9К + 8ц_ (3К _ 4л)р
2
где К * = X +—Ц , К и ц- постоянные материала. Л, Ц- постоянные Ламе. Если перейти к эффек-
3
тивным модулям Юнга Е* и коэффициентам Пуассона V*, то зависимости эффективных постоянных от микроповреждаемости р и от модуля Юнга и коэффициента Пуассона материала будут следующими
Е* = Е (1 _ р)2 , + т2р , (20)
1 + п2 р ' 1 + п2 р '
где
п = (5у _ 1)(1 _ 3v) т = (1 _ 5v)(3 _v) (21)
2 2(7 _ 5v) ' 2 2(7 _ 5v) Используя выражения (20) или (21) можно определить эффективные модули, входящие в выражение (18). Тогда, при заданных средних однородных макронапряжениях {а^ можно найти макродеформации в теле и построить диаграмму деформирования материала с учетом возникающих в нем микроповреждений. Заметим, что формулы (7)-(11) считаются справедливыми при мгновенном достижении средними по телу напряжений (а^ заданных значений.
Числовой пример. Для иллюстрации изложенной выше процедуры, рассматривается ее применение к материалу со следующими характеристиками (сталь45):
Сг/1=0.811 х 109Па; ^=0.095; ц = 81.1х103Мн/м2 ; K = 168.7х10-3 Мн/м2 ; v = 0.29;
E = 201.4 х10-3 Мн/м2.
Здесь среднее значение предела прочности (напряжение о'л) и коэффициент вариации даны для растягивающих напряжений. Используя выражения (15) определим значения параметров, входящих в интегральную функцию распределения микропрочности (7).
а1 * 8, а1 * 0.985 х109 Па Уравнение (10) для вычисленных параметров данного конкретного материала примет вид
Л(1 - дГ = «/0.985 х109).
Учитывая связь условных локальных напряжений ст3'3 с заданными в теле средними напряжениями ии, можно найти среднее условное локальное напряжение ^С33 ^, проинтегрировав по поверхности сферы, т.е.
/ . 1 ж 2ж С33) = — j j f (0,у)а sin 0 d0 dy,
I 4ж0 0
где f (0, у) -функция распределения, описывающая разброс координатных осей локальных систем координат. В рассматриваемом примере f (0, у)=1.
С использованием формул (10), (15), (16), (18), (20) можно определить напряженно-деформированное состояние поликристаллического материала в зависимости от напряжения с учетом возникающей микроповреждаемости в материале.
Список литературы
1. Guijun Yang and Soo-Jin Park. Deformation of Single Crystals, Polycrystalline Materials, and Thin Films. A Review - MDPI, Materials, 06.2019. DOI: 10.3390/ma12122003.
2. Новиков И.И., Ермишкин В.А. Микромеханизмы разрушения металлов. М.: Наука. 1991.
362 с.
3. Sukumar N., Srolovitz D.J., Baker T.J., Prevost J.H. Brittle fracture in polycrystalline materials with the extended finite element method // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2003. V.56(14). 2015-2037.
4. Khoroshun L.P. Principles of the Micromechanics of Material Damage. 1. Short - Term Damage // Int. Appl. Mech. 1998. V. 34(10). P. 1035-1041.
5. Roy U., Mc Dowell D., Zhou M. Effect of grain orientations on fracture behavior of polycrystalline metals // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2021.V.151 (06). 104384.
6. Babich D. V. Simulation of Coupled Processes of Deformation andCracking in Elastic Brittle Materials // Strength of Materials, 2010. V. 36(2). P. 178-184.
7. Бабич Д.В. Статистический критерий прочности для хрупких материалов // Проблемы прочности, 2011, (5). P. 123-137.
8. Лебедев А.А., Ламашевский В.П., Музыка Н.Р., Швец В.П., Ефименко Е.В. Кинетика накопления рассеянных повреждений в поликристаллических материалах с разным размером зерна при малых деформациях // Проблемы прочности, 2011. (5). P. 32-44.
9. Daniels H.E. The statistical theory of the strength of bundles of threads// Proceedings of the Royal Society, 1945. A183. P. 405.
10. Khoroshun L.P., Dorodnykh T.I. Piezoelectrics of Polycrystalline Structure // International Appl. Mech. 1991. V.27 (7). P. 660-664.
11. Khoroshun L.P., Leshchenko P.V., Dorodnykh T.I. Effective electroelastic properties of polycrys-tals // International Appl. Mech. 1994. V.30(4). P. 311-319.
Дородных Татьяна Ивановна, канд. физ.-мат. наук, старший инженер, tdortula@gmail.com, Россия, Тула, Тульский Государственный Педагогический Университет им. Л.Н. Толстого
DAMA GEBILITY AND DEFORMATION OF POLYCRYSTALLINE MATERIALS
T.I. Dorodnykh
Based on the structural theory of microdamagebility and by using of the probabilistic model of the mechanism of brittle microfracture (microdamage), the parameters of the function of microstrength distribution for polycrystalline material (steel) are determined. To determine the effective moduli of elasticity with microdamages in the material, the method of conditional moments is used. Microdamagebility is considered as a pro-
494
cess of occurrence of circular microcracks randomly distributed over the volume, the concentration of which increases with increasing load. For progressive microdamagebility, the Daniels structural model of microcrack accumulation is used.
Key words: microdamagebility, microstrength distribution function, statistical strength criterion, material effective properties.
Dorodnykh Tatiana Ivanovna, candidate of physical-mathematical sciences, senior engineer, tdortu-la@gmail.com, Russia, Tula, L.N. Tolstoy Tula's State Pedagogical University
УДК 658.345 + 06
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-495-499
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ СПЕКТРОВ ВИБРАЦИЙ ЗУБОФРЕЗЕРНЫХ СТАНКОВ
О.Г. Харламов
В данной статье приведены результаты экспериментальных исследований спектров вибраций зубофрезерных станков проведенные в условиях их промышленной при различных технологических нагрузках. Измерения проводились как для вертикальных зубофрезерных станков различных моделей, производящих нарезание зубчатых колес обкаткой червячной фрезы и обработку заготовки методами попутного или встречного фрезерования, так и для горизонтальных зубофрезерных станков предназначающихся для нарезания изделий малого размера и имеющих специальный подвижной стол, который используется для поддержки изделия и перемещается по горизонтали.
Ключевые слова: вибрации, фрезерование, зубофрезерные станки, экспериментальные исследования, виброакустические характеристики.
Несмотря на различие технологических процессов при методах обката и копирования теоретическое исследование процессов возбуждения вибраций может быть выполнено единым методологическим подходом.
Фрезеруемые зубчатые колеса устанавливаются на оправках, имеющих цилиндрическую форму. При любом способе центрирования они представляют собой жестко закрепленные в центре круглые пластины. Используя теоретические исследования для зубчатых колес зависимость для расчета собственных частот колебаний приведены к виду
_ kh fk~~D
M
где к - коэффициент, определяющий собственные частоты колебаний; h - длина зуба, м; Б - диаметр окружности выступов, мм; Е - модуль упругости, Па; р - плотность материала колеса, кг/м3; ц - коэффициент Пуассона.
Расчеты собственных частот колебаний зубчатых колес. На предприятиях машиностроения в подавляющем большинстве обрабатываются колеса из стали и чугуна. Подставляя величины механических параметров получены следующие зависимости для собственных частот колебаний колес из соответствующего материала:
Для стали
Гк = 3^103 —
Для чугуна
/к = 2,4 • 103 — )к В
В зависимости от соотношения радиуса и длины волны в воздухе на собственных частотах колебаний [1,2].
Тогда с учетом данных работ получены следующие зависимости для звукового давления (Р) и звуковой мощности (Ы):
Сталь.
Точечный источник
Р = 6• юз икЪук , м = 6^10504(1гкУкУ г
